Prostornina žoge. Prostornina krogle Prostornina krogle

Žoga je geometrijsko vrtilno telo, ki nastane z vrtenjem kroga ali polkroga okoli njenega premera. Tudi krogla je prostor, ki ga omejuje sferična površina. Obstaja veliko resničnih sferičnih predmetov in s tem povezanih problemov, ki zahtevajo določitev prostornine krogle.

Žoga in krogla

Krog je najstarejša geometrijska figura in starodavni znanstveniki so ji pripisovali sveti pomen. Krog je simbol neskončnega časa in prostora, simbol vesolja in bivanja. Po Pitagori je krog najlepši lik. V tridimenzionalnem prostoru se krog spremeni v kroglo, prav tako idealno, kozmično in lepo kot krog.

Krogla v stari grščini pomeni "krogla". Krogla je ploskev, ki jo tvori neskončno število točk, enako oddaljenih od središča figure. Prostor, ki ga omejuje krogla, je krogla. Žoga je idealna geometrijska figura, katere obliko prevzame veliko resničnih predmetov. Na primer, v resničnem življenju imajo topovske krogle, ležaji ali krogle obliko krogle, v naravi - kapljice vode, drevesne krošnje ali jagode, v vesolju - zvezde, meteorji ali planeti.

Volumen žoge

Določanje prostornine sferičnega lika je težka naloga, saj takšnega geometrijskega telesa ni mogoče razdeliti na kocke ali trikotne prizme, katerih formule za volumen so že znane. Sodobna znanost vam omogoča, da izračunate prostornino krogle z uporabo določenega integrala, toda kako je bila formula za prostornino izpeljana v stari Grčiji, ko še nihče ni slišal za integrale? Arhimed je izračunal prostornino krogle s pomočjo stožca in valja, saj je formule za prostornine teh likov določil že starogrški filozof in matematik Demokrit.

Arhimed je upodabljal polovico žoge z istim stožcem in valjem, pri čemer je bil polmer vsake figure enak njeni višini R = h. Starodavni znanstvenik je predstavil stožec in valj, razbit na neskončno število majhnih valjev. Arhimed je ugotovil, da če od prostornine stožca Vk odštejemo prostornino valja Vc, dobimo prostornino ene poloble Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Prostornina stožca se izračuna po preprosti formuli:

Vk = 1/3 × So × h,

vendar vemo, da je So v tem primeru območje kroga in h \u003d R, potem se formula pretvori v:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Prostornina valja se izračuna po formuli:

Vc = pi × R 2 × h,

vendar ob predpostavki, da je višina valja enaka njegovemu polmeru, dobimo:

Vc = pi × R 3 .

Z uporabo teh formul je Arhimed dobil:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 ali Vsh = 4/3 pi × R 3

Sodobna definicija formule za prostornino krogle izhaja iz integrala površine sferične površine, vendar rezultat ostaja enak

Vsh = 4/3 pi × R 3

Izračun prostornine krogle bo morda potreben tako v resničnem življenju kot pri reševanju abstraktnih problemov. Če želite izračunati prostornino krogle s spletnim kalkulatorjem, morate poznati samo en parameter, med katerim lahko izbirate: premer ali polmer krogle. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz resničnega življenja

Topovske krogle

Recimo, da želite vedeti, koliko železa je potrebno za ulivanje topovske krogle kalibra šest metrov. Veste, da je premer takega jedra 9,6 centimetra. Vnesite to številko v celico kalkulatorja "Premer" in prejeli boste odgovor v obrazcu

Tako boste za taljenje topovske krogle določenega kalibra potrebovali 463 kubičnih centimetrov ali 0,463 litra litega železa.

Baloni

Naj vas zanima, koliko zraka je potrebno za napihovanje popolnega sferičnega balona. Veste, da je polmer izbrane krogle 10 cm. Vnesite to vrednost v celico kalkulatorja "Radius" in dobili boste rezultat

To pomeni, da boste za napihovanje enega takega balona potrebovali 4188 kubičnih centimetrov oziroma 4,18 litra zraka.

Zaključek

Potreba po določitvi prostornine žoge se lahko pojavi v različnih situacijah: od abstraktnih šolskih problemov do znanstvenih raziskav in proizvodnih vprašanj. Če želite rešiti vprašanja katere koli zapletenosti, uporabite naš spletni kalkulator, ki vam bo takoj predstavil točen rezultat in potrebne matematične izračune.

Mnoga telesa, ki jih vidimo v življenju ali za katera smo že slišali, so sferične oblike, na primer nogometna žoga, padajoča kapljica vode med dežjem ali naš planet. V zvezi s tem je pomembno razmisliti o vprašanju, kako najti prostornino krogle.

Figuralna žoga v geometriji

Preden odgovorimo na žogičino vprašanje, si pobliže oglejmo to telo. Nekateri ga zamenjujejo s kroglo. Navzven sta si res podobni, vendar je krogla predmet, napolnjen v notranjosti, medtem ko je krogla le zunanja lupina krogle neskončno majhne debeline.

Z vidika geometrije lahko žogo predstavimo z množico točk, tiste med njimi, ki ležijo na njeni površini (tvorijo kroglo), pa so enako oddaljene od središča figure. Ta razdalja se imenuje polmer. Pravzaprav je polmer edini parameter, s katerim lahko opišete katere koli lastnosti krogle, na primer njeno površino ali prostornino.

Spodnja slika prikazuje primer žoge.

Če pozorno pogledate ta idealen okrogel predmet, lahko uganete, kako ga dobiti iz navadnega kroga. Če želite to narediti, je dovolj, da to ravno figuro zavrtite okoli osi, ki sovpada z njenim premerom.

Eden od znanih starodavnih literarnih virov, v katerem so lastnosti te tridimenzionalne figure dovolj podrobno obravnavane, je delo grškega filozofa Evklida - "Elementi".

Površina in prostornina

Glede na vprašanje, kako najti prostornino krogle, je treba poleg te količine podati formulo za njeno površino, saj sta oba izraza lahko povezana med seboj, kot bo prikazano spodaj.

Torej, za izračun prostornine krogle je treba uporabiti eno od naslednjih dveh formul:

• V = 4/3 * pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

Tukaj je R polmer figure. Prva od zgornjih formul je natančna, a če želite to izkoristiti, morate za število pi uporabiti ustrezno število decimalnih mest. Drugi izraz daje precej dober rezultat, ki se od prvega razlikuje le za 0,03%. Za številne praktične probleme je ta natančnost več kot dovolj.

Enaka je tej vrednosti za kroglo, to je izražena s formulo S = 4 * pi * R2. Če od tu izrazimo polmer in ga nato nadomestimo s prvo formulo za prostornino, dobimo: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi)).

Tako smo obravnavali vprašanja, kako najti prostornino krogle skozi polmer in skozi površino njene površine. Te izraze je mogoče uspešno uporabiti v praksi. Spodaj v članku bomo podali primer njihove uporabe.

Rain drop izziv

Voda v ničelni gravitaciji ima obliko sferične kapljice. To je posledica prisotnosti sil površinske napetosti, ki težijo k zmanjšanju površine. Žogica pa ima najmanjšo vrednost med vsemi geometrijskimi oblikami z enako maso.

Med dežjem je padajoča kapljica vode v ničelni gravitaciji, zato je njena oblika krogla (tukaj zanemarimo silo zračnega upora). Določiti je treba prostornino, površino in polmer te kapljice, če je znano, da je njena masa 0,05 grama.

Prostornino je enostavno določiti, za to morate znano maso deliti z gostoto H 2 O (ρ \u003d 1 g / cm 3). Nato V \u003d 0,05 / 1 \u003d 0,05 cm 3.

Če veste, kako najti prostornino krogle, morate izraziti polmer iz formule in nadomestiti dobljeno vrednost, imamo: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 cm.

Zdaj nadomestimo vrednost polmera v izraz za površino figure, dobimo: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.

Tako smo, ko smo vedeli, kako najti prostornino krogle, dobili odgovore na vsa vprašanja problema: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 in V = 0,05 cm 3.

Definicija žoge

Žoga je telo, katerega vse točke so od dane točke oddaljene največ R.

Spletni kalkulator

Imenujemo dano točko, na katero se nanaša definicija žoge center ta žoga. In omenjena razdalja je polmer te žoge.

Krogla ima po analogiji s krogom tudi premer D D D, kar je dvakratna dolžina polmera:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Formula za prostornino krogle glede na njen polmer

Prostornina krogle se izračuna po naslednji formuli:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R je polmer dane krogle.

Poglejmo si nekaj primerov.

V kocko je diagonalno včrtana krogla d d d kar je enako 500 glej \sqrt(500)\text( glej)5 0 0 ​ cm. Poiščite prostornino krogle.

rešitev

D=500 d=\sqrt(500) d=5 0 0 ​

Najprej morate določiti dolžino stranice kocke. Predpostavili bomo, da je enako a a a. Zato je diagonala kocke (na podlagi Pitagorovega izreka):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d=a 2 + a 2 + a 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d=3 ⋅ a 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad=3 ​ ⋅ a

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ a

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))a =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\približno 12,9 a ≈1 2 . 9

Če je krogla včrtana v kocko, potem je njen polmer enak polovici dolžine stranice te kocke. Kot rezultat imamo:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ a

R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\približno 6,4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Končna faza je iskanje prostornine žoge po formuli:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6,4) 3 ≈ 1097 ,5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\približno\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6,4)^3\približno 1097,5\besedilo( cm)^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 cm3

Odgovori

1097, 5 cm3. 1097,5\besedilo(cm)^3.1 0 9 7 , 5 cm3 .

Formula za prostornino krogle glede na njen premer

Prostornino krogle lahko najdemo tudi glede na njen premer. Za to uporabimo razmerje med polmerom in premerom krogle:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 D​

Nadomestite ta izraz v formulo za prostornino krogle:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =6 π ​ ⋅ D 3

D D D je premer krogle.

Premer kroglice je 15 cm. 15\besedilo (cm.) 1 5 cm. Poiščite njegovo prostornino.

rešitev

D=15 D=15 D=1 5

Vrednost premera takoj nadomestite s formulo:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ približno 1766,25\text(cm)^3V =6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 cm3

Odgovori

$1766.25\text{cm3 .}$

V geometriji žoga je opredeljeno kot določeno telo, ki je zbirka vseh točk v prostoru, ki se nahajajo od središča na razdalji, ki ne presega dane, imenovane polmer krogle. Površino krogle imenujemo krogla, nastane pa z vrtenjem polkroga okoli njenega premera, ki ostane negiben.

S tem geometrijskim telesom se zelo pogosto srečujejo oblikovalci in arhitekti, ki se pogosto morajo izračuna prostornino krogle. Na primer, pri zasnovi prednjega vzmetenja velike večine sodobnih avtomobilov se uporabljajo tako imenovani kroglični ležaji, v katerih so, kot lahko uganete iz samega imena, kroglice eden glavnih elementov. Z njihovo pomočjo so povezana pesta krmiljenih koles in ročic. Od tega, kako prav bo izračunano njihova prostornina je v veliki meri odvisna ne le od trajnosti teh enot in pravilnosti njihovega dela, temveč tudi od prometne varnosti.

V tehnologiji se široko uporabljajo deli, kot so kroglični ležaji, s pomočjo katerih so osi pritrjene v fiksnih delih različnih enot in sklopov ter zagotovljeno njihovo vrtenje. Treba je opozoriti, da pri njihovem izračunu oblikovalci potrebujejo poiščite prostornino krogle(oziroma kroglice, postavljene v kletko) z visoko stopnjo natančnosti. Kar se tiče izdelave kovinskih kroglic za ležaje, so izdelane iz kovinske žice po zapletenem tehnološkem postopku, ki vključuje faze oblikovanja, utrjevanja, grobega brušenja, končnega lepljenja in čiščenja. Mimogrede, tiste kroglice, ki so vključene v zasnovo vseh kemičnih svinčnikov, so izdelane po popolnoma enaki tehnologiji.

Pogosto se krogle uporabljajo tudi v arhitekturi, tam pa so najpogosteje okrasni elementi zgradb in drugih objektov. V večini primerov so izdelani iz granita, kar pogosto zahteva veliko ročnega dela. Seveda pri izdelavi teh kroglic ni treba upoštevati tako visoke natančnosti kot tiste, ki se uporabljajo v različnih enotah in mehanizmih.

Tako zanimiva in priljubljena igra, kot je biljard, si je nepredstavljiva brez žog. Za njihovo izdelavo se uporabljajo različni materiali (kost, kamen, kovina, plastika) in se uporabljajo različni tehnološki postopki. Ena od glavnih zahtev za biljardne krogle je njihova visoka trdnost in sposobnost, da prenesejo visoke mehanske obremenitve (predvsem udarce). Poleg tega mora biti njihova površina natančna krogla, da se zagotovi gladko in enakomerno kotaljenje po površini biljardnih miz.

Končno, niti eno novo leto ali božično drevo ne more brez takšnih geometrijskih teles, kot so kroglice. Ti okraski so v večini primerov izdelani iz stekla s pihanjem, pri njihovi izdelavi pa največ pozornosti ne namenjajo dimenzijski natančnosti, temveč estetiki izdelkov. Hkrati je tehnološki proces skoraj popolnoma avtomatiziran in božične kroglice se pakirajo samo ročno.