Formule in lastnosti krogle. Krogla, krogla, segment in sektor. Formule in lastnosti krogle Kako najti območje krogle ob poznavanju polmera

Opredelitev žoge

Žoga pokličite niz točk, ki so odmaknjene od poljubno izbrane točke (središče krogle) na razdalji, ki ne presega R R R- polmer te krogle.

Spletni kalkulator

Žoga ima, tako kot krog, premer D D D, ki je dvakrat večji od polmera krogle po dolžini.

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Površino krogle je mogoče najti z uporabo polmera in premera krogle.

Formula za površino krogle, ki temelji na polmeru krogle

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2

R R R- polmer krogle.

V kocko z diagonalo je včrtana krogla d d d enako 300\sqrt(300) 3 0 0 ​ (cm.). Poiščite površino žoge.

rešitev

D = 300 d= \sqrt(300) d =3 0 0 ​

Prvi korak pri reševanju problema je iskanje dolžine stranice kocke. Označimo ga z a a a. Potem, po Pitagorejskem izreku:

D 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2=a^2+a^2+a^2d 2 = a 2 + a 2 + a 2

D 2 = 3 ⋅ a 2 d^2=3\cdot a^2d 2 = 3 ⋅ a 2

A = d 3 a=\frac(d)(\sqrt(3)) a =3 ​ d​

A = 300 3 = 100 = 10 a=\frac(\sqrt(300))(\sqrt(3))=\sqrt(100)=10a =3 ​ 3 0 0 ​ ​ = 1 0 0 ​ = 1 0

Polmer krogle, včrtane v kocko, je enak polovici stranice te kocke:

R = a 2 = 10 2 = 5 R=\frac(a)(2)=\frac(10)(2)=5R=2 a​ = 2 1 0 ​ = 5

Potem je površina žoge:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 314 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot 5^2\približno 314S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 3 1 4 (glej kvadrat)

odgovor: 314 cm kvadratnih

Formula za površino krogle glede na premer krogle

Formulo za površino krogle je mogoče enostavno dobiti preko njenega premera z uporabo razmerja med polmerom in premerom krogle:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ (D 2) 2 = π ⋅ D 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D )(2)\Big)^2=\pi\cdot D^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 2 = π ⋅ D 2

S = π ⋅ D 2 S=\pi\cdot D^2S=π ⋅ D 2

D D D- premer krogle.

Premer žoge je 10 (cm). Poiščite njegovo površino.

rešitev

D=10 D=10 D=1 0

Z uporabo formule dobimo:

S = π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 314 S=\pi\cdot D^2=\pi\cdot 10^2\approx314S=π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 3 1 4 (glej kvadrat)

odgovor: 314 cm kvadratnih

Krogla je niz vseh točk v prostoru, ki se raztezajo od središča na razdalji določenega polmera R. Polmer pa je segment, ki povezuje središče žoga z vsako točko na njegovi površini.

Boste potrebovali

• – formula za površino krogle;
• – formula za prostornino žoge;
• – aritmetične sposobnosti.

Navodila

1. V vsakdanjem življenju je pogosto treba računati kvadrat sferično površino ali njen del, da bi izračunali, recimo, porabo materiala. Po izračunu prostornine žoga, lahko uporabite specifično težo za izračun mase snovi, ki sestavlja vsebino krogle. Da bi odkrili kvadrat in glasnost žoga, dovolj je poznati njegov polmer ali premer. Z uporabo formul, ki jih današnji šolarji dobijo v 11. razredu srednje šole, lahko enostavno izračunate te parametre.

2. Recimo, da mora biti premer nogometne žoge v skladu z vsako zahtevo FIFA v območju od 21,8 do 22,2 cm, povprečje za lažji izračun bo torej polmer (R) enak (22: 2) - 11 cm zanimivo vedeti kaj kvadrat površina nogometne žoge?

3. Vzemite formulo za površino žoga:S žoga= 4tmR2 Zamenjajte polmer nogometne žoge v zgornjo formulo - 11 cm S = 4 x 3,14 x 11x11.

4. Po izvedbi preprostih matematičnih operacij dobite rezultat: 1519,76. torej kvadrat Površina nogometne žoge je 1.519,76 kvadratnih centimetrov.

5. Zdaj izračunajte prostornino žoge. Vzemite formulo za izračun prostornine žoga: V = 4/3tmR3 Ponovno nadomestimo vrednost polmera nogometne žoge - 11 cm V = 4/3 x 3,14 x 11 x 11 x 11.

6. Po izračunih, recimo, na kalkulatorju dobite: 5576,89 Izkaže se, da je prostornina zraka v nogometni žogi 5576,89 kubičnih centimetrov.

Žoga je najpreprostejša tridimenzionalna geometrijska figura, za označevanje velikosti katere zadostuje vsak posamezen parameter. Meje te figure se običajno imenujejo krogla. Prostornino prostora, omejenega s kroglo, lahko izračunamo tako s podporo ustreznih trigonometričnih formul kot z razpoložljivimi sredstvi.

Navodila

1. Uporabite klasično formulo za prostornino (V) krogle, če je njen polmer (r) znan iz pogojev - povišajte polmer na tretjo potenco, pomnožite s številom Pi in skupno povečajte za drugo tretjino. To formulo lahko zapišemo na naslednji način: V=4*?*r?/3.

2. Če je mogoče izmeriti premer (d) krogle, ga razdelite na pol in uporabite kot polmer v formuli iz prejšnjega koraka. Ali poiščite eno šestino kubičnega premera, pomnoženo s Pi: V=?*d?/6.

3. Če poznamo prostornino (v) valja, v katerega je vpisana krogla, potem za iskanje njegove prostornine določimo, koliko sta enaki dve tretjini znane prostornine valja: V=?*v.

4. Če poznate povprečno gostoto (p) materiala, iz katerega je sestavljena krogla, in njegovo maso (m), potem je tudi to dovolj za določitev prostornine – delite drugo s prvo: V=m/p.

5. Uporabite nekaj merilnih posod kot priročno sredstvo za merjenje prostornine sferične posode. Recimo, da ga napolnite z vodo in z merilno posodo izmerite količino vlite tekočine. Dobljeno vrednost v litrih pretvorite v kubične metre - ta enota je sprejeta v mednarodnem sistemu SI za merjenje prostornine. Kot indikator za pretvorbo iz litrov v kubične metre uporabite številko 1000, ker je en liter enak enemu kubičnemu decimetru, v vsak kubični meter pa jih gre natanko tisoč.

6. Uporabite merilno pravilo, nasprotno tistemu, opisanemu v prejšnjem koraku, če sferičnega telesa ni mogoče napolniti s tekočino, lahko pa ga vanjo potopite. Merilno posodo napolnimo z vodo, pometemo nivo, potopimo kroglasto telo, ki ga merimo, v tekočino in na podlagi razlike v slojih določimo količino izpodrinjene vode. Nato pretvorite nastalo skupno vrednost iz litrov v kubične metre na enak način, kot je opisano v prejšnjem koraku.

Video na temo

Popravila, premikanje, barvanje predmeta - vse to bo zahtevalo izračun površine. Spomniti se šolskega kurikuluma ni zločin.

Navodila

1. Spomnimo se, kaj je območje. Ploščina je mera ravninske figure v razmerju do standardne figure. Ali pravilna vrednost, katere številčna vrednost ima naslednje lastnosti: Če je figuro mogoče razdeliti na dele, ki bodo primitivne figure, potem bo površina takšne figure enaka vsoti površin njenih delov Površina kvadrata s stranico, ki je enaka merski enoti, je enaka eni. Enake številke imajo enake površine. Iz teh pravil sledi, da površina ni določena količina, to pomeni, da površina daje le pogojno primerjava z neko sliko. Ko morate najti območje poljubne figure, morate izračunati, koliko kvadratov s stranico (ki je enaka ena) ta številka lahko sprejme.

2. Primer: Vzemimo lik - pravokotnik, v katerega se kvadratni centimeter prilega šestkrat. Potem bo površina takšnega pravokotnika enaka 6 cm2. Če vzamemo težjo figuro, recimo trapez, potem se izkaže, da: Če je trapez takšne velikosti, da se kvadratni centimeter vanj prilega le dvakrat, tretji del pa se ne prilega v celoti in ostane majhen trikotnik. Če želite izmeriti površino tega preostalega trikotnika, morate nanj uporabiti delčke kvadratnega centimetra; lahko vzamete milimeter. Res je, da ta metoda ni zelo udobna za težke figure. Posledično obstajajo različne formule za izračun površine različnih številk. Če morate izračunati površino določene figure, lahko vzamete učbenik geometrije in se spomnite gradiva, ki ste ga nekoč študirali v šoli. Torej, formula za območje kocke: območje kocka je enaka številu ploskev, pomnoženemu s površino ploskve, tj. 6*a2

Video na temo

Vsi planeti jasnega sistema imajo obliko žoga. Poleg tega so številni predmeti, ki jih je izdelal človek, vključno z deli tehničnih naprav, kroglastih ali podobnih oblik. Krogla, tako kot vsako vrtilno telo, ima os, ki sovpada z njenim premerom. Vendar to ni izjemna glavna kakovost žoga. Spodaj obravnavamo glavne lastnosti te geometrijske figure in metodo za iskanje njene ploščine.

