Enačba kroga. Enačba kroga Zapišimo enačbo osebe v krogu

Razred: 8

Namen lekcije: predstavi enačbo kroga, nauči študente sestaviti enačbo kroga po že pripravljeni risbi in sestaviti krog po dani enačbi.

Oprema: interaktivna tabla.

Učni načrt:

1. Organizacijski trenutek – ​​3 min.
2. Ponavljanje. Organizacija miselne dejavnosti – 7 min.
3. Razlaga nove snovi. Izpeljava enačbe kroga – 10 min.
4. Utrjevanje preučene snovi – 20 min.
5. Povzetek lekcije – 5 min.

Med poukom

2. Ponovitev:

− (Priloga 1 Diapozitiv 2) zapišite formulo za iskanje koordinat sredine segmenta;

− (Slide 3) Z Napiši formulo za razdaljo med točkama (dolžino odseka).

3. Razlaga nove snovi.

(Prosojnice 4 – 6) Definiraj enačbo kroga. Izpeljite enačbe kroga s središčem v točki ( A;b) in s središčem v izhodišču.

(X – A ) 2 + (pri – b ) 2 = R 2 – enačba kroga s središčem Z (A;b) , polmer R , X in pri – koordinate poljubne točke na krožnici .

X 2 + y 2 = R 2 – enačba kroga s središčem v izhodišču.

(Slide 7)

Če želite ustvariti enačbo kroga, morate:

• poznati koordinate središča;
• poznati dolžino polmera;
• V enačbo kroga nadomestite koordinate središča in dolžino polmera.

4. Reševanje problemov.

Pri nalogah št. 1 – št. 6 sestavite enačbe kroga po že pripravljenih risbah.

(Slide 14)

№ 7. Izpolni tabelo.

(Slide 15)

№ 8. V zvezku sestavite kroge, ki jih podajajo enačbe:

A) ( X – 5) 2 + (pri + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (pri– 7) 2 = 7 2 .

(Slide 16)

№ 9. Poiščite koordinate središča in dolžino polmera, če AB– premer kroga.

podano:		rešitev:
		R	Središčne koordinate
1	A(0 ; -6) IN(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	A(0; -6) IN(0 ; 2) Z(0 ; – 2) – center
2	A(-2 ; 0) IN(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	A (-2;0) IN (4 ;0) Z(1 ; 0) – center

(17. diapozitiv)

№ 10. Napiši enačbo za krožnico s središčem v izhodišču in poteka skozi točko TO(-12;5).

rešitev.

R 2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Enačba kroga: x 2 + y 2 = 169 .

(Slide 18)

№ 11. Napišite enačbo za krožnico, ki poteka skozi izhodišče in ima središče v Z(3; - 1).

rešitev.

R 2 = OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Enačba kroga: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19. diapozitiv)

№ 12. Napišite enačbo za krog s središčem A(3;2), ki poteka skozi IN(7;5).

rešitev.

1. Središče kroga – A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Enačba kroga ( X – 3) 2 + (pri − 2) 2 = 25.

(Slide 20)

№ 13. Preverite, ali točke lažejo A(1; -1), IN(0;8), Z(-3; -1) na krogu, definiranem z enačbo ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

rešitev.

jaz. Zamenjajmo koordinate točke A(1; -1) v enačbo kroga:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – enakost je napačna, kar pomeni A(1; -1) ne laže na krogu, podanem z enačbo ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

II. Zamenjajmo koordinate točke IN(0;8) v enačbo kroga:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)laži X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

III. Zamenjajmo koordinate točke Z(-3; -1) v enačbo kroga:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – enakost velja, kar pomeni Z(-3; -1) laži na krogu, podanem z enačbo ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

Povzetek lekcije.

1. Ponovimo: enačba kroga, enačba kroga s središčem v izhodišču.
2. (Slide 21) Domača naloga.

Obseg je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od dane točke, imenovane središče.

Če je točka C središče kroga, R njegov polmer in M ​​poljubna točka na krogu, potem po definiciji kroga

Enakost (1) je enačba kroga polmer R s središčem v točki C.

Naj bo pravokotni kartezični koordinatni sistem (slika 104) in točka C( A; b) je središče kroga s polmerom R. Naj bo M( X; pri) je poljubna točka tega kroga.

Ker |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), potem lahko enačbo (1) zapišemo kot sledi:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Enačba (2) se imenuje splošna enačba kroga ali enačba kroga s polmerom R s središčem v točki ( A; b). Na primer enačba

(x - l) 2 + ( l + 3) 2 = 25

je enačba kroga s polmerom R = 5 s središčem v točki (1; -3).

Če središče kroga sovpada z izhodiščem koordinat, dobi enačba (2) obliko

x 2 + pri 2 = R 2 . (3)

Enačba (3) se imenuje kanonična enačba kroga .

Naloga 1. Zapišite enačbo kroga s polmerom R = 7 s središčem v izhodišču.

Z neposredno zamenjavo vrednosti polmera v enačbo (3) dobimo

x 2 + pri 2 = 49.

Naloga 2. Zapišite enačbo kroga s polmerom R = 9 s središčem v točki C(3; -6).

Če zamenjamo vrednost koordinat točke C in vrednost polmera v formulo (2), dobimo

(X - 3) 2 + (pri- (-6)) 2 = 81 ali ( X - 3) 2 + (pri + 6) 2 = 81.

Naloga 3. Poiščite središče in polmer kroga

(X + 3) 2 + (pri-5) 2 =100.

Če to enačbo primerjamo s splošno enačbo kroga (2), vidimo, da A = -3, b= 5, R = 10. Zato je C(-3; 5), R = 10.

Naloga 4. Dokaži, da je enačba

x 2 + pri 2 + 4X - 2l - 4 = 0

je enačba kroga. Poiščite njegovo središče in polmer.

Preoblikujemo levo stran te enačbe:

x 2 + 4X + 4- 4 + pri 2 - 2pri +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (pri - 1) 2 = 9.

Ta enačba je enačba kroga s središčem (-2; 1); Polmer kroga je 3.

Naloga 5. Zapišite enačbo krožnice s središčem v točki C(-1; -1), ki se dotika premice AB, če je A (2; -1), B(- 1; 3).

Zapišimo enačbo premice AB:

ali 4 X + 3l-5 = 0.

Ker se krog dotika dane premice, je polmer, narisan do stične točke, pravokoten na to premico. Če želite najti polmer, morate najti razdaljo od točke C(-1; -1) - središča kroga do ravne črte 4 X + 3l-5 = 0:

Zapišimo enačbo želenega kroga

(x +1) 2 + (l +1) 2 = 144 / 25

Naj bo v pravokotnem koordinatnem sistemu podan krog x 2 + pri 2 = R 2 . Upoštevajte njegovo poljubno točko M( X; pri) (slika 105).

Pustimo radij vektor OM> točka M tvori magnitudni kot t s pozitivno smerjo osi O X, potem se abscisa in ordinata točke M spreminjata glede na t

(0 t x in y skozi t, najdemo

x= Rcos t ; l= R sin t , 0 t

Enačbe (4) imenujemo parametrične enačbe kroga s središčem v izhodišču.

Naloga 6. Krog je podan z enačbami

x= \(\sqrt(3)\)cos t, l= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Zapišite kanonično enačbo tega kroga.

Iz pogoja izhaja x 2 = 3 cos 2 t, pri 2 = 3 greh 2 t. Če dodamo te enakosti člen za členom, dobimo

x 2 + pri 2 = 3(cos 2 t+ greh 2 t)

oz x 2 + pri 2 = 3

Tema lekcije: Enačba kroga

Cilji lekcije:

Izobraževalni: Izpeljite enačbo kroga, pri čemer upoštevajte rešitev tega problema kot eno od možnosti uporabe koordinatne metode.

Biti sposoben:

– Prepoznati enačbo kroga s pomočjo predlagane enačbe, naučiti študente sestaviti enačbo kroga po že pripravljeni risbi in sestaviti krog z dano enačbo.

Poučna : Oblikovanje kritičnega mišljenja.

Razvojni : Razvoj sposobnosti sestavljanja algoritemskih navodil in sposobnosti delovanja v skladu s predlaganim algoritmom.

Biti sposoben:

– Oglejte si težavo in orišite načine za njeno rešitev.

– Ustno in pisno na kratko izrazite svoje misli.

Vrsta lekcije: osvajanje novega znanja.

Oprema Kabina: računalnik, multimedijski projektor, platno.

Učni načrt:

1. Otvoritveni govor – 3 min.

2. Posodabljanje znanja – 2 min.

3. Postavitev problema in rešitev – 10 min.

4. Frontalno pritrjevanje novega materiala – 7 min.

5. Samostojno delo v skupinah – 15 min.

6. Predstavitev dela: razprava – 5 min.

7. Povzetek lekcije. Domača naloga – 3 min.

Med poukom

Namen te stopnje: Psihološko razpoloženje študentov; Vključevanje vseh študentov v izobraževalni proces, ustvarjanje situacije uspeha.

1. Organiziranje časa.

3 minute

Fantje! S krožkom ste se seznanili v 5. in 8. razredu. Kaj veš o njej?

Veš veliko in te podatke lahko uporabiš za reševanje geometrijskih nalog. Toda za reševanje problemov, pri katerih se uporablja koordinatna metoda, to ni dovolj.Zakaj?

Popolnoma prav.

Zato je glavni cilj današnje lekcije izpeljati enačbo kroga iz geometrijskih lastnosti dane premice in jo uporabiti za reševanje geometrijskih problemov.

Naj gremoto lekcije bodo besede srednjeazijskega enciklopedista Al-Birunija: »Znanje je najodličnejša lastnina. Vsak si prizadeva za to, a to ne pride samo od sebe.”

Zapišite temo lekcije v zvezek.

Opredelitev kroga.

Radij.

Premer.

Akord. itd.

Splošne oblike enačbe kroga še ne poznamo.

Učenci naštejejo vse, kar vedo o krogu.

Diapozitiv 2

Diapozitiv 3

Namen te stopnje je pridobiti predstavo o kakovosti študentove asimilacije gradiva in določiti osnovno znanje.

2. Posodabljanje znanja.

2 minuti

Pri izpeljavi enačbe kroga potrebovali boste že znano definicijo kroga in formulo, ki vam omogoča, da poiščete razdaljo med dvema točkama z uporabo njunih koordinat.Zapomnimo si ta dejstva /Pponavljanje snovi, predhodno preučeno/:

– Zapišite formulo za iskanje koordinat razpolovišča odseka.

– Zapiši formulo za izračun dolžine vektorja.

– Zapišite formulo za iskanje razdalje med točkama (dolžina segmenta).

Popravljanje vnosov ...

Geometrijsko ogrevanje.

Podane točkeA (-1;7) inV (7; 1).

Izračunajte koordinate razpolovišča odseka AB in njegovo dolžino.

Preverja pravilnost izvedbe, popravlja izračune...

En učenec je pri tabli, ostali pa pišejo formule v zvezke.

Krog je geometrijski lik, sestavljen iz vseh točk, ki se nahajajo na dani razdalji od dane točke.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y), A(x;y)

Izračunaj: C (3; 4)

| AB| = 10

Z vodi 4

Diapozitiv 5

3. Oblikovanje novega znanja.

12 minut

Namen: oblikovanje pojma - enačba kroga.

Rešiti problem:

V pravokotnem koordinatnem sistemu je zgrajen krog s središčem A(x;y). M(x; y) - poljubna točka kroga. Poiščite polmer kroga.

Ali bodo koordinate katere koli druge točke zadostile tej enakosti? Zakaj?

Kvadratirajmo obe strani enačbe.Kot rezultat imamo:

r² =(x – x)²+(y – y)²-enačba kroga, kjer so (x;y) koordinate središča kroga, (x;y) koordinate poljubne točke, ki leži na krogu je r polmer kroga.

Rešiti problem:

Kakšna bo enačba kroga s središčem v izhodišču?

Torej, kaj morate vedeti, da sestavite enačbo kroga?

Predlagajte algoritem za sestavljanje enačbe kroga.

Zaključek: ...zapiši v zvezek.

Polmer je odsek, ki povezuje središče kroga s poljubno točko, ki leži na krogu. Zato je r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

Vsaka točka na krogu leži na tem krogu.

Učenci si zapisujejo v zvezke.

(0;0) - koordinate središča kroga.

x²+y²=r², kjer je r polmer kroga.

Koordinate središča kroga, polmera, poljubne točke na krogu ...

Predlagajo algoritem ...

Zapiši algoritem v zvezek.

Diapozitiv 6

Diapozitiv 7

Diapozitiv 8

Učitelj enakost zapiše na tablo.

Diapozitiv 9

4. Primarna konsolidacija.

23 minut

Cilj:učenci reproducirajo gradivo, ki so se ga pravkar naučili, da preprečijo izgubo oblikovanih idej in konceptov. Utrjevanje novih znanj, idej, konceptov, ki temeljijo na njihaplikacije.

Nadzor SUN

Pridobljeno znanje uporabimo pri reševanju naslednjih problemov.

Naloga: Iz predlaganih enačb poimenuj številke tistih, ki so enačbe kroga. In če je enačba enačba kroga, potem poimenujte koordinate središča in navedite polmer.

Vsaka enačba druge stopnje z dvema spremenljivkama ne določa kroga.

4x²+y²=4-enačba elipse.

x²+y²=0-pika.

x²+y²=-4-ta enačba ne določa nobene figure.

Fantje! Kaj morate vedeti, da napišete enačbo kroga?

Rešiti problem št. 966 str. 245 (učbenik).

Učitelj učenca pokliče k tabli.

Ali podatki, navedeni v nalogi naloge, zadostujejo za sestavo enačbe kroga?

Naloga:

Napišite enačbo kroga s središčem v izhodišču in premerom 8.

Naloga : Narišite krog.

Ima center koordinate?

Določite polmer ... in zgradite

Problem na strani 243 (učbenik) ustno analiziramo.

S pomočjo načrta rešitve problema s strani 243 rešite problem:

Napišite enačbo za krog s središčem v točki A(3;2), če krožnica poteka skozi točko B(7;5).

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - enačba kroga (5;3),r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - enačba kroga (1;0),r=7.

3) x²+y²=7 - enačba kroga (0;0),r=√7.

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - enačba kroga; (-3;8),r=√2.

5) 4x²+y²=4 ni enačba kroga.

6) x²+y²=0- ni enačba kroga.

7) x²+y²=-4- ni enačba kroga.

Poznajte koordinate središča kroga.

Dolžina polmera.

Nadomestite koordinate središča in dolžino polmera v splošno enačbo kroga.

Rešite nalogo št. 966 str. 245 (učbenik).

Podatkov je dovolj.

Rešujejo problem.

Ker je premer kroga dvakrat večji od njegovega polmera, potem je r=8÷2=4. Zato je x²+y²=16.

Konstruirajte kroge

Delo po učbeniku. Problem na strani 243.

Podano: A(3;2) je središče kroga; В(7;5)є(А;r)

Najdi: enačba kroga

Rešitev: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(x –3)²+(y –2)²=25

Odgovor: (x –3)²+(y –2)²=25

Diapozitiv 10-13

Reševanje tipičnih problemov, izgovorjava rešitve v glasnem govoru.

Učitelj pokliče enega učenca, da zapiše nastalo enačbo.

Nazaj na diapozitiv 9

Razprava o načrtu za rešitev tega problema.

Zdrs. 15. Učitelj pokliče enega učenca pred tablo, da reši to nalogo.

Diapozitiv 16.

Diapozitiv 17.

5. Povzetek lekcije.

5 minut

Refleksija dejavnosti v lekciji.

Domača naloga: §3, odstavek 91, testna vprašanja št. 16,17.

Naloge št. 959(b, d, d), 967.

Dodatna ocenjevalna naloga (problemska naloga): Sestavite krog, ki ga daje enačba

x²+2x+y²-4y=4.

O čem smo se pogovarjali v razredu?

Kaj si hotel dobiti?

Kakšen je bil cilj lekcije?

Katere težave nam omogoča reševanje našega »odkritja«?

Koliko vas meni, da ste cilj, ki si ga je zastavil učitelj pri učni uri, dosegli 100%, 50%; ni dosegel cilja...?

Ocenjevanje.

Zapiši domačo nalogo.

Učenci odgovarjajo na vprašanja učitelja. Izvajajo samoanalizo svojih dejavnosti.

Učenci morajo rezultat in načine, kako ga doseči, izraziti z besedami.

Enačba premice na ravnini

Najprej predstavimo koncept enačbe premice v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu. Naj bo v kartezičnem koordinatnem sistemu zgrajena poljubna premica $L$ (slika 1).

Slika 1. Poljubna premica v koordinatnem sistemu

Definicija 1

Enačba z dvema spremenljivkama $x$ in $y$ se imenuje enačba premice $L$, če tej enačbi ustrezajo koordinate katere koli točke, ki pripada premici $L$, in je ne izpolnjuje nobena točka, ki ne pripada premici $L .$

Enačba kroga

Izpeljimo enačbo kroga v kartezičnem koordinatnem sistemu $xOy$. Naj ima središče kroga $C$ koordinate $(x_0,y_0)$, polmer kroga pa je enak $r$. Naj bo točka $M$ s koordinatami $(x,y)$ poljubna točka te krožnice (slika 2).

Slika 2. Krog v kartezičnem koordinatnem sistemu

Razdalja od središča kroga do točke $M$ se izračuna na naslednji način

Ker pa $M$ leži na krogu, dobimo $CM=r$. Potem dobimo naslednje

Enačba (1) je enačba kroga s središčem v točki $(x_0,y_0)$ in polmerom $r$.

Še posebej, če središče kroga sovpada z izhodiščem. Ta enačba kroga ima obliko

Enačba premice.

Izpeljimo enačbo premice $l$ v kartezičnem koordinatnem sistemu $xOy$. Naj imata točki $A$ in $B$ koordinate $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ oziroma $\(x_2,\ y_2\)$ in izbrani sta točki $A$ in $B$ tako da je premica $l$ pravokotna simetrala dolge $AB$. Izberimo poljubno točko $M=\(x,y\)$, ki pripada premici $l$ (slika 3).

Ker je premica $l$ simetrala navpično na odsek $AB$, je točka $M$ enako oddaljena od koncev tega odseka, to je $AM=BM$.

Poiščimo dolžine teh strani z uporabo formule za razdaljo med točkama:

Zato

Označimo z $a=2\levo(x_1-x_2\desno),\ b=2\levo(y_1-y_2\desno),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ^2 -(y_1)^2$, Ugotovimo, da ima enačba premice v kartezičnem koordinatnem sistemu naslednjo obliko:

Primer naloge iskanja enačb premic v kartezičnem koordinatnem sistemu

Primer 1

Poiščite enačbo kroga s središčem v točki $(2,\ 4)$. Poteka skozi izhodišče koordinat in premico, vzporedno z osjo $Ox,$, ki poteka skozi njeno središče.

rešitev.

Najprej poiščimo enačbo tega kroga. Za to bomo uporabili splošno enačbo kroga (izpeljano zgoraj). Ker je središče kroga v točki $(2,\ 4)$, dobimo

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Poiščimo polmer kroga kot razdaljo od točke $(2,\ 4)$ do točke $(0,0)$

Ugotovimo, da ima enačba kroga obliko:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Poiščimo zdaj enačbo kroga s posebnim primerom 1. Dobimo