Додекаэдр в изометрии. Расчет параметров додекаэдра. Как сделать звездчатый додекаэдр

Таково апокрифическое, то есть тайное предание, где за прекрасными образами сокрыта великая истина… Знак Мощи Матери Мира - сияющий спиральный Додекаэдр. Какая сила заключена в нём? Ведь «каждая сила в природе есть следствие воли, представляющей бо́льшую или меньшую степень своей объективности» . Ясно, что это - красивая объёмная геометрическая фигура, состоящая из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1). Но чтобы понять и вместить её мощь и величие, обратимся к эзотерическим источникам, которые помогут приблизиться к истине, сокрытой в этой фигуре и составляющих её числах 12 и 5.

«Гармония и математическая уравновешенность двойной эволюции - духовной и физической - могут быть объединены только универсальными числами Пифагора… из мистической связи каждого числа со всем, что может постичь человеческий ум» .

«В Книге Дзиан, как и в Каббале, имеются два вида чисел для изучения - Цифры, часто простые завесы, и Священные Числа, значение которых известно эзотерикам через посвящение. Первые есть лишь условные глифы; последние являются основными символами всего… И те и другие стоят по отношению друг к другу как Материя к Духу - крайние полюсы Единой Сущности. Как говорит где-то Бальзак, бессознательный эзотерик литературы, Число есть Сущность и в то же время Дыхание, исходящее от того, что он называл Богом и что мы называем ВСЕМ. Дыхание, которое одно могло образовать физический Космос, где ничто не обретает свою форму иначе, как только из Божества, которое есть следствие Числа» .

«Платон ясно высказал, что всё видимое было создано и эволюционировано из невидимой и вечной ВОЛИ и по её образу. “Наши небеса, - говорит он, - были сотворены по извечному образу Идеального Мира, содержащемуся, как и всё, в двенадцатиугольнике - геометрической модели, используемой божеством”» .

Е.П.Блаватская в своих трудах «Разоблачённая Изида» и «Тайная Доктрина» неоднократно пишет о том, что именно додекаэдр является основной формой Мысли-Воли для создания нашей Вселенной. В «Теософском словаре» она снова подтверждает, что «Вселенная построена “перворождёнными” на основе геометрической фигуры Додекаэдр» .

В посвятительных храмах учили, что Вселенная Духа и Материи есть лишь конкретное Изображение Идеальной Абстракции; она была создана по образцу Первой Божественной Мысли.

Наша Вселенная существовала в потенциальном состоянии от Вечности. Душа, оживотворяющая эту чисто духовную Вселенную, есть Центральное Солнце, само по себе Высочайшее Божество. На Дальних Мирах, как известно из Агни Йоги, Мужское и Женское Начала, Дух и Душа едины. Они объединены на основе Огненного Права. Такое единение на Земле совершили пока только Матерь Агни Йоги и Великий Учитель: «Мориа - дух, Урусвати - душа» (21.12.22). Они стали для нас символом Огненного Двуединства Солнечных Иерархий. Именно такое вмещение единства двух Начал содержалось и в учении Пифагора о числах, когда он рассматривал цифру 12, одну из составляющих додекаэдр. Число это называлось «нечётно-чётным, в равной степени сохраняющим мужеподобность и женственность». Воплощением этого числа в Древней Греции была богиня Анесидора [Афинское андрогинное божество], которую почитали афиняне. Её статуя была совершенно женоподобна, но ей добавляли бороду как символическое выражение мужественности . Символ андрогина есть выражение единства в духе. Поиски такого слияния будут ключевой вибрацией Шестой Расы: «Принцип огня даёт направление всем новым Космическим течениям. Потому, как ключ к Шестой Расе, проявлено будет утверждение слияния. Токи, заложенные в основании жизни, предназначают течение новое. Так Мы утверждаем это великое направление… Так Мы строим великую чудесную ступень мировой жизни» .

Число 12 как одно из составляющих додекаэдр - особенное. В «Тайной Доктрине» упоминается о том, что «12 великих преображений Духа в Материю есть 12 000 Божественных лет… Начиная с метафизической и сверхчеловеческой… они оканчиваются в физической и чисто человеческой природах Космоса и человека» . Халдеи же сокрыли это знание под особым почитанием 12 часов.

На таинство числа 12 издавна указывает множество явлений из разных областей жизни: часы дня и ночи, подвиги Геракла, музы Аполлона, принципы рассудка (по Канту), категории философии (Гегель), храм Соломона делился на 12 частей; В Апокалипсисе Иоанна г. Иерусалим, сходящий с неба, имеет 12 ворот; в кумранской общине было 12 старейшин; 12 имамов - духовных и политических преемников - было у пророка Мухаммеда; 12 рыцарей Круглого стола, 12 пэров Франции , традиционно в суде участвуют 12 присяжных; 12 тысяч лет назад полярная ось Земли указывала на звезду Вегу.

Нельзя не вспомнить 12 апостолов Иисуса Христа, отразивших в себе символизм 12 знаков Зодиака, огненного кольца Высших Миров. Е.И.Рерих писала: «Если бы люди могли осознать, что История человечества записана в звёздных рунах! Великие Облики, вернее, Величайшие, связаны с Созвездиями и Солнцем, и история Их есть история этих Светил» . В Древней Индии учили, что каждая звезда является самостоятельной планетой, которая, подобно нашей Земле, имеет собственную душу, причём каждый атом материи насыщен эманацией Мировой Души. Она [звезда, планета] дышит и живёт, она чувствует, страдает и радуется жизни по-своему.

