Артель землекопов в 26 человек работающая машинами. Подбор задач на совместную работу и производительность. Нахождение процентного отношения

Цели урока:

• решение более сложных задач на пропорциональные величины («Сложное тройное правило»);
• развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей и их способности рассуждать, ставить вопросы и отвечать на них, т.е речи обучаемых;
• расширение кругозора при решении старинных практических (или правдоподобных) задач;
• формирование представлений о богатстве культурно – исторического наследия человечества.

Ход урока

I. Организационный момент:

Сегодня приступаем к решению более сложных, но не менее интересных задач на пропорциональные величины.

Изучение пропорций и указанных зависимостей имеет большое значение для последующего изучения математики.

Позже с помощью пропорций вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.

С чего же начинали?

1. Познакомились с понятиями «отношение», «пропорция»
   (отношение - ………., пропорция - ………(ожидаются ответы учащихся)
2. Научились решать пропорции и выяснили, что основной способ их решения должен опираться на ……. (основное свойство пропорций)
3. Научились выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними. (прямая или обратная зависимости)
4. Научились делать краткую запись условия задачи и составлять пропорцию (уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой вверх)
   Но не забываем, что
5. разбирали способ решение задач вообще без пропорций (применению этого приёма должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении задач: во сколько раз увеличилась или уменьшилась величина?)

Будем продвигаться вперёд от простого к сложному.

II. Устная работа.

1. Из данных величин выберите те, которые являются прямой или обратной пропорциональностью:

а) длина стороны квадрата и периметр.
б) длина стороны квадрата и его площадь.
в) длина и ширина прямоугольника при заданной площади.
г) скорость автомобиля и путь, который он проедет за определённое время.
д) скорость туриста, идущего с турбазы на станцию, и время, за которое он дойдёт до станции.
е) возраст дерева и его высота.
ж) объём стального шарика и его масса.
з) число прочитанных страниц в книге и число страниц, которые осталось прочитать.

(Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.).

2. Разберём задачу:

Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц.

3. Рассмотрим задачи («провокационного характера»):

а) За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа.

б) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов.

в) * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покроется лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

(Решение: так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как пруд полностью покроется лилиями, его площадь была ими покрыта наполовину, т.е. пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель)

III. Решение задач:

(условие задач предоставлено на доске)

Краткое условие и два способа решения предлагается очень быстро сделать учащимся на доске.

1 способ:

2 способ: количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза больше

Х=30*15/8=56р25к

2. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?

На доске записано незаконченное краткое условие:

Дополнить условие и решить задачу двумя способами.

I вариант: пропорцией

II вариант: без пропорций

В это же время двое учащихся работают у доски.

I.

II. Х = 20*6 = 120 работников

3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев, и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить?

Старинная задача.

(запись на доске)

(заполнение краткой записи учащимися)

Решить эту задачу без пропорции:

(Количество месяцев увеличивается в раз, значит количество солдат уменьшается в раз.

560 – 392 = 168 (солдат надо убавить)

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».

Попробуем!!!

4. Возьмём задачу, которая предлагалась вам как дополнительная.

Задача из домашней работы.

Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Ответ у задачи получается ………?

Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:

Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.

(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается

от увеличения дней работы (писцов)).

Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.

Одну задачу, с шестью величинами, возьмите в качестве необязательного домашнего задания те учащиеся, которые любят распутывать головоломные задачи.

6. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..

Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в
раз и от уменьшения ламп в раза.

Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.

Х = 48 * * : = 60 (дней)

Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.

IV. Итог урока.

Решали весь урок теперь уже почти забытые задачи. Двигались от простого к сложному. Было видно, что старинные задачи вызывают интерес, приятно наблюдать вашу упорную работу при решении задач, провели хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности.

Понятными кажутся объяснения, предлагаемые учителем, но вы должны и самостоятельно продвигаться вперёд.

V. Домашнее задание.

Синиц дней зерна

Х = 100: 10: 10 = 1кг

2. Старинная задача.

Дирхемов срок доход

3. * Дополнительная задача.

Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть

10 м, глубина 18 дм?

решение.

