Вектор. Что такое вектор? Вектор в линейной алгебре и математическом анализе
Берта Бородкина, известная в определенных кругах как «Железная Белла»,
была одной из 3-х женщин, казненных в позднем СССР. Первые две были отпетыми преступницами. Они были осуждены за многочисленные убийства, совершенные с особым цинизмом. Фигура «Железной Беллы» на фоне этих кровожадных дам выглядит на удивление скромно.
При этом заслуженный работник торговли Бородкина была однозначно и без права обжалования приговорена к смертной казни. Есть масса версий, почему карательные органы Страны Советов поступили с ней так жестоко.
Спекулянтка или оборотистая бизнес-леди?
Статья, по которой осудили Берту Наумовну, - спекуляции в особо крупных размерах. При обыске у нее на квартире были обнаружены целые залежи дефицитных товаров, о которых простые советские граждане могли только мечтать: шикарная хрустальная посуда, ювелирные украшения, меха.
Деньги у Берты Наумовны были в буквальном смысле слова закатаны в банки в подвале и припрятаны в горах кирпича во дворе дома. Хранить такие суммы на сберкнижке в советское время было равносильно самоубийству. Общая стоимость всего изъятого при обыске квартиры Бородкиной - около 500 тысяч рублей.
А начинала женщина свой стремительный взлет в торговле с работы официантки. Затем была повышена до буфетчицы. За пару лет оборотистой даме удалось стать директором сети ресторанов в курортном Геленджике и перейти в ранг особо уважаемых людей города. Как очень полезного человека, ее приглашали в дома самых высокопоставленных лиц в государстве (того же секретаря райкома партии Сергея Медунова)
Бородкина была полезна многим
Как и многие работники торговли ее ранга, Берта Наумовна давала и брала огромные взятки. В условиях острейшего дефицита в стране она умела принять высоких гостей здравницы с царским размахом. За это Бородкину особенно ценили высшие партийные чиновники. Систематически красть были обучены все работники ее ресторанов и столовых. Сметану и молоко щедро разбавляли водой. В супы и второе не докладывали мясо и другие продукты.
Этим грешили в советское время все заведения общепита, но Бородкина ввиду управления огромной сетью столовых и ресторанов умудрялась наворовать колоссальные суммы. Они шли и на собственное обогащение, и на взятки тем, кто закрывал глаза на ее махинации. О них знали (или догадывались) все. Услугами ушлой коммерсантки охотно пользовались многие чиновники.
Андроповские чистки
Дополнительный заработок Бородкиной приносила подпольная демонстрация порнофильмов в подвалах некоторых геленджикских кафе. Именно в такое заведение впервые нагрянули правоохранительные органы, вслед за чем потянулась длинная ниточка «достижений» Берты Бородкиной. Были обнаружены факты спекуляций, недовесов в кафе и ресторанах, а также взяточничества многим чиновникам (в том числе и I секретарю горкома партии Николаю Погодину).
Было установлено, что сумма полученного в качестве взяток и награбленного Бородкиной составляла более 1 млн рублей. За такое расстреливали, но мужчин. К женщинам правосудие проявляло снисхождение. «Железной Белле» могло в худшем случае «светить» пожизненное заключение в лагере. Но ее расстреляли. Приговор и для самой Беллы, и для ее знакомых стал настоящим потрясением.
По одной из версий, Берта Наумовна стала жертвой свирепствовавших в тот период андроповских чисток. Размах ее «бизнеса» оказался настолько огромным, что власть не могла закрыть на это глаза. К тому же в деле были замешаны крупные партийные деятели (всего около 20-ти человек), что уже было настоящим скандалом. Расстрел Бородкиной стал показательной казнью, уроком для тех, кто «слишком хорошо устроился» в Стране пролетариев. Андропов рвался к власти, и никакая «Железная Белла» не могла рассчитывать на снисхождение.
