Главная » Мебель » В урне белых шаров 10. Задачи про шары. Вычисление вероятности сложных событий

В урне белых шаров 10. Задачи про шары. Вычисление вероятности сложных событий

Задачи на вероятность игральной кости не менее популярны, чем задачи о подбрасывании монет. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и так далее.

Применение формулы классической вероятности является основным методом решения задач такого типа.

Одна игральная кость, вероятность.

Достаточно просто обстоит дело с одной игральной костью. определяется по формуле: P=m/n, где m - это число благоприятствующих событию исходов, а n - число всех элементарных равновозможных исходов эксперимента с подбрасыванием кости или кубика.

Задача 1. Один раз брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

Поскольку игральная кость собой представляет кубик (или его еще называют правильной игральной костью, на все грани кубик выпадет с одинаковой вероятностью, так как он сбалансированный), у кубика 6 граней (число очков от 1 до 6, которые обычно обозначаются точками), это значит, что в задаче общее число исходов: n=6. Событию благоприятствуют только исходы, при которых выпадает грань с четными очками 2,4 и 6, у кубика таких граней: m=3. Теперь можем определить искомую вероятность игральной кости: P=3/6=1/2=0.5.

Задача 2. Брошен один раз игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не менее 5 очков?

Решается такая задача по аналогии с примером, указанным выше. При бросании игрального кубика общее число равновозможных исходов равно: n=6, а удовлетворяют условие задачи (выпало не менее 5 очков, то есть выпало 5 или 6 очков) только 2 исхода, значит m=2. Далее находим нужную вероятность: P=2/6=1/3=0.333.

Две игральные кости, вероятность.

При решении задач с бросанием 2-х игральных костей, очень удобно пользоваться специальной таблицей выпадения очков. На ней по горизонтали откладывается число очков, выпавших на первой кости, а по вертикали - число очков, которое выпало на второй кости. Заготовка имеет такой вид:

Но возникает вопрос, что же будет в пустых ячейках таблицы? Это зависит от задачи, которую потребуется решить. Если в задаче речь идет о сумме очков, тогда туда записывается сумма, а если про разность - значит записывается разность и так далее.

Задача 3. Брошены одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения суммы менее 5 очков?

Для начала необходимо разобраться какое будет общее число исходов эксперимента. Все было очевидно при бросании одной кости 6 граней кубика - 6 исходов эксперимента. Но когда уже две кости, то возможные исходы можно представить как упорядоченные пары чисел вида (x, y), где х показывает сколько на первой кости выпало очков (от 1 до 6), а у - сколько выпало очков на второй кости (от 1 до 6). Всего таких числовых пар будет: n=6*6=36 (в таблице исходов им как раз соответствуют 36 ячеек).

Теперь можно заполнить таблицу, для этого в каждую ячейку заносится число суммы очков, которые выпали на первой и второй кости. Заполненная таблица выглядит так:

Благодаря таблице определим число исходов, которые благоприятствуют событию " выпадет в сумме менее 5 очков". Произведем подсчет числа ячеек, значение суммы в которых будет меньше числа 5 (это 2, 3 и 4). Такие ячейки для удобства закрашиваем, их будет m=6:

Учитывая данные таблицы, вероятность игральной кости равняется: P=6/36=1/6.

Задача 4. Было брошено две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков будет делиться на 3.

Для решения задачи составим таблицу произведений очков, которые выпали на первой и на второй кости. В ней сразу же выделим числа кратные 3:

Записываем общее число исходов эксперимента n=36 (рассуждения такие же как в предыдущей задаче) и число благоприятствующих исходов (число ячеек, которые закрашены в таблице) m=20. Вероятность события равняется: P=20/36=5/9.

Задача 5. Дважды брошена игральная кость. Какова вероятность, что на первой и второй кости разность числа очков будет равна от 2 до 5?

Чтобы определить вероятность игральной кости запишем таблицу разностей очков и выделим в ней те ячейки, значение разности в которых будет между 2 и 5:

Число благоприятствующих исходов (число ячеек, закрашенных в таблице) равно m=10, общее число равновозможных элементарных исходов будет n=36. Определит вероятность события: P=10/36=5/18.

