domov » Moderna zasnova zasebne hiše » Diferenciacija eksponentnih in logaritemskih funkcij - Hipermarket znanja. Logaritemski odvod. Diferenciacija eksponentne potenčne funkcije Diferenciacija eksponentne in logaritemske formule

Diferenciacija eksponentnih in logaritemskih funkcij - Hipermarket znanja. Logaritemski odvod. Diferenciacija eksponentne potenčne funkcije Diferenciacija eksponentne in logaritemske formule

Algebra in začetek matematične analize

Diferenciacija eksponentne in logaritemske funkcije

Sestavil:

učitelj matematike MOU srednja šola №203 CHETs

Mesto Novosibirsk

Vidutova T.V.

številka e. funkcija y=e x, njegove lastnosti, graf, diferenciacija

1. Zgradimo grafe za različne osnove a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2. možnost) (1. možnost) "width="640"

Razmislite o eksponentni funkciji y = a x, kjer je 1.

Gradimo za različne podlage a grafikoni:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(2. možnost)

(1 možnost)

1) Vsi grafi potekajo skozi točko (0; 1);

2) Vsi grafi imajo horizontalno asimptoto y = 0

pri X  ∞;

3) Vsi so obrnjeni z izboklino navzdol;

4) Vsi imajo tangente v vseh svojih točkah.

Narišite tangento na graf funkcije y=2 x na točki X= 0 in izmerite kot, ki ga tvori tangenta na os X

S pomočjo natančnih konstrukcij tangent na grafe je razvidno, da če je baza a eksponentna funkcija y = a x osnova postopoma narašča od 2 do 10, nato kot med tangento na graf funkcije v točki X= 0 in os x se postopoma povečuje od 35' do 66,5'.

Zato obstaja osnova a, za katerega je ustrezni kot 45'. In ta pomen a sklenili med 2 3, saj pri a= 2 je kot 35', pri čemer a= 3 je enako 48'.

Med matematično analizo se dokaže, da ta baza obstaja, običajno jo označimo s črko e.

Odločil, da e - iracionalno število, to je neskončni neperiodični decimalni ulomek:

e = 2,7182818284590… ;

V praksi se običajno domneva, da e ≈ 2,7.

Lastnosti grafov in funkcij y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) poveča;

4) ni omejeno od zgoraj, omejeno od spodaj

5) nima ne največjega ne najmanjšega

vrednote;

6) neprekinjeno;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) konveksno navzdol;

9) je diferencibilen.

funkcija y = e x klical razstavljavec .

Med matematično analizo je bilo dokazano, da funkcija y = e x ima izpeljanko na kateri koli točki X :

(npr x ) = e x

(npr 5x )" = 5e 5x

(npr x-3 )" = e x-3

(npr -4x+1 )" = -4e -4x-1

Primer 1 . Na graf funkcije nariši tangento v točki x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = npr

odgovor:

Primer 2 .

x = 3.

Primer 3 .

Raziščite funkcijo za ekstrem

x=0 in x=-2

X= -2 - največja točka

X= 0 – najmanjša točka

Če je osnova logaritma število e, potem pravijo, da dano naravni logaritem . Za naravne logaritme je uveden poseben zapis ln (l - logaritem, n - naravni).

Graf in lastnosti funkcije y = ln x

Lastnosti funkcije y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) ni niti sodo niti liho;

3) poveča za (0; + ∞);

4) ni omejeno;

5) nima ne največjih ne najmanjših vrednosti;

6) neprekinjeno;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) konveksni vrh;

9) je diferencibilen.

0 velja formula diferenciacije "width="640".

Med matematično analizo je bilo dokazano, da za katero koli vrednost x0 formula za razlikovanje velja

Primer 4:

Izračunajte vrednost odvoda funkcije v točki x = -1.

Na primer:

Internetni viri:

http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://900igr.net/prezentatsii
http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Pustiti
(1)
je diferenciabilna funkcija od x. Najprej ga bomo obravnavali na množici vrednosti x, za katere ima y pozitivne vrednosti: . V nadaljevanju bomo pokazali, da so vsi dobljeni rezultati uporabni tudi za negativne vrednosti .

V nekaterih primerih je za iskanje odvoda funkcije (1) priročno predhodno vzeti logaritem
,
in nato izračunaj izpeljanko. Nato po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije
.
Od tod
(2) .

Odvod logaritma funkcije se imenuje logaritemski odvod:
.

Logaritemski odvod funkcije y = f(x) je odvod naravnega logaritma te funkcije: (log f(x))'.

Primer negativnih vrednosti y

Zdaj razmislite o primeru, ko lahko spremenljivka sprejme pozitivne in negativne vrednosti. V tem primeru vzemite logaritem modula in poiščite njegov derivat:
.
Od tod
(3) .
To pomeni, da morate v splošnem primeru najti izpeljanko logaritma modula funkcije.

Če primerjamo (2) in (3), dobimo:
.
To pomeni, da formalni rezultat izračuna logaritemskega odvoda ni odvisen od tega, ali smo vzeli modulo ali ne. Zato nam pri izračunu logaritemskega odvoda ni treba skrbeti, kakšen predznak ima funkcija.

To situacijo je mogoče razjasniti s pomočjo kompleksnih števil. Naj bo za nekatere vrednosti x negativno: . Če upoštevamo samo realna števila, potem funkcija ni definirana. Če pa v obravnavo uvedemo kompleksna števila, dobimo naslednje:
.
To pomeni, da se funkcije in razlikujejo po kompleksni konstanti:
.
Ker je odvod konstante nič, potem
.

Lastnost logaritemskega odvoda

Iz takega premisleka izhaja, da logaritemski odvod se ne spremeni, če funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto :
.
Dejansko prijava lastnosti logaritmov, formule izvedena vsota in derivat konstante, imamo:

.

Uporaba logaritemskega odvoda

Logaritemski odvod je priročno uporabiti v primerih, ko je izvirna funkcija sestavljena iz produkta potenčnih ali eksponentnih funkcij. V tem primeru operacija logaritma pretvori produkt funkcij v njihovo vsoto. To poenostavi izračun derivata.

Primer 1

Poiščite odvod funkcije:
.

rešitev

Vzamemo logaritem prvotne funkcije:
.

Diferenciraj glede na x.
V tabeli izpeljank najdemo:
.
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije.
;
;
;
;
(P1.1) .
Pomnožimo z:

.

Torej smo našli logaritemski odvod:
.
Od tu najdemo izpeljanko izvirne funkcije:
.

Opomba

Če želimo uporabiti samo realna števila, potem moramo vzeti logaritem modula prvotne funkcije:
.
Potem
;
.
In dobili smo formulo (A1.1). Zato se rezultat ni spremenil.

Odgovori

Primer 2

Z logaritemskim odvodom poiščite odvod funkcije
.

rešitev

Logaritem:
(P2.1) .
Razlikuj glede na x:
;
;

;
;
;
.

Pomnožimo z:
.
Od tu dobimo logaritemski odvod:
.

Izpeljanka izvirne funkcije:
.

Opomba

Tu je izvirna funkcija nenegativna: . Definiran je na. Če ne predpostavimo, da je logaritem mogoče določiti za negativne vrednosti argumenta, je treba formulo (A2.1) zapisati na naslednji način:
.
Zaradi

in
,
to ne bo vplivalo na končni rezultat.

Odgovori

Primer 3

Poiščite izpeljanko
.

rešitev

Diferenciranje izvedemo z uporabo logaritemskega odvoda. Logaritem glede na to:
(P3.1) .

Z diferenciranjem dobimo logaritemski odvod.
;
;
;
(P3.2) .

Od takrat

.

Opomba

Naredimo izračune brez predpostavke, da je logaritem mogoče definirati za negativne vrednosti argumenta. Če želite to narediti, vzemite logaritem modula prvotne funkcije:
.
Potem imamo namesto (A3.1):
;

.
Če primerjamo z (A3.2), vidimo, da se rezultat ni spremenil.

Tema lekcije: »Diferenciacija eksponentnih in logaritemskih funkcij. Antiizpeljava eksponentne funkcije "v nalogah UNT

Tarča : razviti spretnosti študentov pri uporabi teoretičnega znanja na temo »Diferenciacija eksponentnih in logaritemskih funkcij. Protiodvod eksponentne funkcije« za reševanje problemov UNT.

Naloge

Izobraževalni: sistematizirati teoretično znanje študentov, utrditi veščine reševanja problemov na to temo.

V razvoju: razvijati spomin, opazovanje, logično razmišljanje, matematični govor učencev, pozornost, samospoštovanje in sposobnosti samokontrole.

Izobraževalni: promovirati:

oblikovanje odgovornega odnosa učencev do učenja;

razvoj trajnega zanimanja za matematiko;

ustvarjanje pozitivne notranje motivacije za študij matematike.

Učne metode: verbalno, vizualno, praktično.

Oblike dela: individualno, frontalno, v paru.

Med poukom

Epigraf: "Um ni sestavljen le iz znanja, ampak tudi iz zmožnosti uporabe znanja v praksi" Aristotel (diapozitiv 2)

I. Organizacijski trenutek.

II. Reševanje križanke. (diapozitiv 3-21)

Francoski matematik iz 17. stoletja Pierre Fermat je to črto definiral kot "ravno črto, ki je najbližja krivulji v majhni okolici točke."

Tangenta

Funkcija, ki je podana s formulo y = log a x.

logaritemski

Funkcija, ki je podana s formulo y = a X.

Demonstracija

V matematiki se ta koncept uporablja pri iskanju hitrosti gibanja materialne točke in naklona tangente na graf funkcije v dani točki.

Izpeljanka

Kako se imenuje funkcija F (x) za funkcijo f (x), če je pogoj F "(x) \u003d f (x) izpolnjen za katero koli točko iz intervala I.

protiizpeljanka

Kako se imenuje razmerje med X in Y, v katerem je vsak element X povezan z enim elementom Y.

Izpeljanka pomika

Hitrost

Funkcija, ki je podana s formulo y \u003d e x.

Razstavljavec

Če je funkcijo f(x) mogoče predstaviti kot f(x)=g(t(x)), potem se ta funkcija imenuje ...

III. Matematični narek (diapozitiv 22)

1. Zapišite formulo za odvod eksponentne funkcije. ( a x)" = a x ln a

2. Zapišite formulo za odvod eksponenta. (e x)" = e x

3. Zapišite formulo za odvod naravnega logaritma. (lnx)"=

4. Zapišite formulo za odvod logaritemske funkcije. (dnevnik a x)"=

5. Zapišite splošno obliko praodvodov za funkcijo f(x) = a X. F(x)=

6. Zapišite splošno obliko praodvodov za funkcijo f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Preverite delo (odgovori na diapozitivu 23).

IV. Reševanje problemov UNT (simulator)

A) Št. 1,2,3,6,10,36 na tabli in v zvezku (diapozitiv 24)

B) Delo v parih št. 19.28 (simulator) (diapozitiv 25-26)

V. 1. Poišči napake: (diapozitiv 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. Študentska predstavitev.

Epigraf: »Znanje je tako dragocena stvar, da ni sramotno pridobiti ga iz katerega koli vira« Tomaž Akvinski (slide 28)

VII. Domača naloga št. 19,20 str.116

VIII. Test (rezervna naloga) (slide 29-32)

IX. Povzetek lekcije.

»Če želite sodelovati v velikem življenju, si napolnite glavo z matematiko, dokler lahko. Nato vam bo nudila veliko pomoč skozi vse življenje, «M. Kalinin (slide 33)

Pri diferenciranju eksponentne potenčne funkcije ali okornih frakcijskih izrazov je priročno uporabiti logaritemski odvod. V tem članku si bomo ogledali primere njegove uporabe s podrobnimi rešitvami.

Naslednja razprava predvideva sposobnost uporabe izpeljano tabelo , pravila razlikovanja in poznavanje formule odvod kompleksne funkcije.

Izpeljava formule za logaritemski odvod.

Najprej vzamemo logaritem na osnovo e, poenostavimo obliko funkcije z uporabo lastnosti logaritma in nato poiščemo odvod implicitno dane funkcije:

Na primer, poiščimo odvod eksponentne potenčne funkcije x na potenco x.

Logaritem daje . Glede na lastnosti logaritma. Razlikovanje obeh delov enakosti vodi do rezultata:

odgovor: .

Isti primer je mogoče rešiti brez uporabe logaritemskega odvoda. Izvedete lahko nekaj transformacij in greste od diferenciacije eksponentne potenčne funkcije do iskanja odvoda kompleksne funkcije:

Primer.

Poiščite odvod funkcije .

rešitev.

V tem primeru je funkcija je ulomek in njegov derivat je mogoče najti s pravili diferenciacije. Toda zaradi okornega izraza bo to zahtevalo veliko preobrazb. V takih primerih je bolj smiselno uporabiti formulo za logaritemski odvod . Zakaj? Zdaj boste razumeli.

Najprej ga poiščimo. Pri transformacijah bomo uporabili lastnosti logaritma (logaritem ulomka je enak razliki logaritmov, logaritem produkta pa je enak vsoti logaritmov, stopnja izraza pod znak logaritma lahko izvzamemo tudi kot koeficient pred logaritmom):