Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости. Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве. Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения

В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Определение.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.

На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть - направляющий вектор прямой a , а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось и : , где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, - направляющий вектор прямой .

Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, - нормальный вектор плоскости .

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .

Пример.

Перпендикулярны ли прямая и плоскость .

Решение.

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором прямой является

Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве.

§ 72. Вычисление угла между прямой и плоскостью.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Рассмотрим прямую l с направляющим вектором а и плоскость р с нормальным вектором п . Обозначим через φ угол между прямой l и плоскостью р , а черезψ - угол между векторами а и n . Легко видеть, что φ = 90° - ψ , если ψ < 90° (рис. 209, а) и φ = ψ - 90°, если ψ > 90° (рис. 209,6).

В обоих случаях справедливо равенство sin φ = | cos ψ) |.

и, следовательно,

Если известны прямоугольные декартовы координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости a = (a 1 ; a 2 ; a 3) и n = (А; В; С), то угол φ может быть вычислен с помощью формулы

(1)

Задача 1. Вычислить угол между прямой и плоскостью:

а) В данном случае a = (2; 2; -1), n = (4; 1; 1). По формуле (1) вычисляем синус искомого угла:

Угол между прямой и плоскостью равен 45°.

б) Так как а = (-3; -1; -4) и n = (1; 2; -1), то

По таблице синусов находим, что φ ≈ 5°.

в) За направляющий вектор прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n 1 = (3; -2; 1) и n 2 = (4; -3; 4) плоскостей, задающих прямую. Найдем его координаты:

Координаты нормального вектора данной плоскости находим из ее уравнения
n = (2; -1; -2). По формуле (1) вычисляем синус искомого угла:

Угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Прямая с направляющим вектором а и плоскость с нормальным вектором п параллельны тогда и только тогда, когда векторы а и n перпендикулярны (рис. 210,а). Для перпендикулярности прямой и плоскости, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы векторы а и n были коллинеарны (рис. 210, б).

Если прямая и плоскость заданы уравнениями

а) параллельны тогда и только тогда, когда

а 1 А + а 2 В + а 3 С = 0; (2)

б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда

(3)

Прямая лежит в плоскости тогда и только тогда, когда она, во-первых, параллельна плоcкости и, во-вторых, хотя бы одна ее точка принадлежит плоскости. Поэтому необходимое и достаточное условие принадлежности прямой плоскости Ах +Ву + Сz + D = 0 заключается в выполнении следующих двух равенств:

а 1 А + а 2 В + а 3 С = 0 и Ах 1 +Ву 1 + Сz 1 + D = 0. (4)

Задача 2. Среди следующих пар прямых и плоскостей указать параллельные или перпендикулярные; в случае пересечения прямой и плоскости найти точку пересечения:

а) Направляющий вектор прямой имеет координаты a = (3; 3; -5), нормальный вектор плоскости - n = (7; -2; 3). Векторы, очевидно, не коллинеарны; следовательно, прямая не перпендикулярна плоскости. Проверим условие (2) параллельности прямой и плоскости:

а 1 А + а 2 В + а 3 С = 3 7 - 3 2 - 5 3 = 0.

Условие выполняется. Данные прямая и плоскость параллельны.

б) В данном случае а = (2; 3; 4) и п = (1; -1; 1). Векторы не коллинеарны, поэтому условие (3) не выполняется. Проверим условие (2) параллельности прямой и плоскости:

а 1 А + а 2 В + а 3 С = 2 1 - 3 1 + 4 1 =/= 0.

Условие не выполняется. Прямая и плоскость не параллельны и, следовательно, пересекаются. Для определения координат точки пересечения нужно решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Такую систему удобно решать, предварительно записав уравнения прямой в параметрическом виде:

Подставляя значения х, у и z

2t - (1 + 3t ) + 1 + 4t - 3 = 0,

откуда t = 1 и, значит, х = 2, у = 4, z = 5. Прямая и плоскость пересекаются в точке
(2; 4; 5).

