Если производная отрицательна то функция. Производная функции. Геометрический смысл производной. Вычисление значения производной. Метод двух точек

Преобразования фигур изучаются в курсе геометрии на плоскости и в пространстве. Если каждую точку данной фигуры на плоскости или в пространстве сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Приведем несколько примеров преобразований фигур.

1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Симметрия относительно точки определяется так. Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка. Точка называется симметричной точке X относительно точки если точки лежат на одной прямой и Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. На рисунке 203 точки X и симметричны друг другу относительно точки О.

Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру при котором каждая ее точка X переходит в точку симметричную X относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 204 изображен симметричный относительно центра О.

На рисунке 205 изображены два куба, симметричные относительно точки О.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит

фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О - ее центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 206, а). Окружность с центром О тоже центральносимметричная фигура с центром симметрии О (рис. 206, б). Все перечисленные фигуры плоские.

В пространстве, так же как и на плоскости, много примеров центрально-симметричных фигур. Например, на рисунке 207 изображены такие фигуры: это куб, сфера, параллелепипед.

2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пусть l - фиксированная прямая (рис. 208). Точка называется симметричной точке X относительно прямой l, если прямая перпендикулярна прямой l и где О - точка пересечения прямых и l. Если точка X лежит на прямой 2, то симметричная ей точка есть сама точка X. Точка, симметричная точке есть точка X. На рисунке 208, а точки симметричны относительно прямой l.

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X переходит в точку симметричную относительно прямой называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и называются симметричными отно

сительно прямой I. На рисунке 208, б изображены окружности, симметричные относительно прямой I.

На рисунке 209 изображены две сферы, симметричные относительно прямой I.

Если преобразование симметрии относительно прямой I переводит фигуру F в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой I, а прямая I называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 210, а). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 210, б). Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр (рис. 210, в). Все эти фигуры плоские.

В пространстве, как и на плоскости, много примеров фигур, имеющих оси симметрии. На рисунке 211 изображены такие фигуры: это прямоугольный параллелепипед, конус, правильная четырехугольная пирамида.

3. Симметрия относительно плоскости. Пусть а - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X опускают перпендикуляр на плоскость а (О - точка пересечения его с плоскостью а) и на его продолжении за точку О

откладывают отрезок равный ОХ. Точки X и называют симметричными относительно плоскости а (рис. 212).

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку симметричную X относительно плоскости а, называется преобразованием симметрии относительно плоскости а. При этом фигуры F и называются симметричными относительно плоскости

На рисунке 213 изображены две сферы, симметричные относительно плоскости а.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии.

На рисунке 214 изображены две плоскости симметрии сферы. Заметим, что у сферы таких плоскостей симметрии бесконечное множество. У куба также имеются плоскости симметрии. На рисунке 215 изображены две на них.

4. Гомотетия Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 216). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок равный где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку построенную указанным способом, называется гомотетией относительно

центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры называются гомотетичными. На рисунке 216 четырехугольник гомотетичен четырехугольнику с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии

На рисунке гомотетичен с центром О и коэффициентом гомотетии, равным 1,6.

На рисунке 218 изображены две гомотетичные сферы с коэффициентом гомотетии 2.

Пример. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре его вершины лежали на ребрах, а четыре - на основании пирамиды.

Решение. Проведем любое сечение пирамиды с вершиной S, параллельное ее основанию (рис. 219). На этом сечении (квадрате) как на верхнем основании строим куб Взяв в качестве центра гомотетии вершину S пирамиды, проведем полупрямые (на рисунке их нет). Точки их пересечения с основанием пирамиды (точнее, с диагоналями основания) будут вершинами

одного из оснований искомого куба. Вершины А, В, С, D другого основания получим, если через проведем прямые» параллельные до пересечения с ребрами пирамиды.

76. Понятие движения. Свойства движений.

Определение движения одинаково и в плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры F в фигуру называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки А и В фигуры F в точки фигуры так, что Рассмотренные в п. 75 симметрии относительно точки, прямой и плоскости являются движениями.

Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.

Сформулируем некоторые свойства движения.

При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Из теоремы 5.4 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки.

При движении сохраняются углы между полупрямыми. При движении плоскость переходит в плоскость.

