Когда система линейных уравнений не имеет решений. Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры. Общее решение системы линейных уравнений

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

Цели урока:

• систематизация знаний учащихся;
• выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
• формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
• осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
• развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

1. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) б) в)

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: .

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

1. Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

Решение.

1. Система имеет единственное решение, если

В этом случае имеем

1. Если а = 0, то система принимает вид

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

1. Если то система запишется в виде

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; где t-любое действительное число.

Ответ:

Пример 2.

• имеет единственное решение;
• имеет множество решений;
• не имеет решений?

Решение.

Ответ:

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Ответ: 48.

1. Закрепление изученного в ходе решения задач

1. № 15.24(а) . Для каждого значения параметра решите систему уравнений

1. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

1. При каких значениях параметра a система уравнений

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

1. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

при всех значениях параметра а.

Ответ: при система имеет единственное решение ; при нет решений; при а = -1бесконечно много решений вида, (t; 1- t) где t R

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1 . Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

1. Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

1. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

1. Домашнее задание

При каких значениях параметра b система уравнений

• имеет бесконечно много решений;
• не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

• Найдите b и k,
• найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений при всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

Литература

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
2. Математика: 9 класс: Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

I. Постановка задачи.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

V. Метод Гаусса.

I. Постановка задачи.

Систему уравнений вида

называют системой m линейных уравнений с n неизвестными
. Коэффициенты уравнений этой системы записывают в виде матрицы

которую называют матрицей системы (1).

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец свободных членов {B }:

.

Если столбец {B }={0 }, то система уравнений называется однородной . В противном случае, когда {B }≠{0 } – система неоднородна .

Система линейных уравнений (1) может быть записана в матричном виде

[A ]{x }={B }. (2)

Здесь - столбец неизвестных.

Решить систему уравнений (1) - значит найти совокупность n чисел
такую, что при подстановке в систему (1) вместо неизвестных
каждое уравнение системы обращается в тождество. Числа
называются решением системы уравнений.

Система линейных уравнений может иметь одно решение

,

может иметь бесчисленное множество решений

или не иметь решений совсем

.

Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными . Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называетсясовместной . Система уравнений называетсяопределенной , если она имеет единственное решение, инеопределенной , если имеет бесчисленное множество решений.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

Условие совместности системы линейных уравнений (1) формулируется в теореме Кронекера-Капелли : система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:
.

Расширенной матрицей системы называют матрицу, получающуюся из матрицы системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов:

.

Если RgA A * , то система уравнений несовместна.

Однородные системы линейных уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли всегда совместны. Рассмотрим случай однородной системы, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть т=п . Если определитель матрицы такой системы не равен нулю, т.е.
, однородная система имеет единственное решение, которое является тривиальным (нулевым). Однородные системы имеют бесчисленное множество решений, если среди уравнений системы есть линейно зависимые, т.е.
.

Пример. Рассмотрим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

и исследуем вопрос о количестве ее решений. Каждое из уравнений можно считать уравнением плоскости, проходящей через начало координат (D =0 ). Система уравнений имеет единственное решение, когда все три плоскости пересекаются в одной точке. При этом их нормальные векторы некомпланарны, и, следовательно, выполняется условие

.

Решение системы при этом x =0, y =0, z =0 .

Если хотя бы две из трех плоскостей, например, первая и вторая, параллельны, т.е. , то определитель матрицы системы равен нулю, а система имеет бесчисленное множество решений. Причем решениями будут координатыx , y , z всех точек, лежащих на прямой

Если же все три плоскости совпадают, то система уравнений сведется к одному уравнению

,

а решением будут координаты всех точек, лежащих в этой плоскости.

При исследовании неоднородных систем линейных уравнений вопрос о совместности решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Если же число уравнений в такой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. В противном случае система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример . Исследуем неоднородную систему двух уравнений с двумя неизвестными

.

Уравнения системы можно рассматривать как уравнения двух прямых на плоскости. Система несовместна, когда прямые параллельны, т.е.
,
. В этом случае ранг матрицы системы равен 1:

RgA =1 , т.к.
,

а ранг расширенной матрицы
равен двум, т. к. для нее в качестве базисного минора может быть выбран минор второго порядка, содержащий третий столбец.

В рассматриваемом случае RgA A * .

Если прямые совпадают, т.е. , то система уравнений имеет бесчисленное множество решений: координаты точек на прямой
. В этом случаеRgA = RgA * =1.

Система имеет единственное решение, когда прямые не параллельны, т.е.
. Решением этой системы являются координаты точки пересечения прямых

III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.

Рассмотрим простейший случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных, т.е. m = n . Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, решение системы может быть найдено по правилу Крамера:

(3)

Здесь
- определитель матрицы системы,

- определитель матрицы, получаемой из [A ] заменой i -ого столбца на столбец свободных членов:

.

Пример . Решить систему уравнений методом Крамера.

Решение :

1) найдем определитель системы

2) найдем вспомогательные определители

3) найдем решение системы по правилу Крамера:

Результат решения может быть проверен подстановкой в систему уравнений

Получены верные тождества.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде (2)

[A ]{x }={B }

и умножим правую и левую части соотношения (2) слева на матрицу [A -1 ], обратную матрице системы:

[A -1 ][A ]{x }=[A -1 ]{B }. (2)

По определению обратной матрицы произведение [A -1 ][A ]=[E ], а по свойствам единичной матрицы [E ]{x }={x }. Тогда из соотношения (2") получаем

{x }=[A -1 ]{B }. (4)

Соотношение (4) лежит в основе матричного метода решения систем линейных уравнений: необходимо найти матрицу, обратную матрице системы, и умножить на нее слева вектор-столбец правых частей системы.

Пример . Решим матричным методом систему уравнений, рассмотренную в предыдущем примере.

Матрица системы
ее определитель detA ==183 .

Столбец правых частей
.

Чтобы найти матрицу [A -1 ], найдем матрицу, присоединенную к [A ]:

или

В формулу для вычисления обратной матрицы входит
, тогда

Теперь можно найти решение системы

Тогда окончательно получаем .

V. Метод Гаусса.

При большом числе неизвестных решение системы уравнений методом Крамера или матричным методом связано с вычислением определителей высокого порядка или обращением матриц больших размеров. Эти процедуры весьма трудоемки даже для современных ЭВМ. Поэтому для решения систем большого числа уравнений чаще пользуются методом Гаусса.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных путем элементарных преобразований расширенной матрицы системы. К элементарным преобразованиям матрицы относят перестановку строк, сложение строк, умножение строк на числа, отличные от нуля. В результате преобразований удается матрицу системы свести к верхней треугольной, на главной диагонали которой стоят единицы, а ниже главной диагонали - нули. В этом заключается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода состоит в непосредственном определении неизвестных, начиная с последнего.

Проиллюстрируем метод Гаусса на примере решения системы уравнений

На первом шаге прямого хода добиваются того, чтобы коэффициент
преобразованной системы стал равен 1 , а коэффициенты
и
обратились в ноль. Для этого первое уравнение умножим на1/10 , второе уравнение умножим на 10 и сложим с первым, третье уравнение умножим на -10/2 и сложим с первым. После этих преобразований получим

На втором шаге добиваемся того, чтобы после преобразований коэффициент
стал равным1 , а коэффициент
. Для этого второе уравнение разделим на 42 , а третье уравнение умножим на -42/27 и сложим со вторым. Получим систему уравнений

На третьем шаге должны получить коэффициент
. Для этого третье уравнение разделим на(37 - 84/27) ; получим

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается, т.к. матрица системы сведена к верхней треугольной:

Осуществляя обратный ход, найдем неизвестные

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи" . В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы , поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы - буквой $\widetilde{A}$.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde{A}$.

Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то решение есть; если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква $n$, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

1. Если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
2. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют - то сколько.

Пример №1

Исследовать СЛАУ $ \left \{\begin{aligned} & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end{aligned}\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}$, запишем их:

$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right);\; \widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right). $$

Нужно найти $\rang A$ и $\rang\widetilde{A}$. Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе "Ранг матрицы" . Обычно для исследования таких систем применяют два метода: "Вычисление ранга матрицы по определению" или "Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований" .

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг - это наивысший порядок миноров матрицы , среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ - это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков" :

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Нам требуется найти также и $\rang\widetilde{A}$. Давайте посмотрим на структуру матрицы $\widetilde{A}$. До черты в матрице $\widetilde{A}$ находятся элементы матрицы $A$, причём мы выяснили, что $\Delta A\neq 0$. Следовательно, у матрицы $\widetilde{A}$ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы $\widetilde{A}$ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: $\rang\widetilde{A}=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы .

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может - ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Подробно это метод описан в соответствующей теме . Мы станем вычислять ранг матрицы $\widetilde{A}$. Почему именно матрицы $\widetilde{A}$, а не $A$? Дело в том, что матрица $A$ является частью матрицы $\widetilde{A}$, поэтому вычисляя ранг матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно найдем и ранг матрицы $A$.

\begin{aligned} &\widetilde{A} =\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \rightarrow \left|\text{меняем местами первую и вторую строки}\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ III-2\cdot II \end{array}\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right) \end{aligned}

Мы привели матрицу $\widetilde{A}$ к трапециевидной форме . На главной дагонали полученной матрицы $\left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right)$ расположены три ненулевых элемента: -1, 3 и -7. Вывод: ранг матрицы $\widetilde{A}$ равен 3, т.е. $\rang\widetilde{A}=3$. Делая преобразования с элементами матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы $A$, расположенные до черты. Матрица $A$ также приведена к трапециевидной форме: $\left(\begin{array} {ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end{array} \right)$. Вывод: ранг матрицы $A$ также равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество - это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса . Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор - это дело вкуса.

Ответ : Заданная СЛАУ совместна и определена.

Пример №2

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований . Расширенная матрица системы: $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end{array} \right)$. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме . Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг её равен количеству ненулевых строк. Следовательно, $\rang A=3$. Матрица $A$ (до черты) приведена к трапециевидной форме и ранг её равен 2, $\rang A=2$.

Так как $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).

Ответ : система несовместна.

Пример №3

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Расширенная матрица системы имеет вид: $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccccc|c} 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right)$. Поменяем местами первую и вторую строки данной матрицы, чтобы первым элементом первой строки стала единица: $\left(\begin{array} {ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right)$.

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к трапециевидной форме . Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde{A}=\rang A < n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ : система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

• Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
  Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
  где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
  b i , i = 1, …, m — свободные члены;
  x j , j = 1, …, n — неизвестные.
  Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
  
  
  
  
  где (A |B ) — основная матрица системы;
  A — расширенная матрица системы;
  X — столбец неизвестных;
  B — столбец свободных членов.
  Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
  Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
  Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
  Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
  Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
  Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений.
• Системы n линейных уравнений с n неизвестными
  Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
  Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
  Правило Крамера.
  Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
  где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. .
• Системы m линейных уравнений с n неизвестными
  Теорема Кронекера−Капелли .
  
  
  Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
  Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
  Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
  1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
  2) rang(Α) < n − решений бесконечно много.
• Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
  
  
  Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
  Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
  К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
  1) перемена местами двух строк;
  2) умножение строки на число, отличное от 0;
  3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
  4) выбрасывание нулевой строки.
  Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. .
• Система однородных линейных уравнений.
  Однородная система имеет вид:
  
  ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
  1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
  2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
  3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
  4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
  X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
  где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
  5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
  
  ,
  если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
  Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
  Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
  Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
  Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
  Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
  Доказательство :
  1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
  2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
  Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.

Решение . A = . Найдем r(А). Так как матрица А имеет порядок 3х4, то наивысший порядок миноров равен 3. При этом все миноры третьего порядка равны нулю (проверить самостоятельно). Значит , r(А) < 3. Возьмем главный базисный минор = -5-4 = -9 ≠ 0. Следовательно r(А) =2.

Рассмотрим матрицу С = .

Минор третьего порядка ≠ 0. Значит, r(C) = 3.

Так как r(А) ≠ r(C) , то система несовместна.

Пример 2. Определить совместность системы уравнений

Решить эту систему, если она окажется совместной.

Решение .

A = , C = . Oчевидно, что r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Так как detC = 0, то r(C) < 4. Рассмотрим минор третьего порядка , расположенный в левом верхнем углу матрицы А и С: = -23 ≠ 0. Значит, r(А) = r(C) = 3.

Число неизвестных в системе n=3 . Значит, система имеет единственное решение. При этом четвертое уравнение представляет сумму первых трех и его можно не принимать во внимание.

По формулам Крамера получаем x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Mатричный метод. Mетод Гаусса

Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом по формуле X = A -1 B (при Δ ≠ 0), которая получается из (2) умножением обоих частей на А -1 .

Пример 1. Решить систему уравнений

матричным методом (в параграфе 2.2 эта система была решена по формулам Крамера)

Решение . Δ = 10 ≠ 0 А = - невырожденная матрица.

= (убедитесь в этом самостоятельно, произведя необходимые вычисления).

A -1 = (1/Δ)х= .

Х = A -1 В = х= .

Ответ : .

С практической точки зрения матричный метод и формулы Крамера связаны с большим объемом вычислений, поэтому предпочтение отдается методу Гаусса , который заключается в последовательном исключении неизвестных. Для этого систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной расширенной матрицей (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называют прямым ходом . Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход ).

Пример 2 . Методом Гаусса решить систему

(Выше эта система была решена по формуле Крамера и матричным методом).

Решение .

Прямой ход . Запишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:

~ ~ ~ ~ .

Получим систему

Обратный ход. Из последнего уравнения находим х 3 = -6 и подставим это значение во второе уравнение:

х 2 = - 11/2 - 1/4 х 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

х 1 = 2 - х 2 + х 3 = 2+4-6 = 0.

Ответ : .

2.5. Общее решение системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений = b i (i =). Пусть r(A) = r(C) = r, т.е. система совместна. Любой минор порядка r, отличный от нуля, является базисным минором. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) строках и столбцах матрицы А. Отбросив последние m-r уравнений системы, запишем укороченную систему:

которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные х 1 ,….х r базисными , а х r +1 ,…, х r свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений укороченной системы. Получаем систему относительно базисных неизвестных:

koтоторая для каждого набора значений свободных неизвестных х r +1 = С 1 ,…, х n = С n-r имеет единственное рeшение х 1 (С 1 ,…, С n-r),…, х r (С 1 ,…, С n-r), находимое по правилу Крамера.

Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной системы имеет вид:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - общее решение системы.

Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение линейной системы, называемое частным .

Пример . Установить совместность и найти общее решение системы

Решение . А = , С = .

Так как r(A) = r(C) = 2 (убедитесь в этом самостоятельно), то исходная система совместна и имеет бесчисленное множество решений (так как r < 4).