Правописание с двумя нн. Правописание суффиксов. Одна или две Н могут писаться и в наречиях

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , ∠A = ∠A 1 , ∠B = ∠B 1 (рис. 68). Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

Рис. 68

Наложим треугольник АВС на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , сторона АВ - с равной ей стороной AjBj, и вершины С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1 .

Так как ∠A = ∠A 1 и ∠B = ∠B 1 , то сторона АС, наложится на луч А 1 С 1 , а сторона ВС - на луч В 1 С 1 . Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А 1 С 1 , так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С 1 . Значит, совместятся стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 .

Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1 , СА = С 1 А 1 (рис. 69).

Рис. 69

Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 . Приложим треугольник АВС к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В - с вершйной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 B 1 (рис. 70).

Рис. 70

Возможны три случая: луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, а); луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 70, б); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны АС и А 1 С 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные (см. рис. 70, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Итак, АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1 , ∠C = ∠C 1 .

Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура . Поясним, что это означает.

Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздём (рис. 71, а). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 71, б).

Рис. 71

Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Это свойство - жёсткость треугольника - широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же принцип используется при установке кронштейна (рис. 72, б).

Рис. 72

Задачи

121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC.

а) Докажите, что Δ СВО = Δ DAO;
б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, AD = 15 см.

122. На рисунке 53 (см. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Докажите, что Δ АВС = Δ CDA;
б) найдите АВ и ВС, если АО =19 см, CD = 11 см.

123. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла - точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

124. По данным рисунка 73 докажите, что ОР = ОТ, ∠P = ∠T.

Рис. 73

125. На рисунке 74 ∠DAC = ∠DBC, АО = ВО. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.

Рис. 74

126. На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС =13 см. Найдите BD.

127. В треугольниках АВС и А 1 B 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , ВС = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 . На сторонах АВ и A 1 B 1 отмечены точки D и D 1 так, что ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Докажите, что Δ BCD = Δ B 1 C 1 D 1 .

128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

129. Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АС, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что Δ ВОА = Δ DOC.

130. В треугольниках АВС и A 1 В 1 С 1 отрезки СО и С 1 О 1 - медианы, BC = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 и ∠C = ∠C 1 . Докажите, что:

а) Δ АСО = Δ А 1 С 1 О 1 ;
б) Δ ВСO = Δ В 1 С 1 O.

131. В треугольниках DEF и MNP EF - NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N - в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN - равнобедренный.

133. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник - равнобедренный.

134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

136. На рисунке 52 (см. с. 31) АВ-АС, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.

137. На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D.

138. На рисунке 75 AB = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.

Рис. 75

139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE - биссектриса угла ABC, a DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что:

а) ∠ABE = ∠ADF;
б) Δ АВЕ = Δ CDF.

Рис. 76

140. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 медианы ВМ и В 1 М 1 равны, АВ = А 1 В 1 АС = А 1 С 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

141. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 отрезки AD и A 1 D 1 - биссектрисы, АВ = А 1 В 1 , BD = B 1 D 1 и AD = A 1 D 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

142. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Ответы к задачам

121. б) ВС = 15 см, СО = 13 см.

122. б) АВ = 11 см, ВС =19см.

142. Указание. Рассмотреть два случая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО.

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - Геометрия 7 класс (Атанасян Л. С.)

Краткое описание:

В этом параграфе вы познакомитесь со вторым и третьим признаками равенства треугольников. Чем же они отличаются от первого?
Суть сравнения треугольников по признакам равенства та же. Достаточно рассмотреть лишь некоторые элементы двух треугольников, чтобы сделать вывод об их равенстве.
И такими элементами по второму признаку являются одна сторона и два угла, прилежащих к ней. Для сравнения треугольников по третьему признаку нужно доказать равенство трех сторон одного треугольника соответственно трем сторонам другого треугольника.
Получается, что по трем элементам треугольника можно судить обо всех остальных его элементах. Это действительно так. Но из этого правила есть исключение.
Если три элемента – три угла – одного треугольника соответственно равны трем элементам – трем углам – другого треугольника, то ничего о равенстве этих треугольников сказать нельзя. Они могут быть равными, а могут и не быть. Потому, что можно построить бесконечное множество треугольников, углы которых будут соответственно равны. Такие треугольники в геометрии называются подобными. Равенство их углов, конечно, указывает на определенные зависимости между сторонами подобных треугольников, но не указывает на то, какие именно значения должны принимать стороны подобных треугольников.

Алгоритм распознавания «Н или НН писать в словах » предполагает умение определить:

1. часть речи анализируемого слова (прилагательное, причастие, существительное, наречие);
2. грамматическую форму , в которой оно употреблено (полная или краткая);
3. часть речи производящего слова (слова, от которого образовано анализируемое ), а если это глагол — то его вид ;
4. наличие зависимых слов .

