Самые интересные факты о золотом сечении. Что нужно знать о золотом сечении (4 фото). Искусство пространственных форм
Эта гармония поражает своими масштабами...
Здравствуйте, друзья!
Вы что-нибудь слышали о Божественной гармонии или Золотом сечении? Задумывались ли о том, почему нам что-то кажется идеальным и красивым, а что-то отталкивает?
Если нет, то вы удачно попали на эту статью, потому что в ней мы обсудим золотое сечение, узнаем что это такое, как оно выглядит в природе и в человеке. Поговорим о его принципах, узнаем что такое ряд Фибоначчи и многое многое другое, включая понятие золотой прямоугольник и золотая спираль.
Да, в статье много изображений, формул, как-никак, золотое сечение - это еще и математика. Но все описано достаточно простым языком, наглядно. А еще, в конце статьи, вы узнаете, почему все так любят котиков =)
Что такое золотое сечение?
Если по-простому, то золотое сечение - это определенное правило пропорции, которое создает гармонию ?. То есть, если мы не нарушаем правила этих пропорций, то у нас получается очень гармоничная композиция.
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому.
Но, кроме этого, золотое сечение - это математика: у него есть конкретная формула и конкретное число. Многие математики, вообще, считают его формулой божественной гармонии, и называют «асимметричной симметрией».
До наших современников золотое сечение дошло со времен Древней Греции, однако, бытует мнение, что сами греки уже подсмотрели золотое сечение у египтян. Потому что многие произведения искусства Древнего Египта четко построены по канонам этой пропорции.
Считается, что первым ввел понятие золотого сечения Пифагор. До наших дней дошли труды Евклида (он при помощи золотого сечения строил правильные пятиугольники, именно поэтому такой пятиугольник назван «золотым»), а число золотого сечения названо в честь древнегреческого архитектора Фидия. То есть, это у нас число «фи» (обозначается греческой буквой φ), и равно оно 1.6180339887498948482… Естественно, это значение округляют: φ = 1,618 или φ = 1,62, а в процентном соотношении золотое сечение выглядит, как 62% и 38%.
В чем же уникальность этой пропорции (а она, поверьте, есть)? Давайте для начала попробуем разобраться на примере отрезка. Итак, берем отрезок и делим его на неравные части таким образом, чтобы его меньшая часть относилась к большей, как большая ко всему целому. Понимаю, не очень пока ясно, что к чему, попробую проиллюстрировать наглядней на примере отрезков:
Итак, берем отрезок и делим его на два других, таким образом, чтобы меньший отрезок а, относился к большему отрезку b, так же, как и отрезок b относится к целому, то есть ко всей линии (a + b). Математически это выглядит так:
Этот правило работает бесконечно, вы можете делить отрезки сколь угодно долго. И, видите, как это просто. Главное один раз понять и все.
Но теперь рассмотрим более сложный пример, который попадается очень часто, так как золотое сечение еще представляют в виде золотого прямоугольника (соотношение сторон которого равно φ = 1,62). Это очень интересный прямоугольник: если от него «отрезать» квадрат, то мы снова получим золотой прямоугольник. И так бесконечно много раз. Смотрите:
Но математика не была бы математикой, если бы в ней не было формул. Так что, друзья, сейчас будет немножко «больно». Решение золотой пропорции спрятала под спойлер, очень много формул, но без них не хочу оставлять статью.
Ряд Фибоначчи и золотое сечение
Продолжаем творить и наблюдать за магией математики и золотого сечения. В средние века был такой товарищ - Фибоначчи (или Фибоначи, везде по-разному пишут). Любил математику и задачи, была у него и интересная задачка с размножением кроликов =) Но не в этом суть. Он открыл числовую последовательность, числа в ней так и зовутся «числа Фибоначчи».
Сама последовательность выглядит так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... и дальше до бесконечности.
Если словами, то последовательность Фибоначчи - это такая последовательность чисел, где каждое последующее число, равно сумме двух предыдущих.
Причем здесь золотое сечение? Сейчас увидите.
Спираль Фибоначчи
Чтобы увидеть и прочувствовать всю связь числового ряда Фибоначчи и золотого сечения, нужно снова взглянуть на формулы.
Иными словами, с 9-го члена последовательности Фибоначчи мы начинаем получать значения золотого сечения. И если визуализировать всю эту картину, то мы увидим, как последовательность Фибоначчи создает прямоугольники все ближе и ближе к золотому прямоугольнику. Вот такая вот связь.
Теперь поговорим о спирали Фибоначчи, ее еще называют «золотой спиралью».
Золотая спираль - логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ4, где φ - золотое сечение.
В общем и целом, с точки зрения математики, золотое сечение - идеальная пропорция. Но на этом ее чудеса только начинаются. Принципам золотого сечения подчинен почти весь мир, эту пропорцию создала сама природа. Даже эзотерики, и те, видят в ней числовую мощь. Но об этом точно не в этой статье будем говорить, поэтому, чтобы ничего не пропустить, можете подписаться на обновления сайта.
Золотое сечение в природе, человеке, искусстве
Прежде, чем мы начнем, хотелось бы уточнить ряд неточностей. Во-первых, само определение золотого сечения в данном контексте не совсем верно. Дело в том, что само понятие «сечение» - это термин геометрический, обозначающий всегда плоскость, но никак не последовательность чисел Фибоначчи.
И, во-вторых, числовой ряд и соотношение одного к другому, конечно, превратили в некий трафарет, который можно накладывать на все, что кажется подозрительным, и очень радоваться, когда есть совпадения, но все же, здравый смысл терять не стоит.
Однако, «все смешалось в нашем королевстве» и одно стало синонимом другого. Так что в общем и целом, смысл от этого не потерялся. А теперь к делу.
