Вероятность брака при изготовлении деталей равна 0.2. Решение задач про выбор деталей

Тема 20. Биномиальное распределение

Видеоурок и шаблон Excel

Примеры решений задач о выборе деталей/изделий

Тема 21. Предельные случаи биномиального распределения

Главная » Советы » Вероятность брака при изготовлении деталей равна 0.2. Решение задач про выбор деталей

Теория вероятностей Вариант № 1

6. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго — 30%, с третьего — 50% деталей. Первый автомат даёт в среднем 0,2% брака, второй — 0,3%, третий — 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

Обозначим через, А событие: поступившая на сборку деталь бракованная. Можно теперь сделать три предположения:

В 1 — деталь произведена первым автоматом;

В 2 — деталь произведена вторым автоматом;

В 3 — деталь произведена третьим автоматом.

Тогда соответствующие вероятности будут:

Р (В 1) = 0,2;

Р (В 2) = 0,3;

Р (В 3) = 0,5.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованная, если она произведена первым автоматом: Р В1 (А) = Р 1 = 0,2.

Аналогично: Р В2 (А) = 0,3 и Р В3 (А) = 0,1.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной (общий процент брака) находим по формуле полной вероятности:

Р (А) = Р (В 1)Р В1 (А) + Р (В 2)Р В2 (А) + Р (В 3)Р В3 (А) =

0,2×0,2 + 0,3×0,3 + 0,5×0,1 = 0,04 + 0,09 +0,06 = 0,19.

7. Вероятность выигрыша по лотерейному билету будет р = 0,3. Имеется 4 билета. Определить вероятности всех возможных исходов для владельца этих билетов: а) ни один билет не выиграет; б) выиграет один билет; в) два билета выиграют; г) 3 билета выиграют; д) 4 билета выиграют.

По формуле Бернулли: вероятность того, что в серии из n = 4 билетов, выиграет ровно k билетов (безразлично в какой последовательности)

P n (k) = p k q n - k = p k q n - k , где q = 1 — p = 1 — 0.3 = 0.7.

Следовательно:

k = 0, Р (0) = 1×0.3 0 х 0,7 4 = 1×1×0,2401 = 0,2401;

k = 1, Р (1) = х 0,3×0,7 3 = 4×0,3×0,343 = 0,4116;

k = 2, Р (2) = х 0,3 2 х 0,7 2 = 6×0,09×0,49 = 0,2646;

k = 3, Р (3) = х 0,3 3 х 0,7 = 4×0,09×0,7 = 0,252;

k = 4, Р (4) = х 0,3 4 х 0,7 0 = 1×0,0081×1 = 0,0081.

8. При некотором технологическом процессе вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Определить наиболее вероятное число годных деталей в партии из 135 штук.

Наивероятнейшее число k 0 благоприятных исходов определяем по формуле:

np — q k 0 np + р,

135×0,8 — 0,2 k 0 135×0,8 + 0,8;

107,8 k 0 135,8;

В нашем случае np — q дробное, значит существует одно наивероятнейшее число k 0 . Так как np = 135×0,8 = 108 — целое, то искомое наивероятнейшее число:

случайный величина распределение вероятность

k 0 = np = 108 штук.

9. При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна р = 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных шестерён 50 будут бракованными?.

Найдём математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х — числа появления события, А (наугад выбранные шестерни) в 400 независимых испытаниях:

М (Х) = np = 0.1×400 = 40;

D (X) = npq = 0.1×400 x (1 — 0.1) = 36.

Найдём максимальную разность между заданным числом появлений события (50 штук) и математическим ожиданием:

50 — 40 = 10.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:

Р (/Х — М (Х)/ ?) 1 — D (X)/? 2 .

После подстановок:

Р (/Х — 40/ 10) 1 — 36/100 = 0,64 — это и есть искомая вероятность.

10. Вероятность появления события на время испытаний р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз при 100 испытаниях.

По условию р = 0,8; q = 0.2; k 1 = 75; k 2 = 90 |18, www.сайт|.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

P n (k 1 ; k 2) = Ф (х"") — Ф (х") = Ф[ - Ф.