Многие знания - много печали
Берта Наумовна была уверена, что ей помогут, «замолвят словечко» кому нужно и вытянут из петли. Не зря же она завела такой огромный круг знакомств с самыми высокопоставленными товарищами страны. Но это, напротив, сыграло против Бородкиной. Тот, кто мог ей помочь, предпочитал «не светиться», чтобы и самому не попасть под ножи безжалостной андроповской машины.
Знакомство с подсудимой могло привести к плачевным последствиям. По делу «Железной Беллы» проходило 20 томов дознаний и свидетельских показаний. Оно потянуло за собой еще 3 десятка других расследований, по которым было осуждено более 70-ти должностных лиц. Сергей Медунов, который активно «крышевал» Бородкину много лет, бесследно исчез. Есть предположения, что он сбежал за границу. Громкое дело Берты Бородкиной стало еще одной ступенькой, которая помогла Юрию Андропову взобраться на самый пик политической карьеры.
Вектор - это математический объект, который характеризуется направлением и величиной. В геометрии вектором называется отрезок прямой на плоскости или в пространстве, который имеет свое определенное направление и длину.
Обозначение вектора
Для обозначения вектора используется либо одна строчная буква либо две прописных, которые соответствуют началу и концу вектора, при этом над буквами изображается горизонтальная черточка. Первая буква обозначает начало вектора, вторая - конец (смотрите рисунок 1). На графическом отображении вектора изображается стрелка, указывающая его направление.
Что такое координаты вектора на плоскости и в пространстве?
Координаты вектора - это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат. Звучит сложно, однако на деле довольно просто. Разберем на примере.
Допустим, нам требуется найти координаты вектора а. Поместим его в трехмерную систему координат (см. рисунок 2) и выполним проекции вектора на каждую ось. Вектор а в данном случае запишется так: a= a x i+ a y j+ a z k, где i, j, k - базисные векторы, a x , a y , a z - коэффициенты, которые и определяют координаты вектора а. Само выражение будет называться линейной комбинацией. На плоскости (в прямоугольной системе координат) линейная комбинация будет состоять из двух базисов и коэффициентов.
Отношения векторов
В теории векторов существует такой термин, как отношение векторов. Данное понятие определяет расположение векторов относительно друг друга на плоскости и в пространстве. Наиболее известные частные случаи отношений векторов:
- коллинеарность;
- сонаправленность;
- компланарность;
- равность.
Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или параллельны друг другу, для сонаправленных векторов характерно одинаковое направление, для компланарных - расположение в одной плоскости или в параллельных плоскостях, равные вектора имеют одинаковое направление и длину.
Такое понятие, как вектор, рассматривается практически во всех естественных науках, причем он может иметь совершенно разное значение, поэтому дать однозначное определение вектора для всех областей невозможно. Но попробуем разобраться. Итак, вектор - что такое?
Понятие вектора в классической геометрии
Вектор в геометрии - отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая - концом. То есть, говоря проще, вектором называется направленный отрезок.
Соответственно, обозначается вектор (что такое - рассмотрели выше), как и отрезок, то есть двумя заглавными буквами латинского алфавита с добавлением сверху черты или стрелки, направленной вправо. Также его можно подписать строчной (маленькой) буквой латинского алфавита с чертой или стрелкой. Стрелка всегда направлена вправо и не меняется в зависимости от расположения вектора.
Таким образом, вектор имеет направление и длину.
В обозначении вектора содержится и его направление. Выражается это так, как на рисунке ниже.
Изменение направления меняет значение вектора на противоположное.
Длиной вектора называется длина отрезка, от которого он образован. Обозначается он как модуль от вектора. Это показано на рисунке ниже.
Соответственно, нулевым является вектор, длина которого равна нулю. Из этого следует, что нулевой вектор представляет собой точку, при чем в ней совпадают точки начала и конца.
Длина вектора - величина всегда не отрицательная. Иначе говоря, если есть отрезок, то он в обязательном порядке обладает некоторой длиной или же является точкой, тогда его длина равна нулю.
Само понятие точки является базовым и определения не имеет.
Сложение векторов
Существуют специальные формулы и правила для векторов, с помощью которых можно выполнить сложение.
Правило треугольника. Для сложения векторов по этому правилу достаточно совместить конец первого вектора и начала второго, используя при этом параллельный перенос, и соединить их. Полученный третий вектор и будет равен сложению двух других.
Правило параллелограмма. Для сложения по этому правилу необходимо провести оба вектора из одной точки, а затем провести из конца каждого из них другой вектор. То есть, из первого вектора будет проведен второй, а из второго - первый. В результате получится новая точка пересечения и образуется параллелограмм. Если совместить точку пересечения начал и концов векторов, то полученный вектор и будет результатом сложения.
Похожим образом возможно выполнять и вычитание.
Разность векторов
Аналогично сложению векторов возможно выполнить и их вычитание. Оно базируется на принципе, указанном на рисунке ниже.
То есть вычитаемый вектор достаточно представить в виде вектора, ему противоположного, и произвести расчет по принципам сложения.
Также абсолютно любой ненулевой вектор возможно умножить на какое-либо число k, это изменит его длину в k раз.
Помимо этих, существуют и другие формулы векторов (например, для выражения длины вектора через его координаты).
Расположение векторов
Наверняка многие сталкивались с таким понятием, как коллинеарный вектор. Что такое коллинеарность?
Коллинеарность векторов - эквивалент параллельности прямых. Если два вектора лежат на прямых, которые параллельны друг другу, или же на одной прямой, то такие векторы называются коллинеарными.
Направление. Относительно друг друга коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными, это определяется направлением векторов. Соответственно, если вектор сонаправлен с другим, то вектор, ему противоположный, противоположно направлен.
На первом рисунке показаны два противоположно направленных вектора и третий, который не коллинеарен им.
После введения вышеуказанных свойств возможно дать определение и равным векторам - это векторы, которые направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину отрезков, от которых они образованы.
Во многих науках применяется еще и понятие радиус-вектора. Подобный вектор описывает положение одной точки плоскости относительно другой фиксированной точки (зачастую это начало координат).
Векторы в физике
Предположим, при решении задачи возникло условие: тело движется со скоростью 3 м/с. Это означает, что тело движется с конкретным направлением по одной прямой, поэтому данная переменная будет величиной векторной. Для решения важно знать и значение, и направление, так как в зависимости от рассмотрения скорость может равняться и 3 м/c, и -3 м/с.
В общем случае вектор в физике используется для указания направления силы, действующей на тело, и для определения равнодействующей.
При указании этих сил на рисунке их обозначают стрелками с подписью вектора над ним. Классически длина стрелки так же важна, с помощью нее указывают, какая сила действует сильнее, однако это свойство побочное, опираться на него не стоит.
Вектор в линейной алгебре и математическом анализе
Элементы линейных пространств также называются векторами, однако в данном случае они представляют собой упорядоченную систему чисел, описывающих некоторые из элементов. Поэтому направление в данном случае уже не имеет никакой важности. Определение вектора в классической геометрии и в математическом анализе сильно различаются.
Проецирование векторов
Спроецированный вектор - что такое?
Довольно часто для правильного и удобного расчета необходимо разложить вектор, находящийся в двухмерном или трехмерном пространстве, по осям координат. Данная операция необходима, например, в механике при подсчете сил, действующих на тело. Вектор в физике используется достаточно часто.
Для выполнения проекции достаточно опустить перпендикуляры из начала и конца вектора на каждую из координатных осей, полученные на них отрезки и будут называться проекцией вектора на ось.
Для подсчета длины проекции достаточно умножить его изначальную длину на определенную тригонометрическую функцию, которая получается при решении мини-задачи. По сути, есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза является исходным вектором, один из катетов - проекцией, а другой катет - опущенным перпендикуляром.
Contents
Mathematical vector
Definition
Graphical representation and vector operations
Vectors are typically graphically represented as arrows: the arrowhead points into the direction of the vector and the length of the arrow represents the vector"s magnitude.
Symbols standing for vectors are usually printed in boldface as a ; this is also the convention adopted in this encyclopedia. Other conventions write an arrow above or a line beneath the letter. Alternatively, vectors - especially those dealing with distances or force diagrams - can be written as AB with an arrow above or a line beneath; here A denotes the base point and B denotes the tip of the arrow.
Two vectors a and b may be added together graphically by placing the the start of the arrow b at the tip of the arrow a , and then drawing an arrow from the start of a to the tip of b . The new arrow drawn represents the vector a + b . This addition method is sometimes called the parallelogram rule . If a and b are bound vectors, then the addition is only defined if a and b have the same base point, which will then also be the base point of a + b . One can check geometrically that a + b = b + a and (a + b ) + c = a + (b + c ).
Subtraction of two vectors can be geometrically defined as follows: to subtract b from a , place the ends of a and b at the same point, and then draw an arrow from the tip of b to the tip of a . That arrow represents the vector a - b . If a and b are bound vectors, then the subtraction is only defined if they share the same base point which will then also become the base point of their difference. This operations deserves the name "subtraction" because (a - b ) + b = a .
/ a 1 \ a = | a 2 | or a = \ a 3 /
even though this notation suppresses the dependence of the coordinates a 1 , a 2 and a 3 on the specific choice of coordinate system i , j and k .
Coordinate systems facilitate the vector operations considerably: adding or subtracting two vectors only involves adding or subtracting their coordinates and multiplying a vector by a real number involves multiplying its coordinates with that same number.
Length
The length or magnitude of the vector a is denoted by |a |. In arrow representation, length is easy to find since this representation is based on direction and magnitude. If a coordinate system has been introduced, the length of the vector a = a 1 i + a 2 j + a 3 k can be computed as
|a | = √(a 1 2 + a 2 2 + a 3 2)Dot Product
The dot product of two vectors a and b , also called the scalar product since its result is a scalar, is denoted by a ·b or sometimes by (a , b ) and is defined as:
a ·b = |a ||b | cos(θ)Cross Product
The cross product or vector product differs from the dot product primarily in that the result of a cross product of two vectors is a vector. While everything that was said above can be generalized in a straightforward manner to more than three dimensions, the cross product is only meaningful in three and seven dimensions. In three dimensions the cross product, denoted a ×b , is a vector perpendicular to both a and b and is defined as:
a ×b = |a ||b | sin(θ) nwhere θ is the measure of the angle between a and b , and n is a unit vector perpendicular to both a and b . The problem with this definition is that there are two unit vectors perpendicular to both b and a . Which vector is the correct one depends upon the orientation of the vector space, i.e. on the handedness of the coordinate system. The coordinate system i , j , k is called right handed , if the three vectors are situated like the thumb, index finger and middle finger (pointing straight up from your palm) of your right hand. In such a system, a ×b is defined so that a , b and a ×b also becomes a right handed system. If i , j , k is left-handed, then a , b and a ×b is defined to be left-handed. Because the cross product depends on the choice of coordinate systems, its result is referred to as a pseudo-vector. Fortunately, in nature cross products tend to come in pairs, so that the "handedness" of the coordinate system is undone by a second cross product.
The length of a ×b can be interpreted as the area of the parallelogram having a and b as sides.
General properties of the cross product include:
- the cross product is anti-symmetric, which means: a ×b = -b ×a
- the cross product is not associative, but satisfies the Jacobi identity : a ×(b ×c ) + b ×(c ×a ) + c ×(a ×b ) = 0 and Lagrange"s formula : a ×(b ×c ) = (a ·c )b - (a ·b )c
- the cross product is distributive across addition, meaning that a ×(b + c ) = a ×b + a ×c
- the cross product is compatible with scalar multiplication in the following sense: (r a )×b = a ×(r b ) = r (a ×b ).
- two non-zero vectors a and b are parallel if and only if a ×b = 0 .
- i ×j = k , j ×k = i , k ×i = j
- It follows that in Cartesian coordinates , the cross product can be written as: a ×b =
- the above component notation can also be written as the determinant of the matrix : i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3
In seven dimensions it is also possible to define a cross product. This product has the following properties in common with the usual 3-dimensional cross product:
- It is bilinear in the sense that x ×(ay +bz )=ax ×y +bx ×z and (ay +bz )×x =ay ×x +bz ×x
- It is anti-commutative: x ×y =-y ×x
- x ·(x ×y )=y ·(x ×y )=0
- |x ×y | 2 =|x | 2 |y | 2 (1-(x ·y ) 2)
and it satisfies the Jacobi identity above. Unfortunately the definition is more complex than that in three dimensions. The 3-D and 7-D cross products are related to the quaternions and octonions , respectively.
Scalar Triple Product
The scalar triple product (also called the box product or mixed triple product ) isn"t really a new operator, but a way of applying the other two multiplication operators to three vectors. The scalar triple product is denoted by (a b c ) and defined as:
(a b c ) = a ·(b ×c )
It has three primary uses. First, the absolute value of the box product is the volume of the parallelepiped which has edges that are defined by the three vectors. Second, the scalar triple product is zero if and only if the three vectors are linearly dependent , which can be easily proved by considering that in order for the three vectors to not make a volume, they must all lie in the same plane. Third, the box product is positive if and only if the three vectors a , b and c are oriented like the coordinate system i , j and k .
In coordinates, if the three vectors are thought off as rows, the scalar triple product is simply the determinant of the 3-by-3 matrix having the three vectors as rows. The scalar triple product is linear in all three entries and anti-symmetric in the following sense:
(a b c ) = (c a b ) = (b c a ) = -(a c b ) = -(b a c ) = -(c b a )
Конструкция
См. также
Напишите отзыв о статье "KRISS Vector"
Примечания
Ссылки
Отрывок, характеризующий KRISS Vector
Я благодарна моему чудесному сыну Роберту, за возможность чувствовать себя гордой матерью, за его открытое сердце и за его талант, а также за то, что он просто есть на этой земле.И я всей душой благодарна моему удивительному мужу – Николаю Левашову – помогшему мне найти себя в моём «затерянном» мире, давшему мне понимание всего того, на что я мучительно пыталась найти ответы долгие годы, и открывшему для меня дверь в невероятный и неповторимый мир большого Космоса. Ему, моему лучшему другу, без которого я не могла бы сегодня представить своего существования, я посвящаю эту книгу.
Пояснение первое
По мере того, как мы растём, взрослеем, стареем, наша жизнь наполняется множеством нам дорогих (а частично и совершенно ненужных), воспоминаний. Всё это перегружает нашу, и так уже чуть уставшую, память, оставляя в ней лишь «осколки» давно произошедших событий и лица каких-то давным-давно встреченных людей.
Настоящее понемножку вытесняет прошлое, загромождая наш и так уже сильно «натруженный» мозг важными событиями сегодняшнего дня, и наше чудесное детство, вместе с так дорогой нам всем юностью, «затуманенные» потоком «важного сегодняшнего», постепенно уходят на второй план...
И какую бы яркую мы не прожили жизнь, и какой бы блестящей памятью не обладали, никто из нас не сможет восстановить с полной точностью события, происходившие сорок (или более) лет назад.
Иногда, по неизвестным нам причинам, какой-то человек или факт оставляет в нашей памяти неизгладимое впечатление и буквально «впечатывается» в неё навсегда, а иногда даже что-то очень важное просто исчезает в «вечнотекущем» потоке времени, и только случайный разговор с каким-то старым знакомым неожиданно «выхватывает» из закоулков нашей памяти какое-то исключительно важное событие и несказанно удивляет нас тем, что мы вообще могли такое как-то забыть!..
Перед тем, как я решилась написать эту книгу, я попыталась восстановить в своей памяти некоторые для меня важные события, которые я считала достаточно интересными, чтобы о них рассказать, но, к моему большому сожалению, даже обладая великолепной памятью, я поняла, что не смогу достаточно точно восстановить многие детали и особенно диалоги, которые происходили так давно.
Поэтому я решила воспользоваться самым надёжным и хорошо проверенным способом – перемещением во времени – для восстановления любых событий и их деталей с абсолютной точностью, проживая заново именно тот день (или дни), когда выбранное мною событие должно было происходить. Это было единственным верным для меня способом достичь желаемого результата, так как обычным «нормальным» способом и вправду абсолютно невозможно воспроизвести давно прошедшие события с такой точностью.
Я прекрасно понимала, что такая детальная точность до мельчайших подробностей воспроизведённых мною диалогов, персонажей и давно происходивших событий, может вызвать недоумение, а может даже и некоторую настороженность моих уважаемых читателей (а моим «недоброжелателям», если такие вдруг появятся, дать возможность назвать всё это просто «фантазией»), поэтому сочла своим долгом попытаться всё происходящее как-то здесь объяснить.
И даже если это мне не совсем удалось, то просто пригласить желающих приоткрыть со мной на какое-то мгновение «завесу времени» и прожить вместе мою странную и временами даже чуть-чуть «сумасшедшую», но зато очень необычную и красочную жизнь...
После стольких прошедших лет, для всех нас детство становится больше похожим на давно слышанную добрую и красивую сказку. Вспоминаются тёплые мамины руки, заботливо укрывающие перед сном, длинные солнечные летние дни, пока ещё не затуманенные печалями и многое, многое другое – светлое и безоблачное, как само наше далёкое детство… Я родилась в Литве, в маленьком и удивительно зелёном городке Алитус, далеко от бурной жизни знаменитых людей и «великих держав». В нём жило в то время всего около 35,000 человек, чаще всего в своих собственных домах и домиках, окружённых садами и цветниками. Весь городок окружал древний многокилометровый лес, создавая впечатление огромной зелёной чаши, в которой тихо мирно ютился, живя своей спокойной жизнью, княжеский городок.
Он строился в 1400 году литовским князем Алитис на берегу широкой красавицы реки Нямунас. Вернее, строился замок, а вокруг уже позже обстраивался городок. Вокруг городка, как бы создавая своеобразную защиту, река делала петлю, а в середине этой петли голубыми зеркалами сияли три небольших лесных озера. От старинного замка до наших дней, к сожалению, дожили только лишь руины, превратившиеся в огромный холм, с вершины которого открывается изумительный вид на реку. Эти руины были любимым и самым загадочным местом наших детских игр. Для нас это было местом духов и привидений, которые казалось всё ещё жили в этих старых полуразрушенных подземных тоннелях и искали своих «жертв», чтобы утащить их с собой в свой загадочный подземный мир… И только самые храбрые мальчишки отваживались идти туда достаточно глубоко, чтобы потом пугать всех оставшихся страшными историями.
Насколько я себя помню, большая половина моих самих ранних детских воспоминаний была связана именно с лесом, который очень любила вся наша семья. Мы жили очень близко, буквально через пару домов, и ходили туда почти каждый день. Мой дедушка, которого я обожала всем своим детским сердечком, был похож для меня на доброго лесного духа. Казалось, он знал каждое дерево, каждый цветок, каждую птицу, каждую тропинку. Он мог часами рассказывать об этом, для меня совершенно удивительном и незнакомом мире, никогда не повторяясь и никогда не уставая отвечать на мои глупые детские вопросы. Эти утренние прогулки я не меняла ни на что и никогда. Они были моим любимым сказочным мирком, которым я не делилась ни с кем.
