Как вы понимаете термин целое выражение. Какие из выражений являются целыми. Изучение нового материала

Теоретическое введение

Личные местоимения

Возвратное местоимение

Притяжательные местоимения

Вопросительные и относительные местоимения

Отрицательные и неопределённые местоимения

Определительные местоимения

Указательные местоимения

Нюансы, куда же без них

Определение и примеры целых выражений

Какие преобразования целых выражений возможны?

Преобразование в многочлен

Примеры целого выражения

Дробные выражения

Рациональная дробь

6. Местоимение

Определение.

Признаки.

Синтаксическая роль.

Разряды.

Склонение.

Правописание.

Главная » Кухня » Как вы понимаете термин целое выражение. Какие из выражений являются целыми. Изучение нового материала

Местоимение - это самостоятельная часть речи, которая указывает на предметы, признаки, количества, но не называет их и отвечает на вопросы кто? что? (я, он, мы ); какой? чей? (этот, наш ); как? где? когда? (так, там, тогда ) и др.

Начальная форма: именительный падеж, единственного числа.
Постоянные признаки: разряд, у личных местоимений - еще и лицо.
Непостоянные признаки: местоимения, как правило, изменяются по падежам; есть местоимения, которые, кроме того, изменяются по родам и числам.

В предложении местоимения бывают:

подлежащими, например: Никто не забыт, ничто не забыто (О. Берггольц);
дополнениями, например: Он увидел ее только через неделю ;
определениями, например: О Волга, колыбель моя , любил ли кто тебя, как я? (Н. Некрасов);
обстоятельствами, например: Кое-где поднимались небольшие холмы (В. Обручев);
именной частью составного сказуемого, например: Вишневый сад теперь мой ! (А. Чехов.)

По своему значению и грамматическим признакам местоимения делятся на несколько разрядов:

личные местоимения: я, он, она, оно, они, ты, вы, мы.
Личные местоимения указывают на лица, которые участвуют в речи. Личные местоимения бывают единственного (я, ты, он, она, оно ) и множественного числа (мы, вы, они ). Они изменяются по падежам (при этом в некоторых случаях изменяется не только окончание, но и все слово, например: я, меня, мне, меня, мной (мною), обо мне ). Иногда при склонении в корне происходит чередование, например: тебя - тобой, меня - мне . Местоимение третьего лица он изменяется по родам: он, она, оно . Местоимения третьего лица он, она, оно, они после предлогов имеют в начале н , например: у него, перед ней, под ним .
Местоимения вы, ваш часто используются как форма вежливого обращения к одному лицу. В этом случае они пишутся с большой буквы: Вы, Ваш .
возвратное местоимение себя ;
Местоимение себя обозначает, что действие, совершаемое кем-то, направлено на само действующее лицо. Возвратное местоимение отвечает на вопросы кого? кому? и др. Оно не имеет формы рода, лица, числа, именительного падежа (оно может быть отнесено к любому лицу единственного и множественного числа, к любому роду). В предложении местоимение себя обычно выполняет роль дополнения, например: Мальчик облил себя водой . Реже оно может быть обстоятельством, например: Свицов вскочил и спросонок стал шарить вокруг себя , ища пилотку (К. Симонов).
вопросительные местоимения: кто? что? какой? чей? каков? сколько? который?
Вопросительные местоимения употребляются в вопросительных предложениях, они вносят вопросительную интонацию, например: Куда ты мчишься, тройка Русь? (Н. Гоголь.) Вопросительные местоимения кто? что? сколько? изменяются по падежам. Местоимения какой? чей? который? - по родам, числам и падежам, а местоимения не изменяются;
относительные местоимения: кто, что, какой, каков, сколько, чей, который.
Относительные местоимения употребляются без вопроса для связи простых предложений в составе сложных, например: Нам сообщили, когда нужно ехать . Местоимения какой, который, чей изменяются по падежам, числам и родам и склоняются как прилагательные. С существительными они согласуются в падеже, числе и роде;
неопределенные местоимения: некто, нечто, несколько, некоторый, кое-какой, что-либо, чей-нибудь.
Такие местоимения указывают на неопределенные предметы, признаки, количества, например: Он готов был идти на край света, чтобы делать что-нибудь (М. Горький). Неопределенные местоимения образуются от вопросительных путем прибавления частицы не , которая превращается в приставку (не кто, не сколько), и частиц -то, -либо, -нибудь, кое- (кто-нибудь , какой-то , что-либо , кое-что ).

некто, нечто, изменяются так же, как те вопросительные местоимения, от которых они образованы. Местоимения некто, нечто некто нечто
отрицательные местоимения: никто, ничто, никого, ничего, некто, некого, нечего.
Отрицательные местоимения указывают на отсутствие предметов, признаков, количества, служат для усиления отрицательного смысла предложения. Они образуются от вопросительных местоимений путем прибавления частиц ни или не , которые затем превращаются в приставки. Изменяются отрицательные местоимения так же, как вопросительные, от которых они были образованы (по падежам, числам и родам). Местоимения неў кого, неў чего
притяжательные местоимения: мой, твой, свой, ваш, наш, ее, его, их .
Такие местоимения указывают, какому лицу принадлежит предмет и отвечают на вопрос чей? (чья? чьё? чьи?). Притяжательные местоимения изменяются, как прилагательные, по родам, числам и падежам.

Примечание. Также для выражения принадлежности могут употребляться личные местоимения третьего лица в форме родительного падежа (его, ее, их ), например: Его убийца хладнокровно навел удар .
указательные местоимения: тот, этот, такой, таков, столько, оттуда, так, сюда.
Такие местоимения служат для выделения какого-нибудь определенного предмета, признака, количества среди ему подобных, например: Все это было бы смешно, когда бы не было так грустно (М. Лермонтов).

Местоимения тот, этот , такой изменяются по родам, числам и падежам, местоимение таков - по родам и числам, а местоимение столько - только по падежам. Слова и др. вообще не изменяются.
определительные местоимения: весь, каждый, всякий, сам, самый, любой, иной, другой.
Такие местоимения уточняют тот предмет, о котором идет речь, придают ему значение выделения или обобщения, например: Каждой веточкой живой лес беседует со мной (Л. Татьяничева).

Определительные местоимения сам, весь, всякий, каждый, любой и др. изменяются по родам, числам и падежам, а местоимения всюду, всегда, везде не изменяются.

1. Склонение личных местоимений.

Падеж
Именительный	я	ты	он	она	мы	они
Родительный	меня	тебя	его, него	ее	нас	их, них
Дательный	мне	тебе	ему, к нему	с ней, ей	нам	им, ним
Винительный	меня	тебя	его, него	ее, про нее	нас	их, них
Творительный	мной	тобой	им, ним	ею, с ней	нами	ими, ними
Предложный	(обо) мне	(о) тебе	(о) нем	(о) ней	(о) нас

2. Склонение местоимения себя .

3. Склонение вопросительных местоимений.

Вопросительные местоимения кто? что? сколько? какой? чей? который? изменяются по падежам, а местоимения где? куда? откуда? когда? почему? зачем? как? не склоняются.

4. Склонение относительных местоимений.

Местоимения какой, который, чей изменяются по падежам и склоняются как прилагательные.

Склонение местоимений кто, что, чей
Падеж	Единственное число				Множественное число
Именительный	кто	что	чей, чьё	чья	чьи
Родительный	кого	чего	чьего	чья	чьих
Дательный	кому	чему	чьему	чьей	чьим
Винительный	кого	что	чей, чьё, чьего	чью	чьи, чьих
Творительный	кем	чем	чьим	чьей	чьими
Предложный	(о) ком	(о) чем	(о) чьем	(о) чьей	(о) чьих

5. Склонение неопределенных местоимений.

Неопределенные местоимения, кроме некто, нечто , изменяются так же, как те вопросительные местоимения, от которых они образованы. Местоимения некто, нечто не изменяются по падежам: слово некто имеет форму именительного падежа, нечто - форму именительного или винительного падежа.

6. Склонение отрицательных местоимений.

Отрицательные местоимения склоняются так же, как вопросительные, от которых они были образованы. Но: местоимения неў кого, неў чего не имеют формы именительного падежа.