Вы удивитесь, но золотое сечение, точнее пропорции максимально приближенные к нему, можно увидеть практически везде, даже в зеркале. Не верите? Давайте с этого и начнем.
Знаете, когда я училась рисовать, то нам объясняли, как проще строить лицо человека, его тело и прочее. Все надо рассчитывать, относительно чего-то другого.
Все, абсолютно все пропорционально: кости, наши пальцы, ладони, расстояния на лице, расстояние вытянутых рук по отношению к телу и так далее. Но даже это не все, внутреннее строение нашего организма, даже оно, приравнивается или почти приравнивается к золотой формуле сечения. Вот какие расстояния и пропорции:
от плеч до макушки к размеру головы = 1:1.618
от пупка до макушки к отрезку от плеч до макушки = 1:1.618
от пупка до коленок и от коленок до ступней = 1:1.618
от подбородка до крайней точки верхней губы и от нее до носа = 1:1.618
Разве это не удивительно!? Гармония в чистом виде, как внутри, так и снаружи. И именно поэтому, на каком-то подсознательном что-ли уровне, некоторые люди не кажутся нам красивыми, даже если у них крепкое подтянутое тело, бархатная кожа, красивые волосы, глаза и прочее и все остальное. Но, все равно, малейшее нарушений пропорций тела, и внешность уже слегка «режет глаза».
Короче говоря, чем красивее кажется нам человек, тем ближе его пропорции к идеальным. И это, кстати, не только к человеческому телу можно отнести.
Золотое сечение в природе и ее явлениях
Классическим примером золотого сечения в природе является раковина моллюска Nautilus pompilius и аммонита. Но это далеко не все, есть еще много примеров:
в завитках человеческого уха мы можем увидеть золотую спираль;
ее же (или приближенную к ней) в спиралях, по которым закручиваются галактики;
и в молекуле ДНК;
по ряду Фибоначчи устроен центр подсолнуха, растут шишки, середина цветов, ананас и многие другие плоды.
Друзья, примеров настолько много, что я просто оставлю тут видеоролик (он чуть ниже), чтобы не перегружать текстом статью. Потому что, если эту тему копать, то можно углубиться в такие дебри: еще древние греки доказывали, что Вселенная и, вообще, все пространство, - спланировано по принципу золотого сечения.
Вы удивитесь, но эти правила можно отыскать даже в звуке. Смотрите:
Наивысшая точка звука, вызывающая боль и дискомфорт в наших ушах, равна 130 децибелам.
Делим пропорцией 130 на число золотого сечения φ = 1,62 и получаем 80 децибел - звук человеческого крика.
Продолжаем пропорционально делить и получаем, скажем так, нормальную громкость человеческой речи: 80 / φ = 50 децибел.
Ну, а последний звук, который получим благодаря формуле – приятный звук шепота = 2,618.
По данному принципу можно определить оптимально-комфортное, минимальное и максимальное число температуры, давления, влажности. Я не проверяла, и не знаю, насколько эта теория верна, но, согласитесь, звучит впечатляюще.
Абсолютно во всем живом и не живом можно прочесть высшую красоту и гармонию.
Главное, только не увлекаться этим, ведь если мы хотим что-то в чем-то увидеть, то увидим, даже если этого там нет. Вот я, например, обратила внимание на дизайн PS4 и увидела там золотое сечение =) Впрочем, эта консоль настолько классная, что не удивлюсь, если дизайнер, и правда, что-то там мудрил.
Золотое сечение в искусстве
Тоже очень большая и обширная тема, которую стоит рассмотреть отдельно. Тут лишь помечу несколько базовых моментов. Самое примечательное, что многие произведения искусства и архитектурные шедевры древности (и не только) сделаны, по принципам золотого сечения.
Египетские и пирамиды Майя, Нотр-дам де Пари, греческий Парфенон и так далее.
В музыкальных произведениях Моцарта, Шопена, Шуберта, Баха и прочих.
В живописи (там это наглядно видно): все самые знаменитые картины известных художников сделаны с учетом правил золотого сечения.
Эти принципы можно встретить и в стихах Пушкина, и в бюсте красавицы Нефертити.
Даже сейчас правила золотой пропорции используются, например, в фотографии. Ну, и конечно, во всем остальном искусстве, включая кинематограф и дизайн.
Золотые котики Фибоначчи
Ну и, наконец, о котиках! Вы задумывались о том, почему все так любят котеек? Они же ведь заполонили Интернет! Котики везде и это чудесно =)
А все дело в том, что кошки - идеальны! Не верите? Сейчас докажу вам это математически!
Видите? Тайна раскрыта! Котейки идеальны с точки зрения математики, природы и Вселенной =)
* Я шучу, конечно. Нет, кошки, действительно, идеальны) Но математически их никто не измерял, наверное.
На этом, в общем-то, все, друзья! Мы увидимся в следующих статьях. Удачи вам!
P. S. Изображения взяты с сайта medium.com.
Золотое сечение - это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве – во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая - ко всему целому. Приблизительная его величина – 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
ИСТОРИЯ
Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой дух.
Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Сейчас ряд Фибоначчи - это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.
Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего, именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.
Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.
ПРИРОДА
Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.
Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.
Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.
ЧЕЛОВЕК
Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек – это универсальная форма для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды.
В дневнике Леонардо да Винчи есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского человека» Леонардо, создал собственную шкалу «гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.
Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения это деление тела точкой пупа.
В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела – 8:5.
ИСКУССТВО ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ
Художник Василий Суриков говорил, «что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика». Долгое время художники следовали этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.
Искусствовед Ф.В.Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна, будь то камин, этажерка, кресло или сам поэт, строго вписаны в золотые пропорции.
Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон.
И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.
