В правильной треугольной призме все равны. Угол между прямыми в призме. Решение заданий с2

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Задание.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра CC 1 .

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB 1 .

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB 1 .

Решение:

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB 1 .

Построим плоскость ADB 1 . Точки A и B 1 лежат в одной плоскости, проведем прямую AB 1 . Точки A и D лежат в одной плоскости, проведем прямую AD. Точки D и B 1 лежат в одной плоскости, проведем прямую DB 1 . Получили сечение плоскостью ADB 1 .

Построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB 1 . Так как прямая B 1 D и прямая BC лежат в одной плоскости BCC 1 , то они пересекаются в точке К. Точка К лежит в плоскостях АВС и ADB 1 . Точки К и А лежат в плоскостях АВС и ADB 1 , следовательно, плоскости ABC и ADB 1 пересекаются по прямой AК. Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и BED 1 построена.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB 1 .

Отрезок DC перпендикулярен плоскости АВС, из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AК. Точка H лежит в плоскости АВС, тогда CH – проекция наклонной DH на плоскость АВС. Через точку H проходит прямая AK, перпендикулярная наклонной DH, тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок CH перпендикулярен прямой AК.

Угол ∠DHC является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ADB 1 . Угол ∠DHC – искомый угол между плоскостями ABC и ADB 1 . Найдем величину этого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC (∠C = 90˚):

Так как точка D – середина отрезка CC 1 , то DC = DC 1 = 0,5.

Треугольники DCK и DC 1 B 1 подобны, тогда

Так как призма ABCA 1 B 1 C 1 – правильная, то ∠ACB = 60°. Углы ∠ACB и ∠ACК – смежные углы, тогда ∠ACК = 120°.

Так как AC = CK = 3, то треугольник ACK – равнобедренный треугольник и CH – высота и биссектриса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH – прямоугольный (∠H = 90˚). Угол ∠ACH = 60°, ∠CAH = 30°. По свойству прямоугольного треугольника: против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенуза, получим

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ С2.

ПРИМЕР 2.

В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 , все рёбра которой равны, точка К – середина В 1 С 1 . Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью В 1 КР, где точка Р – середина АА 1 .

Решение:

1 способ

1. Перенесем плоскость АВС в плоскость А 1 В 1 С 1 . Дополним плоскость В 1 КР до плоскости В 1 С 1 Р. Тогда вместо угла между плоскостями АВС и В 1 КР, будем искать угол между плоскостями А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р.

В 1 С 1 – общая прямая между плоскостями А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р. Для нахождения линейного угла двугранного угла проведем перпендикуляры к прямой В 1 С 1 в плоскостях А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р.

2. Треугольник В 1 С 1 Р – равнобедренный, т.к. РВ 1 =РС 1 (из равенства треугольников РА 1 В 1 и РА 1 С 1 (т.к. А 1 В 1 = А 1 С 1 , а Р 1 А – общий катет)).

Значит, РК – высота и медиана треугольника В 1 С 1 Р.

3. Треугольник А 1 В 1 С 1 – равносторонний (т.к. призма правильная).

Значит, А 1 К – высота и медиана треугольника А 1 В 1 С 1 .

4. – линейный угол двугранного угла А 1 В 1 С 1 Р.

Значит, – искомый угол.

5. Пусть А 1 С 1 = а.

Ответ: 30 о.

2 способ

1. Плоскость А 1 В 1 С 1 имеет уравнение y = 0 или 0x + 1y + 0z = 0.

2. Составим уравнение плоскости В 1 С 1 Р в отрезках.

Плоскость В 1 С 1 Р пересекает ось x в точке В 1 . То есть x = a.

А ось y она пересекает в точке Р. Значит, .

Ось z плоскость В 1 С 1 Р пересекает в точке Е. Значение z в точке Е найдём из треугольника А 1 В 1 Е.

Значит в точке Е.

Тогда уравнение плоскости В 1 С 1 Р в отрезках выглядит следующим образом:

3. Угол между плоскостями А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р (обозначим его ) найдём по формуле.

Угол между прямыми в призме. Для вас очередной материал – мы рассмотрим пару задач с призмами. Требуется определить угол между прямыми проходящими через указанные вершины призмы. Дело в том, что эти прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися.

Если вы с ними уже знакомы, то задачки решите сразу сходу после построения эскиза без всяких вычислений. Если нет, то посмотрите соответствующую теорию, можете посмотреть , материал подан достаточно наглядно.

Принцип прост – необходимо одну из прямых переместить до пересечения со второй параллельным переносом. Либо установить — имеется ли параллельная ей прямая в одной плоскости со второй прямой. Рассмотрим задачи:

316553. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и D 1 Е 1 . Ответ дайте в градусах.

Построим прямые, переместим параллельным переносом прямую D 1 Е 1 до пересечения с прямой AF. Полученная прямая будет проходить через DE:

Зная свойства правильного шестиугольника, а именно, то что углы при его вершинах равны 120 градусам, мы уже можем записать ответ. Угол между указанными прямыми равен 60 0 . Если посмотреть на призму сверху, то эскиз будет выглядеть так:

*Как видим, на самом деле, чему равна длина ребра не имеет значения.

316558. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 . Ответ дайте в градусах.

Построим указанные прямые и параллельным переносом «передвинем» прямую AA 1 до грани BCC 1 B 1 через которую проходит BC 1:

Так как в условии сказано, что все рёбра равны 3, то это значит что грань BCC 1 B 1 является квадратом. Прямая BC 1 является диагональю этого квадрата и она пересекает все прямые параллельные боковым рёбрам под углом 45 градусов. Наглядно это можно увидеть на проекции призмы:

*Небольшая оговорка. В обеих задачах мы перемещали прямые как бы «стягивая» их по соединяющему их перпендикуляру (обозначен красным пунктиром). Необязательно это делать именно так. Важно, чтобы одна из прямых была перемещена до пересечения с другой именно параллельным сдвигом. Во второй задаче это можно было сделать и так:

На этом закончим. Так что если встретите скрещивающиеся прямые на ЕГЭ в задаче кратким ответом, не пугайтесь, решаются они устно. Важно понимать, каким образом переместить прямую до пересечения с другой. А уж угол найти, как говорится, это дело техники.

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.