Рассмотрим еще два движения - поворот на плоскости и вращение вокруг оси в пространстве.

Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на одни и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки). На рисунке повернут на 60° по часовой стрелке около данной токи О. Углы между лучами ОА и и равны 60°.

Вращением вокруг оси на угол называется преобразование пространства, при котором:

1) имеется единственная прямая I, все точки которой переходят сами в себя;

2) любая точка А, не принадлежащая I, переходит в такую точку

а) точки лежат в плоскости а, перпендикулярной

б) является постоянным по величине и направлению (точка О есть точка пересечения плоскости а с осью ).

Прямую I называют осью вращения, угол углом вращения (рис. 221).

Неподвижными элементами вращения являются точки оси вращения, а также все плоскости, перпендикулярные этой оси. Если то вращение можно считать тождественным преобразованием.

Симметрию относительно прямой можно рассматривать как частный случай вращения, когда

Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Результат выполнения этих движений называется композицией движений.

На рисунке 222 Изображено последовательное выполнение двух движений, фигура получена из фигуры F симметрией относительно оси , а фигура получена из фигуры симметрией относительно точки О, в результате последовательного выполнения этих движений сохранились расстояния между соответствующими точками, а значит, фигура получена из фигуры F движением.

Композиция двух вращений с одной и той же осью есть вращение.

Пусть преобразование фигуры F в фигуру переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку фигуры Преобразование фигуры в фигуру F, при котором точка перейдет в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Преобразование, обратное движению, является также движением.

Как на плоскости, так и в пространстве рассматриваются равные фигуры. Фигуры F и называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур употребляется знак равенства. Запись означает, что фигура F равна .

На рисунке 213 шары симметричны относительно плоскости, а значит, они равны. На рисунке 205 кубы симметричны относительно точки, а значит, они равны. На рисунке 222 треугольники равны, так как все они получены один из другого в результате движения.

Пример 1. На рисунке 223 изображены два треугольника ABC и у которых Доказать, что эти треугольники совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину - в .

Решение. Решение задачи зависит от расположения треугольников.

Малоязовская башкирская гимназия

Геометрия Реферат

“Преобразования фигур”

Выполнил: ученик 10 Б класса

Халиуллин А.Н.

Проверила: Исрафилова Р.Х.

Малояз 2003 год

I. Преобразование.

II. Виды преобразований

1. Гомотетия

2. Подобие

3. Движение

III. Виды движения

1. Симметрия относительно точки

2. Симметрия относительно прямой

3. Симметрия относительно плоскости

4. Поворот

5. Параллельный перенос в пространстве

I. Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

II. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.

Подобие Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.

Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми

3. Подобие переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Гомотетия

Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.

Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).

Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.

Движение

Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y

Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1.

Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой.

Если точка A 1 ,B 1 ,C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B 1 лежит на прямой A 1 C 1 . Первое утверждение теоремы доказано.

Покажем теперь, что точка B 1 лежит между A 1 и C 1 . Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A 1 не может лежать между точками B 1 и C 1 .

Аналогично доказываем, что точка C 1 не может лежать между точками A 1 и B 1 .

Так как из трех точек A 1 ,B 1 ,C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки

3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A 1 B 1 и A 1 C 1 . Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

С2. Треугольники А2ВС2 и А1В1С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2ВС2 и А1В1С1. Значит, углы ABC и А1В1С1 равны, что и требовалось доказать. 3. ПОДОБИЕ ФИГУР Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F" читается...

Медианы треугольников; 4. , где BH и B1H1 высоты треугольников. §5. Опытная работа Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе. Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о...

Различия между испытуемыми контрольной и экспериментальной групп послужили основанием для проведения целенаправленной педагогической работы по развитию представлений детей экспериментальной группы о форме предметов. 2.2 Использование задач-головоломок в развитие представлений о форме предметов у детей экспериментальной группы Представления детей о форме предметов имеет большое значение при...

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Классическая симметрия «левого-правого», когда одна половина формы является как бы зеркальным отражением другой. Воображаемая плоскость, которая делит такие фигуры на две зеркально равные части называется плоскостью симметрии, и обозначается латинской литерой «м».

ЦЕНТРАЛЬНО-ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (осевая, симметрия вращения).