7. Склонение притяжательных местоимений.

Притяжательные местоимения изменяются по падежам, как прилагательные.

8. Склонение указательных местоимений.

Местоимения тот, этот, такой, столько изменяются по падежам, а слова там, тут, здесь, так, тогда, поэтому и др. вообще не изменяются.

Падеж	Склонение местоимений тот, столько
Именительный	тот	столько
Родительный	того	стольких
Дательный	тому	стольким
Винительный	того (тот)	столько
Творительный	тем	столькими
Предложный	(о) тех	(о) стольких

9. Склонение определительных местоимений.

Определительные местоимения сам, весь, всякий, каждый, любой и др. изменяются по падежам, а местоимения всюду, всегда, везде нет.

Склонение местоимения самый
Падеж	Единственное число	Множественное число
Именительный	самый	самые
Родительный	самого	самых
Дательный	самому	самым
Винительный	самый	самые, самых
Творительный	самым	самыми
Предложный	(о) самом	(о) самых

1) Местоимения с частицами -то, -либо, -нибудь и приставкой кое- пишутся через дефис, например: кто-нибудь, что-либо, какой-то, кое-что, кое-зачем.
Но : если частица кое- отделена от местоимения предлогом, то она пишется отдельно, например: кое у кого, кое о чем.

2) Отрицательные местоимения с приставками не- и ни- пишутся слитно. Н е- пишется под ударением, ни- - без ударения, например: некому - никому, некогда - никогда.
Но : если не- и ни- отделены от местоимения предлогом, то они пишутся отдельно, например: не у кого, ни о чем.

3) Сочетания не кто иной , как не что иное как содержат в себе противопоставление, а не является отрицательной частицей и пишется раздельно, например: Сказка в фольклоре - это не что иное, как рассказ о выдуманном событии . А сочетания никто иной и ничто иное не выражают противопоставления и употребляются в предложениях, где есть отрицание при сказуемом. В таком случае ни- выполняет роль словообразующей приставки и пишется слитно, например: Это ни чем иным, как безответственностью, нельзя объяснить .

4) Указательные местоимения потому, затем, отсюда, оттуда, поэтому и др. пишутся слитно.

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки

Местоимение - одна из важнейших частей речи в русском языке. По своим свойствам оно очень близко к существительному, для замены которого в основном и используется, но вместе с тем, лимитировать задачи местоимения только этой функцией - действительно глупо. Местоимение указывает на какое-либо лицо, не называя его конкретно, оно служит для связи предложений в тексте, а в некоторых случаях даже для усиления определённых высказываний. Многогранно, не так ли? Именно поэтому так важен падеж местоимений в предложениях - нельзя же небрежно относиться к столь многофункциональному элементу.

Конечно, падеж местоимений, вернее, их склонение, подчиняется практически тем же правилам, что и имена существительные (выше уже говорилось о том, что эти две части речи имеют очень много общего). Для местоимений характерно наличие тех же самых шести родительного, винительного, дательного, творительного и предложного), что и для существительного.

Кстати говоря, когда местоимения стоят во всех падежах, кроме именительного, можно говорить о том, что местоимения в Конечно, особенности склонения зависят и от разряда местоимения. Некоторые из них в принципе не изменяются, в определённых разрядах перемены касаются только каких-то отдельных местоимений. Вот именно с этим и будем разбираться. «Падежи местоимений» - таблица, с которой мы начинаем.

Начинаем с основы основ: изменение личных местоимений по падежам. К личным местоимениям относятся всем известные я, ты, он/она/оно, мы, вы, они . Все они склоняются по падежам - просто подставляем нужный вопрос и получаем форму, которая нам необходима.

«Падежи местоимений» - таблица, касающаяся только разряда личных местоимений.

Как видно из таблицы, в упоминаемых ранее косвенных падежах независимо от числа, получают добавочный согласный "н". Больше, к счастью, никаких особенностей не наблюдается: падежи личных местоимений не представляют собой ничего сложного, правда?

