Potrebni so ulomki z enakimi imenovalci. Kako odšteti ulomke z različnimi imenovalci? Predstavljanje celega števila kot ulomka
Dejanja z ulomki.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Torej, kaj so ulomki, vrste ulomkov, transformacije - spomnili smo se. Pojdimo k glavnemu vprašanju.
Kaj lahko storite z ulomki? Ja, vse je tako kot pri navadnih številkah. Seštevajte, odštevajte, množite, delite.
Vsa ta dejanja z decimalno delo z ulomki se ne razlikuje od dela s celimi števili. Pravzaprav je to tisto, kar je pri njih dobro, decimalni. Edina stvar je, da morate vejico pravilno postaviti.
Mešane številke, kot sem že rekel, so malo uporabni za večino dejanj. Še vedno jih je treba pretvoriti v navadne ulomke.
Toda dejanja z navadni ulomki bolj zviti bodo. In še veliko bolj pomembno! Naj vas spomnim: vsa dejanja z ulomki s črkami, sinusi, neznankami in tako naprej in tako naprej se ne razlikujejo od dejanj z navadnimi ulomki! Operacije z navadnimi ulomki so osnova vse algebre. Zaradi tega razloga bomo tukaj zelo podrobno analizirali vso to aritmetiko.
Seštevanje in odštevanje ulomkov.
Vsak zna seštevati (odštevati) ulomke z enakimi imenovalci (močno upam!). No, čisto pozabljive naj spomnim: pri seštevanju (odštevanju) se imenovalec ne spremeni. Števci se seštejejo (odštejejo), da dobimo števec rezultata. Tip:
Skratka na splošno:
Kaj pa, če so imenovalci različni? Nato z uporabo osnovne lastnosti ulomka (tukaj pride spet prav!) naredimo imenovalce enake! Na primer:
Tukaj smo morali narediti ulomek 4/10 iz ulomka 2/5. Z edinim namenom, da bi bili imenovalci enaki. Naj za vsak slučaj pripomnim, da sta 2/5 in 4/10 isti ulomek! Samo 2/5 nam je neprijetnih, 4/10 pa je res v redu.
Mimogrede, to je bistvo reševanja kakršnih koli matematičnih problemov. Ko smo iz neprijetno delamo izraze ista stvar, vendar bolj priročna za reševanje.
Še en primer:
Situacija je podobna. Tukaj naredimo 48 iz 16. S preprostim množenjem s 3. Vse je jasno. Toda naleteli smo na nekaj takega:
Kako biti?! Težko je iz sedmice narediti devet! Ampak smo pametni, poznamo pravila! Preobrazimo se vsak ulomek, tako da sta imenovalca enaka. To se imenuje "zmanjšaj na skupni imenovalec":
Vau! Kako sem vedel za 63? Zelo preprosto! 63 je število, ki je deljivo s 7 in 9 hkrati. Takšno število lahko vedno dobimo z množenjem imenovalcev. Če število pomnožimo na primer s 7, bo rezultat zagotovo deljiv s 7!
Če morate sešteti (odšteti) več ulomkov, tega ni treba narediti v parih, korak za korakom. Samo najti morate imenovalec, ki je skupen vsem ulomkom, in vsak ulomek zmanjšati na ta isti imenovalec. Na primer:
In kaj bo skupni imenovalec? Seveda lahko pomnožite 2, 4, 8 in 16. Dobimo 1024. Nočna mora. Lažje je oceniti, da je število 16 popolnoma deljivo z 2, 4 in 8. Zato je iz teh števil enostavno dobiti 16. To število bo skupni imenovalec. Spremenimo 1/2 v 8/16, 3/4 v 12/16 in tako naprej.
Mimogrede, če vzamete 1024 za skupni imenovalec, se bo vse izšlo, na koncu se bo vse zmanjšalo. A do tega konca ne bodo prišli vsi, zaradi izračunov ...
Sami dokončajte primer. Ne nekakšen logaritem ... Izkazalo bi se moralo biti 29/16.
Torej je seštevanje (odštevanje) ulomkov jasno, upam? Seveda je lažje delati v skrajšani različici, z dodatnimi množitelji. Toda ta užitek je na voljo tistim, ki so pošteno delali v nižjih razredih ... In niso ničesar pozabili.
In zdaj bomo naredili enaka dejanja, vendar ne z ulomki, ampak z ulomki izrazi. Tukaj bodo razkrite nove rake, ja ...
Sešteti moramo torej dva ulomka:
Imenovalci morajo biti enaki. In samo s pomočjo množenje! To narekuje glavna lastnost ulomka. Zato X v prvem ulomku v imenovalcu ne morem dodati ena. (to bi bilo lepo!). Če pa imenovalce pomnožiš, vidiš, vse skupaj raste! Torej zapišemo vrstico ulomka, pustimo na vrhu prazen prostor, nato ga seštejemo, spodaj pa zapišemo produkt imenovalcev, da ne pozabimo:
In seveda ničesar ne množimo na desni strani, ne odpiramo oklepajev! In zdaj, ko pogledamo skupni imenovalec na desni strani, ugotovimo: da bi dobili imenovalec x(x+1) v prvem ulomku, moramo števec in imenovalec tega ulomka pomnožiti z (x+1) . In v drugem ulomku - do x. Tole dobite:
Opomba! Tukaj so oklepaji! To so grablje, na katere stopi marsikdo. Seveda ne oklepaji, ampak njihova odsotnost. Oklepaj se pojavi, ker množimo vseštevnik in vse imenovalec! In ne njihovih posameznih kosov...
V števec desne strani zapišemo vsoto števcev, vse je kot pri številskih ulomkih, nato v števcu desne strani odpremo oklepaje, tj. Vse pomnožimo in damo podobno. Ni vam treba odpirati oklepajev v imenovalcih ali ničesar množiti! Na splošno je v imenovalcih (kateri koli) izdelek vedno prijetnejši! Dobimo:
Tako smo dobili odgovor. Postopek se zdi dolg in težaven, vendar je odvisen od prakse. Ko rešiš primere, se navadiš, bo vse postalo preprosto. Tisti, ki so ulomke obvladali pravočasno, delajo vse te operacije z eno levo roko, samodejno!
In še ena opomba. Mnogi se pametno ukvarjajo z ulomki, zataknejo pa se pri primerih z celaštevilke. Na primer: 2 + 1/2 + 3/4=? Kam pritrditi dvodelno? Ni vam ga treba nikamor pritrditi, iz dveh morate narediti delček. Ni lahko, ampak zelo preprosto! 2=2/1. Všečkaj to. Vsako celo število lahko zapišemo kot ulomek. Števec je samo število, imenovalec je ena. 7 je 7/1, 3 je 3/1 in tako naprej. Enako je s črkami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 itd. In potem s temi ulomki delamo po vseh pravilih.
No, osvežili smo znanje seštevanja in odštevanja ulomkov. Pretvarjanje ulomkov iz ene vrste v drugo se je ponavljalo. Lahko se tudi pregledate. Naj se malo dogovorimo?)
Izračunaj:
Odgovori (v neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/deljenje ulomkov – v naslednji lekciji. Na voljo so tudi naloge za vse operacije z ulomki.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Koncept NOC
Zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec
Kako sešteti celo število in ulomek
1 Seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti enak, na primer:
Če želite odšteti ulomke z enakimi imenovalci, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec enak, na primer:
Če želite sešteti mešane ulomke, morate posebej sešteti njihove cele dele, nato sešteti njihove ulomke in rezultat zapisati kot mešani ulomek,
Če pri seštevanju ulomkov dobite nepravilen ulomek, iz njega izberite cel del in ga dodajte celemu delu, npr.
2 Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Če želite seštevati ali odštevati ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej zmanjšati na isti imenovalec in nato nadaljevati, kot je navedeno na začetku tega članka. Skupni imenovalec več ulomkov je LCM (najmanjši skupni večkratnik). Za števec vsakega ulomka se dodatni faktorji poiščejo tako, da se LCM deli z imenovalcem tega ulomka. Primer si bomo ogledali pozneje, ko bomo razumeli, kaj je NOC.
3 Najmanjši skupni večkratnik (LCM)
Najmanjši skupni večkratnik dveh števil (NCM) je najmanjše naravno število, ki je deljivo z obema številoma brez ostanka. Včasih je LCM mogoče najti ustno, vendar pogosteje, zlasti pri delu z velikimi števili, morate najti LCM pisno z uporabo naslednjega algoritma:
Če želite najti LCM več številk, potrebujete:
- Razčlenite ta števila na prafaktorje
- Vzemite največjo razširitev in zapišite te številke kot produkt
- V drugih razčlembah izberi števila, ki se ne pojavljajo v največjem razčlenjevanju (ali se v njem pojavljajo manjkrat), in jih prištej zmnožku.
- Pomnožite vsa števila v produktu, to bo LCM.
Na primer, poiščimo LCM števil 28 in 21:
4 Zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec
Vrnimo se k seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci.
Ko reduciramo ulomke na isti imenovalec, ki je enak LCM obeh imenovalcev, moramo števce teh ulomkov pomnožiti z dodatni multiplikatorji. Najdete jih tako, da LCM delite z imenovalcem ustreznega ulomka, na primer:
Če želite zmanjšati ulomke na isti eksponent, morate najprej najti LCM (to je najmanjše število, ki je deljivo z obema imenovalcema) imenovalcev teh ulomkov, nato pa k števcem ulomkov dodati dodatne faktorje. Najdete jih tako, da skupni imenovalec (CLD) delite z imenovalcem ustreznega ulomka. Nato morate števec vsakega ulomka pomnožiti z dodatnim faktorjem in dati LCM kot imenovalec.
5Kako sešteti celo število in ulomek
Če želite sešteti celo število in ulomek, morate to število dodati pred ulomek, kar bo na primer povzročilo mešani ulomek.
Je vaš otrok prinesel domačo nalogo iz šole, vi pa ne veste, kako bi jo rešili? Potem je ta mini lekcija za vas!
Kako sešteti decimalke
Bolj priročno je dodati decimalne ulomke v stolpcu. Če želite dodati decimalke, morate upoštevati eno preprosto pravilo:
- Mesto mora biti pod mestom, vejica pod vejico.
Kot lahko vidite v primeru, se cele enote nahajajo druga pod drugo, desetinke in stotinke pa ena pod drugo. Sedaj seštevamo števila, pri čemer ne upoštevamo vejice. Kaj storiti z vejico? Vejica se premakne na mesto, kjer je stala v kategoriji celo število.
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Če želite izvesti seštevanje s skupnim imenovalcem, morate ohraniti imenovalec nespremenjen, poiskati vsoto števcev in dobiti ulomek, ki bo skupna vsota.
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci z metodo skupnega večkratnika
Prva stvar, na katero morate biti pozorni, so imenovalci. Imenovalci so različni, ne glede na to, ali je eden deljiv z drugim ali pa so praštevila. Najprej ga morate spraviti na en skupni imenovalec;
- 1/3 + 3/4 = 13/12, moramo za rešitev tega primera najti najmanjši skupni večkratnik (LCM), ki bo deljiv z 2 imenovalcema. Za označevanje najmanjšega večkratnika a in b – LCM (a;b). V tem primeru LCM (3;4)=12. Preverjamo: 12:3=4; 12:4=3.
- Faktorje pomnožimo in dobljena števila seštejemo, dobimo 13/12 - nepravilen ulomek.
- Da bi nepravilni ulomek pretvorili v pravilni, števec delimo z imenovalcem, dobimo celo število 1, ostanek 1 je števec, 12 pa imenovalec.
Seštevanje ulomkov z metodo navzkrižnega množenja
Če želite dodati ulomke z različnimi imenovalci, obstaja še ena metoda, ki uporablja formulo "križ v križ". To je zajamčen način za izenačitev imenovalcev; pomnožite števce z imenovalcem enega ulomka in obratno. Če ste šele na začetni stopnji učenja ulomkov, potem je ta metoda najpreprostejši in najbolj natančen način za pravilen rezultat pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci.
Da bi razumeli, kako sešteti ulomke z različnimi imenovalci, se najprej naučimo pravila in si nato oglejmo konkretne primere.
Če želite sešteti ali odšteti ulomke z različnimi imenovalci:
1) Poišči (NOZ) dane ulomke.
2) Za vsak ulomek poiščite dodatni faktor. Da bi to naredili, je treba novi imenovalec deliti s starim.
3) Števec in imenovalec vsakega ulomka pomnožite z dodatnim faktorjem in seštejte ali odštejte ulomke z istimi imenovalci.
4) Preverite, ali je dobljeni ulomek pravilen in nezmanjšljiv.
V naslednjih primerih morate seštevati ali odštevati ulomke z različnimi imenovalci:
1) Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec danih ulomkov. Izberemo največje število in preverimo, ali je deljivo z manjšim. 25 ni deljivo z 20. 25 pomnožimo z 2. 50 ni deljivo z 20. 25 pomnožimo s 3. 75 ni deljivo z 20. Pomnožite 25 s 4. 100 je deljeno z 20. Torej je najmanjši skupni imenovalec 100.
2) Če želite najti dodaten faktor za vsak ulomek, morate novi imenovalec deliti s starim. 100:25=4, 100:20=5. V skladu s tem ima prvi ulomek dodatni faktor 4, drugi pa dodatni faktor 5.
3) Števec in imenovalec vsakega ulomka pomnožite z dodatnim faktorjem in ulomke odštejte po pravilu za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
4) Dobljeni ulomek je pravi in nezmanjšljiv. To je torej odgovor.
1) Če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec. 16 ni deljivo z 12. 16∙2=32 ni deljivo z 12. 16∙3=48 je deljivo z 12. Torej, 48 je NOZ.
2) 48:16=3, 48:12=4. To so dodatni dejavniki za vsako frakcijo.
3) pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem in dodajte nove ulomke.
4) Dobljeni ulomek je pravi in nezmanjšljiv.
1) 30 ni deljivo z 20. 30∙2=60 je deljivo z 20. Torej je 60 najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov.
2) da bi našli dodaten faktor za vsak ulomek, morate novi imenovalec deliti s starim: 60:20=3, 60:30=2.
3) pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem in odštejte nove ulomke.
4) dobljeni ulomek 5.
1) 8 ni deljivo s 6. 8∙2=16 ni deljivo s 6. 8∙3=24 je deljivo s 4 in 6. To pomeni, da je 24 NOZ.
2) če želite najti dodaten faktor za vsak ulomek, morate novi imenovalec deliti s starim. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. To pomeni, da so 3, 6 in 4 dodatni faktorji k prvemu, drugemu in tretjemu ulomku.
3) pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem. Seštevajte in odštevajte. Nastali ulomek je nepravilen, zato morate izbrati cel del.
Opomba! Preden napišete končni odgovor, preverite, ali lahko skrajšate prejeti ulomek.
Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci, primeri:
,
,
Odštevanje pravilnega ulomka od ena.
Če je treba od prave enote odšteti ulomek, se enota pretvori v obliko nepravilnega ulomka, njen imenovalec je enak imenovalcu odštetega ulomka.
Primer odštevanja pravilnega ulomka od ena:
Imenovalec ulomka, ki ga želite odšteti = 7 , tj. ena predstavimo kot nepravi ulomek 7/7 in ga odštejemo po pravilu za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Odštevanje pravilnega ulomka od celega števila.
Pravila za odštevanje ulomkov - pravilno iz celega števila (naravno število):
- Dane ulomke, ki vsebujejo celo število, pretvarjamo v neprave. Dobimo normalne člene (ni važno, če imajo različne imenovalce), ki jih izračunamo po zgoraj navedenih pravilih;
- Nato izračunamo razliko med prejetima ulomkoma. Kot rezultat, bomo skoraj našli odgovor;
- Izvedemo obratno transformacijo, to pomeni, da se znebimo nepravilnega ulomka - v ulomku izberemo cel del.
Od celega števila odštejte pravi ulomek: naravno število predstavite kot mešano število. Tisti. Vzamemo enoto v naravnem številu in jo pretvorimo v obliko nepravilnega ulomka, pri čemer je imenovalec enak tistemu odštetega ulomka.
Primer odštevanja ulomkov:
V primeru smo ena nadomestili z nepravim ulomkom 7/7 in namesto 3 zapisali mešano število ter od ulomka odšteli ulomek.
Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Ali, povedano drugače, odštevanje različnih ulomkov.
Pravilo za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci je potrebno te ulomke najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec (LCD) in šele nato opraviti odštevanje kot pri ulomkih z enakimi imenovalci.
Skupni imenovalec več ulomkov je LCM (najmanjši skupni večkratnik) naravna števila, ki so imenovalci teh ulomkov.
Pozor!Če imata v končnem ulomku števec in imenovalec skupne faktorje, je treba ulomek zmanjšati. Nepravi ulomek je najbolje predstaviti kot mešani ulomek. Pustiti rezultat odštevanja brez zmanjšanja ulomka, kjer je to mogoče, je nepopolna rešitev primera!
Postopek odštevanja ulomkov z različnimi imenovalci.
- poiščite LCM za vse imenovalce;
- dodajte dodatne faktorje za vse ulomke;
- pomnožite vse števce z dodatnim faktorjem;
- Dobljene produkte zapišemo v števec, podpišemo skupni imenovalec pod vse ulomke;
- odštejemo števce ulomkov, pod razliko pa podpišemo skupni imenovalec.
Na enak način se izvede seštevanje in odštevanje ulomkov, če so v števcu črke.
Odštevanje ulomkov, primeri:
Odštevanje mešanih ulomkov.
pri odštevanje mešanih ulomkov (števil) ločeno se od celega dela odšteje celo število, od ulomka pa se odšteje ulomek.
Prva možnost za odštevanje mešanih ulomkov.
Če so delni deli enako imenovalci in števec ulomka odštevanca (od njega odštejemo) ≥ števec ulomka odštevalca (odštejemo ga).
Na primer:
Druga možnost za odštevanje mešanih ulomkov.
Pri delnih delih drugačen imenovalci. Za začetek ulomke spravimo na skupni imenovalec, nato pa od celega odštejemo cel del, od ulomka pa ulomek.
Na primer:
Tretja možnost za odštevanje mešanih ulomkov.
Ulomek odštevanca je manjši od ulomka odštevalca.
primer:
Ker Ulomki imajo različne imenovalce, kar pomeni, da tako kot pri drugi možnosti navadne ulomke najprej spravimo na skupni imenovalec.
Števec ulomka manjšega je manjši od števca ulomka odštevanca.3 < 14. To pomeni, da iz celotnega dela vzamemo enoto in to enoto reduciramo v obliko nepravilnega ulomka z enakim imenovalcem in števcem = 18.
V števec na desni strani zapišemo vsoto števcev, nato pa v števcu na desni strani odpremo oklepaje, torej vse pomnožimo in podamo podobne. Oklepajev v imenovalcu ne odpiramo. Običajno je, da izdelek pustimo v imenovalcih. Dobimo:
