Znaki višine v pravokotnem trikotniku. Vse, kar morate vedeti o trikotniku. Varstvo osebnih podatkov

Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti težave o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:

Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda imajo! To je noga!

Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in

Zdaj pa pozor! Poglejte, kaj imamo:

Poglejte, kako kul je:

Zdaj pa preidimo na tangens in kotangens.

Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?

Vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?

In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:

Povzetek

Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.

Pitagorov izrek:

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako naj to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžinske odseke in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata?

Prav, .

Kaj pa manjša površina?

Vsekakor,.

Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega.

Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo zdaj vse skupaj.

Preobrazimo:

Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

Zelo je udobno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

I. Na dveh straneh

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

a)

b)

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Moram v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov?

Oglejte si temo “in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost “navadnih” trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice.

Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

I. Vzdolž ostrega kota

II. Na dveh straneh

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Zakaj je temu tako?

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj vemo o diagonalah pravokotnika?

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

1. - mediana:

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Torej kaj se je zgodilo?

Pa začnimo s tem "poleg ...".

Poglejmo in.

Toda vsi podobni trikotniki imajo enake kote!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

No, zdaj pa boste z uporabo in združevanjem tega znanja z drugimi rešili vsako težavo s pravokotnim trikotnikom!

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna.

Zapišimo jih še enkrat

Pitagorov izrek:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• na dveh straneh:
• po kateti in hipotenuzi: oz
• vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
• vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
• s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:

• en oster vogal: oz
• iz sorazmernosti dveh nog:
• iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku

• Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo:
• Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
• Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
• Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .

Višina pravokotnega trikotnika: oz.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz vrha pravega kota, enaka polovici hipotenuze: .

Območje pravokotnega trikotnika:

• preko nog:

(ABC) in njegove lastnosti, kar je prikazano na sliki. Pravokotni trikotnik ima hipotenuzo - stran, ki leži nasproti pravega kota.

Nasvet 1: Kako najti višino pravokotnega trikotnika

Stranice, ki tvorijo pravi kot, se imenujejo kraki. Slika prikazuje stranice AD, DC in BD, DC- noge in stranice AC in SV- hipotenuza.

Izrek 1. V pravokotnem trikotniku s kotom 30° bo krak, ki je nasproten temu kotu, prekinil polovico hipotenuze.

hC

AB- hipotenuza;

AD in DВ

Trikotnik
Obstaja izrek:
sistem komentarjev CACKLE

Rešitev: 1) Diagonali katerega koli pravokotnika sta enaki. 2) Če ima trikotnik en oster kot, potem je ta trikotnik oster. Ni res. Vrste trikotnikov. Trikotnik se imenuje oster, če so vsi trije njegovi koti ostri, to je manjši od 90° 3) Če točka leži na.

Ali pa v drugem vnosu

Po Pitagorovem izreku

Kolikšna je višina pravokotnega trikotnika?

Višina pravokotnega trikotnika

Višino pravokotnega trikotnika, narisano na hipotenuzo, lahko najdemo na tak ali drugačen način, odvisno od podatkov v nalogi naloge.

Ali pa v drugem vnosu

Kjer sta BK in KC projekciji krakov na hipotenuzo (odseki, na katere višina deli hipotenuzo).

Višino do hipotenuze je mogoče najti skozi območje pravokotnega trikotnika. Če uporabimo formulo za iskanje površine trikotnika

(polovica zmnožka stranice in na to stran narisane višine) na hipotenuzo in na hipotenuzo narisano višino, dobimo:

Od tu lahko najdemo višino kot razmerje med dvakratno površino trikotnika in dolžino hipotenuze:

Ker je površina pravokotnega trikotnika enaka polovici produkta nog:

To pomeni, da je dolžina višine, potegnjena na hipotenuzo, enaka razmerju produkta nog in hipotenuze. Če dolžini katet označimo z a in b, dolžino hipotenuze s c, lahko formulo prepišemo kot

Ker je polmer opisanega kroga pravokotnega trikotnika enak polovici hipotenuze, lahko dolžino nadmorske višine izrazimo s katetami in polmerom opisanega kroga:

Ker višina, potegnjena na hipotenuzo, tvori še dva pravokotna trikotnika, lahko njeno dolžino najdemo preko relacij v pravokotnem trikotniku.

Iz pravokotnega trikotnika ABK

Iz pravokotnega trikotnika ACK

Dolžino višine pravokotnega trikotnika lahko izrazimo z dolžinami krakov. Ker

Po Pitagorovem izreku

Če kvadriramo obe strani enačbe:

Lahko dobite drugo formulo za povezavo višine pravokotnega trikotnika z njegovimi kraki:

Kolikšna je višina pravokotnega trikotnika?

Pravokotni trikotnik. Povprečna raven.

Ali želite preizkusiti svojo moč in ugotoviti, kako pripravljeni ste na enotni državni izpit ali enotni državni izpit?

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako naj to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžinske odseke in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? Prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo zdaj vse skupaj.

Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

Ste opazili eno zelo priročno stvar? Pazljivo si oglejte znak.

Zelo je udobno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Moram V obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ali ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "Trikotnik" in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost "navadnih" trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve stranici in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali trije straneh. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in razmislimo o točki, v kateri se diagonali sekata. Kaj vemo o diagonalah pravokotnika?

Presečišče diagonal je razdeljeno na pol.

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Torej kaj se je zgodilo?

Začnimo s tem "poleg". "

Toda vsi podobni trikotniki imajo enake kote!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Imajo enake ostre kote!

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - Dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo Prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Kako do drugega?

Zdaj pa uporabimo podobnost trikotnikov in.

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo "Višina v pravokotnem trikotniku":

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat

No, zdaj pa boste z uporabo in združevanjem tega znanja z drugimi rešili vsako težavo s pravokotnim trikotnikom!

Komentarji

Razširjanje materialov brez odobritve je dovoljeno, če obstaja povezava dofollow do izvorne strani.

Politika zasebnosti

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki. Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil. Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.

Lastnost višine pravokotnega trikotnika, padle na hipotenuzo

Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene. V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Hvala za sporočilo!

Vaš komentar je bil sprejet in po moderiranju bo objavljen na tej strani.

Ali želite izvedeti, kaj se skriva pod rezom, in prejeti ekskluzivna gradiva o pripravi na enotni državni izpit in enotni državni izpit? Pusti svoj email

Lastnosti pravokotnega trikotnika

Razmislite o pravokotnem trikotniku (ABC) in njegove lastnosti, kar je prikazano na sliki. Pravokotni trikotnik ima hipotenuzo - stran, ki leži nasproti pravega kota. Stranice, ki tvorijo pravi kot, se imenujejo kraki. Slika prikazuje stranice AD, DC in BD, DC- noge in stranice AC in SV- hipotenuza.

Znaki enakosti pravokotnega trikotnika:

Izrek 1. Če sta hipotenuza in krak pravokotnega trikotnika podobna hipotenuzi in kraku drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Izrek 2. Če sta dva kraka pravokotnega trikotnika enaka dvema krakoma drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Izrek 3. Če sta hipotenuza in ostri kot pravokotnega trikotnika podobna hipotenuzi in ostremu kotu drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Izrek 4. Če sta krak in sosednji (nasprotni) ostri kot pravokotnega trikotnika enaka kraku in sosednjemu (nasproti) ostremu kotu drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Lastnosti kraka nasproti kota 30°:

1. izrek.

Višina v pravokotnem trikotniku

V pravokotnem trikotniku s kotom 30° bo krak nasproti tega kota prekinil polovico hipotenuze.

Izrek 2. Če je v pravokotnem trikotniku krak enak polovici hipotenuze, potem je nasprotni kot 30°.

Če višino potegnemo iz vrha pravega kota na hipotenuzo, potem tak trikotnik razdelimo na dva manjša, podobna izhodnemu in podobna drug drugemu. Iz tega sledijo naslednji sklepi:

1. Višina je geometrična sredina (proporcionalna sredina) dveh segmentov hipotenuze.
2. Vsak krak trikotnika je povprečje, sorazmerno s hipotenuzo in sosednjimi segmenti.

V pravokotnem trikotniku kraki delujejo kot nadmorske višine. Ortocenter je točka, v kateri je presečišče višin trikotnika. Sovpada z vrhom pravega kota figure.

hC- višina, ki izhaja iz pravega kota trikotnika;

AB- hipotenuza;

AD in DВ- segmenti, ki nastanejo pri delitvi hipotenuze po višini.

Nazaj na ogled informacij o disciplini "Geometrija"

Trikotnik je geometrijski lik, sestavljen iz treh točk (oglišč), ki niso na isti premici, in treh odsekov, ki te točke povezujejo. Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki ima enega od kotov 90° (pravi kot).
Obstaja izrek: vsota ostrih kotov pravokotnega trikotnika je 90°.
sistem komentarjev CACKLE

Ključne besede: trikotnik, pravi kot, krak, hipotenuza, Pitagorov izrek, krog

Trikotnik se imenuje pravokotneče ima pravi kot.
Pravokotni trikotnik ima dve med seboj pravokotni stranici, imenovani noge; njena tretja stran se imenuje hipotenuza.

• Glede na lastnosti navpičnice in poševnice je hipotenuza daljša od vsakega od krakov (vendar manjša od njune vsote).
• Vsota dveh ostrih kotov pravokotnega trikotnika je enaka pravemu kotu.
• Dve višini pravokotnega trikotnika sovpadata z njegovimi kraki. Zato ena od štirih izjemnih točk pade na oglišča pravega kota trikotnika.
• Središče kroga pravokotnega trikotnika leži na sredini hipotenuze.
• Mediana pravokotnega trikotnika, potegnjena iz oglišča pravega kota na hipotenuzo, je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika.

Vzemimo poljuben pravokotni trikotnik ABC in iz oglišča C njegovega pravega kota narišimo višino CD = hc.

Dani trikotnik bo razdelil na dva pravokotna trikotnika ACD in BCD; vsak od teh trikotnikov ima s trikotnikom ABC skupni ostri kot in je torej podoben trikotniku ABC.

Vsi trije trikotniki ABC, ACD in BCD so si med seboj podobni.

Iz podobnosti trikotnikov so določene naslednje relacije:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagorov izrek eden temeljnih izrekov evklidske geometrije, ki določa razmerje med stranicami pravokotnega trikotnika.

Geometrijska formulacija. V pravokotnem trikotniku je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na nogah.

Algebraična formulacija. V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet.
To pomeni, da dolžino hipotenuze trikotnika označimo s c, dolžine katet pa z a in b:
a2 + b2 = c2

Obratni Pitagorov izrek.

Višina pravokotnega trikotnika

Za katero koli trojko pozitivnih števil a, b in c, tako da
a2 + b2 = c2,
Obstaja pravokotni trikotnik s katetama a in b ter hipotenuzo c.

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• vzdolž noge in hipotenuze;
• na dveh nogah;
• vzdolž noge in ostrega kota;
• vzdolž hipotenuze in ostrega kota.

Poglej tudi:
Ploščina trikotnika, Enakokraki trikotnik, Enakostranični trikotnik

Geometrija. 8 Razred. Test 4. Možnost 1 .

AD : CD = CD : B.D. Zato je CD2 = AD ∙ B.D. Pravijo:

AD : AC = AC : AB. Zato je AC2 = AB ∙ A.D. Pravijo:

BD : BC = BC : AB. Zato je BC2 = AB ∙ B.D.

Reši probleme:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Višina pravokotnega trikotnika, narisana na hipotenuzo, deli hipotenuzo na segmenta 9 in 36.

Določite dolžino te višine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Krat pravokotnega trikotnika je 30.

Kako najti višino v pravokotnem trikotniku?

Poiščite razdaljo od vrha pravega kota do hipotenuze, če je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika, 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Preverite odgovore!

G8.04.1. Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku

Geometrija. 8 Razred. Test 4. Možnost 1 .

V Δ ABC ∠ACV = 90°. Kateta AC in BC, hipotenuza AB.

CD je višina trikotnika na hipotenuzo.

AD projekcija kraka AC na hipotenuzo,

BD projekcija kraka BC na hipotenuzo.

Višina CD razdeli trikotnik ABC na dva njemu podobna (in drug drugemu) trikotnika: Δ ADC in Δ CDB.

Iz sorazmernosti strani podobnih Δ ADC in Δ CDB sledi:

AD : CD = CD : B.D.

Lastnost višine pravokotnega trikotnika, padle na hipotenuzo.

Zato je CD2 = AD ∙ B.D. Pravijo: višina pravokotnega trikotnika na hipotenuzo,je povprečna proporcionalna vrednost med projekcijama katet na hipotenuzo.

Iz podobnosti Δ ADC in Δ ACB sledi:

AD : AC = AC : AB. Zato je AC2 = AB ∙ A.D. Pravijo: vsak krak je povprečna sorazmerna vrednost med celotno hipotenuzo in projekcijo tega kraka na hipotenuzo.

Podobno iz podobnosti Δ CDB in Δ ACB sledi:

BD : BC = BC : AB. Zato je BC2 = AB ∙ B.D.

Reši probleme:

1. Poiščite višino pravokotnega trikotnika, narisanega na hipotenuzo, če ta deli hipotenuzo na odseka 25 cm in 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Višina pravokotnega trikotnika, narisana na hipotenuzo, deli hipotenuzo na segmenta 9 in 36. Določite dolžino te višine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Višina pravokotnega trikotnika, potegnjena na hipotenuzo, je 22, projekcija enega od krakov je 16. Poiščite projekcijo drugega kraka.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Krak pravokotnega trikotnika je 18, njegova projekcija na hipotenuzo pa 12. Poiščite hipotenuzo.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenuza je enaka 32. Poiščite stranico, katere projekcija na hipotenuzo je enaka 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 45. Poiščite stranico, katere projekcija na hipotenuzo je 9.

8. Krak pravokotnega trikotnika je 30. Poiščite razdaljo od vrha pravega kota do hipotenuze, če je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika, enak 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 41, projekcija enega od krakov pa 16. Poiščite dolžino višine, narisane iz oglišča pravega kota na hipotenuzo.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Razlika projekcij krakov na hipotenuzo je 15, razdalja od vrha pravega kota do hipotenuze pa 4. Poiščite polmer opisane krožnice.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Pri reševanju geometrijskih problemov je koristno slediti takšnemu algoritmu. Med branjem pogojev problema je treba

• Narišite risbo. Risba mora čim bolj ustrezati pogojem problema, zato je njena glavna naloga pomagati pri iskanju rešitve
• Na risbo vnesite vse podatke iz naloge naloge
• Zapiši vse geometrijske pojme, ki se pojavljajo v nalogi
• Zapomnite si vse izreke, ki se nanašajo na te pojme
• Na risbo narišite vse odnose med elementi geometrijskega lika, ki sledijo iz teh izrekov

Na primer, če naloga vsebuje besede simetrala kota trikotnika, se morate spomniti definicije in lastnosti simetrale in na risbi označiti enake ali sorazmerne segmente in kote.

V tem članku boste našli osnovne lastnosti trikotnika, ki jih morate poznati za uspešno reševanje nalog.

TRIKOTNIK.

Območje trikotnika.

1. ,

tukaj - poljubna stranica trikotnika, - višina, spuščena na to stran.

2. ,

tukaj in sta poljubni stranici trikotnika in je kot med tema stranicama:

3. Heronova formula:

Tukaj so dolžine strani trikotnika, je polobseg trikotnika,

4. ,

tukaj je polobseg trikotnika in je polmer včrtanega kroga.

Naj bodo dolžine tangentnih segmentov.

Potem lahko Heronovo formulo zapišemo takole:

6. ,

tukaj - dolžine strani trikotnika, - polmer opisanega kroga.

Če vzamemo točko na strani trikotnika, ki deli to stran v razmerju m: n, potem segment, ki povezuje to točko z ogliščem nasprotnega kota, razdeli trikotnik na dva trikotnika, katerih ploščini sta v razmerju m: n:

Razmerje ploščin podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.

Mediana trikotnika

To je segment, ki povezuje vrh trikotnika s sredino nasprotne strani.

Mediane trikotnika sekata v eni točki in ju deli presečišče v razmerju 2:1, šteto od oglišča.

Presečišče median pravilnega trikotnika deli mediano na dva segmenta, od katerih je manjši enak polmeru včrtanega kroga, večji pa polmeru opisanega kroga.

Polmer opisanega kroga je dvakrat večji od polmera včrtanega kroga: R=2r

Srednja dolžina poljuben trikotnik

,

tukaj - mediana, potegnjena na stran - dolžine strani trikotnika.

Simetrala trikotnika

To je simetrala katerega koli kota trikotnika, ki povezuje oglišče tega kota z nasprotno stranico.

Simetrala trikotnika razdeli stranico na segmente, sorazmerne s sosednjimi stranicami:

Simetrale trikotnika sekata v eni točki, ki je središče včrtanega kroga.

Vse točke simetrale kota so enako oddaljene od stranic kota.

Višina trikotnika

To je pravokoten odsek, spuščen z vrha trikotnika na nasprotno stran ali njegovo nadaljevanje. V tupokotnem trikotniku leži višina, narisana iz vrha ostrega kota, zunaj trikotnika.

Višini trikotnika se sekata v eni točki, ki se imenuje ortocenter trikotnika.

Da bi našli višino trikotnika narisano na stran, morate na kateri koli razpoložljiv način najti njegovo območje in nato uporabiti formulo:

Središče okroglega kroga trikotnika, leži na presečišču simetral, narisanih na stranice trikotnika.

Obodni polmer trikotnika lahko najdete z naslednjimi formulami:

Tukaj so dolžine strani trikotnika in je površina trikotnika.

,

kjer je dolžina stranice trikotnika in nasprotni kot. (Ta formula izhaja iz sinusnega izreka.)

Neenakost trikotnika

Vsaka stranica trikotnika je manjša od vsote in večja od razlike drugih dveh.

Vsota dolžin poljubnih dveh stranic je vedno večja od dolžine tretje stranice:

Nasproti večji stranici leži večji kot; Nasproti večjega kota leži večja stranica:

Če, potem obratno.

Sinusni izrek:

Stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov:

Kosinusni izrek:

Kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh strani brez dvojnega zmnožka teh stranic s kosinusom kota med njima:

Pravokotni trikotnik

- To je trikotnik, katerega eden od kotov je 90°.

Vsota ostrih kotov pravokotnega trikotnika je 90°.

Hipotenuza je stranica, ki leži nasproti kota 90°. Hipotenuza je najdaljša stran.

Pitagorov izrek:

kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet:

Polmer kroga, včrtanega pravokotnemu trikotniku, je enak

,

tukaj je polmer včrtanega kroga, - noge, - hipotenuza:

Središče okroglega kroga pravokotnega trikotnika leži na sredini hipotenuze:

Mediana pravokotnega trikotnika, potegnjena na hipotenuzo, je enako polovici hipotenuze.

Definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa pravokotnega trikotnika poglej

Razmerje elementov v pravokotnem trikotniku:

Kvadrat višine pravokotnega trikotnika, izvlečen iz vrha pravega kota, je enak zmnožku projekcij krakov na hipotenuzo:

Kvadrat kraka je enak produktu hipotenuze in projekcije kraka na hipotenuzo:

Noga leži nasproti vogala enako polovici hipotenuze:

Enakokraki trikotnik.

Simetrala enakokrakega trikotnika, narisana na osnovo, je mediana in višina.

V enakokrakem trikotniku sta osnovna kota enaka.

Tesnilni kot.

In - strani,

In - koti na dnu.

Višina, simetrala in mediana.

Pozor! Stranici narisana višina, simetrala in mediana ne sovpadajo.

Pravilni trikotnik

(oz enakostranični trikotnik ) je trikotnik, katerega vse stranice in koti so med seboj enaki.

Območje pravilnega trikotnika enako

kjer je dolžina stranice trikotnika.

Središče kroga, včrtanega v pravilen trikotnik, sovpada s središčem kroga, opisanega okoli pravilnega trikotnika, in leži na presečišču median.

Presečišče median pravilnega trikotnika razdeli mediano na dva segmenta, od katerih je manjši enak polmeru včrtanega kroga, večji pa polmeru opisanega kroga.

Če je eden od kotov enakokrakega trikotnika 60°, potem je trikotnik pravilen.

Srednja črta trikotnika

To je odsek, ki povezuje sredine obeh stranic.

Na sliki je DE srednjica trikotnika ABC.

Srednja črta trikotnika je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici: DE||AC, AC=2DE

Zunanji kot trikotnika

To je kot, ki meji na kateri koli kot trikotnika.

Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh kotov, ki mu ne mejita.

Trigonometrične funkcije zunanjega kota:

Znaki enakosti trikotnikov:

1 . Če sta dve stranici in kot med njima enega trikotnika enaki dvema stranicama in kotu med njima drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

2 . Če so stranica in dva sosednja kota enega trikotnika enaki stranici in dvema sosednjima kotoma drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

3 Če so tri stranice enega trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so ti trikotniki skladni.

Pomembno: ker sta v pravokotnem trikotniku dva kota očitno enaka, potem za enakost dveh pravokotnih trikotnikov potrebna je enakost le dveh elementov: dveh stranic ali stranice in ostrega kota.

Znaki podobnosti trikotnikov:

1 . Če sta dve stranici enega trikotnika sorazmerni z dvema stranicama drugega trikotnika in sta kota med njima enaka, potem sta si ta trikotnika podobna.

2 . Če so tri stranice enega trikotnika sorazmerne s tremi stranicami drugega trikotnika, potem sta si trikotnika podobna.

3 . Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si trikotnika podobna.

Pomembno: V podobnih trikotnikih enake stranice ležijo nasproti enakih kotov.

Menelajev izrek

Naj črta seka trikotnik, in je točka njegovega presečišča s stranico , Je točka njenega presečišča s stranico , In je točka njenega presečišča z nadaljevanjem strani . Potem

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomljivi algoritmi za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.

Pravokotni trikotnik- to je trikotnik, v katerem je eden od kotov raven, to je enak 90 stopinj.

• Stran nasproti pravega kota se imenuje hipotenuza (na sliki označena kot c ali AB)
• Stran, ki meji na pravi kot, se imenuje krak. Vsak pravokotni trikotnik ima dva kraka (na sliki sta označena kot a in b ali AC in BC)

Formule in lastnosti pravokotnega trikotnika

Oznake formule:

(glej sliko zgoraj)

a, b- noge pravokotnega trikotnika

c- hipotenuza

α, β - ostri koti trikotnika

S- kvadrat

h- višina, spuščena od vrha pravega kota do hipotenuze

m a a iz nasprotnega kota ( α )

m b- mediana potegnjena vstran b iz nasprotnega kota ( β )

m c- mediana potegnjena vstran c iz nasprotnega kota ( γ )

IN pravokotni trikotnik katera koli kateta je manjša od hipotenuze(Formuli 1 in 2). Ta lastnost je posledica Pitagorovega izreka.

Kosinus katerega koli ostrega kota manj kot ena (formuli 3 in 4). Ta lastnost izhaja iz prejšnje. Ker je kateri koli krak manjši od hipotenuze, je razmerje med krakom in hipotenuzo vedno manjše od ena.

Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet (Pitagorov izrek). (Formula 5). Ta lastnost se nenehno uporablja pri reševanju problemov.

Območje pravokotnega trikotnika enaka polovici produkta nog (formula 6)

Vsota kvadratnih median na noge je enako petim kvadratom mediane hipotenuze in petim kvadratom hipotenuze deljeno s štiri (formula 7). Poleg naštetega obstaja Še 5 formul, zato je priporočljivo, da preberete tudi lekcijo »Mediana pravokotnega trikotnika«, ki podrobneje opisuje lastnosti mediane.

Višina pravokotnega trikotnika je enak zmnožku katet, deljenih s hipotenuzo (formula 8)

Kvadrati nog so obratno sorazmerni s kvadratom višine, spuščene na hipotenuzo (formula 9). Ta istovetnost je tudi ena od posledic Pitagorovega izreka.

Dolžina hipotenuze enak premeru (dvema polmeroma) opisanega kroga (formula 10). Hipotenuza pravokotnega trikotnika je premer opisanega kroga. Ta lastnost se pogosto uporablja pri reševanju problemov.

Včrtani polmer V pravokotni trikotnik krog lahko najdemo kot polovico izraza, vključno z vsoto krakov tega trikotnika minus dolžina hipotenuze. Ali kot produkt krakov, deljen z vsoto vseh stranic (obsega) danega trikotnika. (Formula 11)
Sinus kota odnos do nasprotja podani kot krak na hipotenuzo(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ta lastnost se uporablja pri reševanju problemov. Če poznate velikosti strani, lahko ugotovite kot, ki ga tvorijo.

Kosinus kota A (α, alfa) v pravokotnem trikotniku bo enak odnos sosednji podani kot krak na hipotenuzo(po definiciji sinusa). (Formula 13)