Идём дальше. К данной категории относится одно-единственное местоимение себя , которое не имеет ни числа, ни рода, а ещё сохраняет одну и ту же форму во всех падежах. Вот попробуйте просклонять его - и вы в этом убедитесь.

Следующий разряд связан с местоимениями, которые выражают принадлежность объекта к кому-либо. Сюда относятся мой, твой, его/её, наш, ваш, их . Формы местоимений этой категории представлены в следующей таблице:

Из таблицы видно, что в третьем лице притяжательные местоимения не изменяются вообще, тогда как в первом и втором просто нужно заменить пару букв в начале - окончания-то совпадают.

Кстати говоря, именно с этим разрядом связана одна из самых распространённых ошибок в современном русском языке. Некоторые изобретают такое местоимение как «ихний», а потом ещё и пытаются его склонять. Так вот, обязательно запомнить, что в третьем лице во множественном числе никогда не существовало такого местоимения! Их, их и только их!

Этот разряд служит для того, чтобы задать какой-то вопрос. И вот здесь начинаются первые трудности. Местоимения какой?, чей?, который? имеют и род, и число, и падеж. Для местоимений кто?, что?, сколько? характерно наличие только падежа, остальные категории ему чужды. И единственное местоимение, которое совсем ломает систему, - каков?: оно не имеет падежа, зато изменяется по родам и числам.

Всё то же самое можно сказать и об относительных местоимениях. По большому счёту, относительные местоимения - это те же вопросительные, только без знака вопроса в конце предложения.

Ещё следовало бы отметить, что в местоимении сколько при склонении ударение сохраняется на первом, а не на последнем слоге, как думает большинство людей.

Изменение местоимений по падежам продолжаем изучать с новым разрядом, где тоже есть определённые нюансы. Род, число и падеж имеют только никакой, ничей , тогда как никто, ничто, некого, нечего, нисколько изменяются исключительно по последнему признаку, не обладая остальными.

Формы местоимений отрицательных целиком и полностью совпадают с вопросительными-отрицательными, с единственным уточнением - добавлением приставки ни/не .

То же самое можно сказать и о Берём местоимение относительное, добавляем к нему постфиксы -то, -либо, -нибудь и получаем новый вид местоимений: какой-то, что-нибудь . Формы при склонении остаются те же самые, что, бесспорно, существенно упрощает работу с этим типом местоимений. В определённых случаях можно добавлять и приставки не/ни: некоторый, нечто .

Подбираемся всё ближе к концу. На очереди новый разряд, все местоимения которого имеют род, число и падеж. Сюда относятся сам, самый, весь, всякий, каждый, любой, другой, иной, целый, всяческий . Объёмно, конечно, но совсем несложно. Склоняем дальше!

					Всяческий
					Всяческого
					Всяческого
					Всяческому
					Всяческим
					О всяческом

Как видно из таблицы, спряжение местоимений сам, самый и всякий, всяческий практически совпадают, но не стоит сильно полагаться на заучивание форм местоимений в разных падежах, гораздо легче просто разобраться с правилом, а потом не испытывать никаких трудностей.

Последний из разрядов снова радует нас нюансами. Местоимения этот, тот-(то), такой-(то) имеют число и падеж, столько-(то) - только падеж, а вот таков , по аналогии с каков , совершенно не желает изменяться по падежам, оставаясь в одной-единственной форме.


				Стольких
				Стольких
				Стольким
				Столькими
				О стольких

И снова подобие форм местоимений тот, этот . Падеж как видно, тема совершенно элементарная, где даже запоминать толком нечего.

Конечно, существуют некоторые особенности склонения местоимений. Например, внимательные уже давно заметили, что падеж местоимений - тема очень и очень близкая падежу прилагательных: окончания ведь абсолютно одинаковые. Единственные исключения из этого правила - весь, сам: в данной ситуации придётся всё же немного подумать.

Продолжая тему местоимения весь, следует отметить, что оно единственное, где существует беглый гласный: весь-всего-всему и так далее - корневая «е» просто выпадает, не появляясь потом ни в одном из падежей.