в) За направляющий вектор прямой возьмем векторное произведение векторов
n 1 =(6; 3;-2) и п 2 = (6; 1; 2), т. е. нормальных векторов, задающих данную прямую. Найдем его координаты:

Нормальный вектор п данной плоскости имеет координаты (2; -6; -3). Условие (3) перпендикулярности прямой и плоскости выполнено, так как

8 / 2 = -24 / -6 = -12 / -3

Данные прямая и плоскость перпендикулярны. Для определения точки пересечения прямой и плоскости запишем уравнения прямой в параметрическом виде. Направляющий вектор прямой уже найден, это вектор а = (8; -24; -12) или ему коллинеарный вектор (2; -6; -3). Осталось найти какую-нибудь точку прямой. Положим х = 0, тогда

откуда у = 13, z = 9. Точка (0; 13; 9) принадлежит прямой. Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

Подставляя значения х, у и z в уравнение плоскости, получим

4t - 6(13 - 6t ) - 3 (9 - 3t ) - 91 = 0

или 49t = 196, t = 4. Точка прямой, получающаяся при значении параметра t = 4, принадлежит плоскости. Прямая и плоскость пересекаются в точке (8; -11; -3).

Задача 3. При каких значениях С и D прямая принадлежит плоскости х + 2у + Cz + D = 0?

Условия (4) принадлежности прямой плоскости в данном случае имеют вид:

2 1 + 3 2 + 2 С = 0,

2 + 2 1 + 3 С + D = 0.

Следовательно, С = -2 и D = 6.

Задача 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (4; -3; 1) параллельно прямым:

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 0 , имеет вид

A(x - 4) + B(y + 3) + C(z - 1) = 0.

Эта плоскость будет параллельна данным прямым тогда и только тогда, когда для каждой прямой выполнено условие (2) параллельности прямой и плоскости. Поэтому для определения коэффициентов А, В и С имеем два уравнения

6A + 2B - 3С = 0,

5А + 4В + 2С = 0,

из которых легко находим: A = 8 / 7 С, B = - 27 / 14 C. Искомым уравнением плоскости будет уравнение

8 / 7 C(x - 4) - 27 / 14 C(y + 3) + C(z - l) = 0, С =/= 0,

или 16x - 27y + 14z - 159 = 0.

Задача 5. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (-5; 0; 8) и перпендикулярной плоскости 2х - 3у + 5z = 0.

Уравнения прямой, проходящей через данную точку М 0 , имеют вид

Эта прямая будет перпендикулярна данной плоскости тогда и только тогда, когда будет выполнено условие (3) перпендикулярности прямой и плоскости:

т. е. когда вектор n =(2;- 3; 5) является направляющим вектором прямой. Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Задача 6. Найти уравнения проекции прямой

на плоскость

2x - у - 3z + 6 = 0.

Проекцией прямой на плоскость является прямая пересечения двух плоскостей: данной плоскости и плоскости, которая перпендикулярна данной и проходит через данную прямую. Поэтому для решения задачи достаточно найти уравнение плоскости, содержащей данную прямую и перпендикулярной данной плоскости., Пусть

Ax + By + Cz + D = 0

Уравнение искомой плоскости. Тогда из условия перпендикулярности плоскостей получаем уравнение

2А - В - 3С = 0,

а из условия (4) принадлежности прямой плоскости уравнения

9A - 4В - 7С = 0 и A - В + D = 0.

Из полученных уравнений следует:

А = -5С, В = -13С, D = -8С.

Итак, уравнением плоскости, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через данную прямую, будет уравнение

5Сх -13Cy + Cz - 8С = 0, С =/= 0,

или 5х + 13у - z + 8 = 0.

Искомая проекция является пересечением найденной плоскости и данной. Следовательно, ее уравнения.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим