Navedite osnovno lastnost lege točk na premici. Ravnica na ravnini - potrebne informacije. Trikotniku včrtani krogi in trikotniku opisani krogi
Ta publikacija vam bo pomagala sistematizirati predhodno pridobljeno znanje, pa tudi pri pripravi na izpit ali test in ga uspešno opraviti.
2. Pogoj, da so tri točke na isti premici. Enačba premice. Relativni položaj točk in premice. Kup ravnih črt. Razdalja od točke do črte
1. Naj bodo podane tri točke A 1 (X 1 , pri 1), A 2 (X 2 , pri 2), A 3 (X 3 , pri 3), potem pogoj, da sta na isti liniji:
bodisi ( X 2 – X 1) (pri 3 – pri 1) – (X 3 – x 1) (pri 2 – pri 1) = 0.
2. Naj sta podani dve točki A 1 (X 1 , pri 1), A 2 (X 2 , pri 2), potem poravnava črte, ki poteka skozi ti dve točki:
(X 2 – X 1)(y - y 1) – (x – x 1)(pri 2 – pri 1) = 0 ali ( x – x 1) / (X 2 – X 1) = (y - y 1) / (pri 2 – pri 1).
3. Naj bo točka M (X 1 , pri 1) in nekaj ravne črte L, ki ga predstavlja enačba pri = Oh + z. Enačba premice, ki poteka vzporedno z dano premico L skozi to točko M:
y - y 1 = A(x – x 1).
Če naravnost L podana z enačbo Oh + Wu + Z M, opisuje enačba A(x – x 1) + IN(y - y 1) = 0.
Enačba premice, ki poteka pravokotno na dano premico L skozi to točko M:
y - y 1 = –(x – x 1) / A
A(y - y 1) = X 1 – X.
Če naravnost L podana z enačbo Oh + Wu + Z= 0, nato premica, ki je vzporedna z njim, ki poteka skozi točko M(X 1 , pri 1), ki ga opisuje enačba A (y - y 1) – IN(x – x 1) = 0.
4. Naj sta podani dve točki A 1 (X 1 , pri 1), A 2 (X 2 , pri 2) in premico, podano z enačbo Oh + Wu + C = 0. Relativni položaj točk glede na to premico:
1) točke A 1 , A 2 ležijo na eni strani dane premice, če so izrazi ( Oh 1 + Wu 1 + Z) In ( Oh 2 + Wu 2 + Z) imajo enake znake;
2) točke A 1 ,A 2 ležijo na nasprotnih straneh dane premice, če so izrazi ( Oh 1 + Wu 1 + Z) In ( Oh 2 + Wu 2 + Z) imajo različne znake;
3) ena ali obe točki A 1 , A 2 ležijo na dani premici, če eden ali oba izraza ( Oh 1 + + Wu 1 + Z) In ( Oh 2 + Wu 2 + Z) vzemite vrednost nič.
5. Osrednji žarek je niz premic, ki potekajo skozi eno točko M (X 1 , pri 1), imenovano središče žarka. Vsaka od ravnih črt svinčnika je opisana z enačbo svinčnika y - y 1 = Za(x – x 1) (parameter žarka Za vsaka vrstica ima svojega).
Vse ravne črte žarka lahko predstavimo z enačbo: l(y–y 1) = m(x – x 1), kjer l, m– poljubna števila, ki hkrati niso enaka nič.
Če dva ravna žarka L 1 in L 2 imajo obliko ( A 1 X + IN 1 pri+ Z 1) = 0 in ( A 2 X+ IN 2 pri+ Z 2) = 0, potem enačba žarka: m 1 (A 1 X + IN 1 pri + Z 1) + m 2 (A 2 X + IN 2 pri + Z 2) = 0. Če je ravna L 1 in L 2 sekata, potem je žarek središčni; če sta premici vzporedni, potem je žarek vzporeden.
6. Naj bodo točke podane M(X 1 ,pri 1) in premico, podano z enačbo Ax + Wu + C = 0. Razdalja dod to točke M na ravno črto:
- 1. Osnovni pojmi. Koordinatni sistemi. Ravne črte in njihov relativni položaj
- 2. Pogoj, da so tri točke na isti premici. Enačba premice. Relativni položaj točk in premice. Kup ravnih črt. Razdalja od točke do črte
Odsek je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, ki ležijo med dvema danima točkama. Te točke se imenujejo konci segmenta. Odsek je označen z navedbo njegovih koncev.
Na sliki 7, b je segment AB del ravne črte a. Točka M leži med točkama A in B, zato pripada odseku AB; Točka K ne leži med točkama A in B, zato ne pripada odseku AB.
Aksiom (glavna lastnost) lokacije točk na ravni črti je formuliran na naslednji način:
Od treh točk na premici ena in samo ena leži med drugima dvema.
Naslednji aksiom izraža osnovno lastnost merjenja segmentov.
Vsak segment ima določeno dolžino, večjo od nič. Dolžina odseka je enaka vsoti dolžin delov, na katere ga deli katera koli njegova točka.
To pomeni, da če vzamemo katero koli točko C na segmentu MK, potem je dolžina segmenta MK enaka vsoti dolžin segmentov MS in SK (slika 7, c).
Dolžino odseka MK imenujemo tudi razdalja med točkama M in K.
Primer 1. Na premici so dane tri točke O, P in M. Znano je, da . Ali leži točka P med O in M? Ali lahko točka B pripada segmentu PM, če je ? Pojasni odgovor.
rešitev. Točka P leži med točkama O in M, če Preverimo, ali je ta pogoj izpolnjen: . Sklep: točka P leži med točkama O in M.
Točka B pripada odseku RM, če leži med točkama P in M, tj. Preverimo: , in po pogoju . Sklep: točka B ne pripada odseku PM.
Primer 2. Ali je mogoče na ravnini razporediti 6, 7 in 8 odsekov tako, da vsak seka natanko tri druge?
rešitev. Tako lahko uredimo 6 segmentov (slika 8, o). Na ta način je mogoče razporediti tudi 8 segmentov (slika 8, b). 7 segmentov ni mogoče razporediti tako.
Dokažimo zadnjo trditev. Predpostavimo, da je takšna razporeditev sedmih segmentov mogoča. Oštevilčimo segmente in sestavimo takšno tabelo v celici na presečišču vrstice in stolpca, postavimo "+", če se segment seka z j-tim, in "-", če se ne seka. Če potem postavimo tudi Preštejmo na dva načina, koliko znakov je v tabeli.
Po eni strani so v vsaki vrstici 3, tako da je skupno število znakov . Na drugi strani je tabela izpolnjena simetrično glede na diagonalo:
če v celici C: j) stoji tudi v celici. To pomeni, da mora biti skupno število znakov sodo. Dobili smo protislovje.
Tu smo uporabili dokaz s protislovjem.
5. Žarek.
Polpremica ali žarek je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, ki ležijo na eni strani dane točke. To točko imenujemo izhodišče polpremice ali začetek žarka. Različne polpremice iste premice s skupnim izhodiščem imenujemo komplementarne.
Polravne črte so označene z malimi latiničnimi črkami. Polpremico lahko označimo z dvema črkama: z začetnico in drugo črko, ki ustreza točki, ki pripada polpremici. V tem primeru je izhodišče postavljeno na prvo mesto. Na sliki 9, a sta prikazana žarka AB in AC, ki sta komplementarna, na sliki 9, b pa žarki MA, MB in žarek c.
Naslednji aksiom odraža glavno lastnost polaganja segmentov.
Na katero koli polpremico od njene začetne točke lahko narišete odsek dane dolžine in samo enega.
Primer. Dani dve točki A in B. Koliko premic lahko narišemo skozi točki A in B? Koliko žarkov je na premici AB, ki se začneta v točkah A in B? Na premici A B označi dve točki, ki sta različni od A in B. Ali pripadata odseku AB?
rešitev. 1) Po aksiomu je vedno mogoče narisati premico skozi točki A in B in samo eno.
2) Na premici AB z začetkom v točki A sta dva žarka, ki ju imenujemo dodatna. Enako za točko B.
3) Odgovor je odvisen od lokacije označenih točk. Razmislimo o možnih primerih (slika 10). Jasno je, da v primeru a) točke pripadajo segmentu AB; v primerih b), c) ena točka
pripada segmentu, drugi pa ne; v primerih d) in e) točki M in N ne pripadata odseku AB.
6. Krog. Krog.
Krog je figura, ki jo sestavljajo vse točke ravnine, ki se nahajajo na dani razdalji od dane točke. To točko imenujemo središče kroga.
Razdalja med točkami kroga in njegovim središčem se imenuje polmer kroga. Polmer se imenuje tudi vsak segment, ki povezuje točko na krogu z njegovim središčem.
Odsek, ki povezuje dve točki na krožnici, se imenuje tetiva. Tetiva, ki poteka skozi središče, se imenuje premer.
Slika 11, a prikazuje krog s središčem v točki O. Odsek OA je polmer tega kroga, BD je tetiva kroga, CM je premer kroga.
Krog je figura, ki je sestavljena iz vseh točk ravnine, ki se od dane točke nahajajo na razdalji, ki ni večja od dane. To točko imenujemo središče kroga, to razdaljo pa polmer kroga. Meja kroga je krog z enakim središčem in polmerom (slika 11, b).
Primer. Na koliko različnih delov, ki nimajo nobenih skupnih točk razen svojih mej, lahko ravnino razdelimo na: a) premico in krožnico; b) dva kroga; c) tri kroge?
rešitev. Na sliki ponazorimo primere medsebojne razporeditve likov, ki ustrezajo pogoju. Zapišimo odgovor: a) štiri dele (slika 12, o); b) štiri dele (slika 12, b); c) osem delov (slika 12, c).
7. Polravnina.
Oblikujmo še en aksiom geometrije.
Premica deli ravnino na dve polravnini.
Na sliki 13 premica a deli ravnino na dve polravnini tako, da vsaka točka ravnine, ki ne pripada premici o, leži v eni od njiju. Ta razdelek ima naslednjo lastnost: če konci kateregakoli segmenta pripadajo isti polravnini, potem se segment ne seka s premico; če konci odseka pripadajo različnim polravninam, potem odsek seka premico. Na sliki 13 ležijo točke v eni od polravnin, na katere premica a deli ravnino. Zato odsek AB ne seka premice a. Točki C in D ležita v različnih polravninah. Zato odsek CD seka premico a.
8. Kot. Stopinjska mera kota.
Kot je figura, ki je sestavljena iz točke - vrha kota in dveh različnih polpremic, ki izhajata iz te točke - strani kota (slika 14). Če sta stranici kota komplementarni polpremici, se kotu reče razvit kot.
Kot je označen bodisi z navedbo njegovega vrha, bodisi z navedbo njegovih stranic, ali z navedbo treh točk; oglišče in dve točki na stranicah kota. Beseda "kot" se včasih nadomesti s simbolom Z.
Kot na sliki 14 lahko označimo na tri načine:
Za žarek c pravimo, da poteka med stranicama kota, če se začne iz njegovega vrha in seka nek odsek s koncema na stranicah kota.
Na sliki 15 poteka žarek c med stranicama kota, saj seka odsek AB.
V primeru ravnega kota gre vsak žarek, ki izhaja iz njegovega vrha in je drugačen od njegovih stranic, med stranicami kota.
Koti se merijo v stopinjah. Če vzamete ravni kot in ga razdelite na 180 enakih kotov, se stopinjska mera vsakega od teh kotov imenuje stopinja.
Osnovne lastnosti merjenja kota so izražene v naslednjem aksiomu:
Vsak kot ima določeno stopinjsko mero, večjo od nič. Zasukani kot je 180°. Stopinska mera kota je enaka vsoti stopinjskih mer kotov, na katere ga razdeli kateri koli žarek, ki poteka med njegovimi stranicami.
To pomeni, da če gre žarek c med stranicami kota, potem je kot enak vsoti kotov
Stopinjsko mero kota najdemo s kotomerjem.
Kot, ki je enak 90°, imenujemo pravi kot. Kot, manjši od 90°, imenujemo ostri kot. Kot, večji od 90° in manjši od 180°, imenujemo top.
Formulirajmo glavno lastnost odlaganja vogalov.
Iz katere koli polpremice lahko v dano polravnino položite kot z dano stopinjsko mero, manjšo od 180°, in samo eno.
Razmislite o polpremici a. Podaljšajmo jo čez izhodišče A. Nastala premica deli ravnino na dve polravnini. Slika 16 prikazuje, kako s kotomerjem narišemo kot z dano stopinjsko mero 60° od polpremice do zgornje polravnine.
Če postavimo dva kota iz dane polpremice v eno polravnino, tedaj stranica manjšega kota, ki je različna od dane polpremice, poteka med stranicama večjega kota.
Naj bosta kota, narisana iz dane polpremice a, ena polravnina in naj bo kot manjši od kota . Izrek 1. 2 pravi, da poteka žarek b med stranicama kota (ac) (slika 17).
Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz njegovega vrha, poteka med njegovimi stranicami in deli kot na pol. Na sliki 18 je žarek OM simetrala kota AOB.
V geometriji obstaja koncept ravninskega kota. Ravninski kot je del ravnine, ki ga omejujejo dva različna žarka, ki izhajata iz ene točke. Ti žarki se imenujejo stranice kota. Obstajata dva ravninska kota z danimi stranicami. Imenujejo se dodatni. Na sliki 19 je eden od ravninskih kotov s stranicama a in b osenčen.
Če je ravninski kot del polravnine, potem je njegova stopinjska mera stopinjska mera navadnega kota z enakima stranicama. Če ravninski kot vsebuje polravnino, potem je njegova stopinjska mera 360° - a, kjer je a stopinjska mera dodatnega ravninskega kota.
Primer. Žarek a poteka med stranicama kota, ki je enak 120°. Poišči kote, če so njihove stopinjske mere v razmerju 4:2.
rešitev. Žarek a poteka med stranicami kota, kar pomeni, glede na glavno lastnost merjenja kotov (glej odstavek 8)
Ker imajo stopinjske mere razmerje 4:2, potem
9. Sosednji in navpični koti.
Dva kota imenujemo sosednja, če imata eno skupno stranico in sta drugi strani teh kotov komplementarni polpremici. Na sliki 20 sta kota sosednja.
Vsota sosednjih kotov je 180°.
Iz izreka 1.3 sledijo naslednje lastnosti:
1) če sta dva kota enaka, sta njuna sosednja kota enaka;
2) kot, ki meji na pravi kot, je pravi kot;
3) kot, ki meji na ostro, je top, in kot, ki meji na top, je oster.
Dva kota imenujemo navpična, če sta strani enega kota komplementarni polpremici stranic drugega. Na sliki 21 so vogali navpični.
Navpični koti so enaki.
Očitno tvorita dve sekajoči se črti sosednji in navpični kot. Sosednji koti so komplementarni do 180°. Kotno mero manjše od njih imenujemo kot med premicama.
Primer. Na sliki 21, b je kot 30.° Kakšna sta kota AOC in
rešitev. Kota COD in AOK sta navpična, zato sta po izreku 1.4 enaka, tj. kot TYUK, ki meji na kot SOD, pomeni po izreku 1.3
10. Središčni in včrtani koti.
Središčni kot v krogu je ravninski kot z vrhom v središču. Del kroga, ki se nahaja znotraj ravninskega kota, se imenuje krožni lok, ki ustreza temu središčnemu kotu. Stopinska mera krožnega loka je stopinjska mera ustreznega središčnega kota.
Na sliki 22 je kot AOB središčni kot kroga, njegovo oglišče O je središče krožnice, stranici OA in OB pa sekata krožnico. Lok AB je del krožnice, ki se nahaja znotraj središčnega kota.
Stopinska mera loka AB na sliki 22 je enaka stopinjski meri kota AOB. Stopinjska mera loka AB je označena z AB.
Kot, katerega oglišče leži na krogu in katerega stranice sekajo ta krog, imenujemo včrtan v krog. Slika 23 prikazuje včrtane kote.
Krogu včrtan kot, katerega stranice potekajo skozi dve dani točki na krožnici, je enak polovici kota med polmeroma, narisanima v teh točkah, ali pa to polovico dopolnjuje na 180°.
Pri dokazovanju izreka 1.5 je treba upoštevati tri različne primere, ki so prikazani na sliki 23: ena od stranic včrtanega kota poteka skozi središče kroga (slika 23, c); središče kroga leži znotraj vpisanega kota (slika 23, b); središče kroga leži zunaj vpisanega kota (slika 23, c).
Iz izreka 1.5 izhaja posledica: vsi v krog včrtani koti, katerih stranice potekajo skozi dve dani točki kroga, oglišča pa ležijo na isti strani premice, ki povezuje te točke, so enaki; včrtani koti, katerih stranice potekajo skozi konca premera kroga, so pravi koti.
Na sliki 24 gredo stranice včrtanega kota ABC skozi konca premera AC, torej
Primer. Točki A v B in C ležita na krožnici s središčem O. Poiščite kot AOC, če
rešitev. Kot ABC, vpisan v krog, leži na loku AC in osrednjem kotu tega kroga (slika 25). , kar pomeni po izreku 1.5 in ker je kot AOS središčen, je njegova stopinjska mera enaka stopinjski meri loka AC, tj.
11. Vzporedne črte.
Dve premici v ravnini se imenujeta vzporedni, če se ne sekata.
Slika 26 prikazuje, kako s pomočjo kvadrata in ravnila narišemo premico 6 skozi dano točko B, vzporedno z dano premico a.
Za označevanje vzporednosti črt se uporablja simbol II. Vnos se glasi: "Premica a je vzporedna s premico b."
Aksiom vzporednosti izraža osnovno lastnost vzporednih premic.
Skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko na ravnini potegnemo največ eno premico, ki je vzporedna z dano.
Dve premici, vzporedni s tretjo, sta med seboj vzporedni.
Na sliki 27 sta premici a in b vzporedni s premico c. Izrek 1.6 pravi, da .
Dokažemo lahko, da lahko skozi točko, ki ne pripada premici, potegnemo premico, ki je vzporedna z dano. Na sliki 28 je skozi točko A, ki ne pripada b, narisana premica a, vzporedna s premico b.
Če primerjamo to izjavo in aksiom o vzporednicah, pridemo do pomembnega zaključka: na ravnini lahko skozi točko, ki ne leži na dani premici, narišemo premico, vzporedno z njo, in samo eno.
Aksiom vzporednosti v Evklidovi knjigi "Elementi" je bil imenovan "peti postulat". Starodavni geometri so poskušali dokazati edinstvenost vzporednice. Ti neuspešni poskusi so se nadaljevali več kot 2000 let, vse do 19. stoletja.
Veliki ruski matematik N. I. Lobačevski in neodvisno od njega madžarski matematik J. Bolyai sta pokazala, da je mogoče, če sprejmemo predpostavko, da je mogoče skozi točko potegniti več ravnih črt, vzporednih z dano, zgraditi drugo, enako »pravilno« neevklidsko geometrijo. Tako se je rodila geometrija Lobačevskega.
Primer izreka, ki uporablja koncept paralelizma, njegov dokaz pa temelji na aksiomu vzporednic, je Thalesov izrek. Thales iz Mileta - starogrški matematik, ki je živel v letih 625-547. pr. n. št e.
Če vzporednice, ki sekajo stranice kota, režejo enake segmente na eni strani, potem režejo enake segmente na drugi strani (Thalesov izrek).
Med njima naj ležijo presečišča vzporednih premic z eno od stranic kota (slika 29). Naj bodo ustrezne točke presečišča teh premic z drugo stranjo kota. Izrek 1.7 pravi, da če potem
Primer 1. Ali se lahko sedem premic seka v osmih točkah?
rešitev. Oni lahko. Na primer, slika 30 prikazuje sedem takih premic, od katerih so tri vzporedne.
Primer 2. Poljubni segment AC razdelimo na 6 enakih delov.
rešitev. Narišimo daljico AC. Iz točke A narišimo žarek AM, ki ne leži na premici AC. Na žarku AM iz točke A bomo zaporedoma položili 6 enakih segmentov (slika 31). Označimo konce odsekov s točko C in narišimo ravne črte, vzporedne s premico. Točke presečišča teh premic z segmentom AC ga bodo razdelile na 6 enakih delov (v skladu z izrekom 1.7).
12. Znaki vzporednih črt.
Naj bosta AB in CD premici. Naj bo AC tretja premica, ki seka premici AB in CD (slika 32, c). Premico AC glede na premici AB in CD imenujemo sekanta. Kote, ki jih tvorijo ti pravi koti, pogosto obravnavamo v parih. Pari kotov so dobili posebna imena. Torej, če točki B in D ležita v isti polravnini glede na ravno črto AC, se kota BAC in DCA imenujeta notranja enostranska (sl. 32, c). Če točki B in D ležita v različnih polravninah glede na ravno črto AC, se kota BAC in DCA imenujeta notranji navzkrižno ležeči (slika 32, b).
Sekanta AC tvori s premicama AB in CD dva para notranjih enostranskih dva para notranjih navzkrižno ležečih kotov, sl. 32, c).
Če sta notranja navzkrižna kota enaka ali je vsota notranjih enostranskih kotov enaka 180°, sta premici vzporedni.
Na sliki 32, c so s številkami označeni štirje pari kotov. Izrek 1.8 pravi, da če sta premici c in b vzporedni. Izrek 1.8 prav tako pravi, da če ali , sta premici a in b vzporedni.
Izreka 1.6 in 1.8 sta preizkusa vzporednosti premic. Prav tako velja obratno izrek 1.8.
Če dve vzporedni premici seka tretja premica, sta sekajoča notranja kota enaka, vsota notranjih enostraničnih kotov pa je 180°.
Primer. Eden od notranjih enostranskih kotov, ki ga tvori presečišče dveh vzporednih premic s tretjo premico, je 4-krat večji od drugega. Čemu so enaki ti koti?
rešitev. Po izreku 1.9 je vsota notranjih enostraničnih kotov za dve vzporedni premici in prečnico enaka 180°. Te kote označimo s črkama a in P, potem je znano, da je a 4-krat večji, kar pomeni, da je torej
13. Pravokotne črte.
Dve premici pravimo pravokotni, če se sekata pod pravim kotom (slika 33).
Pravokotnost črt je zapisana s simbolom: "Premica a je pravokotna na premico b."
Navpičnica na dano premico je odsek premice, pravokoten na dano premico, katerega konec je njuno presečišče. Ta konec segmenta se imenuje osnova navpičnice.
Na sliki 34 je iz točke A na premico a narisana navpičnica A B. Točka B je osnova navpičnice.
Skozi vsako točko premice lahko narišete premico pravokotno nanjo in samo eno.
Iz katere koli točke, ki ne leži na dani premici, lahko spustite pravokotno na to premico in samo eno.
Dolžina navpičnice, ki je potegnjena iz dane točke na premico, se imenuje razdalja od točke do premice.
Razdalja med vzporednicama je razdalja od katere koli točke na eni premici do druge premice.
Naj bo BA navpičnica, spuščena iz točke na premico a, C pa katera koli točka premice c, ki ni A. Segment BC se imenuje nagnjen, potegnjen iz točke B na premico a (slika 35). Točka C se imenuje osnova nagnjene točke. Odsek AC imenujemo poševna projekcija.
Ravnica, ki poteka skozi sredino odseka pravokotno nanj, se imenuje pravokotna simetrala.
Na sliki 36 je premica a pravokotna na odsek AB in poteka skozi točko C - sredino odseka AB, tj. a je simetrala navpičnice.
Primer. Enaki daljšici AD in CB, zaprti med vzporednima premicama AC in BD, se sekata v točki O. Dokaži.
rešitev. Iz točk A v C narišimo navpičnico na premico BD (slika 37). AK=CM kot razdalja med vzporednicama, ZAKD in DSLYAV sta pravokotna, sta
enaka v hipotenuzi in kraku (glej T. 1.25), in zato enakokraka (T. 1.19), in torej, Iz enakosti trikotnikov ACT) in CTAB sledi, da , in potem, tj. A. AOS enakokraki , kar pomeni
14. Tangenta na krožnico. Dotikanje krogov.
Ravna črta, ki poteka skozi točko na krogu, pravokotnem na polmer, narisan na to točko, se imenuje tangenta. V tem primeru se ta točka na krogu imenuje tangentna točka. Na sliki 38 je skozi točko A krožnice narisana premica a, pravokotna na polmer OA. Premica c se dotika krožnice. Točka A je stična točka. Lahko tudi rečemo, da se krog dotika premice a v točki A.
Za dve krožnici s skupno točko pravimo, da se dotikata v tej točki, če imata v tej točki skupno tangento. Tangenca krogov se imenuje notranja, če središča krogov ležijo na isti strani skupne tangente. Tangenca krogov se imenuje zunanja, če središča krogov ležijo na nasprotnih straneh njihovega skupnega
tangenta. Na sliki 39, c je stik krogov notranji, na sliki 39, b pa zunanji.
Primer 1. Konstruirajte krog z danim polmerom, ki se dotika dane premice v dani točki.
rešitev. Tangenta na krožnico je pravokotna na polmer, narisan na točko dotika. Zato središče želenega kroga leži na pravokotnici na dano premico, ki poteka skozi dano točko, in se nahaja od dane točke na razdalji, ki je enaka polmeru. Problem ima dve rešitvi - dva kroga, simetrična drug drugemu glede na dano ravno črto (slika 40).
Primer 2. Dva kroga s premeroma 4 in 8 cm se navzven dotikata. Kolikšna je razdalja med središči teh krogov?
rešitev. Polmera krožnic OA in O, A sta pravokotna na skupno tangento, ki poteka skozi točko A (slika 41). Zato glej
15. Trikotniki.
Trikotnik je figura, ki je sestavljena iz treh točk, ki ne ležijo na isti premici, in treh segmentov, ki te točke povezujejo v parih. Točke imenujemo oglišča trikotnika, odseke pa njegove stranice. Trikotnik je označen s svojimi oglišči. Namesto besede "trikotnik" se uporablja simbol D.
Slika 42 prikazuje trikotnik ABC; A, B, C so oglišča tega trikotnika; A B, BC in AC so njegove stranice.
Kot trikotnika ABC pri oglišču A je kot, ki ga sestavljata polpremici A B in AC. Določeni so tudi koti trikotnika pri ogliščih B do C.
Če premica, ki ne poteka skozi nobeno oglišče trikotnika, seka eno od njegovih stranic, potem seka le eno od drugih dveh stranic.
Nadmorska višina trikotnika, spuščenega z danega oglišča, je navpičnica, ki je narisana iz tega oglišča na premico, ki vsebuje nasprotno stranico trikotnika. Na sliki 43, c je segment AD višina ostrokotnega A. ABC, na sliki 43, b pa osnova višine tupokotnega segmenta - točka D - leži na nadaljevanju stranice BC.
Simetrala trikotnika je simetrala kota trikotnika, ki povezuje oglišče s točko na nasprotni strani. Na sliki 44 je odsek AD simetrala trikotnika ABC.
Mediana trikotnika, ki je narisana iz danega oglišča, je odsek, ki to oglišče povezuje s sredino
nasprotno stran trikotnika. Na sliki 45 je odsek AD mediana trikotnika
Srednja črta trikotnika je segment, ki povezuje središči obeh njegovih stranic.
Srednja črta trikotnika, ki povezuje razpolovišči dveh danih stranic, je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici.
Naj bo DE srednjica trikotnika ABC (slika 46).
Izrek pravi, da.
Neenakost trikotnika je lastnost razdalj med tremi točkami, ki je izražena z naslednjim izrekom:
Ne glede na tri točke razdalja med katerima koli dvema od teh točk ni večja od vsote razdalj od njiju do tretje točke.
Naj bodo podane tri točke. Relativni položaj teh točk je lahko različen: a) dve točki od treh ali vse tri sovpadajo, v tem primeru je izjava izreka očitna; b) točke so različne in ležijo na isti premici (slika 47, a), ena od njih, na primer B, leži med drugima dvema, v tem primeru sledi, da vsaka od treh razdalj ni večja od vsota drugih dveh; c) točke ne lažejo
na eni ravni črti (slika 47, b), potem izrek 1.14 pravi, da .
V primeru c) so tri točke A, B, C oglišča trikotnika. Zato je v katerem koli trikotniku vsaka stranica manjša od vsote drugih dveh strani.
Primer 1. Ali obstaja trikotnik ABC s stranicami: a) ; b)
rešitev. Stranice trikotnika ABC morajo izpolnjevati naslednje neenakosti:
V primeru a) neenakost (2) ni izpolnjena, kar pomeni, da takšna razporeditev točk ne more obstajati; v primeru b) so neenakosti izpolnjene, kar pomeni, da trikotnik obstaja.
Primer 2. Poiščite razdaljo med točkama A in ločenima z oviro.
rešitev. Za iskanje razdalje obesimo osnovo CD in narišemo premici BC in AD (slika 48). Poiščite točko M - sredino CD. Izvajamo tudi MPAD. Iz tega sledi, da je PN srednja črta, tj.
Z merjenjem PN ni težko najti AB.
16. Enakost trikotnikov.
Dva segmenta se imenujeta enaka, če sta enako dolga. Za dva kota pravimo, da sta enaka, če imata enako kotno mero v stopinjah.
Za trikotnike ABC pravimo, da so skladni, če
To je na kratko izraženo z besedami: trikotniki so skladni, če so njihove stranice in koti enaki.
Formulirajmo osnovno lastnost obstoja enakih trikotnikov (aksiom obstoja trikotnika, ki je enak danemu):
Karkoli že je trikotnik, je enak trikotnik na dani lokaciji glede na dano polpremico.
Za enakost trikotnikov veljajo trije pogoji:
Če sta dve stranici in kot med njima enega trikotnika enaki dvema stranema in kotu med njima drugega trikotnika, potem sta takšna trikotnika skladna (znak, da so trikotniki enaki vzdolž obeh stranic in kota med njima).
Če so stranski in sosednji koti enega trikotnika enaki strani in sosednjim kotom drugega trikotnika, so taki trikotniki skladni (znak enakosti trikotnikov vzdolž strani in sosednjih kotov).
Če so tri stranice enega trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so takšni trikotniki skladni (znak, da so trikotniki enaki na treh straneh).
Primer. Točki B in D ležita v različnih polravninah glede na premico AC (slika 49). Znano je, da Dokažite to
rešitev. glede na pogoj, in ker te kote dobimo tako, da od enakih kotov BCD in DAB odštejemo enaka kota BC A in DAC. Poleg tega je v teh trikotnikih stranica AC pogosta. Ti trikotniki so enaki v stranskih in sosednjih kotih
17. Enakokraki trikotnik.
Trikotnik se imenuje enakokraki, če sta njegovi strani enaki. Te enake strani se imenujejo stranice, tretja stranica pa se imenuje osnova trikotnika.
V trikotniku to pomeni, da je ABC enakokrak z osnovo AC.
V enakokrakem trikotniku so osnovni koti enaki.
Če sta dva kota v trikotniku enaka, potem je trikotnik enakokrak (obratno od izreka T. 1.18).
V enakokrakem trikotniku je mediana, potegnjena na osnovo, simetrala in nadmorska višina.
Lahko tudi dokažemo, da je v enakokrakem trikotniku višina, potegnjena na osnovo, simetrala in mediana. Podobno je simetrala enakokrakega trikotnika, potegnjena iz oglišča nasproti osnovice, mediana in nadmorska višina.
Trikotnik, v katerem so vse stranice enake, se imenuje enakostranični.
Primer. V trikotniku ADB je kot D 90°. Na nadaljevanju stranice AD (točka D leži med točkama A in C) je položen segment (slika 51). Dokaži, da je trikotnik ABC enakokrak.
Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita.
Iz izreka 1.22 sledi, da je zunanji kot trikotnika večji od katerega koli notranjega kota, ki nanj ne meji.
Primer. V trikotniku
Simetrala AD tega trikotnika seka od njega. Poiščite kote tega trikotnika.
rešitev. ker je AD simetrala kota A (glej odstavek kot zunanji kot po izreku o vsoti kotov
19. Pravokotni trikotnik. Pitagorov izrek.
Trikotnik se imenuje pravokoten, če ima pravi kot. Ker je vsota kotov trikotnika 180°, ima pravokotni trikotnik samo en pravi kot. Druga dva kota pravokotnega trikotnika sta ostra in se dopolnjujeta do 90°. Stran pravokotnega trikotnika, ki je nasproti pravemu kotu, se imenuje hipotenuza, drugi dve strani pa kateti. ABC, prikazan na sliki 54, je pravokotnik, raven, hipotenuza, NE in BA - noge.
Za pravokotne trikotnike lahko sami oblikujete znake enakosti.
Če sta hipotenuza in ostri kot enega pravokotnega trikotnika enaka hipotenuzi in ostremu kotu drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna (znak enakosti s hipotenuzo in ostrim kotom).
Če sta krak in nasprotni kot enega pravokotnega trikotnika enaka kraku in nasprotnemu kotu drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna (znak enakosti vzdolž kraka in nasprotnega kota).
Če sta hipotenuza in krak enega pravokotnega trikotnika enaki hipotenuzi in kraku drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna (znak enakosti s hipotenuzo in krakom).
V pravokotnem trikotniku s kotom 30° je krak nasproti atoma enak polovici hipotenuze.
V trikotniku ABC, prikazanem na risbi ravne črte, Torej, v tem trikotniku .
V pravokotnem trikotniku velja Pitagorov izrek, poimenovan po starogrškem znanstveniku Pitagori, ki je živel v 6. stoletju. pr. n. št e.
V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet (Pitagorov izrek).
Naj bo ABC dani pravokotni trikotnik s pravim kotom C, krakoma a in b ter hipotenuzo c (slika 56). Teorem trdi, da
Iz Pitagorovega izreka sledi, da je v pravokotnem trikotniku kateri koli krak manjši od hipotenuze.
Iz Pitagorejskega izreka sledi, da če obstajata pravokotnica in nagnjena črta na ravno črto iz ene točke, potem je nagnjena večja od pravokotnice; enake poševnice imajo enake projekcije; Od obeh nagnjenih je večji tisti z večjo projekcijo.
Na sliki 57 so iz točke O na premico a narisane pravokotnica OA in nagnjene OB, OS in OD, glede na zgoraj navedeno: a)
Obseg pravokotnika KDMA je 18 cm
Primer 3. V krogu s polmerom 25 cm sta na eni strani od njegovega središča narisani dve vzporedni tetivi dolžine 40 in 30 cm. Poiščite razdaljo med tema tetivama.
rešitev. Narišimo polmer OK pravokotno na tetivi AB in CD, središče krožnice O poveži s točkami C, A, D in B (slika 60). Trikotnika COD in AOB sta enakokraka, saj (kot polmeri); OM in ON sta višini teh trikotnikov. Po izreku 1.20 je vsaka od višin hkrati mediana ustreznega trikotnika, tj.
Trikotnika OSM in O AN sta pravokotna, v njih. ON in OM bomo našli s pomočjo Pitagorovega izreka.
20. Trikotniku včrtani in okrog trikotnika opisani krogi.
Krog se imenuje okrog trikotnika, če poteka skozi vsa njegova oglišča.
Središče okrog trikotnika opisanega kroga je presečišče simetral pravokotnic na stranice trikotnika.
Na sliki 61 je okoli trikotnika ABC opisana krožnica. Središče te krožnice O je presečišče bisektoralnih navpičnic OM, ON in OJT, narisanih na stranice AB, BC in CA na A.
Krog je vpisan v trikotnik, če se dotika vseh njegovih stranic.
Središče kroga, včrtanega v trikotnik, je presečišče njegovih simetral.
Na sliki 62 je krožnica včrtana v trikotnik ABC. Središče te krožnice O je presečišče simetral AO, BO in CO ustreznih kotov trikotnika.
Primer. V pravokotnem trikotniku sta kraka enaka 12 in 16 cm. Izračunaj polmera: 1) vanj včrtanega kroga; 2) opisani krog.
rešitev. 1) Podan je trikotnik ABC, v katerem je središče včrtanega kroga (slika 63, a). Obseg trikotnika ABC je enak vsoti dvojne hipotenuze in premera kroga, včrtanega v trikotnik (uporabite definicijo tangente na krog in enakost pravokotnih trikotnikov AOM in AOC, MOC in LOC s hipotenuzo in noga).
Od kod torej po Pitagorovem izreku, tj.
2) Središče kroga, ki je opisan okoli pravokotnega trikotnika, sovpada s sredino hipotenuze, kjer je polmer kroga, ki je opisan, cm (slika 63, b).
Ravnica na ravnini - potrebne informacije.
V tem članku se bomo podrobno posvetili enemu od primarnih konceptov geometrije - konceptu ravne črte na ravnini. Najprej opredelimo osnovne pojme in poimenovanja. Nato bomo obravnavali relativni položaj premice in točke ter dveh premic na ravnini in predstavili potrebne aksiome. Na koncu bomo razmislili o načinih definiranja ravne črte na ravnini in podali grafične ponazoritve.
Navigacija po strani.
- Ravna črta na ravnini je pojem.
- Relativni položaj premice in točke.
- Relativni položaj premic na ravnini.
- Metode določanja premice na ravnini.
Ravna črta na ravnini je pojem.
Preden podate koncept ravne črte na ravnini, morate jasno razumeti, kaj je ravnina. Koncept letala vam omogoča, da dobite na primer ravno površino na mizi ali steni doma. Upoštevati pa je treba, da so dimenzije mize omejene, ravnina pa sega čez te meje v neskončnost (kot da bi imeli poljubno veliko mizo).
Če vzamemo dobro nabrušen svinčnik in se z njegovo konico dotaknemo površine »mize«, dobimo sliko točke. Tako dobimo predstavitev točke na ravnini.
Zdaj lahko nadaljujete na koncept premice na ravnini.
Na površino mize (na ravnino) položite list čistega papirja. Da narišemo ravno črto, moramo vzeti ravnilo in s svinčnikom narisati črto, kolikor nam velikost ravnila in lista papirja, ki ju uporabljamo, dopuščata. Vedeti je treba, da bomo na ta način dobili le del linije. Lahko si samo predstavljamo celotno premico, ki se razteza v neskončnost.
Vrh strani
Relativni položaj premice in točke.
Začeti bi morali z aksiomom: na vsaki premici in v vsaki ravnini so točke.
Točke so običajno označene z velikimi latinskimi črkami, na primer točke A in F. Po drugi strani pa so ravne črte označene z majhnimi latinskimi črkami, na primer ravne črte a in d.
Možno dve možnosti za relativni položaj premice in točke na ravnini: ali točka leži na premici (v tem primeru tudi pravimo, da premica poteka skozi točko), ali pa točka ne leži na premici (pravimo tudi, da točka ne pripada premici oz. črta ne poteka skozi točko).
Za označevanje, da točka pripada določeni premici, se uporablja simbol “ ”. Na primer, če točka A leži na ravni črti A, potem lahko pišemo. Če je točka A ne sodi v vrstico A, nato zapišite.
Naslednja trditev velja: skozi katerikoli dve točki poteka samo ena premica.
Ta izjava je aksiom in jo je treba sprejeti kot dejstvo. Poleg tega je to povsem očitno: na papirju označimo dve točki, nanje nanesemo ravnilo in narišemo ravno črto. Ravna črta, ki poteka skozi dve dani točki (na primer skozi točke A in IN), lahko označimo s tema dvema črkama (v našem primeru ravna črta AB oz VA).
Treba je razumeti, da je na premici, določeni na ravnini, neskončno veliko različnih točk in vse te točke ležijo v isti ravnini. Ta trditev temelji na aksiomu: če dve točki premice ležita v določeni ravnini, potem vse točke te premice ležijo v tej ravnini.
Množica vseh točk, ki se nahajajo med dvema točkama na premici, skupaj s temi točkami, se imenuje odsek ravne črte ali preprosto segment. Točke, ki omejujejo odsek, se imenujejo konci odseka. Odsek je označen z dvema črkama, ki ustrezata končnim točkam odseka. Na primer, pustite točke A in IN so konci segmenta, potem lahko ta segment označimo AB oz VA. Upoštevajte, da ta oznaka za segment sovpada z oznako za ravno črto. Da bi se izognili zmedi, priporočamo, da oznaki dodate besedo "segment" ali "ravno".
Za kratko beleženje, ali določena točka pripada ali ne pripada določenemu segmentu, se uporabljata enaka simbola in . Če želite pokazati, da določen segment leži ali ne leži na premici, uporabite simbole oz. Na primer, če segment AB pripada liniji A, lahko na kratko zapišemo.
Upoštevati je treba tudi primer, ko tri različne točke pripadajo isti premici. V tem primeru ena in samo ena točka leži med drugima dvema. Ta izjava je še en aksiom. Naj točke A, IN in Z ležita na isti premici in točka IN leži med točkama A in Z. Potem lahko rečemo, da točke A in Z so na nasprotnih straneh točke IN. Lahko tudi rečemo, da točke IN in Z točke ležijo na eni strani A, in točke A in IN ležijo na eni strani točke Z.
Za popolnost slike opazimo, da vsaka točka na črti to črto deli na dva dela - dva žarek. Za ta primer je podan aksiom: poljubna točka O, ki pripada premici, deli to premico na dva žarka in poljubni dve točki enega žarka ležita na isti strani točke O, katerikoli dve točki različnih žarkov pa sta na nasprotnih straneh točke O.
Vrh strani
