Одинаковые бруски связанные нитью движутся под действием. Решение задач на движение системы связанных тел. Одинаковые бруски,связанные нитью,движутся под действием внешней силы F по гладкой горизонтальной поверхности. Как изменится сила натяжения нити Т,е

Баканина Л. Законы Ньютона //Квант. - 1982. - №12. - С. 38-41.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Основные законы динамики были установлены около трехсот лет тому назад великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643-1727). Ньютон сформулировал их следующим образом (А. Г. Дорфман. «Всемирная история физики». М., «Наука», 1974):

Закон I. Всякое тело продолжает сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменять это состояние.

Закон II. Изменение (количества) движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон III. Действие всегда встречает равное противодействие, или воздействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

За 300 лет эти законы многократно подвергались экспериментальной проверке, и никаких нарушений обнаружено не было. Уточнялись лишь границы их применимости и вносились поправки, необходимые для областей микромира и скоростей, близких к скорости света.

Очевидно, что первый закон, по существу, постулирует существование таких систем отсчета (связанных с материальными объектами), в которых справедливы второй и третий законы Ньютона. Эти системы отсчета называют инерциальными.

Третий закон утверждает, что сила всегда является результатом взаимодействия двух каких-то тел. Если рассмотреть все тела, которые взаимодействуют с исследуемым телом, можно определить все силы, на него действующие. В современной физике силы взаимодействия делят на четыре больших класса: гравитационные, электромагнитные, сильные и слабые (два последних класса относятся к ядерным взаимодействиям). В механике, кроме гравитационных сил, принято выделять силы упругости и силы трения. По происхождению две последние силы - электромагнитные, но каждая из них имеет свои особенности и потому рассматривается отдельно.

Основным является, конечно, второй закон, который в настоящее время чаще всего записывается в виде

где - действующая на тело сила, m - масса тела и - приобретаемое телом ускорение. Если известны все действующие силы, с помощью этого закона можно найти ускорение тела, а, следовательно, скорость и координаты в любой момент времени.

Поясним сказанное на конкретных задачах . Большинство из них предлагалось на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Сила, действующая на тело, периодически меняет свое направление на противоположное (рис. 1, а). Как движется тело под действием такой силы?

Рассмотрим, как зависят от времени скорость тела и его перемещение вдоль линии действия силы (пусть это будет ось X ). Для определенности будем считать, что начальные скорость и координата равны нулю.

На участке 0-1 сила постоянна и по модулю, и по направлению; следовательно, движение тела равноускоренное: скорость меняется пропорционально времени, а перемещение - пропорционально квадрату времени. В таком случае график скорости (точнее - ее проекции υ на выбранное направление) представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 1, б), а график перемещения (вернее - координаты х ) - параболу, вершина которой находится в начале координат (рис. 1, в).

На участке 1-2 сила постоянна, но направлена в противоположную сторону. Скорость линейно падает со временем и в точке 2 обращается в нуль (время действия силы такое же, как на первом участке; значит, такое же и изменение количества движения). График координаты на этом участке - парабола, у которой вершина находится в точке 2 . В точке 1 происходит плавный переход одной параболы в другую, так как разрыва скорости в этой точке нет.

Дальше рассмотрение ведется аналогично. Как видно из полученных графиков, скорость нигде не меняет знак, лишь периодически обращается в нуль, а координата все время увеличивается. Другими словами, тело все время удаляется от первоначального положения, его движение вовсе не является периодическим, хотя именно такой ответ часто приходится слышать от абитуриентов на вступительных экзаменах.

Задача 2. Два тела массой М 1 = 7 кг и М 2 =5 кг связаны нитью и лежат на горизонтальном столе (рис. 2, а). К ним через блок, укрепленный на краю стола, подвешивают третье тело массой М = 1 кг. Коэффициент трения между первыми двумя телами и столом μ = 0,l. Определите натяжение обеих нитей и силы трения, действующие на тела. Как изменится ответ, если М = 1,5 кг?