Подставляя данные задачи, получим Р (75; 90) = Ф] - Ф[ = Ф (2,5) — Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х, Найти:

1) значение вероятности р 3 , соответствующую значению х 3 ;

2) M (X); D (X); ?(X);

3) функцию распределения F (x) и построить её график;

4)Построить многоугольник распределения случайной величины Х.

1. Математическое ожидание:

М (Х) = ?р i x i = 1×0.2 + 3×0.1 + 6×0.4 + 8×0.3 = 0.2 + 0.3 + 2.4 + 2.4 = 5.3

2. Дисперсия:

D (X) = M (X 2) — (M (X)) 2 .

Закон распределения для Х 2

Построим график:

13. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,0002. Вычислить вероятность того, что контролёр, проверяющий качество 5 000 изделий, обнаружит среди них k = 4 бракованных.

Вероятность изготовления бракованного изделия мала, p = 0.0002, а число изделий в партии велико, n = 5000, поэтому случайное число бракованных изделий имеет приближённо распределение Пуассона.

P n (k) = ? k e - ? / k!

Найдём? = np = 5000×0.0002 = 1

P 5000 (4) = 1 4 e -1 / 4! = 0.3679/24 = 0.0153

14. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

1)функцию плотности вероятности;

2) M (X); D (X); ?(X);

3) вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение принадлежащее интервалу (¼; ¾).

Построить графики функций F (X), f (X).

1.Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможное значение которой принадлежит в заданном случае интервалу (0; 1):

М (Х) = = 2 = =.

Дисперсия непрерывной случайной величины:

D (X) = = - 2 .

D (X) = 2 — = - = - = = = 0.055(5).

Среднее квадратическое отклонение:

?(Х) = = = 0.2357.

3. Bероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (¼; ¾), определяется как:

P (¼×¾) = = 2 = =? —? = ?.

Графики функции распределения и плотности:

15. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону f (x) = 0.02e -0.02 t (t 0). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 часов.

Показательным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

Е -? х, при х 0.

Элемент проработает безотказно в течение 50 часов предполагает работу этого элемента в интервале времени от 0 до 50, поэтому искомая вероятность:

Р (0×50) = 0,02 е -0,02 t dt = 0.02 / (- 0.02) x = -1 = 0.6321

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Общая постановка задачи примерно* следующая:

В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.

*Поясню, что значит "примерно": вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "стандартными", второй - "бракованными" и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.

Сначала найдем общее число исходов - это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).

Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных - это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных - $C_{N-K}^{n-k}$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию - $C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}$.

Применяя классическое определение вероятности - поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:

$$ P=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. \qquad (1) $$

Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ - общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число исходов - это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_{12}^4$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 - стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.

Нужная вероятность равна:

$$ P(A)=\frac{m}{n}=\frac{C_{5}^2 \cdot C_{7}^{2}}{C_{12}^4} = \frac{10 \cdot 21}{495} = 0.424. $$

Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=16$ стандартных деталей, $N-K=7$ бракованных деталей, итого $N=16+7=23$ всего деталей в ящике. Из ящика извлекают $n=6$ деталей, из них должно быть $k=4$ стандартных и соответственно, $n-k=6-4=2$ бракованные. Получаем нужную вероятность:

$$ P=\frac{C_{16}^4 \cdot C_{7}^{2}}{C_{23}^6} = \frac{1820 \cdot 21}{100947} = 0.379. $$

Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.

Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline{A} = $ (Все три выбранные изделия стандартные).

Будем искать вероятность события $\overline{A}$. Выпишем значения параметров: $K=8$ стандартных изделия, $N-K=12-8=4$ нестандартных изделия, всего $N=12$ изделий в партии. Из партии извлекают $n=3$ изделия, и все они должны оказаться стандартными, то есть $k=3$ и $n-k=0$.

$$ P(\overline{A})=\frac{C_{8}^3 \cdot C_{4}^{0}}{C_{12}^3} = \frac{56 \cdot 1}{220}= \frac{14}{55} = 0.255. $$

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:

$$ P(A)= 1 - P(\overline{A})= 1- 0.255 = 0.745. $$

Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=8-3=5$ годных деталей, $N-K=3$ бракованных, $N=8$ всего деталей у мастера. Выбираем для замены $n=2$ детали, и обе они должны оказаться годными, то есть: $k=2$, $n-k=0$. Приходим к ответу:

$$ P=\frac{C_{5}^2 \cdot C_{3}^{0}}{C_{8}^2} = \frac{10 \cdot 1}{28} = \frac{5}{14} = 0.357. $$

1. В партии из 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.

