Matrično množenje. Dejanja z matrikami. Katere matrike lahko pomnožimo

Torej, v prejšnji lekciji smo si ogledali pravila za seštevanje in odštevanje matrik. To so tako preproste operacije, da jih večina študentov razume dobesedno takoj.

Vendar se zgodaj veselite. Brezplačne ponudbe je konec - preidimo na množenje. Takoj vas opozorim: množenje dveh matrik sploh ni množenje števil v celicah z enakimi koordinatami, kot si morda mislite. Tukaj je vse veliko bolj zabavno. In začeti bomo morali s predhodnimi opredelitvami.

Ujemajoče se matrike

Ena najpomembnejših značilnosti matrice je njena velikost. O tem smo že stokrat govorili: zapis $A=\left[ m\times n \right]$ pomeni, da ima matrika točno $m$ vrstic in $n$ stolpcev. Prav tako smo že razpravljali o tem, kako ne zamenjati vrstic s stolpci. Zdaj je pomembno nekaj drugega.

Opredelitev. Matrike v obliki $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$, v katerih število stolpcev v prvi matriki sovpada s številom vrstic v drugem pa se imenujejo dosledni.

Še enkrat: število stolpcev v prvi matriki je enako številu vrstic v drugi! Od tu dobimo dva sklepa hkrati:

1. Za nas je pomemben vrstni red matrik. Na primer, matriki $A=\left[ 3\times 2 \right]$ in $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sta skladni (2 stolpca v prvi matriki in 2 vrstici v drugi) , ampak obratno — matriki $B=\left[ 2\times 5 \right]$ in $A=\left[ 3\times 2 \right]$ nista več skladni (5 stolpcev v prvi matriki niso 3 vrstice v drugem).
2. Doslednost lahko enostavno preverimo tako, da eno za drugo zapišemo vse dimenzije. Na primeru iz prejšnjega odstavka: “3 2 2 5” - številki na sredini sta enaki, zato sta matriki skladni. Toda "2 5 3 2" nista dosledna, saj so na sredini različne številke.

Poleg tega se zdi, da Captain Obviousness namiguje, da so kvadratne matrike enake velikosti $\left[ n\times n \right]$ vedno skladne.

V matematiki, ko je pomemben vrstni red naštevanja objektov (npr. v zgoraj obravnavani definiciji je pomemben vrstni red matrik), pogosto govorimo o urejenih parih. Spoznali smo jih že v šoli: mislim, da ni pametno, da koordinate $\left(1;0 \right)$ in $\left(0;1 \right)$ določata različni točki na ravnini.

Torej: koordinate so tudi urejeni pari, ki so sestavljeni iz števil. Toda nič vam ne preprečuje, da bi naredili tak par iz matric. Potem lahko rečemo: "Urejen par matrik $\left(A;B \right)$ je skladen, če je število stolpcev v prvi matriki enako številu vrstic v drugi."

No, kaj pa?

Opredelitev množenja

Razmislite o dveh konsistentnih matrikah: $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$. In jim definiramo operacijo množenja.

Opredelitev. Zmnožek dveh ujemajočih se matrik $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrika $C=\left[ m\times k \ desno] $, katerega elementi se izračunajo po formuli:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Tak izdelek je označen na standarden način: $C=A\cdot B$.

Tisti, ki to definicijo vidijo prvič, imajo takoj dve vprašanji:

1. Kakšna ostra igra je to?
2. Zakaj je tako težko?

No, najprej najprej. Začnimo s prvim vprašanjem. Kaj pomenijo vsi ti indeksi? In kako ne delati napak pri delu z resničnimi matricami?

Najprej ugotavljamo, da je dolga vrstica za izračun $((c)_(i;j))$ (med indekse sem posebej postavil podpičje, da ne bi prišlo do zmede, vendar jih ni treba vstavljati splošno - sam sem se naveličal vnašati formulo v definicijo) se pravzaprav zmanjša na preprosto pravilo:

1. Vzemite $i$to vrstico v prvi matriki;
2. Vzemite $j$th stolpec v drugi matriki;
3. Dobimo dve zaporedji števil. Elemente teh zaporedij pomnožimo z enakimi števili, nato pa nastale produkte seštejemo.

Ta postopek je enostavno razumeti s slike:

Shema za množenje dveh matrik

Še enkrat: popravimo vrstico $i$ v prvi matriki, stolpec $j$ v drugi matriki, pomnožimo elemente z istimi številkami in nato seštejemo nastale produkte - dobimo $((c)_(ij))$ . In tako naprej za vse $1\le i\le m$ in $1\le j\le k$. Tisti. Takšnih “perverzij” bo skupaj $m\krat k$.

Pravzaprav smo matrično množenje že srečali v šolskem kurikulumu, le v močno okrnjeni obliki. Naj bodo podani vektorji:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \desno). \\ \end(align)\]

Potem bo njihov skalarni produkt natanko vsota produktov parov:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

V bistvu, ko so bila drevesa bolj zelena in je bilo nebo svetlejše, smo preprosto pomnožili vektor vrstice $\overrightarrow(a)$ z vektorjem stolpca $\overrightarrow(b)$.

Danes se ni nič spremenilo. Samo zdaj je več teh vektorjev vrstic in stolpcev.

Ampak dovolj teorije! Poglejmo resnične primere. In začnimo z najpreprostejšim primerom - kvadratnimi matricami.

Množenje kvadratne matrike

Naloga 1. Naredite množenje:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Torej imamo dve matriki: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ in $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Jasno je, da so konsistentne (kvadratne matrike enake velikosti so vedno konsistentne). Zato izvajamo množenje:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ začetek(matrika)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\konec(matrika) \desno]=\levo[ \začetek(matrika)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \desno)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \desno)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(matrika) \desno]= \\ & =\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ konec (matrika)\desno]. \end(align)\]

To je vse!

Odgovor: $\left[ \begin(matrika)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(matrika) \desno]$.

Naloga 2. Naredite množenje:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Spet dosledne matrike, zato izvedemo naslednja dejanja:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrika) \right]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ levo(-3 \desno) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \desno) \\ 2\cdot 9+6\cdot \levo(-3 \desno) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \desno) \\\end(matrika) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(align)\]

Kot lahko vidite, je rezultat matrika, napolnjena z ničlami

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Iz zgornjih primerov je očitno, da množenje matrik ni tako zapletena operacija. Vsaj za kvadratne matrice 2 krat 2.

V procesu izračunov smo sestavili vmesno matriko, kjer smo neposredno opisali, katera števila so vključena v posamezno celico. Prav to je treba storiti pri reševanju resničnih problemov.

Osnovne lastnosti produkta matrike

Na kratko. Matrično množenje:

1. Nekomutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$ v splošnem primeru. Seveda obstajajo posebne matrike, za katere velja enakost $A\cdot B=B\cdot A$ (na primer, če je $B=E$ identitetna matrika), vendar v veliki večini primerov to ne deluje ;
2. Asociativno: $\levo(A\cdot B \desno)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \desno)$. Tukaj ni nobenih možnosti: sosednje matrike je mogoče pomnožiti, ne da bi vas skrbelo, kaj je levo in desno od teh dveh matrik.
3. Distributivno: $A\cdot \left(B+C \desno)=A\cdot B+A\cdot C$ in $\left(A+B \desno)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (zaradi nekomutativnosti zmnožka je potrebno ločeno podati desno in levo distribucijo.

In zdaj - vse je enako, vendar bolj podrobno.

Matrično množenje je v marsičem podobno klasičnemu množenju števil. Vendar obstajajo razlike, med katerimi je najpomembnejša ta Matrično množenje je na splošno nekomutativno.