Более того, некоторые из местоимений обладают так называемыми архаичными формами: всякий -всяк-всяко. Они считаются краткими. А ещё местоимение сам в женском роде в винительном падеже (саму ) на самом деле считается разговорной формой, тогда как литературный язык желал бы использования варианта самоё (по аналогии говорят ещё о ту-туё - от местоимения та ). Ещё исследователи определяют форму самую , с ударением на предпоследней букве, но она считается уже малоиспользуемой и почти забытой.

Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

Определение 1

Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 и так далее, причем переменные вида a , b , p , q , x , z считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид

x + 1 , 5 · y 3 · 2 · 3 · 7 − 2 · y − 3 , 3 − x · y · z 4 , - 6 7 , 5 · (2 · x + 3 · y 2) 2 − - (1 − x) · (1 + x) · (1 + x 2)

Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида x: 5 + 8: 2: 4 или (x + y) : 6 , тогда деление может обозначаться при помощи дробной черты, как x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . При рассмотрении выражений вида x: 5 + 5: x или 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как в первом имеется деление на переменную x , а во втором на выражение с переменной.

Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

Пример 1

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Решение

Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · (− 2 · a) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b

После чего можем привести подобные слагаемые:

2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = (2 · a 3 − 2 · a 3) + (6 · a · b − 5 · a · b) + (− 4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .

После их приведения получаем многочлен вида a · b + 2 · a − b .

Ответ : 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = a · b + 2 · a − b .

Пример 2

Произвести преобразования (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Решение

Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что

(x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · (x - 1) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x - 3 2 + 2 21 · x 2 + 2 21 = 2 21 · x 2 + 3 2 · x - 59 42 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42

Ответ : (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

Пример 3

Представить выражение 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) в виде произведения.

Решение

Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида 6 · y , который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x)

Видно, что получили разность двух выражений вида 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) и (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) с общим множителем x 2 + 3 · x − 1 , который необходимо вынести за скобки. Получим, что

6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − (x 3 + 4 · x))

Раскрыв скобки, имеем выражение вида (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − x 3 − 4 · x) , которое необходимо было найти по условию.

Ответ: 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − x 3 − 4 · x)

Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

Пример 4

Преобразовать выражение (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 .

Решение

Вы первую очередь выполняются действия в скобках. Тогда имеем, что 3 · 2 − 6 2: 9 = 3 · 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2 . После преобразований выражение принимает вид 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Известно, что 2 3 = 8 и (x 2) 4 = x 2 · 4 = x 8 , тогда можно прийти к выражению вида 8 · x 8 + 4 · x: 8 . Второе слагаемое требует замены деления на умножение из 4 · x: 8 . Сгруппировав множители, получаем, что

8 · x 8 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Ответ: (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 1 2 · x .

Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена.Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

Пример 5

Представить в виде многочлена 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Решение

В данном выражение начать преобразования с выражения вида 4 · x − x · (15 · x + 1) , причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим – x на 15 · x + 1 , тогда получим 4 · x − x · (15 · x + 1) = 4 · x − 15 · x 2 − x = (4 · x − x) − 15 · x 2 = 3 · x − 15 · x 2 . Заданное выражение примет вид 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .

Далее необходимо произвести возведение во 2 степень многочлена 2 · x − 1 , получим выражение вида (2 · x − 1) 2 = (2 · x − 1) · (2 · x − 1) = 4 · x 2 + 2 · x · (− 1) − 1 · 2 · x − 1 · (− 1) = = 4 · x 2 − 4 · x + 1

Теперь можно перейти к виду 2 · (2 · x 3 − 1) + (4 · x 2 − 4 · x + 1) · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .

Разберем умножение. Видно, что 2 · (2 · x 3 − 1) = 4 · x 3 − 2 и (4 · x 2 − 4 · x + 1) · (3 − x) = 12 · x 2 − 4 · x 3 − 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3

тогда можно сделать переход к выражению вида (4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) .

Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

(4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) = = 4 · x 3 − 2 + 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3 + 3 · x − 15 · x 2 = = (4 · x 3 − 4 · x 3) + (16 · x 2 − 15 · x 2) + (− 13 · x + 3 · x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 · x + 1 = x 2 − 10 · x + 1 .

Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид x 2 − 10 · x + 1 .

Ответ: 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) = x 2 − 10 · x + 1 .

Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

Пример 6

Преобразовать 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Решение

Из формулы квадрата получим, что (2 · m + n) 2 = (2 · m) 2 + 2 · (2 · m) · n + n 2 = 4 · m 2 + 4 · m · n + n 2 , тогда произведение (m − 2 · n) · (m + 2 · n) равняется разности квадратов m и 2 · n , таким образом, равняется m 2 − 4 · n 2 . Получим, что исходное выражение примет вид 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) = 4 · (4 · m 2 + 4 · m · n + n 2) + (m 2 − 4 · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 − 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n

Ответ: 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) = 17 · m 2 + 16 · m · n .

Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

Пример 7

Упростить выражение вида (2 · a · (− 3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2) + (5 · a · b · (− 3) · b 2)

Решение

Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида − 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 . Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида

− 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 = = (− 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 · a · b 3) = 6 · a 2 · b

Ответ: (2 · a · (− 3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2) + + (5 · a · b · (− 3) · b 2) = 6 · a 2 · b

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Целое выражение - это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое либо число, отличное от нуля.

Ниже представлены несколько примеров целых выражений:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Если же в выражении присутствует деление на переменную или на другое выражение содержащее переменную, то такое выражение не является целым. Такое выражение называется дробным. Дадим полное определение дробного выражения.

Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит так же деление на выражения с буквенными переменными.

Примеры дробных выражений:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Дробные и целые выражения составляют два больших множества математических выражений. Если эти множества объединить, то получим новое множество, которое называется рациональными выражениями. То есть рациональные выражения это все целый и дробные выражения.

Нам известно, что целые выражения имеют смысл при любых значениях переменных, которые в него входят. Это следует из того, что для нахождения значения целого выражения необходимо выполнять действия, которые всегда возможны: сложение, вычитание, умножение, деление на число отличное от нуля.

Дробные же выражения, в отличии от целых, могут и не иметь смысла. Так как присутствует операция деления на переменную или выражение содержащее переменные, и это выражение может обратится в нуль, а делить на нуль нельзя. Значения переменных, при которых дробное выражение будет иметь смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Он/она/оно

Его/её/его

Его/её/его

Ему/ей/ему

О нём/ней/нём

Одним из частных случаев рациональных выражений будет являться дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Для такой дроби в математике тоже существует свое название - рациональная дробь.

Рациональная дробь будет иметь смысл в том случае, если её знаменатель не равен нулю. То есть допустимыми будут являться все значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.

« Алгебраические дроби, рациональные и дробные выражения.»

Цели урока:

Образовательная: введение понятия алгебраической дроби, рациональных и дробных выражений, области допустимых значений,

Развивающая: формирование навыков критического мышления, самостоятельного поиска информации, исследовательских навыков.

Воспитательная: воспитание сознательного отношения к труду, формирование коммуникативных навыков, формирование самооценки.

Ход урока

1. Организационный момент:

Приветствие. Объявление темы урока.

2. Мотивация урока.

У немцев есть такая поговорка “Попасть в дробь”, что означает попасть в тупик, трудное положение. Это объясняется тем, что долгое время действия с дробными числами, которые иногда называли “ломаными”, считались по праву очень сложными.

Но сейчас принято рассматривать не только числовые, но и алгебраические дроби, чем мы сегодня и займемся.

Успех – это не пункт назначения. Это движение

Т. Фастер.

3. Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос.

Что такое целые выражения? Из чего они составлены? Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.

Приведите примеры.

Что такое дробь?

Что значит сократить дробь?

Что значит разложить на множители?

Какие способы разложения вы знаете?

Чему равен квадрат суммы (разности)?

Чему равна разность квадратов?

4. Изучение нового материала.

В 8 классе мы познакомимся и с дробными выражениями.

Они отличаются от целых тем, что они содержат действие деление на выражение с переменной.

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используя деление на выражения с переменными, то его называют дробным выражением.

Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль.

Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями

отдельным видом рационального выражения является рациональная дробь. Это дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены.

Какие из выражений являются целыми, какие дробными? (или №1)