Решение: Требуемую вероятность находим по формуле классического распределения вероятности. Сначала находим n - общее число возможных исходов в данном испытании. поскольку порядок изделий безразличен. 3 изделия из 10 можно выбрать

способами.

Теперь найдем число благоприятных исходов m - число исходов, при которых окажется хотя бы 1 бракованное изделие из 3-х выбранных. Поскольку число бракованных изделий в партии равно 2, благоприятными будут исходы, когда из 3-х выбранных изделий будет 1 или 2 бракованных. Найдем число благоприятных исходов m 1 , когда среди 3 выбранных изделий оказывается 1 бракованное.

Найдем число благоприятных исходов m 2 , когда среди 3 выбранных изделий оказывается 2 бракованных. . Общее число благоприятных исходов. Окончательно:

2. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 туза.Решение: Требуемую вероятность находим по формуле классического распределения вероятности. Сначала находим n - общее число возможных исходов в данном испытании. Поскольку порядок карт безразличен, 3 изделия из 36 можно выбрать

способами.

Теперь найдем число благоприятных исходов m - число исходов, при которых окажется 2 туза из 3-х выбранных карт. 2 туза из 4 можно вынуть способами. Поскольку каждая комбинация из тузов может сочетаться с любой комбинацией из остальных карт, всего получится варианта. Окончательно получаем:

3. 12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: 3 - в первый, 3 - во второй, 2 - в третий и 4 - в четвертый. Найти вероятность Р(А) того, что данные трое рабочих поедут в один дом отдыха.

Решение: Вероятность того, что данные трое рабочих окажутся вместе и попадут в любой из 4-х домов отдыха равна. Поскольку в третий дом отдыха выделено всего 2 путевки, им необходимо попасть в оставшиеся 3 из 4 домов отдыха. Вероятность этого события Р(3/4) = 0,75.

Окончательно получаем:

4. При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность появления брака на первой операции равна 0,05, на второй - 0,01, на третьей - 0,02, на четвертой - 0,03.Решение: Вероятность изготовления годной детали Р(А) равна произведению вероятностей изготовления годной детали на каждой операции Р(Аi). Следовательно
5. Некоторый механизм состоит из 6 частей, из которых 2 изношены. При работе механизма включаются случайным образом 2 части. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные части.
Решение: С помощью формулы гипергеометрического распределения определяем искомую вероятность того, что включенными окажутся неизношенные части.

6. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго 0,91. Найти вероятность поражения цели.

Решение: Обозначим вероятность попадания из первого орудия через Р(А), а из второго Р(В). При поражении цели возможны 3 варианта: когда оба орудия попали в цель - вероятность этого события равна

когда в цель попало только первое орудие - вероятность этого события равна; когда в цель попало только второе орудие - вероятность этого события равна. Тогда вероятность поражения цели будет равна сумме всех трех вероятностей:

7. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течении часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго станка - 0,8, для третьего - 0,9, для четвертого - 0,85. Найти вероятность того, что в течении часа по крайней мере один станок не потребует внимания рабочего.

Решение: Здесь вероятности р 1 = 0,7; р 2 = 0,8; р 3 = 0,9; р 4 = 0,85 есть вероятности того, что один из станков потребует внимания рабочего в течении часа, а q 1 = 0,3; q 2 = 0,2; q 3 = 0,1; q 4 = 0,15 есть вероятности того, что один из станков не потребует внимания рабочего в течении часа. Найдем вероятность противоположного события: вероятность того, что в течении часа все станки потребуют внимания рабочего

Тогда вероятность того, что в течении часа по крайней мере один станок не потребует внимания рабочего будет равна

8. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй - 0,2% и третий - 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого поступило 1000, со второго - 2000 и с третьего - 2500 деталей.

Решение: Решим пример по формуле полной вероятности. В качестве гипотез примем события, заключающиеся в следующем: Н 1 - произвольно выбранная деталь, изготовлена на первом автомате, Н 2 - произвольно выбранная деталь, изготовлена на втором автомате, Н 3 - произвольно выбранная деталь, изготовлена на третьем автомате; событие А заключается в том, что попавшая на сбору деталь бракованная. По формуле полной вероятности имеем:

где: - вероятность того, что выбранная деталь бракованная, при условии, что она с i-го автомата соответственно; Р(Н i) - вероятности гипотез.Найдем вероятности гипотез.

Окончательно получаем:

9. Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в 9 находится по 2 черных и 2 белых шара, а в одной - 5 белых и 1 черный шар. Чему равна вероятность того, что шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым.

Решение: Вероятность Р(А) того, что шар взят из урны содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым равна произведению вероятность того, что шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров Р(Н) на вероятность того что взятый из этой урны шар оказался белым Р(Б).

Р(Н) = 1/10; с помощью формулы гипергеометрического распределения

Окончательно получаем: .

10. В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.

Решение: Применяем формулу Бернулли. Здесь n = 10, m = 6, р = 0,2, q = 1 - 0,2 = 0,8. По формуле Бернулли получаем

11. Случайная величина имеет распределение вероятностей, представленное таблицей:

Дисперсия соответственно равна:

D (X ) = M (X 2 ) − M 2 (X ) = [ (− 0.04) 2 0.25+ 0.12 0.5+ 0.22 0.25] − 0.092 = 0.0073

Полученный результат выражается в процентах в квадрате, поэтому вычисляется среднее квадратичное отклонение, равное:

σ (X ) = 0.0073= 0.085= 8.5% ,

и характеризует риск , измеряемый вариацией ожидаемых результатов.

Задача 10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величиныX , заданной законом распределения:

найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

Задача 12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №2 (раздел IV).

Задача 13. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №3 (раздел IV).

Задача 14. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №4 (раздел IV).

Задача 15. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №5 (раздел IV).

Задача 16. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №6 (раздел IV).

Задача 17. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №7 (раздел IV).

Вернемся к схеме независимых испытаний (тема 13). Число появлений события А в серии изп испытаний есть случайся величинаХ , она может принимать следующие значения: 0, 1, …,п . Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:

p(Х= k) = P	(k ) = C kp kq n− k,

где p – вероятность появленияА в каждом испытании.

Закон распределения числа успехов в схеме n независимых испытаний называетсябиномиальным распределением . Поэтому говорят, что число успехов в

схеме n независимых испытаний− это случайная величина, подчиняющаясябиномиальному закону распределения . Таким образом, биноминальный закон распределения имеет два параметра:n иp .

Название биноминального закона распределения вытекает из связи распределения числа успехов с формулой бинома Ньютона:

(a + b ) n= ∑ C n ka kb n− kk = 0

Для биномиального распределения а = р, b = q иp + q = 1.

Пример 21. Записать в виде таблицы закон распределения случайной величиныХ – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0.8.

Решение. Вероятность попадания при одном выстреле известна –p = 0.8. Тогда вероятность промаха при одном выстреле –q = 1− p = 1− 0.8= 0.2. Стре-

ляя 5 раз, можно не попасть ни разу, можно попасть 1 раз, можно попасть 2 раза, 3 раза, 4 раза, либо попасть все 5 раз. Таким образом, возможные значения X та-

ковы: x 1 = 0,x 2 = 1,x 3 = 2,x 4 = 3,x 5 = 4 ,x 6 = 5. Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:

p 1 = P (X = 0 ) = P 5 (0 ) = C 5 0 0.8 0 0.2 5 = 0.00032 ; p 2 = P (X = 1 ) = P 5 (1 ) = C 5 1 0.8 1 0.2 4 = 0.0064; p 3 = P (X = 2) = P 5 (2) = C 5 2 0.82 0.23 = 0.0512; p 4 = P (X = 3 ) = P 5 (3 ) = C 5 3 0.8 3 0.2 2 = 0.2048; p 5 = P (X = 4 ) = P 5 (4 ) = C 5 4 0.8 4 0.2 1 = 0.4096; p 6 = P (X = 5 ) = P 5 (5 ) = C 5 5 0.8 5 0.2 0 = 0.32768.

Таким образом, закон распределения имеет следующий вид (табл. 2.16):

Таблица 2.16

Закон распределения (на основе данных примера 21)


p(x)

Пример 22. При производстве некоторого изделия вероятность брака составляет 0.2. В этом случае предприятие терпит убыток от производства этого изделия в 10000 ден.ед. При изготовлении одного не бракованного изделия прибыль предприятия составляет 20000 д.ед. За день изготовлено 2 изделия. Составить закон распределения случайной величины – дневной прибыли предприятия.

Решение. Рассмотрим все возможные случаи соблюдения условий качества двух изделий, изготовленных за день, а затем установим значения случайной величиныX – дневной прибыли предприятия.

Число стандартных изделий из произведенных за день может быть 0, 1, 2, тогда случайная величина X примет значения:

x 1 = –20000 ден.ед. (ноль стандартных изделий означает, что два изделия –

бракованные);

x 2 = 10000 ден.ед. (из двух изделий одно стандартное и одно бракованное, а

доход составляет 20000 – 10000 = 10000 ден.ед.); x 3 = 40000 д.ед. (два изделия – стандартные).

Событие A – изделие стандартное, событиеA – изделие бракованное. По условию задачиP (A ) = 0.2 – const.

Вероятности p i = P (X = x i ) находятся по формуле Бернулли с исходными данными:

n = 2 ,P (A ) = p = 1− P (A ) = 1− 0.2= 0.8;q = 1− p = 0.2 ;m = 0, 1, 2 ;

p 1 = P (X = − 20000) = P 2 (0) = C 2 0 p 0 q 2 − 0 = q 2 = 0.22 = 0.04 ;p 2 = P (X = 10000) = P 2 (1) = C 2 1 p 1 q 2 − 1 = 2 0.8 0.2= 0.32 ;p 3 = P (X = 40000 ) = P 2 (2 ) = C 2 2 p 2 q 2 − 2 = 0.8 2 = 0.64 .

Законраспределения, представленныйвтабличномвиде, приметвид(табл. 2.17):

Таблица 2.17

Закон распределения X (на основе данных примера 22)


p(x)

Рассмотрим поведение вероятностей P n (k ) как функции целочисленного аргументаk . Обозначим:


	r (k) =		Pn (k+ 1)	K =0,1,2..., n -1
	r (k) =			K =0,1,2..., n -1
			Pn (k)
			Pn (k)
После подстановки (4.9) в (4.10) получаем:
r (k) =		n !(p k + 1 q n − k − 1 )k !(n − k )!			p(n− k)
r (k) =
		(k + 1)!(n − k − 1)!n !(p k q n − k )			q(k+ 1)
		(k + 1)!(n − k − 1)!n !(p k q n − k )			q(k+ 1)

Поскольку при увеличении k числитель выражения в правой части (4.11) уменьшается, а знаменатель увеличивается, отношениеr n (k ) монотонно убыва-

ет. Кроме того, в силу (4.10) из r n (k )< 1 следуетP n (k + 1) < P n (k ) . Поэтому из

Таким образом, вероятность P n (k ) увеличивается тогда, когдаk увеличивается от нуля доk < np − q . Как толькоk > np − q , вероятностиP n (k ) будут

уменьшаться. Такой одногорбый характер биноминального закона распределения представляет собой общую закономерность, верную для многих случайных величин, встречающихся на практике.

Одногорбое поведение закона распределения вероятностей типично для цен, производительности и любых результатов измерений, так как они концентрируются вокруг некоторого наиболее часто встречающегося числа. В теории вероятности наиболее вероятное значение случайной величины называется модой или наивероятнейшим значением. Поэтому мода биномиального распределения равна целой частиpn - q и близка кpn .

Для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения получаем:


M (X) = ∑ kPn (k) =	∑ kCn k pk qn − k = pn,
k = 0	k = 0

D(X) = ∑ (k− pn) 2 Pn (k) = npq, σ = npq.

k = 0

Таким образом, математическое ожидание и дисперсии биномиального распределения всегда увеличиваются при увеличении n . При увеличенииp математическое ожидание также всегда увеличивается, а дисперсия возрастает только тогда, когдаp < 0.5 , так какq = 1− p .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 18. Вероятность того, что партия товара будет продана на оптовом рынке, равна 0.8. Составить закон распределения числа проданных из четырех партий товара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 19. В населенном пункте имеется 5 рынков. Вероятность того, что на рынке предлагается необходимый товар, равна 0.9. Составить закон распределения числа рынков, на которых имеется необходимый товар. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 11. По таблице распределения случайной величиныX :

