Какие многочлены имеют кратные корни. Определение корня многочлена. Смотреть что такое "Кратный корень" в других словарях

15 сложных загадок, которые заставят голову работать и отвлечься от обыденных мислей...

1. Это дается человеку трижды: первые два раза бесплатно, а за третий нужно заплатить?

2. Один мой знакомый может начисто сбривать бороду десяток раз в день. И все равно он ходит с бородой. Как это возможно?

Он брадобрей.

3. Однажды за завтраком девушка уронила свое кольцо в чашку, полную кофе. Почему кольцо осталось сухим?

Кофе в зернах, молотый или растворимый.

4. В каком случае, смотря на цифру 2, мы говорим «десять»?

Когда мы смотрим на часы, которые показывают десять минут какого-либо часа.

5. Человек покупал яблоки по 5 рублей за штуку, а потом продавал их по 3 рубля за штуку. Через какое-то время он стал миллионером. Как ему это удалось?

Он был миллиардером.

6. Вы стоите перед двумя одинаковыми дверьми, одна из которых ведет к смерти, другая - к счастью. Двери охраняют два одинаковых стражника, один из которых все время говорит правду, а другой все время лжет. Но вы не знаете - кто есть кто. Вы можете задать только один вопрос любому из стражников.
Какой вопрос нужно задать, чтобы не ошибиться с выбором двери?

Одно из решений: «Если я попрошу указать мне на дверь к счастью, на какую дверь покажет другой стражник?» И после этого нужно выбрать другую дверь.

7. Вас приглашают на работу финансовым аналитиком в Газпром. Обещают начальную зарплату $100 000 в год и два варианта ее повышения:
1. Раз в год вам увеличивают зарплату на $15 000
2. Раз в полгода - на $5 000
Какой вариант вам кажется выгоднее?

Второй.
Расклад по первому варианту: 1 год - $100 000, 2 год - $115 000, 3 год - $130 000, 4 год - $145 000 и так далее.Расклад по второму варианту: 1 год - $50 000 + $55 000 = $105 000, 2 год - $60 000 + $65 000 = $125 000, 3 год - $70 000 + $75 000 = $145 000, 4 год - $80 000 + $85 000 = $165 000 и так далее.

8. В одной комнате - три лампочки. В другой - три выключателя. Нужно определить, какой выключатель от какой лампочки. Заходить в комнату с лампочками можно только один раз.

Нужно включить сначала одну лампочку и подождать, затем совсем ненадолго включить вторую, а потом обе выключить. Первая будет самая горячая, вторая - теплая, а третья - холодная.

9. У вас есть пяти- и трехлитровая бутылки и много-много воды. Как набрать в пятилитровую бутылку ровно 4 литра воды?

Набрать пятилитровую бутылку, перелить из нее 3 литра в трехлитровую. Вылить из трехлитровой, перелить в нее оставшиеся два литра. Набрать опять пятилитровую и слить из нее лишний литр в трехлитровую бутылку, где как раз осталось столько места.

10. Вы сидите в лодке, которая плавает в бассейне. В лодке лежит тяжелый чугунный якорь, не привязанный к лодке. Что произойдет с уровнем воды в бассейне, если вы сбросите якорь в воду?

Уровень воды понизится. Пока якорь находится в лодке, она вытесняет объём воды, весящий столько же, сколько якорь, свой вес и вес груза. Если якорь выбросить за борт, он будет вытеснять только объём воды, равный объёму якоря, а не веса, т.е. меньше, так как плотность якоря больше, чем воды.

11. Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?

Вначале переправляются оба сына. Один из сыновей возвращается обратно к отцу. Отец перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.

12. С борта парохода был спущен стальной трап. Нижние 4 ступеньки трапа погружены в воду. Каждая ступенька имеет толщину в 5 см; расстояние между двумя соседними ступень ками составляет 30 см. Начался прилив, при котором уровень воды стал поднимается со скоростью 40 см в час. Как Вы считаете, сколько ступенек окажется под водой через 2 часа?

Мозг — это, конечно, не мышца, но, как и мышцы, он нуждается в постоянных тренировках, чтобы находиться в тонусе, быть способным решать самые сложные жизненные и рабочие задачи и быстро реагировать. Один из самых простых способов поддерживать «серое вещество» в форме — загадки и головоломки. На логику, на сообразительность, на способность альтернативно мыслить, на математические действия, на что угодно.

Попробуйте свои силы в этих пятнадцати загадках — ответы прилагаются.

Это дается человеку трижды: первые два раза бесплатно, а за третий нужно заплатить?

Один мой знакомый может начисто сбривать бороду десяток раз в день. И все равно он ходит с бородой. Как это возможно?

Он брадобрей.

Однажды за завтраком девушка уронила свое кольцо в чашку, полную кофе. Почему кольцо осталось сухим?

Кофе в зернах, молотый или растворимый.

В каком случае, смотря на цифру 2, мы говорим «десять»?

Когда мы смотрим на часы, которые показывают десять минут какого-либо часа.

Человек покупал яблоки по 5 рублей за штуку, а потом продавал их по 3 рубля за штуку. Через какое-то время он стал миллионером. Как ему это удалось?

Он был миллиардером.

Вы стоите перед двумя одинаковыми дверьми, одна из которых ведет к смерти, другая — к счастью. Двери охраняют два одинаковых стражника, один из которых все время говорит правду, а другой все время лжет. Но вы не знаете — кто есть кто. Вы можете задать только один вопрос любому из стражников.
Какой вопрос нужно задать, чтобы не ошибиться с выбором двери?

Одно из решений: «Если я попрошу указать мне на дверь к счастью, на какую дверь покажет другой стражник?» И после этого нужно выбрать другую дверь.

Вас приглашают на работу финансовым аналитиком в Газпром. Обещают начальную зарплату $100 000 в год и два варианта ее повышения:

1. Раз в год вам увеличивают зарплату на $15 000

2. Раз в полгода — на $5 000

Какой вариант вам кажется выгоднее?

Расклад по первому варианту: 1 год — $100 000, 2 год — $115 000, 3 год — $130 000, 4 год — $145 000 и так далее.

Расклад по второму варианту: 1 год — $50 000 + $55 000 = $105 000, 2 год — $60 000 + $65 000 = $125 000, 3 год — $70 000 + $75 000 = $145 000, 4 год — $80 000 + $85 000 = $165 000 и так далее.

В одной комнате — три лампочки. В другой — три выключателя. Нужно определить, какой выключатель от какой лампочки. Заходить в комнату с лампочками можно только один раз.

Нужно включить сначала одну лампочку и подождать, затем совсем ненадолго включить вторую, а потом обе выключить. Первая будет самая горячая, вторая — теплая, а третья — холодная.

У вас есть пяти- и трехлитровая бутылки и много-много воды. Как набрать в пятилитровую бутылку ровно 4 литра воды?

Одно из решений: Набрать пятилитровую бутылку, перелить из нее 3 литра в трехлитровую. Вылить из трехлитровой, перелить в нее оставшиеся два литра. Набрать опять пятилитровую и слить из нее лишний литр в трехлитровую бутылку, где как раз осталось столько места.

Вы сидите в лодке, которая плавает в бассейне. В лодке лежит тяжелый чугунный якорь, не привязанный к лодке. Что произойдет с уровнем воды в бассейне, если вы сбросите якорь в воду?

Уровень воды понизится. Пока якорь находится в лодке, она вытесняет объём воды, весящий столько же, сколько якорь, свой вес и вес груза. Если якорь выбросить за борт, он будет вытеснять только объём воды, равный объёму якоря, а не веса, т.е. меньше, так как плотность якоря больше, чем воды.

Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?

Вначале переправляются оба сына. Один из сыновей возвращается обратно к отцу. Отец перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.

С борта парохода был спущен стальной трап. Нижние 4 ступеньки трапа погружены в воду. Каждая ступенька имеет толщину в 5 см; расстояние между двумя соседними ступень-ками составляет 30 см. Начался прилив, при котором уровень воды стал поднимается со скоростью 40 см в час. Как Вы считаете, сколько ступенек окажется под водой через 2 часа?

Через два часа под водой будут те же 4 ступеньки, потому что во время прилива лестница поднимается вместе с пароходом.

Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут 12 таких же курей за 12 дней?

Одна курица несет одно яйцо за три дня. За 12 дней одна курица снесет четыре яйца, следовательно, 12 курей за 12 дней снесут 12×4=48 яиц.

Петя и Миша играли на грязном и темном чердаке дома. Потом они спустились вниз. У Пети всё лицо было грязным, а лицо Миши чудом осталось чистым. Несмотря на это, только Миша отправился умываться. Почему?

Миша увидел, что у Пети грязное лицо и подумал, что у него также лицо грязное, Петя, увидев чистое лицо Миши, подумал что с его лицом также все в порядке.

Позавчера Пете было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?

Если нынешний день 1 января, а День Рождения у Пети 31 декабря. Позавчера (30 декабря) ему было еще 17 лет, вчера (31 декабря) исполнилось 18 лет, в нынешнем году исполнится 19 лет, а в следующем году — 20 лет.

Загадкой называют метафорическое выражение, в котором один предмет выражается посредством другого, имеющего с ним какое-нибудь, хотя бы отдалённое, сходство; на основании последнего человек и должен отгадать задуманный предмет.

В древние времена загадка - средство испытания мудрости, теперь - народная забава. Загадки встречаются у всех народов, на какой бы ступени развития они не стояли. Пословица и загадка отличаются тем, что загадку нужно отгадать, а пословица - это поучение. Материал из Википедии . Мы предлагаем вашему вниманию 15 самых сложных загадок в мире. Вместе с этим, даем и ответы, чтобы сразу определить, способны ли вы разгадать их.

Ответ скрыт и находится на отдельной странице сайта по .

• К реке подходят два человека. У берега лодка, которая может выдержать только одного. Оба человека переправились на противоположный берег. Как им это удалось?

  Они были на разных берегах.

• Василию, Петру, Семену и их женам Наталье, Ирине, Анне вместе 151 год. Каждый муж старше своей жены на 5 лет. Василий на 1 год старше Ирины. Наталье и Василию вместе 48 лет, Семену и Наталье вместе 52 года. Кто на ком женат, и сколько кому лет?

  Василий (26) - Анна (21); Петр (27) - Наталья (22); Семен (30) - Ирина (25).

• Ничего не пишите и не используйте калькулятор. Возьмите 1000. Прибавьте 40. Прибавьте еще тысячу. Прибавьте 30. Еще 1000. Плюс 20. Плюс 1000. И плюс 10. Что получилось?

  5000? Неверно. Правильный ответ 4100. Попробуйте пересчитать на калькуляторе.

• Летели галки, сели на палки. Сядут по одной - галка лишняя, сядут по две - палка лишняя. Сколько было палок и сколько было галок?

  Три палки и четыре галки.

• Мистера Марка нашли убитым в своем кабинете. Причиной оказалось пулевое ранение в голову. Детектив Робин, осматривая место убийства, нашел на столе кассетный диктофон. И когда он его включил, то услышал голос мистера Марка. Он говорил: «Говорит Марк. Только что мне позвонил Джонс и сказал, что через десять минут он будет здесь для того, чтобы пристрелить меня. Бежать бесполезно. Я знаю, что эта запись поможет полиции арестовать Джонса. Я слышу его шаги на лестнице. Вот открывается дверь...». Помощник детектива предложил арестовать Джонса по подозрению в убийстве. Но детектив не последовал совету его помощника. Как оказалось, он был прав. Убийцей оказался не Джонс, как это было сказано на пленке. Вопрос: почему у детектива возникли подозрения?

  Кассета в диктофоне была пересмотра на начало. Тем более Джонс забрал бы кассету.

• Третьеклассники Алёша и Миша идут из школы и разговаривают:
  - Когда послезавтра станет вчера, - сказал один из них, - то сегодня будет так же далеко от воскресенья, как и тот день, который был сегодня, когда позавчера было завтра. В какой день недели они разговаривали?

  В воскресенье.

• Заяц и кошка вместе весят 10 кг. Собака с зайцем - 20 кг. Собака с кошкой - 24 кг. Сколько в этом случае будут весить все животные вместе: заяц, кошка и собака?

  27 кг. (решение .)

• На берегу моря был камень. На камне было написано слово из 8 букв. Когда богатые читали это слово, они плакали, бедные радовались, а влюбленные расставались. Что это было за слово?

  Временно.

• Стоит тюрьма, рядом больница. Вокруг них рельсы, а на рельсах движется кругом с большой скоростью поезд. Одному мальчику надо попасть к деду в тюрьму, а одной девочке к бабушке в больницу. Как им это сделать, если поезд не останавливается?

  Мальчику надо бросить девочку под поезд, тогда он попадет в тюрьму, а девочка в больницу.

• Какое русское слово можно записать справа налево, развернуть вверх ногами, отразить зеркально, и оно всё равно останется неизменным и не потеряет своего смысла?

  Оно.

• С какой птицы нужно ощипать перья, чтобы получить сразу утро, день, вечер, ночь?

  С утки.

• Дочь Терезы - мать моей дочери. Кем я являюсь для Терезы?

  1. Бабушкой.
  2. Матерью.
  3. Дочерью.
  4. Внучкой.
  5. Я и есть Тереза.

  Свой вариант пишите в комментариях.

Кратный корень

многочлена

f (x ) = a 0 x n + a 1 x n-1 +... + a n ,

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Кратный корень" в других словарях:

Алгебраического уравнения f(х) = а0хn + a1xn 1 + ... + an = 0, такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b. * * * КРАТНЫЙ КОРЕНЬ КРАТНЫЙ КОРЕНЬ алгебраического… … Энциклопедический словарь

Алгебр. ур ния f(x) = а0хn + + а1хn 1 + ... + ап = 0, такое число b, что f(x) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень т двучлена (х b); число т кратность корня b … Естествознание. Энциклопедический словарь

Уравнения такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b … Большой Энциклопедический словарь

Утверждает, что Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: Поле комплексных чисел… … Википедия

Правило, позволяющее находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами. Дано в 1829 Ж. Ш. Ф. Штурмом. Для любого многочлена f(x) без… … Большая советская энциклопедия

Раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия

Неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.… … Математическая энциклопедия

Совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия

Число корней алгеб раич. уравнения заключенных в интервале равно или на четное число меньше, чем где число перемен знака в ряду производных многочлена в точке а, т. е. в ряду а число перемен знака в этом ряду в точке 6. При этом каждый кратный … Математическая энциклопедия

Алгебраическое уравнение 2 й степени. Общий вид К. у. В поле комплексных чисел К. у. имеет два решения, выражающиеся в радикалах через коэффициенты этого уравнения: При b2>4ас оба решения К. у. действительные и различные, при b2<4ас решения … Математическая энциклопедия

Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).

Пример 1. f (x)=x 5 +2x 3 -3x.

Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, а f(2)=2 5 +2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.

Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.

Определение 2. Если с - корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с) k , но не делится на (х-с) k+1 . Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с - k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.

Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:

Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f "(х).

Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.

Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х 4 -4х 3 +16х-16. Определить его кратность.

Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

Число 2 впервые не является корнем f"""(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).

Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=х n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n и α 1 ,...,α n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.

Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.

Решение. Найдем коэффициенты многочлена:

а 1 =– (2+3–1–1)=-3,

а 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

а 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7,

а 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Искомый многочлен есть х 4 –3х 3 –3х 2 –7х+6.

Определение 3. Многочлен f(х)ÌР[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ÎP[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.

Имеют место следующие теоремы:

Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.

Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)ÎР[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:

где - неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.

Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).

Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:

, (3)

где множители Р 1 (х),…,Р r (x) уже все различные. Показатели k 1 ,…,k r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:

где F 1 (x) – произведение всех простых неприводимых множителей, - произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.

Многочлены F 1 (x),…,F s (x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:

Поэтому получаем

Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .

Если для многочлена f(x) надо найти множители F 1 (x),…,F s (x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.

Пример 4. Отделить кратные множители f(x)=х 5 -х 4 -5х 3 +х 2 +8х+4.

Решение. Находим НОД f(x) и f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Теперь находим d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).

Выражаем v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(производим деление).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(производим деление).

Поэтому получаем F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х-2) 2 (х+1) 3 . В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х-2 и трехкратный множитель х+1.

Замечание 1. Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F 1 (x)).

Замечание 2. Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Убедиться, что многочлен 3х 4 -5х 3 +3х 2 +4х-2 имеет корень 1+i. Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители х 5 +5х 4 -5х 3 -45х 2 +108.

3. Найти многочлен наименьшей степени, корнями которого являются: 5, i, i+3.

Вариант 2

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =2 для многочлена f(x)=x 5 -7х 4 +12х 3 +16х 2 -64х+48? Найти остальные его корни.

2. Отделить кратные множители х 5 -6х 4 +16х 3 -24х 2 +20х-8.

3. Определить соотношение между коэффициентами уравнения x 3 +px+q=0, если его корни х 1 , х 2 , х 3 , удовлетворяют соотношению .

Вариант 3

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения равнялся удвоенному другому: x 3 -7x+λ=0.

Вариант 4

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -6х 3 +10х 2 -6х+9. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 +6х 4 +13х 3 +14х 2 +12х+8.

3. Сумма двух корней уравнения 2х 3 -х 2 -7х+λ=0 равна 1. Найти λ.

Вариант 5

1. Показать, что х 0 =-2 является корнем многочлена х 4 +х 3 -18х 2 -52х-40. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена f(x)=х 5 -5х 4 -5х 3 +45х 2 -108.

3. Найти многочлен наименьшей степени по данным корням 1, 2, 3, 1+i.

Вариант 6

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +ах 4 +b имеет двойной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 +15х 4 -8х 3 +51х 2 -72х+27.

3. Многочлен а 0 х n +a 1 x n -1 +…+a n имеет корни х 1 , х 2 ,…, х n . Какие корни имеют многочлены: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Вариант 7

1. Показать, что х=-2 является корнем многочлена 4х 5 +24х 4 +47х 3 +26х 2 -12х-8. Найти кратность корня и найти остальные корни многочлена.

3. Найти сумму квадратов корней уравнения 2х 3 -2х 2 -4х-1.

Вариант 8

1. Доказать, что х=1 является корнем многочлена х 6 -х 5 -4х 4 +6х 3 +х 2 -5х+2. Определить его кратность. Найти остальные корни многочлена.

3. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти корни многочлена f(х)=х 3 -7х 2 +14х+λ.

Вариант 9

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +10ах 3 +5bх+с имеет тройной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 7 -3х 6 +5х 5 -7х 4 +7х 3 -5х 2 +3х-1.

3. Решить уравнение х 3 -6х 2 +qх+2=0, если известно, что его корни образуют арифметическую прогрессию.

Вариант 10

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -12х 3 +53х 2 -102х+72. Определить кратность корня, найти другие корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -4х 4 -16х 2 +16.

3. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени по данным корням 1, 2+i, 3.

Вариант 11

1. Показать, что х=2 является корнем многочлена х 5 -6х 4 +13х 3 -14х 2 +12х-8. Найти его кратность и остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.

Вариант 12

1. Показать, что х=-1 является корнем многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2. Найти его кратность и остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 -3х 4 +4х 3 -4х 2 +3х-1.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.

Вариант 13

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения х 3 -7х+λ=0 равнялся удвоенному другому.