В существительных, наречиях и сложных прилагательных пишите столько Н , сколько в исходном слове. Сначала найдите производящее слово, затем работайте по алгоритму: вареник — вареный — варить (несов. вид); путано (отвечать) — путаный — путать (несов. вид); запутанно (мыслить) — запутанный — запутать (сов. вид), свежемороженый — мороженый — морозить (несов. вид), немороженый — мороженый — (не) морозить (несов. вид).

Запомните: необходимо найти ближайшее по смыслу прилагательное или причастие.

Не перескакивайте через ступеньку — не образовывайте существительное или наречие сразу от глагола или существительного: нефтяник образовано от нефтяной (работник нефтяной промышленности), а вот нефтяной уже от нефть . Согласно законам словообразования все наречия на -О произведены от прилагательных (сдержанно — сдержанный и т.п.)

Н и НН в полных формах причастиях и прилагательных

Самое сложное — разграничить Н — НН в полных формах прилагательных и причастий. Здесь разграничение собственно на прилагательные и причастия несущественно: последовательность действий и результат для тех и других одинаковы.

Исключения для указанного алгоритма:

1. Н — ветреный (но: безветренный ), приданое, юный, румяный, багряный, свиной (непроизводные слова);
2. НН — стеклянный, оловянный, деревянный , неслыханный, невиданный, (не)виденный, нежданный, негаданный, желанный, священный, медленный, читанный, считанный, данный, окаянный (от устар. окаяти = осудить, сов. вида), неожиданный, нечаянный, нетленный, жеманный, деланный и некоторые другие.
3. С одной Н пишутся также притяжательные прилагательные (отвечают на вопрос чей?) с основой на -Н: бараний, фазаний, вороний, кабаний.
4. Глагол ранить — так называемый двувидовой: он может выступать в предложении в значении как совершенного, так и несовершенного вида. Для того чтобы правильно написать Н-НН (за исключением особо сложных случаев), достаточно работать с ним как с глаголом несовершенного вида: раненый боец — израненный солдат, раненный в перестрелке, тяжелораненый, раненный тяжело.
5. Различаются прилагательные масляный (образовано от существительного масло + -ян-; в значении «для масла, из масла, на масле» (масляное пятно, масляные краски, масляный насос) и масленый в значении «пропитанный, смазанный маслом», образованное от глагола несовершенного вида маслить (вспомните, перед Н-НН гласный И инфинитива меняется на Е): масленая каша, масленый блин, масленая неделя (масленица), а также в переносном значении — масленые глаза (глаза, которые блестят, будто пропитанные маслом). Сравните также: ветреный человек — ветряная оспа, ветряная мельница; соленый груздь (от глагола солить) — соляная кислота.

Н и НН в кратких формах причастиях и прилагательных

Краткая форма наиболее употребительна у страдательных причастий прошедшего времени (брошенный — брошен, брошена, брошено) и у прилагательных (веселый — весел, весела, весело).

Правописание Н и НН в причастиях и прилагательных достаточно ясно и лаконично:

1. кратких страдательных причастиях пишется Н;
2. в кратких прилагательных — столько, сколько в полных.

Поэтому важно только точно определить, какой частью речи — прилагательным или причастием — является слово .

Запомните смысловые и грамматические признаки, разграничивающие прилагательные и причастия.

1. Причастие обозначает действие , обычно его можно заменить синонимичным глаголом, «перевернув» предложение или построив неопределенно-личное (безличное): Баржа выгружена рабочими — Рабочие выгрузили баржу ; Что написано пером — Что написали пером.
2. При причастии есть или можно придумать зависимое слово в творительном падеже , которое обозначает производителя этого действия или инструмент: выгружена (кем?) рабочими ; написано (чем?) пером.
3. Те слова, которые не удовлетворяют двум вышеописанным критериям, те. не являются причастиями, — краткие прилагательные . Добавим для большей надежности, что они отвечают на вопрос каков? какова? , обычно относятся к существительному и обозначают качество : девушка была красива и хорошо образованна (подсказкой может служить однородный член — краткое прилагательное красива ).

Увидев слово с конечным -О , сначала проверьте, не наречие ли оно (наречие относится к глаголу и отвечает на вопрос как? ). Если да, пишите столько Н , сколько в полной форме. Если нет, тогда смотрите, краткое причастие это или краткое прилагательное.

Образец. Он поступил необдума..о — поступил как? необдума..о , это наречие (в предложении является обстоятельством), следовательно, определяю производящее слово — обдуманный (от глагола совершенного вида). Пишу: необдуманно .