Так как значение силы трения существенно зависит от того, движется или покоится тело, прежде всего, выясним, что происходит с данной системой тел. Очевидно, тела будут двигаться, если сила тяжести больше максимальной силы трения покоя

В первом случае = 10 H, а F mах = 12 Н; следовательно, движения не возникает. При этом натяжение первой нити, перекинутой через блок, равно

Рассмотрим силы, действующие на тело массой М 1 (рис. 2, б). Так как T 1 = 10 Н > = 7 Н, сила трения достигает своего максимального значения

Эта сила не может уравновесить натяжение T 1 первой нити, и вторая нить тоже натягивается. Ее натяжение равно

На тело массой М 2 действуют две силы: натяжение нити Т 2 и сила трения F 2 (рис. 2, в). Так как T 2 = 3 Н < =5 H, сила трения покоя F 2 уравновешивает натяжение нити:

Во втором случае = 15 H; следовательно, и система тел движется как единое целое. При этом силы трения, действующие на тела, есть силы трения скольжения. Следовательно,

7 Н и = 5 Н.

Обозначим модуль ускорения всех тел через a и запишем второй закон Ньютона для каждого из тел, выбрав соответствующую ось координат:

Решая эту систему уравнений, находим

Распространенная ошибка абитуриентов - и в первом случае используется решение, пригодное только для движущейся системы.

Задача 3. По «экватору» внутренней поверхности сферической оболочки массой М с постоянной по модулю скоростью движется небольшой шарик массой m , совершая полный оборот за время Т (рис. 3). Считая, что внешних сил нет и трение отсутствует, определите, с какой силой шарик давит на сферу. Расстояние между центрами тяжести шарика и сферы равно d .

Поскольку на систему «сфера - шарик» внешние силы не действуют, центр масс этой системы должен покоиться (что непосредственно следует из законов Ньютона). Это означает, что движутся не только шарик, но и сфера, причем оба они вращаются вокруг оси, проходящей через центр масс системы.

Обозначим расстояние от шарика до центра масс через r , тогда

и

По третьему закону Ньютона сила, с которой шарик давит на сферу, равна по модулю силе, с которой сфера действует на шарик. Она и сообщает шарику центростремительное ускорение

Итак, искомая сила равна по модулю

и направлена по радиусу от центра вращения.

Задача 4. Невесомая штанга длиной L одним концом закреплена в идеальном шарнире, а другим опирается на пружину жесткостью k (рис. 4). Определите период малых колебаний штанги в зависимости от положения l на ней груза массой m .

Пусть груз сместился по вертикали на расстояние х . При этом пружина деформируется на , и со стороны пружины на конец штанги действует сила . Штанга невесома, поэтому суммарный момент сил, действующих на нее, должен быть равен нулю (иначе она приобрела бы бесконечно большое угловое ускорение):

2. Три бруска одинаковой массой М = 5 кг лежат на горизонтальном столе. Бруски связаны нитями, которые рвутся при натяжении Т = 20 Н. Коэффициенты трения брусков о стол равны, соответственно, μ 1 =0,3, μ 2 = 0,2 и μ 3 = 0,1. Брусок 3 тянут с силой F , которую постепенно увеличивают. Которая из нитей, скрепляющих бруски, порвется, и при какой минимальной силе F это произойдет? Как изменится ответ, если силу F прикладывать к бруску 1 ?

3. Груз, подвешенный на нити длиной L , равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Найдите период обращения груза, если нить отклонена от вертикали на угол α.

4. Коробка массой М стоит на горизонтальном столе (рис. 6). Коэффициент трения между столом и коробкой μ. Внутри коробки лежит тело массой m , которое может без трения двигаться по дну коробки. Оно прикреплено к стенке коробки пружиной жесткостью k . При какой амплитуде колебаний тела коробка начнет двигаться по столу?

Ответы.

1. См. рис. 7.

2. В первом случае раньше всего порвется нить между брусками 2 и 3 (при этом все бруски остаются неподвижными). Это произойдет при силе F 1 = 25 Н. Во втором случае порвется нить между брусками 1 и 2 при силе F 2 = 37,5 H (бруски движутся).

3.

4.

В этой задаче необходимо найти отношение силы натяжения к

Рис. 3. Решение задачи 1 ()

Растянутая нить в этой системе действует на брусок 2, заставляя его двигаться вперед, но она также действует и на брусок 1, пытаясь препятствовать его движению. Эти две силы натяжения равны по величине, и нам как раз необходимо найти эту силу натяжения. В таких задачах необходимо упростить решение следующим образом: считаем, что сила является единственной внешней силой, которая заставляет двигаться систему трех одинаковых брусков, и ускорение остается неизменным, то есть сила заставляет двигаться все три бруска с одинаковым ускорением. Тогда натяжение всегда двигает только один брусок и будет равно mа по второму закону Ньютона. будет равно удвоенному произведению массы на ускорение, так как третий брусок находится на втором и нить натяжения должна уже двигать два бруска. В таком случае отношение к будет равно 2. Правильный ответ - первый.

Два тела массой и , связанные невесомой нерастяжимой нитью, могут без трения скользить по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы (Рис. 4). Чему равно отношение сил натяжения нити в случаях а и б?

Выбор ответа: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2 ()

Рис. 5. Решение задачи 2 ()

На бруски действует одна и та же сила, только в разных направлениях, поэтому ускорение в случае «а» и случае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вызывает ускорение двух масс. Но в случае «а» эта сила натяжения заставляет двигаться еще и брусок 2, в случае «б» это брусок 1. Тогда отношение этих сил будет равно отношению их масс и мы получим ответ - 1,5. Это третий ответ.

На столе лежит брусок массой 1 кг, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити подвешен груз массой 0,5 кг (Рис. 6). Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения бруска о стол составляет 0,35.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3 ()

Записываем краткое условие задачи:

Рис. 7. Решение задачи 3 ()

Необходимо помнить, что силы натяжения и как векторы разные, но величины этих сил одинаковы и равны Точно также у нас будут одинаковы и ускорения этих тел, так как они связаны нерастяжимой нитью, хотя направлены они в разные стороны: - горизонтально, - вертикально. Соответственно, и оси для каждого из тел выбираем свои. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел, при сложении внутренние силы натяжения сократятся, и получим обычное уравнение, подставив в него данные, получим, что ускорение равно .

Для решения таких задач можно пользоваться методом, который использовался в прошлом веке: движущей силой в данном случае является результирующая внешних сил, приложенных к телу. Заставляет двигаться эту систему сила тяжести второго тела, но мешает движению сила трения бруска о стол, в этом случае:

Так как движутся оба тела, то движущая масса будет равна сумме масс , тогда ускорение будет равно отношению движущей силы на движущую массу Так можно сразу прийти к ответу.

В вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы и , закреплен блок. По поверхности плоскостей при коэффициенте трения 0,2 движутся бруски кг и , связанные нитью, перекинутой через блок (Рис. 8). Найти силу давления на ось блока.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4 ()

Выполним краткую запись условия задачи и поясняющий чертеж (рис. 9):

Рис. 9. Решение задачи 4 ()

Мы помним, что если одна плоскость составляет угол в 60 0 с горизонтом, а вторая плоскость - 30 0 с горизонтом, то угол при вершине будет 90 0 , это обычный прямоугольный треугольник. Через блок перекинута нить, к которой подвешены бруски, они тянут вниз с одной и той же силой, и действие сил натяжения F н1 и F н2 приводит к тому, что на блок действует их результирующая сила. Но между собой эти силы натяжения будут равны, составляют они между собой прямой угол, поэтому при сложении этих сил получается квадрат вместо обычного параллелограмма. Искомая сила F д является диагональю квадрата. Мы видим, что для результата нам необходимо найти силу натяжения нити. Проведем анализ: в какую сторону движется система из двух связанных брусков? Более массивный брусок, естественно, перетянет более легкий, брусок 1 будет соскальзывать вниз, а брусок 2 будет двигаться наверх по склону, тогда уравнение второго закона Ньютона для каждого из брусков будет выглядеть:

Решение системы уравнений для связанных тел выполняется методом сложения, далее преобразовываем и находим ускорение:

Это значение ускорения необходимо подставить в формулу для силы натяжения и найти силу давления на ось блока:

Мы выяснили, что сила давления на ось блока приблизительно равна 16 Н.

Мы рассмотрели различные способы решения задач, которые многим из вас пригодятся в дальнейшем, чтобы понять принципы устройства и работы тех машин и механизмов, с которыми придется иметь дело на производстве, в армии, в быту.

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. - М.: Просвещение, 1990.

Домашнее задание

1. Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
2. Какие величины одинаковы у тел, связанных нерастяжимой нитью?

1. Интернет-портал Bambookes.ru ( ).
2. Интернет-портал 10klass.ru ().
3. Интернет-портал Festival.1september.ru ().

Помогите решить хоть что-нибудь, желательно если можно на листе от руки, очень нужна помощь)) 1.Как изменится сила, действующая на проводник,

при увеличении магнитной индукции в 4 раза и уменьшении силы тока в проводнике в 2 раза?

2. Определите индукцию однородного магнитного поля, если на проводник длиной 20 см действует сила 25 мН. Проводник, по которому течет ток силой 5 А, образует угол 30° с направлением силовых линий поля.

3.Как изменится кинетическая энергия заряженной частицы, если радиус окружности, по которой движется эта частица в однородном магнитном поле, уменьшается в 2 раза? (m = const).

4.На прямолинейный проводник из нихрома (p = 1,1 Ом · мм^2 / м) площадью сечения 0,5 мм^2, помещенный в магнитное поле с индукцией 0,33 Тл, действует сила 2 Н. Проводник расположен перпендикулярно индукции магнитного поля. Определите напряжение на концах проводника.

5.В однородном магнитном поле с индукцией В вращается частица массой m, имеющая заряд q. Как изменится радиус окружности, если индукция В увеличится в 3 раза, заряд не изменится, а масса возрастет в 2 раза?

6.Протон движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией 44 мТл. Определите период обращения протона.

Два груза массами М1 = 1 кг и М2 = 2 кг, лежащие на гладкой горизонтальной поверхности, связаны нерастяжимой и невесомой нитью (см. рис.). Чему

равна сила натяжения нити, если эту систему тянут за груз массой М2 с силой F = 12 Н, направленной горизонтально?

По гладкой горизонтальной поверхности под действием силы F движутся одинаковые бруски,связанные нитью.Если на второй брусок положить еще один такой же то

что будет с ускорением брусков? увеличится или уменьшится и во сколько раз? объясните

не ну ясно что уменьшится

Два груза, связанные нерастяжимой и невесомой нитью, движутся по гладкой горизонтальной поверхности под действием горизонтальной силы, приложенной к

грузу массой М1 = 1 кг (см. рисунок). Минимальная сила F, при которой нить обрывается, равна 12 Н. Известно, что нить может выдержать нагрузку не более 8 Н. Чему равна масса второго груза?

Задачи на законы динамики.

Подробное решение

1. Автомобиль массой 3,2 т за время 15 с от начала движения развил скорость, равную 9 м/с. Определите силу, сообщающую ускорение автомобилю.

2. Канат выдерживает нагрузку 2000 Н. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз массой 120 кг, чтобы канат не разорвался?

3. Подъем груза массой 75 кг с помощью каната на высоту 15 м продолжался 3 с. Определите вес груза при подъеме с постоянным ускорением.

4. На гладком столе лежат два связанных нитью груза. Масса левого груза равна 200 г, масса правого груза равна 300 г. К правому грузу приложена сила 1 Р, к левому 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения соединяющей нити? (Трение не учитывать.)

5. На неподвижном блоке уравновешены два груза, по 100 г каждый. Какой массы перегрузок надо положить на один из грузов для того, чтобы система начала двигаться с ускорением 0,2 м/с^2?

6. Конькобежец проезжает по гладкой горизонтальной поверхности льда по инерции расстояние, равное 80 м. Какова начальная скорость конькобежца, если его масса равна 60 кг, а коэффициент трения равен 0,015?