СЛОВО, ЗВУК И КИНОЛЕНТА
Формы временно?го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи – 5, 8, 13, 21, 34.
Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) – это и есть точка золотого сечения.
Советский музыковед Э.К.Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.
Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух – в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.
Фотография появилась в 1839 году, и изначально ее возможности использовались в качестве точной (документальной) фиксации какого-либо действия или объекта. Подумайте сами, какого было удивление людей, увидевших пейзаж, на котором прорисована каждая веточка и листочек, или дерево, на котором отчетливо видна фактура коры.
Да, наверное, если сравнивать картину и фотографию, то прорыв был колоссальным по тем временам.
Вскоре такие снимки стали обыденностью, а фотография начала перенимать художественные закономерности из других искусств.
– вот о чем я сегодня хочу рассказать.
Наверное, впервые это определение вы услышали в школе на уроке математики… Давайте перенесемся в прошлое – в школьный кабинет.
Вы сидите за партой и наблюдаете зеленую доску, на которой мелом нарисован отрезок.
Именно этот рисунок нам и поможет дать определение.
Золотое сечение – пропорциональное деление отрезка (С в нашем случае) на разные части, при котором весь отрезок (С) так относиться к большей части (В), как сама большая часть (В) относиться к меньшей (А).
Мозг начинает сопротивляться и думать, из школьного курса математики с трудом вспоминаются пропорции.
В пропорциях это будет выглядеть следующим образом.
В цифрах значение золотого сечения выглядит следующим образом
Если выразить значение в дробях, то это приблизительно 5/8.
Посмотрите видео, и все станет понятней
Давайте еще повспоминаем школьный курс математики.
Тот же отрезок в дробях можно представить следующим образом
Принцип золотого сечения в фотографии
Наверное не раз в фотоаппаратах (как в зеркальных, так и в компактных камерах) вы видели сетку, в которой применяется правило золотого сечения :
Принцип золотого сечения в фотографии
В фотографии чаще используется упрощенное правило золотого сечения – .
Похожие рамки вы могли видеть при кадрировании своих фотографий в Adobe LightRoom.
Этот прямоугольник построен по принципу золотого сечения (этот термин, кстати, ввел Леонардо да Винчи).
Выберем за единицу длины сторону А, сторона В будет 0,618*А, ну а размеры сетки вы можете увидеть на рисунке.
Принцип золотого сечения в фотографии
Один из самых простых способов использовать правило золотого сечения – применение правила трех третей.
Согласно нему, кадр делится на три части по горизонтали и по вертикали, в результате получается девять секторов. Значимые точки и линии кадра располагаются на расстоянии 3/8 от края кадра (в упрощенном варианте, когда сектора равны – на расстоянии 1/3).
Правило золотого сечения в фотографии применяется следующим образом:
если присутствует очевидный центр (одиноко стоящее дерево, дом, солнце на горизонте, роза на столе), вам нужно расположить его на одной из четырех точек пересечения решетки. Располагая объекты таким образом, вы получите наиболее выигрышную композицию.
Правило золотого сечения
4. Правило золотого сечения присуще шедеврам русской архитектуры.
И. Шевелев, изучая архитектуру церкви Покрова на Нерли, выяснил, что в ней проявляется пропорция 2: ?5, представляющая собой отношение большей стороны к диагонали прямоугольника с отношением сторон 1:2.
Правило золотого сечения
Правило золотого сечения обнаружено и в архитектуре церкви Вознесения в Коломенском.
Правило золотого сечения
В основу сооружения положен прямоугольник со сторонами 1 и?5 – 1, состоящий из двух прямоугольников золотого сечения.
Не менее известная закономерность русских церквей – число куполов.
Новгородский Софийский собор имеет 13 куполов.
Правило золотого сечения
Источник
В других храмах прослеживается последовательность, совпадающие с рядом чисел Фибоначчи (1,2,3,5,8,13,21).
Случайно ли такое совпадение?
5. Правило золотого сечения не обошло и скульптуру.
Всем известная статуя Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делиться пупочной линией в золотом сечении.
Правило золотого сечения
6. Живопись.
Знаменитую Джоконду из творчества Леонардо да Винчи нельзя упустить из виду: композиция картины основана на золотых треугольниках, являющимися частями правильного звездчатого пятиугольника.
Правило золотого сечения
Правило золотого сечения просматривается и в картине И.И. Шишкина “Сосновая роща”
Правило золотого сечения
Сосна стоящая на переднем плане, ярко освещенная солнцем, делит картину по золотому сечению. Справа от сосны пригорок – он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонту…
Следующая картина была начата Рафаэлем 1509 – 1510 годах, но не была закончена, его эскиз был гравирован Маркантинио Раймонди, на его основе он создал гравюру “Избиение младенцев” – эта работа основана по правилу золотой спирали.
Правило золотого сечения
7. Правило золотого сечения в природе.
Удивительно, но оно регулярно встречается в природе:
По спирали закручивается ураган, в расположении семян подсолнечника, шишек сосны, проявляется ряд Фибонначи и, следовательно, оно также работает.
Все наверное неоднократно видели улиток и их спиралевидную раковину.
Правило золотого сечения
Всем известная двойная спираль ДНК.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
Определение
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина – 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой дух. Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Сейчас ряд Фибоначчи это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях. Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении. Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.
Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть. Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали. Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.
Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек – это универсальная форма для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды. В дневнике Леонардо да Винчи есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского человека» Леонардо, создал собственную шкалу «гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику архитектуры XX века. Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения это деление тела точкой пупа. В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела – 8:5.
Искусство пространственных форм
Художник Василий Суриков говорил, «что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика». Долгое время художники следователи этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль. Искусствовед Ф. В. Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна будь-то камин, этажерка, кресло или сам поэт строго вписаны в золотые пропорции. Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон. И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение. Слово, звук и кинолента Формы временно̀го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи – 5, 8, 13, 21, 34. Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) – это и есть точка золотого сечения. Советский музыковед Э. К. Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение. Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух – в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.
. ИМЯ, ДАННОЕ ПО ОШИБКЕвсё о золотом сечении
Числа правят миром.
Пифагор
Числа не управляют миром,
но показывают, как управляется мир.
Гёте
П ойдем к неизвестному от известного, а путь начнем прямо с середины. Только не простой, а золотой.
Золотое сечение («Божественная пропорция», если верить теоретикам времен Возрождения), – пожалуй, самый знаменитый из математических феноменов. Но заговори о золотой пропорции с математиком, и он посмотрит на тебя как на изобретателя вечного двигателя, охотника за НЛО или снежным человеком. Ну а как еще относиться к тому, кто и в XXI веке ищет философский камень, обращающий простой металл в золото ?
Для математика в золотом сечении ни тайны, ни загадки: всего лишь решение простенького квадратного уравнения
x 2 – x – 1 = 0
А можно и проще: золотое сечение – среднеарифметическое √5 и 1.
√5 + 1
–––––= Ф = 1, 618…
Однако при этом
√5 – 11
–––––= –––– = 0,618…
2Ф
Золотое число и обратное ему отличаются на единицу. Так что основных золотых чисел, строго говоря, – два: Ф и 1/Ф: у множая на Ф , или деля на 1/Ф , получишь один и тот же результат.
Но математик не для того грыз гранит науки, чтобы тешиться нехитрыми перевертышами, или ломать зубы о философский камень, даже если это камень гармонии.
Для него золотое сечение – ни два, ни полтора .
А оно и впрямь 1,618 0339887498948482045868...
П ервое упоминание о принципе золотого сечения находим в «Началах» Евклида.
Около 400 г. до н. э. великий александрийский геометр записал удивительное наблюдение:
При среднепропорциональном делении отрезка относительно его краев весь отрезок относится к бóльшей своей части, как бóльшая к меньшей .
Речь о делении отрезка относительно его центра и краев.В общеупотребимом переводе на условный русский – деление отрезка в среднем и крайнем отношении .
Итак, золотая пропорция – точка геометрического равновесия в отношении и целого с его частями, и самих частей. А, следовательно, и некая константа, идеальная для развития объекта, системы или процесса.
СПРАВКА:
О золотом делении упоминает Платон (около 360 года до н. э.). Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора. В частности, есть здесь и такое рассуждение:
«Два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая с их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел – как кубических, так и квадратных – при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство».
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. Однако термин «золотое сечение» (goldener Schnitt ) введён лишь в 1835 году немецким математиком и Мартином Омом (1792–1872). (Он был младшим братом знаменитого физика Георгия Ома.) Термин появился во втором издании учебника Мартина Ома . В 1854 году в капитальном исследовании о пропорциях человеческого тела тем же термином воспользовался физиолог Адольф Цейзинг . Символ φ (греческая буква “ phi ”) для обозначения золотого числа 1,618… впервые использовал в начале XX века американский математик Марк Барр. Сделано это было в память и честь античного скульптора Фидия, под чьим руководством возводился Парфенон.
И хотя считается, что Леонардо да Винчи делал иллюстрации к трактату Луки Пачоли «Божественная пропорция» (это как раз о золотом сечении), упоминаний об использовании им золотого сечения не обнаружено.
У золотой пропорции две формулы и два числа – мажорное (Ф ) и обратное первому – минорное (Ф 1 ):
Ф = (√5 + 1) : 2 = 1,618...
Ф 1 = 1: Ф = (√5 – 1) : 2 = 0,618...
И если Ф – решение квадратного уравнение x 2 – x – 1 = 0,
то Ф 1 – решение уравнения x 2 + x – 1 = 0 .
Умножая на число мажорного золота (Ф ), или деля на минорное золото (1: Ф ), мы получим одинаковый результат. Следовательно, Ф 1 – число, обратное Ф . и При этом не существует других чисел, которые были бы больше своего обратного ровно на единицу. И как мажорное золото на единицу больше минорного, квадрат мажорного золота на единицу больше его самого:
Ф 2 = (√5 + 3) : 2 = 2,618...
Прогрессия вида 1, Ф , Ф 2 ... Ф n – не только геометрическая, это еще и арифметический ряд, в котором каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:
Ф 2 = 1 + Ф
Ф 3 = Ф 2 + Ф
Ф 4 = Ф 3 + Ф 2
Ф 5 = Ф 4 + Ф 3
. . . . . . . . . . .
В наши дни феномен золотого сечения окружен плотным и почти непроницаемым для взгляда дилетанта облаком из паранаучных спекуляций, – начиная с мифа о том, что золотой эту пропорцию назвал Леонардо да Винчи, и заканчивая мифическими целебными свойствами построенных по «золоту» пирамид. (Однако это тема для другого разговора и отдельного исследования.)
Математическое и философское изучение «золотых» свойств продолжается уже без малого пять тысячелетий. Древнейший дошедший до наших дней «золотой» древнеегипетский памятник – гробница зодчего Хесира в Саккаре (XXVIII или XXVII век до н. э.), которую можно назвать Академией архитектурного канона, ведь здесь, в нишах галереи стояли деревянные панно с геометрическими иллюстрациями к не дошедшему до нас трактату Имхотепа об архитектуре (сейчас они хранятся в Египетском музее), и, судя по всему, Хесира (Посвященный богу Ра), это – сакральное имя самого строителя первой ступенчатой пирамиды Джосера, легендарного зодчего Имхотепа.
В плане мавзолей Хесира имеет золотую пропорцию (на что, впрочем, до сих пор внимание исследователей не обращалось).
Однако только за последние восемь веков были сделаны несколько фундаментальных открытий, значение и последствия которых, как мне представляется, до сих пор должным образом не осмыслены.
П осле выхода в 2003 г. романа Дэна Брауна «Код да Винчи» престиж всенародного золотоискательства заметно повысился. Это при том, что русском переводе романа можно прочитать буквально следующее:
– «Все растения, животные и даже человеческие существа наделены физическими пропорциями, приблизительно равными корню от соотношения числа PHI к 1». (Ладно, пусть число Фи недопереведено и названо PHI, но откуда здесь корень, когда речь о самом Ф , то есть о 1,618...?)
– «Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки», а «соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру следующей равно PHI». (Это на сколько же семечки одной спирали должны отстоять от ряда семечек смежной спирали? На самом деле речь должна идти о пропорции числа спиралей, разворачивающихся по часовой стрелке и против нее).
– «Измерьте расстояние от макушки до пола. Затем разделите на свой рост...» и получите, мол, Фи. (Да не Фи, а единицу, поскольку рост – это и есть расстояние от макушки до пола.)
Виноват не Браун (столь примитивных глупостей в английском тексте нет), а его русский переводчик. Но утверждение о том, «Витрувианский человек» Леонардо да Винчи (знаменитый рисунок Леонардо, где человек вписан в квадрат и круг) назначен иллюстрировать Фи-пропорции человеческого тела, – явно на совести автора оригинала, потому что никаких Фи-пропорций в этом рисунке нет, хотя и это заблуждение и кочует из одного золотого опуса в другой (и той же поддельной пробы).
Поясню: античный теоретик архитектуры Витрувий в начале третей своей книги пишет, что культовые здания должны иметь пропорции человека. И добавляет, что человеческое тело есть модель пропорций, поскольку, если человек раскинет руки и ноги, то фигура вписывается в совершенные геометрические фигуры: квадрат и круг.
Увы, не вписывается. Для этого достаточно (вслед за архитектором Игорем Шмелевым) измерить длину ног от шейки бедра (фактически от тазобедренного сустава) до стопы. И оказывается, что длина раскинутых ног Витрувианского человека короче первой пары его собственных ног почти на 1/10.
То есть, если человеческое тело и вписывается в круг, то до верха этого круга можно достать, только очень сильно подпрыгнув.
В иллюстрации Леонардо к Витрувию золотого сечения нет не потому, что пупок находится на высоте 1,64 (а не 1,62) от роста, а потому, что вся логика построения тела по Витрувию исключает золотую пропорцию. Пупок на рисунке – только центр круга, а в основе чертежа квадрат, и только он. Об этом говорят прямые горизонтальные и вертикальные штрихи, которыми Леонардо разделил руки, ноги, и тело человека: ноги – половина роста, половина от длины ног – их заколенный сгиб. Руки также сгибаются по половине длины (а длина кисти руки – 1/10 от роста).
Само тело, впрочем, поделено на три части (голова с шеей до уровня плечевого сустава; от плечевого сустава до низа ребер; от низа ребер до низа лобка).
Верхнюю точку круга Леонардо получил, прибавив к точке плечевого сустава длину руки. А потом нашел середину и сделал ее пупком.
Витрувианский человек. Рисунок Леонардо да Винчи.
Центр круга – пупок, центр квадрата – низ лобка.
Тело вписано прямоугольник,
короткая сторона которого равна в ¼ большого квадрата.
По вертикали ¼ большого квадрата дает следующие отметки:
низ груди, лобок, сгиб ног.
Пупок не на высоте золотого сечения (Н: 1,62),
а на высоте, полученной из логики членения квадрата (Н: 1,64).
Леонардо не был витрувианцем. Свое графическое рассуждение он предваряет словами: «Витрувий, архитектор, полагает…» И никаких свидетельств о сознательном использовании этим гением Возрождения золотого сечения и даже об интересе его к золотому сечению нет.
СПРАВКА:
В эпоху Возрождения (с конца 14 до середины 16 столетия) художники и ученые пытались объяснить и описать красоту в более научных терминах. Альбрехт Дюрер пытался применить математические принципы к построению идеальной женской фигуры. В результате получилась непропорциональная и совсем не красивая фигура. Тогда Дюрер в своих попытках описания красоты обратился к природе и написал четыре книги о пропорциях человеческого тела. В конце концов, Дюрер пришел к заключению, что там, где речь идет о формах, на Земле нет никого, кто мог бы судить о том, что такое абсолютно самое прекрасное.
ЕЩЕ СПРАВКА:
Альбрехт Дюрер (Albrecht Durer). Теоретик искусства. Автор трудов: «Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки» (Нюрнберг, 1525); «Четыре книги о пропорциях человека» (Нюрнберг , 1528 ).
Классик немецкого Возрождения, Альбрехт Дюрер (1471-1528) работая над гравюрой "Немезида или Большая Фортуна" (Ок. 1501) применил принципы пропорционирования Витрувия. Согласно исследованию Эрвина Панофского (1892-1968), признанного корифея европейского искусствоведения, в изображённой фигуре даже размер большого пальца согласуется с Витрувием. Но результат оказался очень далёк от классического идеала и не производил желаемого впечатления, в том числе и на самого Дюрера. В дальнейшем своём творчестве Альбрехт Дюрер от услуг Витрувия отказался, но им самим был написан трактат альтернативный труду Витрувия, полное название которого звучит так: "Здесь заключены четыре книги о пропорциях человеческого тела, найденных и описанных Альбрехтом Дюрером из Нюрнберга на пользу всем любящим таковую науку". В начале трактата Дюрер, критически осмысливший наследие Витрувия, заявляет: "…только совсем слабый разум не верит, что он может найти нечто новое, но держится всегда старого пути, следуя за другими и никогда не осмеливаясь самостоятельно думать". Дерзость у Дюрера сочетается со скромною, о которой он напоминает людям говоря: "Нет также на земле человека, который мог бы окончательно сказать, какою должна быть прекраснейшая человеческая фигура. Никто не знает этого, кроме одного Бога".
Дюрер потерпел поражение: попытка реконструировать человеческую фигуру с помощью математики не удалась.
Б ольшинство золотоносных мифов связано с тем, что названо пирамидоманией (этим заболеванием, как полагает директор Каирского музея и главный хранитель всех египетских древностей доктор Захи Хавасс, обычно страдают пирамидиоты ).
В интернете можно найти множество утверждений типа «Пирамида с пропорциями золотого сечения – это генератор жизни и средство гармонизации нашей Среды Обитания». Вот и строители российских «золотых пирамид» (не финансовых, а вполне материальных – из бетона и алюминия) объявили, что вблизи их детищ затягиваются озоновые дыры и снижается уровень правонарушений, а вес предметов изменяется в два раза.
Фригийского царя Мидаса Дионис наградил роковым даром: к чему бы царь ни прикасался, все обращалось в золото. (По другому варианту предания Аполлон одарил Мидаса ослиными ушами.) Все, к чему прикасаются потомки Мидаса, с помощью тех или иных математических преобразований обращается в пропорциональное золото. И сегодняшняя золотая лихорадка уже напоминает ту, что описана Алексеем Толстым в «Гиперболоиде инженера Гарина»: если золота больше, чем грязи, то оно само обращается в грязь.
Почему же тогда и сегодня отнюдь не все математики относятся к этому золоту, как к грязи?
Что бы ни утверждали скептики (см. статьи А. В. Радзюкевича, Е. Г. Назимко, В. С. Белянина на сайте новосибирских архтитекторов), мы можем показать, что исследование и осознанное использование золотой пропорции продолжается уже несколько тысячелетий, и извлеченную из √5гармонию прямых отрезков в XXVIII веке до н. э. изучал еще строитель первой большой египетской пирамиды зодчий Хесира. Впрочем, разговор о египетских пирамидах, Парфеноне и древнерусских храмах у нас впереди (см. 2–4 главы этой книжки), а потому не будем комкать сюжет беглым пересказом.
Говоря об использовании золотого сечения в античности, первым делом обычно ссылаются на то, что возведенный Поликтетом-младшим амфитеатр в Эпидавре вмещал 15 тысяч человек. В первом ярусе было 34 ряда, во втором 21 ряд (34: 21 = 1,62). А театральное пространство (окружность основания амфитеатра) поделено в отношении 222,5° к 137,5° (1,618...). Современный исследователь утверждает, что это соотношение углов реализовано в большинстве античных театров . Но брать это на веру это утверждение не стоит: нужны реальные обмеры и конкретные чертежи, а они, увы, не всегда доступны даже специалисту.
Сегодня золотое сечение находят в многообразии природных форм , в архитектуре, живописи и музыке , в творениях словесности . О нем написаны тысячи работ (пусть и разного достоинства). Тем более странно, что золотое сечение все равно остается загадкой – вроде как перо из хвоста Жар-птицы в руках Дурака.
Горит несамоварным огнем, переливается всеми цветами радуги...
Но где же сама птица?
Известно, что построить пропорцию золотого сечения можно с помощью линейки и циркуля. Разделим квадрат по горизонтали пополам. Проведем диагональ полуквадрата и, приняв ее за радиус, перенесем на вертикаль. Полученный прямоугольник будет прямоугольником золотого сечения
В прямоугольнике со сторонами 1 и 2 (его называют или полуквадратом, или двойным квадратом) диагональ равна √5. Если к этой величине прибавить единицу и полученный отрезок разделить пополам, то мы получим мажорное золото. Если же единицу отнять и остаток разделить на два, то золото будет минорным.
При этом надо помнить, что:
Части относятся друг к другу по удвоенному минорному золоту, когда они получены путем разделения целого на √5.
В эпоху Возрождения золотое сечение именовали «Божественной пропорцией» (Section Divine ). Принято за установленный факт, что золотым сечением (Sectio aurea ) эту пропорцию» назвал Леонардо да Винчи. При этом ссылаются на изданный в Венеции в 1509 г. трактат Луки Пачоли, посвященный свойствам плоских и пространственных фигур. Но этот труд основателя начертательной геометрии называется «De Divina Proportione» («О божественной пропорции»), и ни о каком «золоте» в нем не говорится.Иллюстрации к сочинению Пачоли, как полагают (и, вероятно, справедливо, поскольку есть свидетельство самого Пачоли), делал Леонардо да Винчи. Но собственных высказываний Леонардо на данную тему мы не знаем, что бы ни декларировал по этому поводу современный белорусский философ Эдуард Сороко .
Считают доказанным, что во многих своих произведениях Леонардо да Винчи использовал пропорции золотого сечения (в частности, их находят и «Тайной вечере», «Джоконде»). Но тут сторонники золотого сечения противоречат сами себе: если оно и впрямь – универсальный закон, то наличие его в некоем творении человеческого гения вовсе не свидетельствует о сознательном его использовании.
Термин «золотое сечение» появился лишь в 1835 году. Скорее всего, это просто ошибка памяти Мартина Ома, неточное цитирование им цветистой формулы Иоганна Кеплера (1571–1630) , который писал: «У геометрии два сокровища: одно – теорема Пифагора, другое – деление отрезка всреднепропорциональном отношении. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем».
По Кеплеру золотая пропорция должна бы называться изумрудной или сапфировой. Но поскольку самый драгоценный из камней, конечно, – философский, слов «драгоценный камень» и «мера золота» оказалось достаточным, чтобы через три столетия воспетое Кеплером сечение вполне алхимическим образом обратилось в золотое.
Лука Пачоли утверждал: «...наша пропорцияне может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной».
Из этого делают вывод, что итальянский математик нашел лишь некое приближение к золотой пропорции.
Но это ошибка.
ЗАМЕТКИ НА ПОЛЯХ
Пачоли предлагал такие формулы:
√125 – 5
–––––––
15 – √125
√180 – 6
––––––––
18 – √180
Но можно было бы обойтись и вариантом с подставленными под радикалы двузначными числами:
√20 – 2
–––––––
6 – √20
Ведь все это сводятся к записи:
√5 – 1
–––––
3 – √5
А, домножив числитель и знаменатель на (√5 + 1) : (√5 – 1) ,получим классическую запись золотого сечения:
√5 + 1
––––– = 1,618...
Лука Пачоли, видимо, не мог не понимать, к чему сводятся предложенные им равенства. Зачем же он скрыл базовую формулу и ввел потомков в искус высокомерного отношения к собственной персоне? Вряд ли найдем другое объяснение, кроме того, что De Divina Proportione для итальянского математика и впрямь была Божественной, и, потому, надо думать, на ее формулу распространялось правило не поминать имя Господа всуе. Пачоли писал: «...подобно тому, как Бог не может быть ни определен, ни словом разъяснен, наша пропорция не может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной ».
Пачоли полагал, что Божественная пропорция символизирует Троицу (Бог Отец – целый отрезок, Сын – бóльший, Дух – меньший). И смиренно оставлял следующим за ним право самостоятельно сделать столь, казалось бы, легкий и естественный шаг и самим прийти к открытию той Тайны, которая так потрясла все его существо и к которой он подвел своего читателя практически вплотную.
П ервые работы, специально посвященные золотому сечению, вышли в конце XVIII столетия. А в серединеXIX века немецкий профессор издал Адольф Цейзинг капитальное «Новое учение о пропорциях тела человека, из остающихся до сих пор непознанных морфологических основ, пронизывающих всю природу и искусство» . В 1855 г. труд Цейзинга был переиздан под названием «Эстетические исследования».
Цейзинг считал, что все в мире можно объяснить золотой пропорцией и рассматривал ее в качестве основного морфологического закона природы и искусства. Он сам сделал тысячи обмеров и показал, что этот закон работает и в пропорциях тела человека и в телах «красивых животных». Немецкий физиолог Густав Фехнер попытался обосновать выводы Цейзинга и обнаружил связь психофизических особенностей восприятия человека и «золотыми» формами вещей . Процитирую из работы Евгения Скляревского: «Фехнер измерил отношения сторон у тысяч окон, картинных рам, игральных карт, книг и других прямоугольных предметов, проверил, в каком отношении поперечные перекладины могильных крестов на кладбищах делят вертикальные основания, и обнаружил, что в большинстве случаев полученные им числа мало отличаются от золотых пропорций. Фехнер разработал целый ряд остроумных тестов, в которых испытываемому предлагалось выбрать «милый его сердцу» прямоугольник из большого набора прямоугольников с различными соотношениями сторон, нарисовать самый «приятный» многоугольник, выбрать место перекладины и т.д. Многократно проведенные опыты показали, что испытуемые отдают предпочтение отношениям, близким к Ф».
В 1958 г. в Англии по методу Фехнер а был поставлен опыт: из набора прямоугольников испытуемым предлагалось выбрать те, которые они сочтут самыми красивыми. И большинство (35%) указали на золотой прямоугольник, со сторонами 34:21. (Интересно, что тот же опыт, дал совершенно иные результаты в детской аудитории, из чего делается вывод, что у ребенка совсем иные представление о красивом и гармоничном.)
Выражение «золотая середина» – это не о середине, а о золотой пропорции.
А мериканец Марк Барр, век назад предложивший обозначать число 1,618… греческой буквой Фи, попал в яблочко. (В XXI веке говорим Фидий – подразумеваем Фибоначчи.) В первой половине XX века, изучая числа Фибоначчи, к неожиданным открытиям приходят голландский математик Абрахам Витгоф, автор теории «игры Витгофа», впервые описанной им в 1905 г., и бельгийскй математик Эдуард Цекендорф. В 1939 г. Цекендорф опубликовал статью, в которой доказал теорему о том, что каждое положительное целое число имеет единственное представление в виде суммы чисел Фибоначчи, в которой два соседних числа Фибоначчи не используются (пример: 30 = 21 + 8 + 1).
В 1957 г. двенадцатилетний (так! – А. Ч. ) американский математик Джордж Бергман в журнале «Mathematics Magazine» опубликовал статью «Система счисления с иррациональны основанием» , в которой предложил в качестве основания системы счисления использовать золотое число 1,618.... Поскольку, возведенная в степень n , золотая пропорция может быть выражена в виде суммы двух предыдущих степеней, то система Бергмана позволяет делать коррекцию ошибок в аналого-цифровых преобразователях и приводит самосинхронизация кодовых последовательностей при передаче сигнала по каналу связи. (Ныне вчерашний вундеркинд – маститый профессор кафедры математики в Калифорнийском университете, автор двух математических книг, написанных, впрочем, в соавторстве.)
В1963 г. по инициативе американского математика Вернера Хоггатаи ученого монаха Альфреда Бруссау в США была создана математическая Фибоначчи-Ассоциация («The Fibonacci Quarterly»), которая ежеквартально издает математический журнал The Fibonacci Quarterly. В 1969 г. издательство «Houghton Mifflin» выпустило книгу Вернера Хоггата «Числа Фибоначчм и Люка» (Fibonacci and Lucas Numbers» . А Бруссау был не только монахом, но и фанатичным фотографом: он оставил человечеству снимки двадцати тысяч дикорастущих растений Калифорнии.
В 1969 г., опираясь теорему Цекендорфа , работы американского математика Джулии Робинзон и еще одну теорему, доказанную в 1942 г. советским математиком Николаем Воробьевым , двадцатидвухлетний студент матмеха Ленинградского университета Юрий Матиясевич нашел решение знаменитой в среде математиков 10-й проблемы Гильберта (задача о разрешении Диафантовых уравнений).
В последней трети XX столетия идеи Бергмана и Брусенцова развивает завкафедрой информатики Винницкого государственного аграрного университета А. П. Стахов (с 2004 г. живет в Канаде) .
В 1990 г. сотрудником фирмы IBM французский исследователь Жан Перез (Jean-Claude Perez) открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований Т, С, А, G внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК представляет собой пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи.
Исследователь назвал это «ДНК SUPRA-кодом» . А. П. Стахов пишет по этому поводу:
«Рассмотрим любой отрезок генетического кода, состоящий из базисов типа Т, С, А, G , и пусть длина этого отрезка равна числу Фибоначчи, например, 144. Если число оснований типа Т в рассматриваемом отрезке ДНК равно 55 (число Фибоначчи) и суммарное число оснований типа А, С и G равно 89 (число Фибоначчи), то рассматриваемый отрезок генетического кода образует резонанс , то есть, резонанс есть пропорция между тремя соседними числами Фибоначчи (55-89-144). Открытие состоит в том, что каждая ДНК образует множество резонансов рассмотренного вида, то есть, как правило, отрезки генетического кода длиной, равной числу Фибоначчи F n , разбиваются золотым сечением на множество оснований типа Т (число которых в рассматриваемом отрезке генетического кода равно F n- 2) и суммарное множество остальных оснований (число которых равно F n- 1). Если произвести систематическое исследование всех возможных «фибоначчиевых» отрезков генетического кода, тогда получим некоторое множество резонансов , называемое SUPRA-кодом ДНК . Начиная с 1990 г., указанная закономерность была многократно проверена и подтверждена многими выдающимися биологами, в частности профессорами Montagnier and Chermann, исследовавшими ДНК вируса СПИДа» .
Позволим себе еще одну цитату:
«В настоящее время числа Фибоначчи усиленно изучаются бизнесменами и экономистами. Замечено, что волны, описывающие колебания котировок ценных бумаг, являются огибающими маленьких волн, те, в свою очередь, еще более мелких, а количество мелких колебаний в периоде более крупного соответствует ряду Фибоначчи. Впервые это предложил инженер Ральф Hельсон Эллиотт. После серьезной болезни в начале 1930-х он занялся анализом биржевых цен, особенно индекса Доу-Джонса. После ряда весьма успешных предсказаний Эллиотт опубликовал в 1939 году серию статей в журнале Financial World Magazine. В них впервые была представлена его точка зрения, что движения индекса Доу-Джонса подчиняются определенным ритмам. Согласно Эллиотту, все эти движения следуют тому же закону, что и приливы – за приливом следует отлив, за действием (акцией) следует противодействие (реакция). Эта схема не зависит от времени, поскольку структура рынка, взятого как единое целое, остается неизменной. Он писал: "Любoй человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, – и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи”. Если вы разберетесь с числами Фибоначчи и волнами Эллиота, то можете разбогатеть, играя на бирже ценных бумаг» .
По Эллиоту закон волн – это модель развития и упадка, и соотношения между волнами базируются на числах, полученных из ряда Фибоначчи и, в частности, на золотом сечении.
В книге «Закон природы – секрет Вселенной», вышедшей в 1946 году, Ральф Нельсон Эллиот утверждает, что его теория охватывает не только поведение фондовых индексов, но и более общие законы природы, управляющие деятельностью человеческого общества .
Эллиот сводит развитие общества к десятку типов моделей движения («волн»), повторяющихся по форме, но не по времени или амплитуде. Согласно теории Эллиота, движение происходит по «старому доброму принципу» три шага вперед два шага назад и волны разделяются на импульсные (вперед) и корректирующие (назад). Базисной является пятиволновая модель, все остальные могут быть выделены из нее.
Но почему тогда волны Эллиота располагаются где-то на маргинальной периферии экономической науки?Известно, что «девять из десяти трейдеров отказываются от применения волн Эллиота, утверждая, что он никогда не срабатывает». Подсчитано, что около 65% анализа по волнам Эллиота состоит из столь запутанных правил, что десять аналитиков дадут десять разных прогнозов. Вот и заголовок интернетовской статьи экономиста Константина Царихина звучит на удивление знакомо: «Сеанс волновой магии с ее полным разоблачением ».
Царихин пишет:
«Автор настоящей статьи не согрешит против правды, если скажет, что любой аналитик, проработавший на рынке более-менее продолжительное время, может подобрать «на заказ» огромное количество графиков с практически любым волновым рисунком. Практика, таким образом, выносит свой вердикт, который, возможно, и огорчит особо рьяных приверженцев теории Эллиота. Этот вердикт звучит так: частный случай. Лягушка, раздувшаяся до размеров быка, увы, лопнула. Чтобы предсказать будущее надо … Трудно сказать, что для этого надо сделать, но уж точно можно сказать, что разбивать график на волны не надо. Все равно это уведет исследователя в сторону» .
Как заметил аналитик «Альфа-банка» Владимир Кравчук: «...оптимизированные технические инструменты, хорошо работающие в прошлом, могут плохо работать или вовсе не работать в будущем».