Если n иk – достаточно большие числа, вероятностиP n (k ) биномиального

распределения становятся неудобными для вычислений. Это происходит потому, что они требуют вычисления факториалов от больших целых чисел и высоких степеней вероятностей p иq . Вычисления оказываются трудными еще и потому,

что значения факториалов становятся очень большими, а степени, наоборот, очень маленькими и при их перемножении в вероятностях P n (k ) теряется точность.

Что будет с вероятностями P n (k ) приn >> 1? При увеличенииn число возможных значений биномиально распределенной случайной величины увели-

1. Вероятность того, что деталь не прошла проверку качества, равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей не пройдут проверку от 7.

2. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет не более, чем на 3 веретенах.

3. Вероятность возврата товара в магазине равна 0,03. Какая вероятность, что из 120 купленных товаров вернут не более 3.

4. Всхожесть семян данного растения составляет 98%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет 790.

5. Коммутатор обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты на коммутатор позвонят не менее 2 абонентов.

6. Вероятность рождения мальчика р=0,515 . Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 480 девочек?

7. Вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,98. Какая вероятность, что из 800 больных вылечится 791?

8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,004, Найти вероятность поражения цели не менее чем 2 снарядами, при залпе из 250 орудий.

9. Найти вероятность того, что из 900 будет отчислено от 80 до 110 студентов (включительно).

10. При приёме партии изделий проверяется половина, условие приёмки – наличие брака менее 2 %. Какова вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята?

11. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 625 пассажиров и вероятность этого события.

12. Вероятность брака при производстве деталей равна 0,02. Найти вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся бракованными от 7 до 10 деталей.

13. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 46-го размера, равна 0,03. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 3 потребуют обувь этого размера.

14. Вероятность того, что наборщица совершит опечатку на одной страницы, равна 0,01. Какая вероятность, что на 300 страницах будет 4 опечатки?

15. Вероятность поймать рабу при одной закидке удочки равна 0,04. Какая вероятность из 50 закидок поймать не менее 2 рыб?

16. Крупный выигрыш в лотерее возможен с вероятностью 0,01. Какая вероятность, что выиграет хоты бы один билет из 100?

17. Крупный выигрыш в лотерее возможен с вероятностью 0,02. Найти наиболее вероятное число выигранных билетов из 250 и вероятность этого события?

18. Какая вероятность обнаружить 9 бракованных изделий из 289, если вероятность брака для одной детали равна 0,03?

19. Найти приближенно вероятность того, что при 400 независимых испытаниях событие наступит 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

20. Найти вероятность того, что при 100 независимых испытаниях событие наступит ровно 12 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

21. Вероятность брака при производстве деталей равна 0,02. Найти вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся бракованными от 7 до 10 деталей.

22. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0.03.

23. Вероятность попадания в цель равна 0,5. Какова вероятность того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между 115 и 150.

24. Вероятность брака при изготовлении деталей равна 0,02. Определить вероятность того, что среди взятых 1000 штук деталей окажутся бракованными не более 25.

25. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?

26. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий будет не менее 70?

27. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенными окажутся от 70 до 100.

28. Вероятность рождения мальчика равна 0,53. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

29. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 75 раз.

30. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что цифра 1 при этом выпадет 50 раз?

31. Какова вероятность выиграть у равносильного противника 24 партии из 40?

32. Вероятность получения по лотерее выигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее 50 и не более 60 выигрышных?

33. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (предполагается, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?

34. Вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75?

35. Игральную кость подбрасывают 320 раз. Какова вероятность того, что цифра 5 при этом выпадет не менее 70 и не более 83 раз?

36. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна p=0,2 . Найти вероятность того, что из 750 не более 120 потребуют такую обувь

37. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700. Вероятность появления изделия высшего сорта в партии равна 0,8.

41. в урне 80 белых и 20 черных шаров. Сколько шаров (с возвращением) нужно вынуть из урны, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что частота появления белого шара будет отклоняться от вероятности меньше, чем на 0,1?

Напечатать