В случае простого события и при бросании 2-х костей, требуется построить таблицу, затем в ней выделить нужные ячейки и их число поделить на 36, это и будет считаться вероятностью.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением
(1.2.1)
где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой . Для достоверного события , поэтому
(1.2.2)
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой . Для невозможного события , поэтому
(1.2.3)
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события выполняются неравенства , или , то
(1.2.4)
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
(1.2.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) -(1.2.4).

Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение . Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего 6 2 = 36 равновозможных элементарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому

Пример 4 . Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение. Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность

Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) означает, что на первой монете герб, на второй - цифра). Событию D благоприятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4 , то

Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то
,
где А -событие "число с одинаковыми цифрами".

Пример 7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч ?

Решение . В слове дuфференцuал 12 букв, из них 5 гласных и 7 согласных. Буквы ч в этом слове нет. Обозначим события: А - "гласная буква", В - "согласная буква", С - "буква ч ". Число благоприятствующих элементарных исходов: -для события А, - для события В, - для события С. Поскольку n = 12 , то
, и .

Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой А. Событюо А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n=6 2 =36. Значит, искомая вероятность

Пример 9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение. Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k -натуральное число, причем , откуда . Следовательно,
, где А - событие "страница" имеет порядковый номер, кратный 5".

Пример 10 . Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее -получить в сумме 7 или 8?

Решение . Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В - 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всех равновозможных элементарных исходов n = 6 2 = 36. Значит, и .

Итак, Р(А)>Р(В), то есть получить в сумме 7 очков - более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.

Задачи

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?
2. В урне a красных и b голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?
3. Наудачу· выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем зо?
4. В урне а голубых и b красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано наryральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
6. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 очков?
7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?

Ответы

1. 1/3. 2 . b /(a +b ). 3 . 0,2. 4 . (b -1)/(a +b -1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятность получить в сумме 9 очков; p 2 = 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Вопросы

1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
6. Какое определение вероятности называют классическим?

1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача. В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

Р е ш е н и е.Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событиюА , равно числу всех возможных случаев, т.е.m = n = 10 иP (A ) = 1. В этом случае событиеА достоверно.

Задача. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Р е ш е н и е. Синих шаров в урне нет, т.е. m = 0, аn = 15. Следовательно,P (A ) = 0/15 = 0. В данном случае событиеА – невозможное.

Задача. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

Р е ш е н и е. Здесь m = 4,n = 12 иP (A ) = 4/12 = 1/3.

Задача. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара – белые?

Р е ш е н и е. Здесь число всех случаев Число же случаев, благоприятствующих событиюА , определяется равенством
Итак,

Задача. В корзине 100 фруктов: 10 груш и 90 яблок. Наугад взяты четыре фрукта. Найти вероятность того, что

а) взято четыре яблока;

б) взято четыре груши.

Р е ш е н и е. Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из 100 элементов по четыре, т.е.
.

а) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию (все взятые наугад четыре фрукта являются яблоками), равно числу сочетаний из 90 элементов по четыре, т.е.
.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу

возможных элементарных исходов:

б) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию (все взятые наугад четыре фрукта – груши), равно числу способов, которыми можно извлечь четыре груши из десяти имеющихся, т.е. .

Искомая вероятность

Задача 6. На отрезкеОА длиныL числовой осиОх наудачу нанесена точкаВ (х ). Найти вероятность того, что отрезкиОВ иВА имеют длину больше, чемL /4.

Р е ш е н и е. Разобьем отрезок ОА на четыре равные части точкамиC ,D ,E (рис. 7). Требование задачи будет выполнено, если точкаВ попадет на отрезокС E , длина которого равнаL /2.

Рис. 7

Следовательно, р = (L /2) :L = 1/2.

Задача 9. Из 10 ответов к задачам, помещенным на данной странице, 2 имеют опечатки. Студент решает 5 задач. Какова вероятность того, что в одной из них ответ дан с опечаткой?

Р е ш е н и е.

Такие задачи описываются общей схемой. Имеется совокупность из N 1 элементов первого вида иN 2 элементов второго вида. Какова вероятность того, что при выборе совокупности изk элементов она состоит изk 1 элементов первого вида иk 2 элементов второго вида, гдеk =k 1 +k 2 ,k 1 N 1 ,k 2 N 2 ?

Задача 10. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.

Р е ш е н и е. Имеем

Применив теорему сложения вероятностей, получим

Задача 11. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Р е ш е н и е. В данном случае речь идет о совмещении событий А иВ , где событиеА – появление белого шара из первого ящика, событиеВ – появление белого шара из второго ящика. При этомА иВ – независимые события. ИмеемР (А ) = 2/12 = 1/6,Р (В ) = 8/12 = 2/3. Применив теорему умножения вероятностей, находим

Задача 12. В условиях предыдущей задачи определитьвероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Р е ш е н и е. Пусть: событие А – появление белого шара из первого ящика; событиеВ – появление белого шара из второго ящика; событиеС – появление черного шара из первого ящика
событиеD – появление белого шара из второго ящика
ТогдаР (А ) = 1/6,Р (В ) = 2/3,

Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика – черный:

Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика – белый:

Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика, – черным. Применяем теорему сложения вероятностей.

В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение:

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: п = 20. Тогда:

При определении вероятности события, по ее классическому определению, требуется выполнение определенных условий. Эти условия заключаются в равновозможности и несовместности событий, входящих в полную группу событий, вероятность которых надо определить. На практике не всегда можно определить все возможные варианты исходов, а тем более обосновать их равновозможность. Поэтому при невозможности удовлетворения требованиям классического определения вероятности используют статистическую оценку вероятности события. При этом вводится понятие относительной частоты появления события А , равной отношению , где т - число испытаний, в которых произошло событие А; п - общее число испытаний.

Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события А будет сколь угодно мало отличать от вероятности события А: .

Это равенство справедливо при неизменности условий, при которых проводится эксперимент.

Справедливость теоремы Бернулли была доказана и в многочисленных опытах по сравнению вероятностей, вычисленных классическим и статистическим методами. Так, в опытах Пирсона, по определению вероятности выпадения «герба» при выполнении 12 000 бросков, статистическая вероятность была равна 0,5016, а при 24 000 бросков - 0,5005, что показывает приближение к значению вероятности 0,5 по мере увеличения числа опытов. Близость значений вероятности, определенных различными способами, указывают на объективность возможности наступления этого события.

4. Теорема сложения вероятностей

Зная вероятности одних событий, можно вычислить вероятности других, если они связаны между собой. Теорема сложения вероятностей позволяет определить вероятность появления одного из нескольких случайных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (2)

Доказательство. Пусть п - общее число равновозможных несовместных элементарных исходов; m 1 - число исходов благоприятствующих событию А; т 2 - число исходов, благоприятствующих событию В. Так как А и В несовместные события, то событию А+В будет благоприятствовать m 1 +m 2 исходов. Тогда, согласно классическому определению вероятности:

Расширяя это доказательство на п событий, можно доказать следующую теорему.

Теорема. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А 1 , А 2 ,..., А п равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р(А 1 + А 2 +…+А п) = Р(А 1) + Р(А 2) +…+Р(А п) (3)

Из этой теоремы можно вывести два следствия:

Следствие 1. Если события А 1 ,А 2 ,..., А п образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е. = Р(А 1) + Р(А 2) +…+Р(А п) = 1. (4)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

Доказательство. Противоположные события несовместны и образуют полную группу, а сумма вероятностей таких событий равна 1.

Пример 3 .

Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.

Решение:

Событие А - выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А) = . Событие В - выпадение цифры 3, вероятность этого события Р(В) = . События несовместные, поэтому

Пример 4.

Получена партия одежды в количестве 40 штук. Из них 20 комплектов мужской одежды, 6 - женской и 14 - детской. Найти вероятность того, что взятая наугад одежда окажется не женской.

Решение:

Событие А - одежда мужская, вероятность

Событие В – одежда женская,

Вычисление вероятности сложных событий

Пусть имеется урна с десятью шарами, из которых 6 белых и 4 черных. Тогда возможны следующие события:

А – вынуть белый шар из урны

В – вынуть черный шар из урны

Событие А состоит из событий А 1 ,А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 . Событие В состоит из событий В 1 , В 2 , В 3 , В 4 . Тогда процент белых шаров в урне определиться как отношение , а процент черных шаров .

Определение: Вероятностью события А наз. число, равное отношению числа исходов m благоприятствующих наступлению события А к общему числу всех элементарных исходов n.

- формула классического способа подсчета вероятности

Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей

Определение: Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р п = п !

Определение: Размещения – комбинации из т п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Определение: Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

Пример 1. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

Решение . В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3: