Как определить сколько н пишется. Правописание н и нн в разных частях речи. Н и НН в полных формах причастиях и прилагательных
Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.
Определение
Определение
Степенная функция с показателем степени p
- это функция f(x)
= x p
,
значение которой в точке x
равно значению показательной функции с основанием x
в точке p
.
Кроме этого, f(0) = 0
p = 0
при p > 0
.
Для натуральных значений показателя ,
степенная функция есть произведение n
чисел, равных x
:
.
Она определена для всех действительных .
Для положительных рациональных значений показателя ,
степенная функция есть произведение n
корней степени m
из числа x
:
.
Для нечетных m
,
она определена для всех действительных x
.
Для четных m
,
степенная функция определена для неотрицательных .
Для отрицательных ,
степенная функция определяется по формуле:
.
Поэтому она не определена в точке .
Для иррациональных значений показателя p
,
степенная функция определяется по формуле:
,
где a
- произвольное положительное число, не равное единице: .
При ,
она определена для .
При ,
степенная функция определена для .
Непрерывность . Степенная функция непрерывна на своей области определения.
Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0
Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице « ».
Степенная функция, y = x p
,
с показателем p
имеет следующие свойства:
(1.1)
определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2)
имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.5*)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.7*)
;
(1.8)
;
(1.9)
.
Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств) »
Корни - определение, формулы, свойства
Определение
Корень из числа x
степени n
- это число , возведение которого в степень n
дает x
:
.
Здесь n = 2, 3, 4, ...
- натуральное число, большее единицы.
Также можно сказать, что корень из числа x
степени n
- это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .
Квадратный корень из числа x - это корень степени 2: .
Кубический корень из числа x - это корень степени 3: .
Четная степень
Для четных степеней n = 2
m
,
корень определен при x ≥ 0
.
Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x
:
.
Для квадратного корня:
.
Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.
Нечетная степень
Для нечетных степеней ,
корень определен для всех x
:
;
.
Свойства и формулы корней
Корень из x
является степенной функцией:
.
При x ≥ 0
имеют место следующие формулы:
;
;
,
;
.
Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.
Частные значения
Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .
Пример. Корень из корней
Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.
y = x p при различных значениях показателя p .
Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики »
Обратная функция
Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .
Если ,
то .
Производная степенной функции
Производная n-го порядка:
;
Вывод формул > > >
Интеграл от степенной функции
P ≠ - 1
;
.
Разложение в степенной ряд
При - 1
< x < 1
имеет место следующее разложение:
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного переменного z
:
f(z)
= z t
.
Выразим комплексную переменную z
через модуль r
и аргумент φ
(r = |z|
):
z = r e i φ
.
Комплексное число t
представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q
.
Имеем:
Далее учтем, что аргумент φ
определен не однозначно:
,
Рассмотрим случай, когда q = 0
,
то есть показатель степени - действительное число, t = p
.
Тогда
.
Если p
- целое, то и kp
- целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z
,
имеет только одно значение и поэтому является однозначной.
Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.
Если p
- рациональное, то его можно представить в виде:
,
где m, n
- целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n
величин, при k = k 0
= 0, 1, 2, ... n-1
,
дают n
различных значений kp
:
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0
+ n
имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2
π
,
имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k
мы получаем те же значения z p
,
что и для k = k 0
= 0, 1, 2, ... n-1
.
Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.
В частности, корень степени n
имеет n
значений. В качестве примера рассмотрим корень n
- й степени действительного положительного числа z = x
.
В этом случае φ 0 = 0
, z = r = |z| = x
,
.
.
Так, для квадратного корня, n = 2
,
.
Для четных k, (- 1
)
k = 1
.
Для нечетных k, (- 1
)
k = - 1
.
То есть квадратный корень имеет два значения: + и - .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.