Navodila

1. Če vzamete polkrog ali krog in ga zavrtite okoli svoje osi, dobite telo, ki se imenuje krogla. Z drugimi besedami, krogla je telo, ki ga omejuje krogla. Krogla je lupina žoga, njen presek pa je krog. Od žoga razlikuje se po tem, da je votel. Kot os žoga, torej za kroglo sovpada s premerom in poteka skozi središče. Radij žoga imenujemo odsek, ki poteka od njegovega središča do katere koli zunanje točke. V nasprotju s kroglo, odsek žoga so krogi. Številni planeti in nebesna telesa imajo obliko, ki je blizu kroglasti. Na različnih točkah žoga obstajajo enake oblike, vendar neenake velikosti, tako imenovani odseki - krogi različnih področij.

2. Krogla in krogla sta zamenljivi telesi, za razliko od stožca, kljub temu, da je tudi stožec vrtilno telo. Sferične površine v svojem prerezu vedno tvorijo krog, ne glede na to, kako natančno se vrti - vodoravno ali navpično. Stožčasto ploskev dobimo samo z vrtenjem trikotnika vzdolž njegove osi pravokotno na osnovo. Posledično stožec, za razliko od žoga, in se ne šteje za zamenljivo telo revolucije.

3. Z rezanjem dobimo čim večji krog žoga ravnina, ki poteka skozi središče O. Vse krožnice, ki potekajo skozi središče O, se sekajo v enakem premeru. Polmer je vedno enak polovici premera. Skozi dve točki A in B, ki se nahajata kjer koli na površini žoga, gre lahko skozi neomejeno število krogov oz. Prav zaradi tega lahko skozi Zemljina pola narišemo neomejeno število meridianov.

4. Pri iskanju območja žoga upoštevati pred vsemi drugimi kvadrat kroglasta površina.Površina žoga, oziroma kroglo, ki tvori njeno površino, je mogoče izračunati na podlagi površine kroga z enakim polmerom R. Iz dejstva, da kvadrat kroga je zmnožek polkroga in polmera, ga lahko izračunamo na naslednji način: S = ?R^2 Ker skozi središče žogaštirje glavni veliki krogi potekajo, nato pa ustrezno kvadrat žoga(krogla) je enako: S = 4 ?R^2

5. Ta formula je lahko primerna, če poznamo premer ali polmer žoga ali krogle. Vendar pa ti parametri niso podani kot pogoji v vseh geometrijskih problemih. Obstajajo tudi naloge, pri katerih je kroglica vpisana v valj. V tem primeru bi morali uporabiti Arhimedov izrek, katerega bistvo je to kvadrat površine žoga eninpolkrat manjša od celotne površine valja: S = 2/3 S valja, kjer je S valja. – kvadrat celotno površino cilindra.

Video na temo

Žoga je najpreprostejša tridimenzionalna figura geometrijsko pozitivne oblike, katere vse točke prostora znotraj meja so odmaknjene od njenega središča na razdalji, ki ne presega polmera. Površino, ki jo tvori večina točk, ki so najbolj oddaljene od središča, imenujemo krogla. Za kvantitativno izražanje mere prostora v krogli je na voljo parameter, ki se imenuje prostornina krogle.

Navodila

1. Če želite izmeriti prostornino krogle ne teoretično, ampak le z improviziranimi sredstvi, potem je to mogoče storiti, recimo, z določitvijo prostornine vode, ki jo izpodrine. Ta metoda je uporabna v primeru, ko obstaja možnost, da žogo postavite v neko posodo, ki je sorazmerna z njo - čaša, kozarec, kozarec, vedro, sod, bazen itd. V tem primeru, preden postavite žogo, pobrišite plast vode, to storite znova, ko je popolnoma potopljena, in nato poiščite razliko med oznakama. Tradicionalno imajo tovarniško izdelane merilne posode delitve, ki prikazujejo prostornino v litrih in iz nje izpeljanih enotah - mililitrih, dekalitrih itd. Če je treba dobljeno vrednost pretvoriti v kubične metre in več enot prostornine, potem izhajajte iz dejstva, da en liter ustreza enemu kubičnemu decimetru ali eni tisočinki kubičnega metra.

2. Če je material, iz katerega je izdelana žoga, znan in je gostoto tega materiala mogoče ugotoviti, recimo, iz referenčne knjige, potem lahko prostornino določimo s tehtanjem danega predmeta. Rezultat tehtanja preprosto delite z referenčno gostoto proizvodne snovi: V=m/p.

3. Če je polmer krogle določen iz pogojev problema ali ga je mogoče izmeriti, potem lahko za izračun prostornine uporabimo ustrezno matematično formulo. Pomnožite štirikratno število Pi s tretjo potenco polmera in dobljeno vsoto delite s tri: V=4*?*r?/3. Recimo, da bo s polmerom 40 cm prostornina krogle 4 * 3,14 * 40?/3 = 267946,67 cm? ? 0,268 m?.

4. Merjenje premera je pogosto lažje kot merjenje polmera. V tem primeru ga ni treba razdeliti na pol, da bi ga uporabili s formulo iz prejšnjega koraka - bolje je poenostaviti samo formulo. V skladu s pretvorjeno formulo pomnožite število Pi s premerom na tretjo potenco in vsoto delite s šest: V=?*d?/6. Recimo, krogla s premerom 50 cm bi morala imeti prostornino 3,14 * 50?/6 = 65416,67 cm? ? 0,654 m?.

Težave, ki vključujejo izračun površine kroga, se pogosto pojavljajo v šolskih tečajih geometrije. Da bi odkrili kvadrat krog, morate poznati dolžino premer ali polmer kroga, v katerem je zaprt.

Boste potrebovali

• – dolžina premera kroga.

Navodila

1. Krog je lik na ravnini, sestavljen iz številnih točk, ki se nahajajo na enaki razdalji od druge točke, imenovane središče. Krog je ploski geometrijski lik, sestavljen iz množice točk, zaprtih v krogu, ki je meja kroga. Premer je odsek, ki povezuje dve točki na krogu in poteka skozi njegovo središče. Polmer je odsek, ki povezuje točko na krogu in njegovo središče. ? - število “pi”, matematična konstanta, zvezna vrednost. Prikazuje razmerje med obsegom kroga in njegovo dolžino premer. Izračunati natančno vrednost števila? nemogoče. V geometriji se uporablja približna vrednost tega števila: ? ? 3.14

2. Površina kroga je enaka produktu kvadrata polmera in števila in se izračuna po formuli: S=?R^2, kjer je S - kvadrat kroga, R je dolžina polmera kroga.

3. Iz definicije polmera sledi, da je enak polovici premer. Posledično ima formula obliko: S=?(D/2)^2, kjer je D dolžina premer krogih. Nadomestite vrednost v formulo premer, izračunaj kvadrat krog.

4. Površina kroga se meri v enotah površine - mm2, cm2, m2 itd. V katerih enotah so izražene informacije, ki jih prejmete? kvadrat krog je odvisen od enot, v katerih je bil podan premer kroga.

5. Če morate izračunati kvadrat obroč, uporabite formulo: S=?(R-r)^2, kjer sta R, r polmera zunanjega oziroma notranjega kroga obroča.

Koristen nasvet
Obstaja mednarodni dan pi, ki ga praznujemo 14. marca. Točen čas zmagoslavnega datuma je 1 ura 59 minut 26 sekund, glede na številke datuma - 3.1415926 ...

Video na temo

Opomba!
Zanimivo: prostornina krogle s premerom, ki je trikrat večji od premera druge krogle, je 9-krat večja od skupne prostornine 3 takšnih kroglic.

Koristen nasvet
Da bi pri otrocih razvili strast do matematičnih izračunov, ponudite okoliške predmete kot primere za izračun: žogo, lubenico, klobčič babičine preje. Je vizualen in zato fascinanten.

Tukaj podajamo zelo preprosto, čeprav ne povsem strogo izpeljavo formule za površino sferične površine; po svoji ideji je zelo blizu metodam integralnega računa. Torej nam je dana določena krogla s polmerom R. Izberimo nekaj majhnega območja na njeni površini (sl. 412) in razmislimo o piramidi ali stožcu z vrhom v središču krogle O, ki ima to območje za osnovo ; strogo gledano, o stožcu ali piramidi govorimo le pogojno, saj osnova ni ravna, temveč kroglasta. Če pa je velikost baze majhna v primerjavi s polmerom krogle, se bo le-ta zelo malo razlikovala od ploščate (na primer, ko merijo majhno zemljišče, zanemarjajo dejstvo, da ne leži na ravnina, ampak na kroglo).

Potem, ko označujemo osnovo "piramide" skozi območje tega odseka, najdemo njegovo prostornino kot produkt ene tretjine višine s površino osnove (višina je polmer krogle) :

Če zdaj razčlenimo celotno površino krogle na zelo veliko število N tako majhnih območij, s tem prostornino krogle v N volumnov "piramid", ki imajo te površine kot svoje osnove, potem bo celoten volumen predstavljen z vsota

kjer je zadnja vsota enaka celotni površini žoge:

Torej je prostornina krogle enaka tretjini zmnožka njenega polmera in površine. Zato imamo za površino formulo

Zadnji rezultat je oblikovan na naslednji način:

Površina krogle je enaka štirikratni površini njenega velikega kroga.

Zgornji sklep je primeren tudi za površino sektorja krogle (mislimo samo na osnovo, tj. sferično površino ali "kapo"; glej sliko 409). In v tem primeru je prostornina sektorja enaka eni tretjini produkta polmera krogle in površine njene sferične osnove:

kjer najdemo formulo za površino kapice

Sferična površina sferične plasti se imenuje sferični pas (glej sliko 408). Za izračun površine sferičnega pasu najdemo razliko med površinama dveh sferičnih pokrovčkov:

kjer je višina plasti. Torej je površina sferičnega pasu za določeno kroglo odvisna le od višine ustrezne plasti, ne pa tudi od njenega položaja na krogli.

Naloga. Stranska ploskev stožca, ki je obkrožen okoli krogle, ima površino, ki je enaka eni in pol kratni površini krogle. Poiščite višino stožca, če je polmer krogle .

rešitev. Za udobje uvedimo kot a med višino in generatriko stožca (slika 413). Poiščimo izraze za višino, osnovni polmer in generatriso stožca

Tukaj podajamo zelo preprosto, čeprav ne povsem strogo izpeljavo formule za površino sferične površine; po svoji ideji je zelo blizu metodam integralnega računa. Torej nam je dana določena krogla s polmerom R. Izberimo nekaj majhnega območja na njeni površini (sl. 412) in razmislimo o piramidi ali stožcu z vrhom v središču krogle O, ki ima to območje za osnovo ; strogo gledano, o stožcu ali piramidi govorimo le pogojno, saj osnova ni ravna, temveč kroglasta. Če pa je velikost baze majhna v primerjavi s polmerom krogle, se bo le-ta zelo malo razlikovala od ploščate (na primer, ko merijo majhno zemljišče, zanemarjajo dejstvo, da ne leži na ravnina, ampak na kroglo).

Potem, ko označujemo osnovo "piramide" skozi območje tega odseka, najdemo njegovo prostornino kot produkt ene tretjine višine s površino osnove (višina je polmer krogle) :

Če zdaj razčlenimo celotno površino krogle na zelo veliko število N tako majhnih območij, s tem prostornino krogle v N volumnov "piramid", ki imajo te površine kot svoje osnove, potem bo celoten volumen predstavljen z vsota

kjer je zadnja vsota enaka celotni površini žoge:

Torej je prostornina krogle enaka tretjini zmnožka njenega polmera in površine. Zato imamo za površino formulo

Zadnji rezultat je oblikovan na naslednji način:

Površina krogle je enaka štirikratni površini njenega velikega kroga.

Zgornji sklep je primeren tudi za površino sektorja krogle (mislimo samo na osnovo, tj. sferično površino ali "kapo"; glej sliko 409). In v tem primeru je prostornina sektorja enaka eni tretjini produkta polmera krogle in površine njene sferične osnove:

kjer najdemo formulo za površino kapice

Sferična površina sferične plasti se imenuje sferični pas (glej sliko 408). Za izračun površine sferičnega pasu najdemo razliko med površinama dveh sferičnih pokrovčkov:

kjer je višina plasti. Torej je površina sferičnega pasu za določeno kroglo odvisna le od višine ustrezne plasti, ne pa tudi od njenega položaja na krogli.

Naloga. Stranska ploskev stožca, ki je obkrožen okoli krogle, ima površino, ki je enaka eni in pol kratni površini krogle. Poiščite višino stožca, če je polmer krogle .

rešitev. Za udobje uvedimo kot a med višino in generatriko stožca (slika 413). Poiščimo izraze za višino, osnovni polmer in generatriso stožca