Ponovno poglejmo matrike iz 1. problema. Njihov neposredni produkt že poznamo:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(matrika) \right]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\konec(matrika) \desno]\]

Če pa matriki zamenjamo, dobimo popolnoma drugačen rezultat:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix) )\prav]\]

Izkazalo se je, da $A\cdot B\ne B\cdot A$. Poleg tega je operacija množenja definirana le za konsistentni matriki $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$, vendar nihče ni zagotovil, da sta ostanejo dosledni, če se zamenjajo. Na primer, matriki $\left[ 2\times 3 \right]$ in $\left[ 3\times 5 \right]$ sta precej skladni v podanem vrstnem redu, vendar enaki matriki $\left[ 3\times 5 \right] $ in $\left[ 2\times 3 \right]$, zapisana v obratnem vrstnem redu, nista več skladna. Žalostno. :(

Med kvadratnimi matrikami dane velikosti $n$ bodo vedno tiste, ki dajejo enak rezultat tako pri množenju v neposrednem kot v obratnem vrstnem redu. Kako opisati vse takšne matrice (in koliko jih je na splošno) je tema za ločeno lekcijo. Danes ne bomo o tem :)

Vendar je matrično množenje asociativno:

\[\levo(A\cdot B \desno)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \desno)\]

Zato, ko morate pomnožiti več matrik zaporedoma, sploh ni potrebno, da to storite takoj: povsem možno je, da nekatere sosednje matrike, ko jih pomnožite, dajo zanimiv rezultat. Na primer ničelna matrika, kot je opisana v problemu 2 zgoraj.

V realnih problemih moramo največkrat množiti kvadratne matrike velikosti $\left[ n\times n \right]$. Množica vseh takih matrik je označena z $((M)^(n))$ (tj. vnosa $A=\left[ n\times n \right]$ in \ pomenita isto) in bo nujno vsebujejo matriko $E$, ki jo imenujemo identitetna matrika.

Opredelitev. Identitetna matrika velikosti $n$ je matrika $E$, tako da za katero koli kvadratno matriko $A=\left[ n\times n \right]$ velja enakost:

Takšna matrika je vedno videti enako: na glavni diagonali so enice, v vseh ostalih celicah pa ničle.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \desno)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \levo(A+B \desno)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Z drugimi besedami, če morate eno matriko pomnožiti z vsoto dveh drugih, jo lahko pomnožite z vsako od teh "drugih dveh" in nato seštejete rezultate. V praksi moramo običajno izvesti obratno operacijo: opazimo isto matriko, jo vzamemo iz oklepaja, izvedemo seštevanje in si s tem poenostavimo življenje :).

Opomba: za opis distributivnosti smo morali napisati dve formuli: kjer je vsota v drugem faktorju in kjer je vsota v prvem. To se zgodi prav zato, ker je matrično množenje nekomutativno (in na splošno je v nekomutativni algebri veliko zabavnih stvari, ki sploh ne pridejo na misel pri delu z navadnimi števili). In če morate na primer to lastnost zapisati na izpitu, potem obvezno napišite obe formuli, sicer se lahko učitelj malo razjezi.

Ok, vse to so bile pravljice o kvadratnih matricah. Kaj pa pravokotne?

Primer pravokotnih matrik

A nič – vse je tako kot pri kvadratnih.

Naloga 3. Naredite množenje:

\[\levo[ \begin(matrika) \begin(matrika) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrika) & \begin(matrika) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrika) \ \\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Imamo dve matriki: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ in $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Zapišimo številke, ki označujejo velikosti v vrsti:

Kot lahko vidite, osrednji dve številki sovpadata. To pomeni, da so matrike konsistentne in jih je mogoče množiti. Poleg tega na izhodu dobimo matriko $C=\levo[ 3\krat 2 \desno]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrika) \\\end(matrika) \right]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \desno)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \desno)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \desno)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(matrika) \right]= \\ & =\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\konec(matrika) \desno]. \end(align)\]

Vse je jasno: končna matrika ima 3 vrstice in 2 stolpca. Precej $=\levo[ 3\krat 2 \desno]$.

Odgovor: $\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(matrika) & \begin(matrika) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrika) \\\end(matrika) \right]$.

Zdaj pa si poglejmo eno najboljših nalog za usposabljanje za tiste, ki šele začenjajo delati z matricami. V njej vam ni treba samo pomnožiti nekaj dveh tablic, ampak najprej ugotoviti: ali je takšno množenje dovoljeno?

Problem 4. Poišči vse možne parne produkte matrik:

\\]; $B=\levo[ \begin(matrika) \begin(matrika) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrika) & \begin(matrika) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\konec(matrika) \\\konec(matrika) \desno]$; $C=\levo[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

rešitev. Najprej zapišimo velikosti matrik:

\;\ B=\levo[ 4\krat 2 \desno];\ C=\levo[ 2\krat 2 \desno]\]

Ugotovimo, da lahko matriko $A$ uskladimo samo z matriko $B$, saj je število stolpcev $A$ 4 in samo $B$ ima toliko vrstic. Zato lahko najdemo izdelek:

\\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(matrika) \desno]=\ levo[ \začetek(matrika)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\konec(matrika) \desno]\]

Bralcu predlagam, da vmesne korake opravi samostojno. Opozoril bom le, da je bolje določiti velikost nastale matrike vnaprej, še pred kakršnimi koli izračuni:

\\cdot \left[ 4\krat 2 \desno]=\levo[ 2\krat 2 \desno]\]

Z drugimi besedami, preprosto odstranimo »tranzitne« koeficiente, ki so zagotavljali konsistentnost matrik.

Katere druge možnosti so možne? Seveda lahko najdemo $B\cdot A$, saj je $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, torej urejen par $\ left(B ;A \right)$ je skladen in dimenzija izdelka bo:

\\cdot \left[ 2\krat 4 \desno]=\levo[ 4\krat 4 \desno]\]

Skratka, rezultat bo matrika $\left[ 4\times 4 \right]$, katere koeficiente je mogoče enostavno izračunati:

\\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(matrika) \desno]=\ levo[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrika) \desno]\]

Očitno se lahko dogovorite tudi za $C\cdot A$ in $B\cdot C$ - in to je to. Zato preprosto zapišemo nastale izdelke:

Bilo je lahko. :)

Odgovor: $AB=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(matrika) \desno]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrika) \desno]$; $CA=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(matrika) \desno]$; $BC=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(matrika) \desno]$.

Na splošno toplo priporočam, da to nalogo opravite sami. In še ena podobna naloga, ki je v domači nalogi. Te na videz preproste misli vam bodo pomagale pri vadbi vseh ključnih stopenj množenja matrik.

A zgodba se tu ne konča. Preidimo na posebne primere množenja :)

Vektorji vrstic in vektorji stolpcev

Ena najpogostejših matričnih operacij je množenje z matriko, ki ima eno vrstico ali en stolpec.

Opredelitev. Vektor stolpec je matrika velikosti $\left[ m\times 1 \right]$, tj. sestavljen iz več vrstic in samo enega stolpca.

Vrstni vektor je matrika velikosti $\left[ 1\times n \right]$, tj. sestavljen iz ene vrstice in več stolpcev.

Pravzaprav smo te predmete že srečali. Na primer, navaden tridimenzionalni vektor iz stereometrije $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ ni nič drugega kot vektor vrstice. S teoretičnega vidika skorajda ni razlike med vrsticami in stolpci. Previdni morate biti le pri usklajevanju z okoliškimi matrikami množiteljev.

Naloga 5. Naredite množenje:

\[\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \desno] \cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Tukaj imamo produkt ujemajočih se matrik: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Poiščimo ta kos:

\[\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \desno] \cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\levo(-1 \desno)\cdot 2+3\cdot \levo(-1 \desno) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \desno) \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\konec(matrika) \desno]\]

Odgovor: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Naloga 6. Naredite množenje:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrika) \right]\]

rešitev. Spet je vse dogovorjeno: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Izdelek štejemo:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(matrika) \desno]\]

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Kot lahko vidite, ko pomnožimo vektor vrstice in vektor stolpca s kvadratno matriko, je rezultat vedno vrstica ali stolpec enake velikosti. To dejstvo ima veliko uporab - od reševanja linearnih enačb do vseh vrst transformacij koordinat (ki na koncu pridejo tudi do sistemov enačb, a da ne govorimo o žalostnih stvareh).

Mislim, da je bilo tukaj vse očitno. Preidimo na zadnji del današnje lekcije.

Matrično potenciranje

Med vsemi operacijami množenja si posebno pozornost zasluži potenciranje - to je takrat, ko isti predmet večkrat pomnožimo sam s seboj. Matrike niso nobena izjema; prav tako jih je mogoče dvigniti na različne potence.

Takšna dela so vedno dogovorjena:

\\cdot \left[ n\krat n \desno]=\levo[ n\krat n \desno]\]

In označeni so na popolnoma enak način kot običajne stopnje:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \podoklepaj(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

Na prvi pogled je vse preprosto. Poglejmo, kako to izgleda v praksi:

Naloga 7. Dvignite matriko na navedeno moč:

$((\levo[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \desno])^(3))$

rešitev. No OK, gradimo. Najprej ga kvadriramo:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]= \\ & =\levo[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(matrika) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(matrika) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrika) \desno]= \\ & =\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \levo[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno] \end(align)\]

To je vse.:)

Odgovor: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problem 8. Dvignite matriko na navedeno moč:

\[((\levo[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \desno])^(10))\]

rešitev. Samo ne jokajte zdaj zaradi dejstva, da je "diploma prevelika", "svet ni pravičen" in "učitelji so popolnoma izgubili svoje obale." Pravzaprav je preprosto:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ konec(matrika) \desno])^(3))\cdot ((\levo[ \začetek(matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec(matrika) \desno])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno] \desno)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \desno)= \\ & =\levo[ \begin(matrika) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Upoštevajte, da smo v drugi vrstici uporabili asociativnost množenja. Pravzaprav smo ga uporabili v prejšnji nalogi, vendar je bil tam impliciten.

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega pri dvigovanju matrike na potenco. Zadnji primer lahko povzamemo:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\]

To dejstvo je enostavno dokazati z matematično indukcijo ali neposrednim množenjem. Vendar ni vedno mogoče ujeti takšnih vzorcev pri dvigu na stopnjo. Zato bodite previdni: pogosto se "naključno" množenje več matrik izkaže za lažje in hitrejše kot iskanje nekakšnih vzorcev.

Na splošno ne iščite višjega smisla tam, kjer ga ni. Za zaključek razmislimo o potenciranju večje matrike - toliko kot $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problem 9. Dvignite matriko na navedeno moč:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

rešitev. Ne iščimo vzorcev. Delamo naprej:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrika)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \desno]\]

Najprej kvadriramo to matriko:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\levo[ \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrika) \right] \end(align)\]

Zdaj pa ga narežemo na kocke:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrika) \desno] \cdot \left[ \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \desno]= \\ & =\left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

To je vse. Problem je rešen.

Odgovor: $\levo[ \begin(matrika) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrika) \desno]$.

Kot vidite, se je obseg izračunov povečal, pomen pa se ni nič spremenil :).

S tem se lekcija zaključi. Naslednjič bomo upoštevali inverzno operacijo: z obstoječim produktom bomo iskali originalne faktorje.

Kot ste verjetno že uganili, bomo govorili o inverzni matriki in metodah za njeno iskanje.

Matrike so med seboj povezane tabele števil. Na njih je mogoče izvesti vrsto različnih operacij, o katerih vam bomo povedali v nadaljevanju.

Velikost matrice je določena z njeno naročila- število vrstic $m$ in stolpcev $n$, ki so prisotni v njem. Vrstice tvorijo elementi, ki stojijo na vodoravnih črtah, stolpce pa elementi, ki stojijo na ravnih navpičnih črtah. Če je število vrstic enako številu stolpcev, je vrstni red zadevne tabele določen z eno samo vrednostjo $m = n$.

Opomba 1

Pri vsakem elementu matrike je v indeksu najprej zapisana številka vrstice, v kateri se nahaja, nato pa številka stolpca, to pomeni, da vnos $a_(ij)$ pomeni, da je element v $i$- vrstici in v stolpcu $j$-om.

Seštevanje in odštevanje

Torej o seštevanju in odštevanju. Ta dejanja je mogoče izvesti samo z matricami enake velikosti.

Za izvedbo teh dejanj je treba vsakemu elementu matrike dodati ali odšteti element druge matrike, ki stoji na istem mestu kot element v prvi.

Kot primer poiščimo vsoto $A+B$, kjer je:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33)\\ \end(pmatrix)$

in $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(pmatrix)$

Vsota katerega koli elementa nove nastale matrične tabele $A + B$ je enaka $a_(ij) + b_(ij)$, na primer element z indeksom $11$ je enak $a_(11) + b_ (11)$ in celoten rezultat je videti tako:

$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33) ) \\ \end(pmatrix)$

Odštevanje za dve matriki $A-B$ se izvede podobno, vendar bo vsak element nove rezultatske matrike izračunan po formuli $a_(ij) – b_(ij)$.

Upoštevajte, da je seštevanje in odštevanje za matrike mogoče izvesti samo, če sta njuna vrstna reda enaka.

Primer 1

Rešite naslednje primere matrik: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$

$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Pojasnilo:

Izvedemo dejanja za vsak par elementov $a_(ij)$ oziroma $b_(ij)$:

$A+B=\začetek(pmatrika) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \\end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$

$A-B=\začetek(pmatrica) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$

Množenje matrike s številom

Če želite pomnožiti matrično tabelo s poljubnim številom, morate s tem številom pomnožiti vsak njen element, to je kateri koli element nove matrike $C$, ki je rezultat zmnožka $A$ z $λ $, bo enako $с_(ij)= λ \cdot a_(ij)$.

Primer 2

Pomnožite $A$ z $λ$, kjer je $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ in $λ = 5$:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.

Izdelek matričnih tabel

Ta naloga je nekoliko bolj zapletena od prejšnjih, vendar tudi v njej ni nič zapletenega.

Za množenje dveh matrik $A \cdot B$ se mora število stolpcev v $A$ ujemati s številom vrstic v $B$.

Matematično se lahko zapiše takole:

$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = С_(m \times p)$

To pomeni, da lahko takoj določite vrstni red nastale nove matrike, ko vidite, kako se izvirne matrice množijo. Na primer, če morate pomnožiti $A_(3 \times 2)$ in $B_(2 \times 3)$, bo dobljeni rezultat imel velikost $3 \times 3$:

$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$

Če se število stolpcev prvega matričnega množitelja ne ujema s številom vrstic drugega matričnega množitelja, množenja ni mogoče izvesti.

Primer 3

Reši primer:

$A \times B = ?$ če je $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ in $B = \ begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$.

$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $

$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0) + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(pmatrix)$.

Iskanje determinante matrike

Determinanta matrike je označena kot $Δ$ ali $\det$.

Opomba 2

Determinanto lahko najdemo samo za kvadratne različice matrik.

V najpreprostejšem primeru, ko je matrika sestavljena samo iz enega elementa, je njena determinanta enaka temu elementu: $det A = |a_(11)|= a_(11)$

Determinanto matrike drugega reda lahko izračunate z upoštevanjem tega pravila:

Definicija 1

Determinanta matrike velikosti 2 je enaka razliki med zmnožki elementov na glavni diagonali in zmnožki elementov na sekundarni diagonali:

$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) – a_(12)\cdot a_(21)$

Če je determinanta matrike podana z velikostjo $3 \krat 3$, jo lahko najdete z uporabo mnemoničnih pravil: Sarrus ali trikotniki, matriko lahko razširite tudi po vrstici ali stolpcu ali uporabite Gaussove transformacije.

Za večje determinante je mogoče uporabiti Gaussove transformacije in razširitev črte.

Inverzne matrike

Po analogiji z običajnim množenjem števila z njegovo inverzno $(1+\frac1x= 1)$, množenje inverzne matrike $A^(-1)$ z izvirno matriko rezultira v identitetni matriki $E$.

Najenostavnejša metoda reševanja pri iskanju inverzne matrike je Jordan-Gauss. Zraven matrike zamorca je zapisana enotska matrika enake velikosti, nato pa se prvotna s transformacijami reducira na enotsko matriko, vsa izvedena dejanja pa se ponovijo z $E$.

Primer 4

Podano $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

Dobite inverzno matriko.

rešitev:

Skupaj zapišemo $A$ in desno od njega ustrezno velikost $E$:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(matrika)$

V zadnji vrstici na prvem mestu dobimo ničlo: dodajte ji zgornjo, pomnoženo z $-3$:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(matrika)$

Zdaj ponastavimo zadnji element prve vrstice. Če želite to narediti, dodajte spodnjo vrstico zgornji vrstici:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(matrika)$

Drugo delite z $-2$:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(matrika)$

Dobili smo rezultat:

$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$

Transponiranje matričnih tabel

Transpozicija je zamenjava vrstic in stolpcev v matriki ali determinanti ob ohranjanju njihovega prvotnega vrstnega reda. Determinanta transponirane matrične tabele $A^T$ bo enaka determinanti originalne matrike $A$.

Primer 5

Transponirajte matriko $A$ in se preizkusite z iskanjem determinante $A$ in transponirane matrične tablice.

$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(pmatrix)$

rešitev:

Za determinanto uporabimo Sarrusovo metodo:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Dobili smo singularno matriko.

Zdaj prestavimo $A$, da bi to naredili, bomo matriko obrnili na desno stran:

$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Poiščimo determinanto za $A^T$ z uporabo istega pravila:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.

Definicija 1

Matrični produkt (C = AB) je operacija samo za ujemajoči se matriki A in B, pri kateri je število stolpcev matrike A enako številu vrstic matrike B:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Primer 1

Dane matrike:

• A = a (i j) dimenzij m × n;
• B = b (i j) velikosti p × n

Matrika C, katere elementi c i j so izračunani po naslednji formuli:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m, j = 1, . . . m

Primer 2

Izračunajmo produkte AB=BA:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Rešitev z uporabo pravila množenja matrike:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Produkt A B in BA A sta najdena, vendar sta matriki različnih velikosti: A B ni enako BA A.

Lastnosti množenja matrik

Lastnosti matričnega množenja:

• (A B) C = A (B C) - asociativnost matričnega množenja;
• A (B + C) = A B + A C - distributivnost množenja;
• (A + B) C = A C + B C - distributivnost množenja;
• λ (A B) = (λ A) B

Primer 1

Preverimo lastnost št. 1: (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100.

Primer 2

Preverimo lastnost št. 2: A (B + C) = A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58.

Produkt treh matrik

Produkt treh matrik A B C se izračuna na 2 načina:

• poišči A B in pomnoži s C: (A B) C;
• ali najprej poiščite B C in nato pomnožite A (B C).

​Primer 3

Pomnožite matrike na dva načina:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritem dejanj:

• poiščite produkt 2 matrik;
• nato spet poiščite produkt 2 matrik.

1). A B = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Uporabimo formulo A B C = (A B) C:

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Odgovor: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Množenje matrike s številom

Definicija 2

Produkt matrike A s številom k je matrika B = A k enake velikosti, ki jo dobimo iz prvotne z množenjem vseh njenih elementov z danim številom:

b i, j = k × a i, j

Lastnosti množenja matrike s številom:

• 1 × A = A
• 0 × A = ničelna matrika
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n A
• (k × n) × A = k (n × A)

Primer 4

Poiščemo produkt matrike A = 4 2 9 0 s 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Množenje matrike z vektorjem

Definicija 3

Če želite najti produkt matrike in vektorja, morate pomnožiti s pravilom "vrstica za stolpcem":

• če matriko pomnožite z vektorjem stolpca, se mora število stolpcev v matriki ujemati s številom vrstic v vektorju stolpca;
• Rezultat množenja vektorja stolpca je samo vektor stolpca:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 s 2 ⋯ s 1 m

• če matriko pomnožite z vrstičnim vektorjem, mora biti matrika, ki jo množite, izključno stolpčni vektor, število stolpcev pa se mora ujemati s številom stolpcev v vrstičnem vektorju:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Primer 5

Poiščimo produkt matrike A in vektorja stolpca B:

A B = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Primer 6

Poiščimo produkt matrike A in vrstičnega vektorja B:

A = 3 2 0 - 1 , B = - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Odgovor: A B = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter