В правильной треугольной призме abca1b1c1 стороны. В правильной треугольной призме сторона основания равна. a) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM

Прототип Задания B14 (№99576 )

Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава . Ответ дайте в килограммах.

Решение

Пусть x (кг) - масса первого сплава, тогда (x+3) (кг) - масса второго сплава.

Так как первый сплав содержит 10% меди, то в нем 0,1x (кг) меди. Во втором сплаве - 0,4(x+3) (кг) меди.

Масса полученного сплава равна x+x+3 = 2x+3 (кг).

Так как из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди, то составим и решим уравнение:

0,1x+0,4(x+3) = 0,3(2x+3),

0,1x+0,4x+1,2 = 0,6x+0,9,

0,6x-0,5x = 1,2-0,9,

Тогда масса третьего сплава равна 2*3+3 = 6+3 = 9.

Прототип Задания B14 (№99575 )

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение

x+y = 200. (уравнение 1)

В первом сплаве содержится 10 % никеля, т.е. 0,1x (кг) никеля, а во втором сплаве - 30% никеля, т.е. 0,3y (кг) никеля. Третий сплав содержит 25% никеля, т.е. 0,25*200 = 50 (кг) никеля. Получаем уравнение:

x+3y = 500. (уравнение 2)

x+3y - (x+y) = 500 - 200,

x = 200 - 150 = 50.

Тогда y-x = 150 - 50 = 100 (кг), т.е. масса первого сплава меньше массы второго сплава на 100 кг.

Ответ: 100.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй – 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго?

Решение

Пусть x (кг) - масса первого раствора, y (кг) - масса второго раствора. Тогда масса третьего раствора равна

x+y = 200. (уравнение 1)

В первом растворе содержится 10 % соли, т.е. 0,1x (кг) соли, а во втором растворе - 30% соли, т.е. 0,3y (кг) соли. Третий раствор содержит 25% соли, т.е. 0,25*200 = 50 (кг) соли. Получаем уравнение:

Умножим последнее уравнение на 10, получим:

x+3y = 500. (уравнение 2)

Вычтем из уравнения 2 уравнение 1:

x+3y - (x+y) = 500 - 200,

x = 200 - 150 = 50.

Тогда y-x = 150 - 50 = 100 (кг), т.е. масса первого раствора меньше массы второго раствора на 100 кг.

Ответ: 100.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава?

Решение

Пусть x (кг) - масса первого сплава, y (кг) - масса второго сплава. Тогда масса третьего сплава равна

x+y = 225. (уравнение 1)

В первом сплаве содержится 10 % никеля, т.е. 0,1x (кг) никеля, а во втором сплаве - 35% никеля, т.е. 0,35y (кг) никеля. Третий сплав содержит 30% никеля, т.е. 0,3*225 = 67,5 (кг) никеля. Получаем уравнение:

0,1x+0,35y = 67,5.

Умножим последнее уравнение на 10, получим:

x+3,5y = 675. (уравнение 2)

Вычтем из уравнения 2 уравнение 1:

x+3,5y - (x+y) = 675 - 225,

x = 225 - 180 = 45.

Тогда y-x = 180 - 45 = 135 (кг), т.е. масса первого сплава меньше массы второго сплава на 135 кг.

Ответ: 135.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 25 км. Путь из А в В занял у туриста 6 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость туриста на спуске. Тогда скорость туриста на подъеме равна x-1 (км/ч).

Путь на подъеме занял 6-1 = 5 часов. Составим уравнение:

x = 5 (км/ч) - скорость туриста на спуске.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 38 км. Путь из А в В занял у туриста 8 часов, из которых 6 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске , если она больше скорости на подъёме на 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость туриста на спуске. Тогда скорость туриста на подъеме равна x-5 (км/ч).

Путь на подъеме занял 8-6 = 2 часа. Составим уравнение:

x = 6 (км/ч) - скорость туриста на спуске.

Прототип задания B14 (№ 99574 )

Задание.

Дана правильная треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1 , сторона AB основания которой равна 10, а боковое ребро BB 1 равно √15. На ребрах AB и B 1 C 1 отмечены точки K и L соответственно, причем AK = 7; B 1 L = 1. Точка M – середина ребра A 1 C 1 . Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC.

а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM.

б) Найдите расстояние от точки C 1 до плоскости γ.

Решение:

a) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM.

Проведем через точки K и L прямые, параллельные AC. Эти прямые пересекают ребро BC в точке K 1 и ребро A 1 B 1 в точке L 1 (см. рис. 1). Тогда равнобедренная трапеция KL 1 LK 1 является сечением призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью γ.

Рассмотрим плоскость BB 1 M. Эта плоскость пересекает прямую AC в точке N, прямую KK 1 в точке E и прямую LL 1 в точке F. Четырехугольник BB 1 MN – прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A 1 MB 1 .

MB 1 = A 1 B 1 ·sin60 0

MB 1 = NB = 5√3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MB 1 B. По теореме Пифагора найдем MB.

MB 2 = MB 1 2 + BB 1 2

MB 2 = (5√3) 2 + (√15) 2 = 90

По теореме Фалеса:

B 1 F: MB 1 = B 1 L: B 1 C 1 = 1: 10.

B 1 F: MB 1 = 1: 10.

B 1 F = 1·MB 1 /10

B 1 F = (1·5√3)/10 = √3/2.

Проведем KS параллельно AA 1 . Рассмотрим прямоугольный треугольник KSL 1:

KS = AA 1 = √15

SL 1 = A 1 L 1 — A 1 S

A 1 L 1 = A 1 B 1 — B 1 L = 10 – 1 = 9

SL 1 = A 1 L 1 — AK = 9 — 7 = 2

По теореме Пифагора:

KL 1 2 = KS 2 + SL 1 2

KL 1 2 = (√15) 2 + 2 2 = 19

Треугольник ABC и треугольник KBK 1 подобные треугольники, значит

AC: KK 1 = AB: KB

10: KK 1 = 10: 3

Треугольник A 1 B 1 C 1 и треугольник L 1 BL подобные треугольники, значит

A 1 C 1: LL 1 = A 1 B 1: B 1 L 1

10: LL 1 = 10: 1

Рассмотрим равнобедренную трапецию KL 1 LK 1 , EF – высота трапеции.

Проведем PL 1 параллельно EF, тогда KP = (KK 1 — LL 1)/2 = 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KPL 1 . По теореме Пифагора:

PL 1 2 = KL 1 2 – KP 2

PL 1 2 = (√19) 2 — 1 2 = 18

EF = PL 1 = 3√2.

Рассмотрим рисунок 2.

рис. 2.

Из прямоугольного треугольника MBB 1:

Из прямоугольного треугольника TEF:

Рассмотрим треугольник MFO:

То есть прямые MB и EF перпендикулярны. Прямая KK 1 параллельна прямой АС, которая перпендикулярна плоскости BB 1 M. Значит, прямые KK 1 и EF перпендикулярны прямой MB, поэтому прямая MB перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C 1 до плоскости γ. Смотри рисунок 3.

рис. 3.