Задачи на совместную работу и производительность

Задачи этого типа содержат обычно сведения о выполнении несколь­кими субъектами (рабочими, механизмами, насосами и т.п.) некоторой работы, объём которой не указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи, изготовление деталей, рытьё тран­шей, заполнение через трубы водоёма и т.д.). Предполагается, что выполняемая работа проводится равномерно, т.е. с постоянной для каждо­го субъекта производительностью. Так как величина выполняемой работы (или объём заполняемого бассейна, например) нас не интересуют, то объём всей работы. или бассейна принимается за единицу. Время t , требующееся для выполнения всей работы, и Р - производитель ность труда, то есть величина работы, сделанной за единицу времени, связаны

соотношением P = 1 /t .Полезно знать стандартную схему решения типовых задач.

Пусть один рабочий выполняет некоторую работу за х часов, а другой - за у часов. Тогда за один час они выполнят соответственно 1/ x и 1/ y часть работы. Вместе за один час они выполнят 1/ x +1/ y часть работы. Следовательно, если они будут работать вместе, то вся работа будет выполнена за 1/ (1/ x + 1/ y )

Решение задач на совместную работу вызывает у учащихся трудности, поэтому при подготовке к экзамену можно начать с решения самых простых задач. Рассмотрим тип задач, при решении которых достаточно ввести только одну переменную.

Задача 1. Один штукатур может выполнить задание на 5 часов быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 часов. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

Решение. Пусть первый штукатур выполняет задание за x часов, тогда второй штукатур выполнит это задание за x +5 часов. За 1 час совместной работы они выполнят 1/ x + 1/( x +5) задания. Составим уравнение

6×(1/ x + 1/( x +5))= 1 или x ² - 7 x -30 = 0. Решив данное уравнение,получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый штукатур может выполнить работу за 10 часов, а второй - за 15 часов.

Задача 2 . Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них на выполнение всей работы потребовалось на 10 дней больше, чем другому?

Решение . Пусть первый рабочий тратит на всю работу x дней, тогда второй- (x -10) дней. За 1 день совместной работы они выполняют 1/ x + 1/( x -10) задания. Составим уравнение

12×(1/ x + 1/( x -10)= 1 или x ²- 34 x +120=0. Решив данное уравнение, получим x =30 и x = 4. Условию задачи удовлетворяет только x =30 .Поэтому первый рабочий может выполнить работу за 30 дней, а второй – за 20 дней.

Задача 3. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее,чем вторым?

Решение. Пусть первый трактор тратит на выполнение задания x дней, тогда второй – x + 5 дней. За 4 дня совместной работы оба трактора вспахали 4×(1/ x + 1/( x +5)) задания, то есть 2/3 поля. Составим уравнение 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 или x ² -7 x -30 = 0. . Решив данное уравнение, получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый трактор может вспахать поле за 10 часов, а второй - за 15 часов.

Задача 4 . Маша может напечатать 10 страниц за 1 ч. Таня – 4 страницы за 0,5 , а Оля- 3 страницы за 20 минут. Как девочкам распределить 54 страницы текста между собой, .чтобы каждая работала в течение одного и того же времени?

Решение . По условию Таня печатает 4 страницы за 0,5ч, т.е. 8 страниц за 1ч., а Оля – 9 страниц за 1ч. Обозначив за Х часов- время, в течение которого девочки работали, получим уравнение

10Х +8Х+9Х =54, откуда Х= 2.

Значит, Таня должна напечатать 20 страниц, Таня-16 страниц, а Оля 18 страниц.

Задача 5. На двух множительных аппаратах, работающих одновременно, можно сделать копию рукописи за 20 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждом аппарате в отдельности, если известно, что при работе на первом для этого потребуется на 30 мин меньше, чем при работе на втором?

Решение. Пусть Х мин - время, которое требуется на выполнение копии на первом аппарате, тогда Х+30 мин- время работы на втором аппарате. Тогда 1/Х копии выполняет первый аппарат за 1 мин, а 1/ (Х+30) копии- второй аппарат.

Составим уравнение: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, получим X ²-10 X -600= 0. Откуда Х =30 и Х = - 20. Условию задачи удовлетворяет Х= 30. Получили: 30 мин - время, за которое первый аппарат сделает копию, 60 мин- второй.

Задача 6. Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?

Решение. Обозначив за Х дней- время, необходимое фирме А на выполнение заказа, тогда Х + 4 дней - время для фирмы В. При составлении уравнения необходимо учесть, что за 24 дня совместной работы будет выполнено не 1 заказ, а 5 заказов. Получим, 24× (1/ X + 1/( X +4)) = 5.Откуда следует 5 Х²- 28Х-96 = 0. Решив квадратное уравнение получаем, Х = 8 и Х = - 12/5. Первая фирма может выполнить заказ за 8 дней, фирма В – за 12 дней.

При решении следующих задач необходимо вводить более одной переменной и решать уже системы уравнений.

Задача 7 . Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за х часов, а второй - за у часов. Из условия задачи имеем х = у -1. За 1 ч первый

рабочий выполнит 1/ x часть работы, а второй – 1/ y часть работы. Т .к. они работали вместе ¾ ч, то за это время они выполнили ¾ (1/ x + 1/ y )

часть работы. За 2и 1/4 ч работы второй выполнил 9/4× (1/ y ) часть работы. Т .к. вся работа выполнена, то составляем уравнение ¾ (1/ x +1/ y )+9/4×1/ y =1 или

¾ ×1/ x + 3 ×1/ y =1

решения у 1 = ч и у 2 = 4 ч. Первое решение не подходит (оба раб о чие только вместе работали ¾ ч!). Тогда у = 4 , а х = 3.

Ответ. 3 часа, 4 часа.

Задача 8. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен.

Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна.

За какое время из каждого крана в отдельно­сти может заполниться весь бассейн?

Решение. Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за х мин, а из второго - за у 1 мин. Первый кран заполняет часть бассейна, а второй . За 10 мин из первого крана заполнится часть бассейна, а за 20 мин из второго крана - . Т .к. бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение: . Аналогично составляем второе уравнение (заполняется на весь бассейн, а только его объема). Для упрощения решения задачи введём новые переменные: Тогда имеем линейную систему уравнений:

10u + 20v =1 ,

решение которой будет u = v = . Отсюда получаем ответ: x = мин, y =50 мин.

Задача 9 . Двое выполняют работу. Сначала первый работал времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй рабо­тал времени, за которое первый закончил бы оставшуюся работу. Оба они выполнили только всей работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают её за 3 ч 36 мин?

Решение. Обозначим через х часов и у часов время, за которое вы­полняют всю работу первый и второй соответственно. Тогда и

Те части работы, которые они выполняют за 1ч. Работая (по усло­вию) времени, первый выполнит часть работы. Останется невыполненной часть работы, на которую первый затра­тил бы часов. По условию второй работает 1 /3 этого времени. Тогда он выполнит часть работы. Вдвоём они выполнили только всей работы. Следовательно, получаем уравнение . Работая совместно, за 1 час оба сделают + часть работы. Так как по условию задачи они сделают эту работу за 3 ч 36 мин (то есть з a 3 часа), то за 1 час они сделают всей работы. Отсюда 1/ x + 1/ y = 5/18. Обозначив в первом уравнении , получим квадратное уравнение

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , корни которого равны t 1 =2/3 , t 2 =3/2. Так как неизвестно, кто работает быстрее, то рассматриваем оба случая.

а) t = => у = х. Подставляем у во второе уравнение: Очевидно, что это не является решением

задачи, так как вместе они делают работу больше чем за З ч.

б) t =3/2 => y =3/2 x . Из второго уравнения имеем 1/ x +2/3× 1/ x =5/18.Отсюда х=6, у =9.

Задача10. В резервуар поступает вода из двух труб различных диа­метров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 m 3 воды. Во второй день была включена лишь малая труба. Она подала 14 м 3 воды, проработав на 5 ч дольше, чем в первый день. В третий день работа продолжалась столько же времени, сколько во второй, но снача­ла работали обе трубы, подав 21 м 3 воды. А затем работала лишь боль­шая труба, подавшая еще 20 м 3 воды. Найти производительность каждой трубы.

Решение. В данной задаче нет абстрактного понятия "объем водо­ема", а указываются конкретные объемы воды, которые поступают по трубам. Однако методика решения задачи фактически остается прежней.

Пусть меньшая и большая трубы перекачивают за 1 час х и у м 3 во­ды. Работая вместе, обе трубы подают х + у м 3 воды.

Следовательно, в первый день трубы работали 14/(x + y ) часов. Во второй день малая труба работала на 5 часов больше, т. е. 5+14/(x + y ) . За это

время она подала 14 м 3 воды. Отсюда получаем первое уравнение 14 или 5+14/( x + y )=14/ x . В третий день обе трубы вместе работали21/(x + y ) часов, а затем большая труба работала 20/ x часов. Суммарное время труб совпадает со временем работы первой трубы во второй день, т. е.

5+14/( x + y ) =21/( x + y )+ 20/ x . Так как левые части уравнения равны, то имеем . Освободившись от знаменателей, получаем однородное уравнение 20 x 2 +27 xy -14 y 2 =0. Разделив уравнение на y 2 и обозначив x / y = t , имеем 20 t 2 +27 t -14=0. Из двух корней этого квадратного уравнения (t 1 = , t 2 = ) по смыслу задачи подходит только t = . Следовательно, x = y . Подставив x в первое уравнение, находим y =5. Тогда x =2.

Задача 11. Две бригады, работая совместно, вырыли траншею за два дня. После этого они начали рыть траншею той же глубины и ширины, но длиннее первой в 5 раз. Сначала работала только первая бригада, а затем только вторая бригада, выполнив в полтора раза меньший объем работы, чем первая бригада. Рытье второй траншеи было закончено за 21 день. За сколько дней вторая бригада смогла бы вырыть первую траншею, если известно, что объем работы, выполняемый первой брига­дой за один день, больше объема работы, выполняемого за один день второй бригадой?

Решение. Эту задачу удобнее решать, если привести выполняемую работу к одному масштабу. Если обе бригады вырыли, работая вместе, первую траншею за 2 дня, то, очевидно, вторую траншею (в пять раз длиннее) они вырыли бы за 10 дней. Пусть первая бригада вырыла бы эту траншею за х дней, а вторая - за у, т.е. за 1 день первая вырыла бы часть траншеи, вторая - за 1/ y , а вместе -1/ x +1/ y часть траншеи.

Тогда имеем . Бригады при рытье второй траншеи работали раздельно. Если вторая бригада выполнила объем работы m , то (по условию задачи) - первая бригада . Так как m + m = m равно объему всей работы, принимаемому за единицу, то m = . Следовательно, вторая бригада выкопала траншеи и затратила на это у дней. Первая бригада выкопала траншеи и затратила х дней. Отсюда имеем или х = 35- . Подставляя х в первое уравнение, приходим к квадратному уравнению 2у 2 - 95у +1050 = 0, корнями которого будут у 1 = и у 2 = 30. Тогда соответственно х 1 = и х 2 =15. Из условия задачи выбираем нужное: у = 30. Так как найденное значение относится ко второй траншее, то первую траншею (в пять раз короче) вторая бригада вырыла бы за 6 дней.

Задача 12. Три экскаватора участвовали в рытье котлована объемом 340 м 3 . За час первый экскаватор вынимает 40 м 3 фунта, второй - на с м 3 меньше первого, а третий - на 2с больше первого. Сначала работали одновременно первый и второй экскаваторы, и выкопали 140 м 3 грунта. Затем оставшуюся часть котлована выкопали, работая одновременно, первый и третий экскаваторы. Определить значения с (0<с<15), при котором котлован был выкопан за 4 ч, если работа велась без перерыва.

Решение. Так как первый экскаватор вынимает 40 м 3 грунта в час, то второй - (40-с) м 3 , а третий - (40+2с) м 3 фунта в час. Пусть пер­вый и второй экскаваторы вместе работали х часов. Тогда из условия задачи следует (40+40-с)х = 140 или (80-с)х = 140. Если первый и тре­тий экскаваторы работали вместе у часов, то имеем (40+40+2с)у = 340-140 или (80+2с)у - 200. Так как общее время работы равно 4 часам, то получаем для определения с следующее уравнение х + у = 4 или

Это уравнение равносильно квадратному уравнению с 2 -30с+ 200 = 0, решениями которого будут с 1 = 10 м 3 и с 2 = 20м 3 . По условию задачи подходит толь ко

с = 10 м 3 .

Задача 10. Каждому из двух рабочих поручили обработать одинако­вое количество деталей. Первый начал работу сразу и выполнил ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше 2 ч на наладку приспособления, а затем с его помощью закончил работу на 3 ч раньше первого. Извест­но, что второй рабочий через час после начала своей работы обработал столько же деталей, сколько к этому моменту обработал первый. Во сколько раз приспособление увеличивает производительность станка (т.е. количество обрабатываемых деталей за час работы)?

Решение. Это пример задачи, в которой не все неизвестные надо находить.

Обозначим время наладки станка вторым рабочим через х (по условию х>2). Пусть необходимо было обработать каждому по n деталей.

Тогда первый рабочий в час обрабатывает деталей, а второй деталей. Оба рабочих одинаковое число деталей обработали через час после начала работы второго. Это означает, что Отсюда получаем уравнение для определения х: х 2 -4х + 3-0 корнями которого будут х 1 = 1 и х 2 = 3. Т. к.

х > 2 , то необходимое значение - это х = 3. Следовательно, второй рабочий обра­батывает в час деталей. Т. к. первый рабочий в час обрабатывает

деталей, то отсюда находим, что приспособление увеличивает производительность труда в = 4 раза.

Задача 1 3. Трое рабочих должны изготовить некоторое количество деталей. Сначала к работе приступил только один рабочий, а через некоторое время к нему присоединился второй. Когда 1/6 часть всех деталей была изготовлена, к работе приступил и третий рабочий. Работу они закончили одновременно, причем каждый изготовил одинаковое коли­чество деталей. Сколько времени работал третий рабочий, если извест­но, что он работал на два часа меньше второго и что первый и второй, работая вместе, могли бы изготовить все требуемое количество деталей на 9 часов раньше, чем это бы сделал бы третий, работая отдельно?

Решение. Пусть первый рабочий работал х часов, а третий - у часов. Тогда второй рабочий работал на 2 часа больше, т. е. у+2 часа. Каждый из них изготовил равное количество деталей, т. е. по 1/3 всех деталей. Следовательно, все детали первый изготовил бы за 3х часов, второй за 3(у+2) часов, а третий - за 3у часов. Поэтому первый изготовляет в час часть всех деталей, второй - и третий - .

Так как все трое за время совместной работы изготовили всех дета­лей, то получаем первое уравнение (все трое вместе работали у часов)

. (1)

Первый и второй, работая вместе, изготовили бы вместе все детали на 9 часов раньше, чем это сделал бы третий рабочий, работая один. Отсюда получаем второе уравнение

. (2)

Эти два уравнения легко приводятся к равносильной системе

Выражая из второго уравнения х и подставляя в первое уравнение, по­лучаем у 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Это уравнение разлагается на множители (y - 9)(у + 2) 2 = 0.

Т. к. у > 0, то уравнение имеет только один нужный корень у = 9. Ответ: у = 9.

Задача 14. В котлован равномерно поступает вода, 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 часов, а 15 таких насосов - за 6 ч. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?

Решение. Пусть объем котлована V m 3 , а производительность ка­ждого насоса - х м 3 в час. Вода в котлован поступает непрерывно. Т. к. неизвестно количество ее поступления, то обозначим через у м 3 в час - объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 часов отка­чают х = 120х воды. Это количество воды равно полному объему котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 часов. Весь этот объем равен V +12 y . Приравнивая эти объемы, составляем первое уравнение 120х = V + 12 y .

Аналогично составляется уравнение для 15 таких насосов: 15-6 x = V + 6 y или 90 x = V + 6 y . Из первого уравнения имеем V = 120х - 12у. Подставляя V во второе уравнение, получаем у = 5х.

Время, в течение которого будут действовать 25 таких насосов, неиз­вестно. Обозначим его через t . Тогда, учитывая условия задачи, по аналогии составляем последнее уравнение. Имеем 25 tx = V + ty . Под­ставляя в это уравнение у и V находим 25 tx = 120х -12 5х + t 5х или 20 tx = 60х. Отсюда получаем t = 3 часа. Ответ: за 3 часа.

Задача 15. Две бригады работали вместе 15 дней, а затем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и третья бригады вместе могли бы выпол­нить всю работу за того времени, которое требуется для выполнения всей работы первой и третьей бригадами при их совместной работе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно?

Решение. Пусть всю работу, работая отдельно, первая, вторая и третья бригады выполняют соответственно за х, у и z дней. Тогда в день они выполняют часть работы. Преобразуя первое условие задачи в уравнение, считая, что весь объём работы равен единице, получаем

15 или

(1)

20 .

Так как вторая бригада вырабатывает 120% того, что делает первая (на 20% больше), то имеем или . (2)

Вторая и третья бригады выполнили бы всю работу за 1/ дней, а первая и третья – за 1/ дней. По условию первая величина равна

(3)