Симметрия относительно центральной (зачастую вертикальной) оси, образованной пересечением двух или более плоскостей симметрии. При полном обороте (360*) форма несколько раз совмещается сама с собой. Число таких совмещений определяет порядок оси симметрии (колличество трансформаций), которая обозначается латинской литерой «n» и числом. Квадрат имеет четверную ось («n4»), шестиугольник – шестерную, пентаграмма – пятерную.

ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ (трансляционная симметрия).

Простейшее преобразование, приводящее к «бесконечным» фигурам – перенос элемента вдоль прямой на отрезок конечной длины – «а». Направляющая называется осью переносов, а интервалы – периодами трансляции. Если вдоль оси переносится несимметричный элемент, то говорят о полярной оси, это означает, что свойства линейной формы в одном направлении иные чем в обратном. Тем самым в архитектуре подчеркивается поступательное движение в одном направлении.

Кроме оси переносов в трансформации могут быть задействованы иные типы преобразований – отражение и поворот. Более сложные «рисунки» дает использование неполных интервалов (1/2, ¼, ¾, и т.д.). Подобным образом создаются линейные бесконечные орнаменты, именуемые «бордюры» (фр. Границы). Такой вид симметрических преобразований именуют – СИММЕТРИЕЙ БОРДЮРОВ, и в ней, как и в трансляционной симметрии различают полярные (направленные) формы и не полярные.

СИММЕТРИЯ СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ И ПЛОТНЫХ УПАКОВОК. («ПАРКЕТЫ»).

Этот вид симметрии привлекается для описания и анализа однородных, состоящих из одинаковых элементов структур, как объемных так и плоскостных.

Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограммов. Плоская сетка имеет две непараллельных оси переносов, или точнее «плоская» сетка представляет собой такое разбиение плана на конечные участки, которое кроме тождественного преобразования допускает еще два неколленеарных автоморфизма сдвига. Одной и той же системе узлов отвечает бесконечное множество сеток в зависимости от способов соединения узлов. У всех систем точек кроме осей переносов содержатся и другие элементы симметрии. Например, правильная треугольная сетка, в каждой вершине которой пересекаются три направляющие, и имеет шестерные вертикальные оси в узлах.

Существует только пять параллелограммических систем точек, отличающихся друг от друга по симметрии и параметрам ячеек:

Квадратная система узлов,

Правильная треугольная система узлов,

Ромбическая система узлов,

Прямоугольная система узлов,

Косая параллелограммическая система узлов.

На осонве непрямоугольных сеток получаются достаточно выразительные системы расчленения плоскостей.

В случае трехмерного пространства можно выделить уже не пять систем точек, а 14 бесконечных фигур, именуемых решетками Бравэ.

СПИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ (винтовая).

Эта группа симметрии образована последовательным преобразованием формы, с использованием двух типов – поворот и перенос. Фигура обладает «винтовой осью» симметрии, если она приходит в совмещение сама с собой после произвенных последовательно двух операций: поворота на угол и переноса на расстояние равное 1 вдоль оси поворота. Если угол равен 360*/ n, то винтовую ось называют ось порядка n/... . Так как закручивание можно проиводить как вправо, так и влево, то различают винтовые оси правые и левые. Спираль представляет собой геометрическое место точек, которое удовлетворяют единому правилу построения, как например архимедова спираль r = a

CИММЕТРИЯ ПОДОБИЯ.

В соответствии с характером преобразований фигур различают ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (ортогональные) и НЕИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (аффинные, проективные и т.д.) группы симметрии.

Изометрические – группы вращений, отражений, переносов, сохраняют метрические свойства исходных элементов. К ним относятся все рассмотренные выше группы симметрии. Изометрические преобразования бесконечных фигур иначе называют «ДВИЖЕНИЯМИ».

АФФИННЫЕ группы состоят из совокупностей ОДНОРОДНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ – растяжение, сжатие, перспективные сокращения, допускаемые бесконечными фигурами.

Группы ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ являются частным случаем аффинных групп. Элементы последовательного ряда подобных фигур согласуются между собой пропорциональной зависимостью. Они могут быть связаны величинами арифметической, геометрической или гармонической прогрессии.

Таким образом существует СЕМЬ основных групп симметрии. Комбинирование числа осей симметрии и другие преобразования позволяют получить на базе этих групп 230 возможных типов точечных решеток, делящих пространство на однородые элементы.