В предисловии к «Книге Золотых Правил» Е.П.Блаватская говорит об одном из способов составления алфавита: «…Двенадцать знаков Зодиака, повторенных пять раз элементами и семью цветами радуги, образуют полный алфавит, состоящий из 60 букв и 12 знаков». То есть где-то существует алфавит-додекаэдр!

Календарь Калачакры, имея в своём основании 60-летний цикл, 12-летние периоды и 5 стихий, в развёртке приобретает свойства и вид додекаэдра. Додекаэдр Калачакры отражает эволюцию микрокосма в макрокосме, становление совершенного человека, прохождение духа через «колесо времени» в его неуклонном стремлении вырваться из его тисков, обретя равновесие Архата. По преданию, которое передаётся от Учителя к ученику, Учитель из Шамбалы доставил календарь Калачакры в Тибет в Х веке.

Принимая всё это во внимание, мы начинаем глубже понимать Мощь Её Знака, вникая в смысл Священного Числа 12.

Влиянием 12 знаков Зодиака на человека занимается наука астрология. Думается, в наше время практически каждый имеет какие-то знания об их свойствах, хотя бы о своём знаке рождения. А как воздействуют пять стихий или элементов, проявляющихся в каждом знаке, и что это такое? Прежде всего они являются силами Матери Мира, а «Сила, по утверждению Мудрецов Востока, - это переход одного состояния субстанции или энергии в другое, переход, результаты которого будут видны на планах действия, отличных от того, на котором произведена и реализована инициирующая энергия» . Значит, энергия пяти элементов помогает нам изменяться, совершенствоваться.

Пять элементов в единстве образуют пентагон, или пятигранник, одну из составляющих додекаэдр Матери Мира. Платон, последователь Пифагора, считал додекаэдр самым правильным из многогранников, так как грани его - правильные пятиугольники - сотканы из золотых пропорций. По Пифагору, именно в пятиугольных формах [пятиконечная звезда, или пентакль, и пентагон] заложены золотые логарифмические пропорции или священная золотая спираль - основа сокровенных глубинных соответствий эволюции жизни в Космосе, символ движения, развития и развёртывания Вселенной. Известно, что пятиричность проявлена во всей живой природе Земли (морские звёзды, цветы, пять пальцев руки, пять оконечностей тела и т.д.).

Золотая пропорция заложена в постройках давних времён: гробница фараона Менеса (ок. 3050 г. до н.э.), пирамида Хеопса (ок. 2600 г. до н.э.), рельеф фараона Рамзеса из храма в Абидосе (ок. 1300 г. до н.э.). С древних времён пентаграмма являлась знаком-оберегом, символом богини Иштар и загробного мира, власти (на царских печатях), интеллектуального всемогущества (у гностиков) и т.д. С древних же времён известны цветные изображения пентаграммы, датируемые 3500 годом до н.э. Пятиконечные звёзды символизировали траекторию планеты Венера.

В астрономии пентаграмма Венеры - это вид траектории, которую проходит Венера при наблюдении её с Земли. Она находится в орбитальном резонансе с Землёю примерно 13:8 (8 оборотов Земли вокруг Солнца за 13 оборотов Венеры), или один её оборот по орбите происходит примерно за 8/13 земного года - число, близкое к золотому сечению. Во время своего 8-летнего цикла Венера 13 раз подходит близко к Земле, делает петлю и снова отходит, каждый раз уходя на три интервала, или 144 градуса, вперёд, как бы вырисовывая в пространстве один лепесток пятилепесткового цветка. За 8 лет она создаёт полный правильный пентакль с кольцами (петлями) на концах, причём каждый последующий «пятилепестковый цветок» смещён относительно предыдущего на несколько градусов, поэтому эту сложную пентаграмму Венеры называют «розой Венеры» (рис. 2).

Рис. 2. Роза Венеры

Пифагор называл Венеру Sol alter (лат. ) - другое Солнце. По эзотерической доктрине эта Планета является Главою нашей Земли и её духовным прообразом… Носителем Света нашей Земли как в философском, так и в мистическом смысле . Н.К.Рерих называет эту звезду «светлой обителью Матери Мира», и в течение жизни нашей планеты Матерь Мира постоянно создаёт в пространстве вокруг Земли светло сияющий высоковибрационный духовный покров для планеты . «Каждая нить Матери Мира проходит сверху донизу и наоборот» (05.06.24). В своих записях Е.И.Рерих приводит слова Владыки о «воздействии пространственных лучей Венеры в борьбе с излучениями Земли». Она отмечает, что почувствовала это воздействие «от солнечного сплетения вниз до кундалини и затем от кундалини обратно» (05.09.28). Воистину существует пятилепестковый священный Огненный Плат, сотканный Матерью Мира. «Ткань пряжи состоит из многих нитей, и явление пряжи повторено много раз. Ткань космическая состоит из всех проявлений психической энергии и украшена Материей Люцидой» (Б. 71) .

«Космос состоит из нескольких психопространственных явленных основ Материи Матрикс. Энергия разобщающая и энергия соединяющая одна и та же, но психодинамика связывает их материально» (Б. 66). Пифагорейцы, как и китайцы, учили, что мир состоит из пяти взаимосвязанных элементов, или стихий. «Эзотерическая наука признаёт четыре вполне физических элемента - огонь, воздух, воду, землю и пятый (эфир) - полуматериальный, который будет виден в воздухе к концу нашего Четвёртого круга, чтобы главенствовать над другими в продолжение всего Пятого» .

Ученик Е.П.Блаватской, известный философ-мистик и астролог М.Холл, сообщает много интересного о пяти элементах. «Древние философы употребляли термин “элемент” по отношению к пяти состояниям, или пяти степеням сгущения, материи, которые они различали, анализируя структуру мира. Эфир - самый разреженный из пяти элементов - возник первым, ибо образование мира, согласно древней космогонии, шло от края окружности к её центру. Из светящейся сферы эфира внутрь падали наиболее грубые частицы, чтобы образовать сферу воздуха. Воздух выделил из себя огненный принцип, в результате чего образовалась сфера огня. Из огня выделилась его противоположность - влажный принцип, и возникла вода. Более тяжёлые частицы, заключённые внутри элемента воды, опустились вниз, и из этого осадка появился самый “низменный” из элементов - сама земля. Пять элементов - это пять отрицательных полюсов пяти универсальных принципов.

Элементы - носители сил, исходящих от звёзд и сохранённых планетами. Элементы - хранилища жизненности, и каждый элемент сообщает организмам, в которые он входит, некую нравственную или интеллектуальную силу. Земля как элемент наделяет стабильностью, стойкостью, фундаментальностью; вода - принципом жизненности, плодовитости, силой роста. Огонь связан с силой движения, эмоций, чувственного восприятия, комплексом души. Воздух - носитель интеллектуального импульса. Эфир - носитель интуитивной и экстрасенсорной энергии, силы вдохновения. Он усиливается в тех, кто развил в себе эти способности и возможности» . В различных сочетаниях между собой пять элементов, или стихий, образуют минеральное, растительное, животное, человеческое царства, и пятый - сферу эфира, который пронизывает все остальные элементы и поддерживает в них существование.

Все пять элементов есть пространственные Силы Матери Мира, мощное действие которых пятерично в каждом человеке. «Брамины полагали, что пять элементов распределяются в человеческом теле по следующей схеме: элемент земли управляет областью от ступней до коленей, элемент воды - от колен до поясницы, огонь доминирует от поясницы до гортани, воздух - от гортани до лба, а эфир - от лба до макушки .

Эфир древние считали посредником между нашим миром и потусторонним миром. Великий Учитель уточняет сущность пятого элемента, называя его «отложениями психической энергии» (03.11.28).

Поскольку известно, что эфир сгустится так, что будет виден в воздухе и будет главенствовать над другими элементам, становится понятно, почему так много внимания уделяется в Агни Йоге воспитанию психической энергии. Каждая мысль есть мыслеобраз, который кристален, прозрачен и сияющ, как Додекаэдр Матери Мира, или тёмен, мохнат и колюч в случае злых мыслей. Так мы сами готовим себе прекрасное или безобразное будущее. Ткань космическая состоит из всех проявлений психической энергии.

Возвращаясь от составляющих чисел к фигуре додекаэдра, можно порадоваться, что эзотерические знания о строении Вселенной оказались идентичными результатам современных исследований крупномасштабного реликтового излучения Вселенной. Учёные пришли к выводу, что Вселенная имеет форму додекаэдра. Вселенная - прекрасный, невообразимых размеров кристалл, пронизанный Мощью Матери, и кристалл этот живой и любящий. Е.И.Рерих сравнивает всю Вселенную с бесконечной паутиной, «в которую вплетают новые узоры многочисленные пауки, или сознания различных степеней» . «Соткана Вселенная пряжею Материи Люциды и рычагом Любви» (Б. 49). Строение Земли, по последним научным данным, представляет собой додекаэдр в икосаэдре. Снова об этом говорил ещё Платон: «Земля, если взглянуть на неё сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи» .

Есть довольно интересная и старая тайна, над которой безуспешно ломают голову археологи во множестве стран Западной и Центральной Европы, когда при раскопках поселений времён Римской империи (I-IVв. н.э.) находят небольшие, от 4 до 10 см в поперечнике, пустотелые бронзовые или каменные додекаэдры. Их сейчас найдено около сотни. В центре каждого пятиугольника имеется круглое отверстие, вокруг которого нанесены концентрические круги, каждая из 20 вершин увенчана набалдашником в виде шарика. Назначение этих предметов до сих пор неизвестно. У них есть каменные аналоги, которые датируются 3000-1500 гг. до н.э. Найденный на территории Женевы литой свинцовый додекаэдр с гранями 1,5 см был покрыт пластинами из серебра с названиями знаков Зодиака на латыни. Этой тайне посвящен памятник в Бельгии (рис. 3).

Рис. 3. Памятник додекаэдру в Тоггерене (Бельгия)

Пифагор считал додекаэдр и икосаэдр сутью кристаллов пирита, который находят в Италии.

Н.К.Рерих в путевом дневнике «Алтай - Гималаи» пишет: «Толкуют об опытах Манойлова, исследовавшего пол растений и минералов, а также мужского и женского начал в крови. Опыт с минералом пиритом даёт результат, давно предсказанный наукой Востока. “Пирит даёт кристаллы двух видов - в виде куба и в виде двенадцатигранника. Если тот же единый реактив налить в пробирку с кубическими кристаллами, получится обесцвечивание жидкости - мужская реакция, а если то же сделать с двенадцатигранными кристаллами, получается фиолетовое окрашивание - женская реакция”. Для Запада это открытие ново, но Восток в своих древнейших формулах говорит о двенадцатиграннике Матери Мира - Женского Начала. Представьте себе, с какой спокойной улыбкой слушает учёный Востока о “новых” открытиях Запада… и кивает головой в знак давно известного согласия».

Минерал пирит древние греки считали близким огненному началу. Он использовался для добычи огня, о чём говорит его название (pyr - по-греч. «огонь»). Если ударить пиритом о кресало, образуются искры, которые не уступают кремню по длине и при этом живут дольше, легче зажигая трут. Таким образом, ассоциация между огнём и додекаэдром могла сложиться сама собой.

Есть на Земле ещё более тесная связь огненного начала и додекаэдра - шаровые молнии. В 1970-е годы советский учёный И.П.Стаханов сделал открытие о кластерной пентагональной структуре шаровой молнии . Она состоит из вещества в состоянии плазмы, но её огонь нежгуч, и тому много свидетельств. Были очевидцы, которые утверждали, что Н.Тесла мог создавать шаровые молнии, которые «жили» до нескольких минут, при этом он брал их в руки, клал в коробку, накрывал крышкой, опять доставал. Современные очевидцы природных явлений шаровой молнии «толкуют», по выражению Н.К.Рериха, о её разумном поведении.

Воистину Знак Мощи Матери Мира несёт в себе многогранные составляющие как Беспредельности, так и нашей планетной жизни. В записях Е.И.Рерих о видении Матери Мира есть более подробное описание этого прекрасного знака: «…Внезапно серебро одежд рассыпалось на многоцветные искры, которые быстро вновь собрались в серебро и гармонию магнетических движений - в радужную спиральную звезду - Додекаэдрон, необычайной красоты и образующей почти круг на ослепительном серебряном поле. Звезда вибрировала и казалась живой…» .

Здесь и далее в записях и письмах Е.И.Рерих, в Учении Агни Йоги звучит слово «додекаэдрон», производное от «додекаэдр», и это особый вибрационный огненный космический ритм, который несёт в себе и излучает в пространство кристаллическая структура додекаэдра. Земля с 1924 года входит в новый огненный ритм Вселенской Матери. «В Космосе живёт та разумная сила, которая называется космическим ритмом, и вся жизнь человеческая зависит от круга ритма» (Б.73). Один из простых примеров ритма - год, 12 ритмических отрезков времени.

Видение Матери Мира пришло к Е.И.Рерих в ночь на 18 июля 1924 года, когда Звезда Матери Мира небывало приблизилась к Земле. «Великая Эпоха начинается, ибо духоразумение связано с Матерью Мира. Важно наступление очень великой эпохи, которая существенно изменит жизнь Земли. Новые лучи достигают Землю в первый раз от её сформирования… вещество лучей проникает глубоко» (16.04.24). «За Утренней Звездой - планетное тело. Мы имеем двойные лучи. Область сердца получает их, и по мозгу позвоночника они производят сокращения затылочных малых центров» (17.04.24).

Говоря о сияющем Додекаэдроне, можно вспомнить такую же прекрасную Рождественскую звезду. «Звезда, которая вела волхвов, которая вспыхнула на небе более двух тысяч лет тому назад, по словам Игнатия Богоносца, “искрилась, подобно бриллианту, больше всех других звёзд”» . Она возвестила Эпоху Учителя Христа, прекрасный искрящийся Додекаэдрон - Эпоху Матери Мира.

Как же поможет человечеству сияющая спиральная звезда Владычицы Света? Она «должна отрицать грубость материи» (18.07.24). «Явление испорченности Тонкого Мира мешает человечеству непрерывно продолжать совершенствование. Но Тонкий Мир извращается земным миром, поэтому врачевание должно начаться отсюда» (А.Й., 226). «Луч Матери Мира может убрать недостойные образы» (16.05.24). Этот ритм создал Вселенную на основе гармонического равновесия, и на Земле постепенно возникнет новый мир. С проявлением этого ритма на нашей планете возрастает сила Света. Сияющий Свет Додекаэдрона невидим для физического зрения, но его магнитные вибрации обращены к сердцу, к духу людей и постепенно начнут притягивать к творческому труду и созидательному образу жизни всех, кто способен этот ритм почувствовать, кто чтит равновесие Начал. В менее чувствительных он будет закладывать зёрна Света, которые возрастут однажды.

Эпоха Матери Мира - это время сердечного восприятия жизни, или понимания духом, духоразумением. И именно эта вибрация, или огненный ритм, заложены в спиральном Додекаэдроне. Матерь Мира соткала Знак из спирали. Как можно это сделать? - «Упоминал о стержне духа посреди спирали - это построение запомните, ибо непреклонность, окружённая центробежным движением, может противостоять всем волнениям» (Общ., 90). Значит, каждая линия Додекаэдрона имеет духовный стержень непреклонности и спиральна (эволюционное развитие идёт по спирали). И каждая волна, или нить Додекаэдрона, проникая в тонкий организм человека, насыщает его высокой вибрацией духовной осознанности.

Во вселенском масштабе спиральные грани Додекаэдрона можно уподобить космическим суперструнам - тонким трубкам из симметричного высокоэнергетичного вакуума, в котором все взаимодействия объединены в одно. Суперструны образуют сеть Вселенной, при растягивании которой структура сети не меняется (додекаэдр - упругая среда!), а лишь рождает петли, частота колебаний которых приближается к скорости света. Петли стягивают окружающее вещество в комки, которые позднее превращаются в галактики. Самая маленькая петля имеет диаметр в 1 млн световых лет. Самая ближайшая из суперструн находится на расстоянии 300 млн световых лет от Земли.

Можно ли теперь почувствовать на себе вибрацию огненного Додекаэдрона? Данные об этом содержатся в письмах Е.И.Рерих и в книге «Агни Йога» («Знаки Агни Йоги»): «Додекаэдрон удалось показать, ибо нелегко это. Будем отмечать все знаки огня и психической энергии. Тем утвердим сходство этих высших понятий» (А.Й., 378).

Письмо Е.И.Рерих от 02.09.39: «Все эти ритмы и даже Додекаэдрон, или двойной махаван, были явлены мне во время моего приближения к разным степеням огненного напряжения… Но чтобы испытать подобные явления, необходимо иметь вполне здоровый организм, также необходимо очищение мышления и значительное расширение сознания при полном воздержании от раздражения. Кроме того, нужно иметь долю бесстрашия, чтобы воспринимать в полном спокойствии все необычные явления в организме, неизменно сопровождающие огненные явления. Необходимо побороть в себе мнительность и в то же время выработать распознавание и постоянную настороженность. Такой организм может посвятить себя огню в естестве, то есть будучи в земной оболочке, но при некоторой изоляции и пребывании на больших высотах, чтобы избежать чрезмерного давления крови во время прохождения уже высокой степени огненного приобщения. Мой организм в силу невозможности иметь все условия, например, полную изоляцию, пострадал от чрезмерного насыщения, так, сердце моё повреждено, и я должна быть осторожна. Как Вы знаете, я дважды была на краю огненной смерти. Все этические правила или наставления при соблюдении их являются подготовительными ступенями для восприятия высших энергий. Меня радует, что Вы понимаете, что духовные и огненные достижения не так легки, как они кажутся малосведущим людям. Именно самым трудным в жизни являются эти достижения, но без упорной, постоянной и неослабной работы над собою, работы над искоренением всех нежелательных привычек, как своих, так и атавистических, успех невозможен. Все зримые Вами звёздочки, световые пятна, огненные вспышки являются начальными степенями приближения к огню пространства. Организм человека настолько утончился в силу общечеловеческой эволюции, что такие явления, как звучание на различные космические токи, наблюдаются сейчас у многих людей».

После великой трагедии во времена Атлантиды, когда был нанесён удар культу духа, мир получил противовес в виде магнитного Источника Силы Матери - сияющего Додекаэдра и вибрационного огненного ритма - Додекаэдрона, насыщающего космической огненной любовью каждый атом, любовью Матери, которой так не хватало нашей планете. Соединённое творчество Матери Мира и Старших Братьев человечества во главе с Великим Учителем открывает для нашего мира строительство нового огненного цикла тысячелетий. Додекаэдр - знак Матери, и он передаёт Её зов как зов сияющего любовью пространства. И именно с этим зовом встречается тот, кто идёт путём духа, путём сердца, или духоразумения. Созвучие именно с этой магнитной вибрационной Силой открывает «Врата, куда войти», потому что Матерь Мира - Глава Иерархии Света, и вибрация Её наполняет пространство.

В Космосе живёт духовное единение, единение сознания, но на Земле групповое сознание рушится из-за незнания почитания Начал. Но творит возрастающая огненная энергия, и жизнь пойдёт новыми путями, рычагами любви и веры, красотою жизни и космической энергией, и Матерь Мира зовёт к космической красоте и единению. И надо только пожелать новых образов и устремиться! «Космическое Правосудие знает план эволюции, и план совершается по начертанию одного и того же Огня Матери Мира! Пусть Пламя Огненное озарит людей!» (Б., 49).

Во всём одухотворённом Космосе живёт межпланетное единство, и только бедное человечество больно разъединением. Тем не менее следующий шаг эволюции - Дальние миры. И именно к ним зовёт огненный ритм кристалла Матери Мира. Но открытие этого нового пути - не для отвлечения от жизни, но для сотрудничества с Дальними мирами: «Формы настоящего времени могут быть названы ищущими достижения совершенства. Формы будущего соответствуют Дальним мирам. Лишившись познания космических далей… человечество утеряло нить соединения с красотой жизни. Как царство прекрасное, пусть дальние миры живут в сознании людей… как семя, растущее и дающее цветок…» (Б., 44).

Сияющий космической любовью Додекаэдр, Знак Мощи Матери Мира, - в основе всех миров. Там Матерь Мира живёт в красоте жизни, где сияет огонь духа, и все болячки земные будут трансмутированы в огненном творчестве. Совместное творчество создаст лучшее будущее и лестницу эволюции для человечества. Матерь Мира и Братья человечества зовут к Дальним мирам. Как начать этот путь? Можно просто взглянуть на прекрасное звёздное небо и сказать от сердца: «Славься, Матерь Мира!». Можно сконцентрироваться на звезде и сказать: «Здравствуйте, Братья и Сестры!». И однажды пространство откликнется в вашей душе. Ведь «всё, чем человечество обладает, оно черпает из сокровищницы Космоса. Великий рычаг веры поможет духу найти путь. Явите желание новых образов. Явите желание новых путей. Пробудив желание к красоте Беспредельности во всём, человечество пойдёт без оглядки. Только величие Космоса устремит дух к недостижимым Высотам» (Б., 46).

Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников , являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

История

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии , около Падуи , в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости .

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии . О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» . Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал » строит додекаэдр на рёбрах куба :132-136 . Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях :318-319 .

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами , относящихся ко II-III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Основные формулы

Если за длину ребра принять $a$, то площадь поверхности додекаэдра равна

$S=3a^2\backslash sqrt\{5(5+2\backslash sqrt\{5\})\}\backslash approx\; 20,65a^2$

Объём додекаэдра:

$V=\backslash frac\{a^3\}\{4\}(15+7\backslash sqrt\{5\})\backslash approx\; 7,66a^3$

$R=\backslash frac\{a\}\{4\}(1+\backslash sqrt\{5\})\backslash sqrt\{3\}\backslash approx\; 1,4a$

$r=\backslash frac\{a\}\{4\}\backslash sqrt\{10+\backslash frac\{22\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\}\backslash approx\; 1,11a$

Свойства

Элементы симметрии додекаэдра

• Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
• Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

В культуре

• Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх , и обозначается при этом d12 (dice - кости).
• Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней .
• В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры [ ] .
• В играх «Sonic the Hedgehog 3» и «Sonic & Knuckles» серии Sonic the Hedgehog вид додекаэдра имеют Изумруды Хаоса [ ] .
• В игре «Destiny» форму додекаэдра имеют энграммы [ ] .

См. также

• Пентагондодекаэдр - неправильный додекаэдр

Напишите отзыв о статье "Додекаэдр"

Примечания

1. Селиванов Д. Ф. ,. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.
2. Stefano De" Stefani (1885-86). «». Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : 1437-1459. См. также изображение этого предмета в конце тома,
3. Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. - arXiv :1205.0706 .
4. Платон . «Тимей »
5. .
6. . - М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. - Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
7. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык : Liber III. Propos. 58 // . - 1876. - Vol. I. - P. 156-163.
8. Roger Herz-Fischler. . - Courier Dover Publications, 2013. - P. 117-118.
9. Доказательство приведено в: Cobb, John W. (англ.) (2005-2007). Проверено 1 июня 2014.
10. В четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
11. (англ.) .
12. (англ.) .
13. Jeffrey Weeks. (англ.) . .
14. A. T. White. . - Elsevier , 2001. - P. 45. - 378 p. - ISBN 0-080-50758-1 , 978-0-080-50758-3.

Ссылки

Правильные Правильные невыпуклые Выпуклые Формулы , теоремы , теории Прочее

Многоугольники Звёздчатые многоугольники Паркеты на плоскости Правильные многогранники и

Отрывок, характеризующий Додекаэдр

С конца 1811 го года началось усиленное вооружение и сосредоточение сил Западной Европы, и в 1812 году силы эти – миллионы людей (считая тех, которые перевозили и кормили армию) двинулись с Запада на Восток, к границам России, к которым точно так же с 1811 го года стягивались силы России. 12 июня силы Западной Европы перешли границы России, и началась война, то есть совершилось противное человеческому разуму и всей человеческой природе событие. Миллионы людей совершали друг, против друга такое бесчисленное количество злодеяний, обманов, измен, воровства, подделок и выпуска фальшивых ассигнаций, грабежей, поджогов и убийств, которого в целые века не соберет летопись всех судов мира и на которые, в этот период времени, люди, совершавшие их, не смотрели как на преступления.
Что произвело это необычайное событие? Какие были причины его? Историки с наивной уверенностью говорят, что причинами этого события были обида, нанесенная герцогу Ольденбургскому, несоблюдение континентальной системы, властолюбие Наполеона, твердость Александра, ошибки дипломатов и т. п.
Следовательно, стоило только Меттерниху, Румянцеву или Талейрану, между выходом и раутом, хорошенько постараться и написать поискуснее бумажку или Наполеону написать к Александру: Monsieur mon frere, je consens a rendre le duche au duc d"Oldenbourg, [Государь брат мой, я соглашаюсь возвратить герцогство Ольденбургскому герцогу.] – и войны бы не было.
Понятно, что таким представлялось дело современникам. Понятно, что Наполеону казалось, что причиной войны были интриги Англии (как он и говорил это на острове Св. Елены); понятно, что членам английской палаты казалось, что причиной войны было властолюбие Наполеона; что принцу Ольденбургскому казалось, что причиной войны было совершенное против него насилие; что купцам казалось, что причиной войны была континентальная система, разорявшая Европу, что старым солдатам и генералам казалось, что главной причиной была необходимость употребить их в дело; легитимистам того времени то, что необходимо было восстановить les bons principes [хорошие принципы], а дипломатам того времени то, что все произошло оттого, что союз России с Австрией в 1809 году не был достаточно искусно скрыт от Наполеона и что неловко был написан memorandum за № 178. Понятно, что эти и еще бесчисленное, бесконечное количество причин, количество которых зависит от бесчисленного различия точек зрения, представлялось современникам; но для нас – потомков, созерцающих во всем его объеме громадность совершившегося события и вникающих в его простой и страшный смысл, причины эти представляются недостаточными. Для нас непонятно, чтобы миллионы людей христиан убивали и мучили друг друга, потому что Наполеон был властолюбив, Александр тверд, политика Англии хитра и герцог Ольденбургский обижен. Нельзя понять, какую связь имеют эти обстоятельства с самым фактом убийства и насилия; почему вследствие того, что герцог обижен, тысячи людей с другого края Европы убивали и разоряли людей Смоленской и Московской губерний и были убиваемы ими.
Для нас, потомков, – не историков, не увлеченных процессом изыскания и потому с незатемненным здравым смыслом созерцающих событие, причины его представляются в неисчислимом количестве. Чем больше мы углубляемся в изыскание причин, тем больше нам их открывается, и всякая отдельно взятая причина или целый ряд причин представляются нам одинаково справедливыми сами по себе, и одинаково ложными по своей ничтожности в сравнении с громадностью события, и одинаково ложными по недействительности своей (без участия всех других совпавших причин) произвести совершившееся событие. Такой же причиной, как отказ Наполеона отвести свои войска за Вислу и отдать назад герцогство Ольденбургское, представляется нам и желание или нежелание первого французского капрала поступить на вторичную службу: ибо, ежели бы он не захотел идти на службу и не захотел бы другой, и третий, и тысячный капрал и солдат, настолько менее людей было бы в войске Наполеона, и войны не могло бы быть.
Ежели бы Наполеон не оскорбился требованием отступить за Вислу и не велел наступать войскам, не было бы войны; но ежели бы все сержанты не пожелали поступить на вторичную службу, тоже войны не могло бы быть. Тоже не могло бы быть войны, ежели бы не было интриг Англии, и не было бы принца Ольденбургского и чувства оскорбления в Александре, и не было бы самодержавной власти в России, и не было бы французской революции и последовавших диктаторства и империи, и всего того, что произвело французскую революцию, и так далее. Без одной из этих причин ничего не могло бы быть. Стало быть, причины эти все – миллиарды причин – совпали для того, чтобы произвести то, что было. И, следовательно, ничто не было исключительной причиной события, а событие должно было совершиться только потому, что оно должно было совершиться. Должны были миллионы людей, отрекшись от своих человеческих чувств и своего разума, идти на Восток с Запада и убивать себе подобных, точно так же, как несколько веков тому назад с Востока на Запад шли толпы людей, убивая себе подобных.
Действия Наполеона и Александра, от слова которых зависело, казалось, чтобы событие совершилось или не совершилось, – были так же мало произвольны, как и действие каждого солдата, шедшего в поход по жребию или по набору. Это не могло быть иначе потому, что для того, чтобы воля Наполеона и Александра (тех людей, от которых, казалось, зависело событие) была исполнена, необходимо было совпадение бесчисленных обстоятельств, без одного из которых событие не могло бы совершиться. Необходимо было, чтобы миллионы людей, в руках которых была действительная сила, солдаты, которые стреляли, везли провиант и пушки, надо было, чтобы они согласились исполнить эту волю единичных и слабых людей и были приведены к этому бесчисленным количеством сложных, разнообразных причин.
Фатализм в истории неизбежен для объяснения неразумных явлений (то есть тех, разумность которых мы не понимаем). Чем более мы стараемся разумно объяснить эти явления в истории, тем они становятся для нас неразумнее и непонятнее.
Каждый человек живет для себя, пользуется свободой для достижения своих личных целей и чувствует всем существом своим, что он может сейчас сделать или не сделать такое то действие; но как скоро он сделает его, так действие это, совершенное в известный момент времени, становится невозвратимым и делается достоянием истории, в которой оно имеет не свободное, а предопределенное значение.
Есть две стороны жизни в каждом человеке: жизнь личная, которая тем более свободна, чем отвлеченнее ее интересы, и жизнь стихийная, роевая, где человек неизбежно исполняет предписанные ему законы.

Додекаэдр - это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.

Общие понятия о фигуре

Додекаэдр - это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает "фигура с 12-ю гранями". Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.

Геометрические свойства правильного додекаэдра

Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.

Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г - количество граней, В - вершин, Р - ребер. Зная, что правильный додекаэдр - это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В - 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 o .

Математические формулы для правильного додекаэдра

Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:

• Площадь поверхности додекаэдра, которая представляет собой произведение 12-ти площадей пятиугольников со стороной "a", выражается следующей формулой: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2 . Для приблизительных расчетов можно пользоваться выражением: S = 20,65*a 2 .
• Объем правильного додекаэдра, как и его суммарная площадь граней, однозначно определяется из знания стороны пятиугольника. Эта величина выражается следующей формулой: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a 3 , что приблизительно равно: V = 7,66*a 3 .
• Радиус вписанной окружности, которая касается внутренней стороны граней фигуры в их центре, определяется так: R 1 = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), или приблизительно R 1 = 1,11*a.
• Описанную окружность проводят через 20 вершин правильного додекаэдра. Ее радиус определяется формулой: R 2 = √6/4*a*√(3 + √5), или приблизительно R 2 = 1,40*a. Приведенные цифры говорят, что радиус внутренней сферы, вписанной в додекаэдр, составляет 79 % от такового для описанной сферы.

Симметрия правильного додекаэдра

Как видно из рисунка выше, додекаэдр - это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.

Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.

Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:

• 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72 o), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;
• 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180 o), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;
• 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;
• 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120 o), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.

Современное использование додекаэдра

В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

• Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр - это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

• Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

Историческая справка

Как выше было сказано, додекаэдр - это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.

Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).

Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр - это огонь; куб - земля; октаэдр - воздух; икосаэдр - вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.

Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.

Додекаэдр и сакральная геометрия

Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.

Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.

Римский додекаэдр

В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.

Как римляне использовали эти предметы - не известно, поскольку не найдено ни одного письменного источника, который бы содержал точное объяснение их назначения. Лишь в некоторых трудах Плутарха можно встретить упоминание, что эти объекты служили для понимания характеристик 12-ти знаков Зодиака. Современное объяснение тайны римских додекаэдров имеет несколько версий:

• предметы использовались в качестве подсвечников (внутри них найдены остатки воска);
• они применялись как игральные кости;
• додекаэдры могли служить календарем, который указывал на время посадки сельскохозяйственных культур;
• могли они применяться в качестве основы для крепления римского военного штандарта.

Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.

Рассмотрим алгоритмы построения геометрических моделей наиболее распространенных тел, которые часто используются как базовые элементы при построении более сложных моделей.

4.4.1. Построение правильных многогранников

Правильными многогранниками (платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых являются правильными многоугольниками и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников: правильный тетраэдр, гексаэдр(куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таб. 4.2.

Правильные многогранники и их свойства				Таблица 4.2
Название
многогранника
Тетраэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Грани, ребра и вершины связаны между собой равенством Эй-

Г +В =Р +2.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин. Куб (гексаэдр) построить совсем просто. Покажем, каким образом строятся остальные тела.

Для построения тетраэдра предварительно строится куб, на его противоположных гранях проводятся скрещивающиеся диагонали. Таким образом, вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер рис.4.1.

тетраэдр

Рис. 4.1. Построение куба, тетраэдра и октаэдра

Для построения октаэдра предварительно строится куб. Вершины октаэдра – центры тяжести граней куба (рис.4.1), значит, каждая вершина октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин, образующих ее грань куба.

4.4.2. Построение икосаэдра

Икосаэдр и додекаэдр можно также построить при помощи куба. Однако существует и более простой способ конструирования:

- строятся две окружности единичного радиуса на расстоянии h=1;

- каждая из окружностей разбивается на 5 равных частей, как показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Построение икосаэдра

- перемещаясь вдоль окружностей против часовой стрелки, нумеруем выделенные 10 точек в порядке возрастания угла поворота и затем последовательно в соответствии с нумерацией соединим эти точки прямолинейными отрезками;

- затем, стягивая хордами точки, выделенные на каждой из окружностей, получаем в результате пояс из 10 правильных треугольников;

- для завершения построения икосаэдра выберем на оси Z две точки так, чтобы длина боковых ребер пятиугольных пирамид с вершинами в этих точках и основаниями, совпадающими с построенными пятиугольниками, была равна длинам сторон пояса из треугольников. Нетрудно видеть, что для этого нуж-

ны точки с аппликатами ± 5 2 .

В результате описанных построений получаем 12 точек. Выпуклый многогранник с вершинами в этих точках будет иметь 20 граней, каждая из которых является правильным треугольником, и все его

многогранные углы при вершинах будут равны между собой. Тем самым результат описанного построения – икосаэдр.

4.4.3. Построение додекаэдра и сферы

Для построения додекаэдра воспользуемся свойством двойственности: вершины додекаэдра –центры (тяжести) треугольных граней икосаэдра. Значит, координаты каждой вершины додекаэдра можно найти, вычислив средние арифметические соответствующих координат вершин граней икосаэдра.

Для построения модели сферы используем построенный ранее икосаэдр. Заметим, что икосаэдр уже является моделью сферы: все вершины лежат на ее поверхности, все грани – равносторонние треугольники. Единственный его недостаток – это малое количество треугольных граней для передачи гладкой поверхности сферы. Для повышения уровня детализации модели используется следующая рекурсивная процедура:

каждая треугольная грань разбивается на четыре части, новые вершины берутся на серединах сторон грани, как показано на рис.4.3.;

Рис. 4.3. Грань икосаэдра

новые вершины проецируются на поверхность сферы, для этого из центра сферы через вершину проводится луч и вершина переносится в точку пересечения луча с поверхностью сферы;

указанные этапы повторяются до тех пор, пока не будет получена требуемая степень детализации поверхности сферы.

Рассмотренные алгоритмы позволяют получить параметры основных геометрических моделей. Аналогичным образом можно построить модели цилиндра, тора и других тел.

4.5. Полиномиальные параметрические формы представления

Полигональные модели обладают одним существенным недостатком: для получения реалистичной модели тел, имеющих сложную форму, требуются десятки тысяч полигонов. Реалистичные сцены насчитывают уже сотни тысяч полигонов. Одним из способов получения качественных моделей при значительном снижении вычислений является использование полиномиальных параметрических форм, которые используют полигональную сетку только для получения опорных точек.

4.5.1. Формы представления кривых и поверхностей

Существуют три главных формы математического представления кривых и поверхностей: явная, неявная, параметрическая.

Явная форма задания кривой в двухмерном пространстве представляет собой уравнение, в левой части которого стоит зависимая переменная, а в правой части – функция, аргументом которой является независимая переменная.

Неявная форма в двумерном пространстве f(x ,y) =0. В параметрической форме в трехмерном пространстве:

уравнение кривой – x = x (u ), y = y (u ), z = z (u ) ;

уравнение поверхности – x = x (u , v ), y = y (u , v ), z = z (u , v ).

Одно из главных достоинств параметрической формы (ПФ) представления – ее единообразие в двух- и трехмерном пространствах. ПФ является, во-первых, наиболее гибкой, а во-вторых, устойчивой к любым вариациям формы и ориентации объектов, что делает ее особенно удобной в математическом обеспечении систем компьютерной графики.

Параметрические полиномиальные кривые и поверхности

Существует множество способов представления объектов, но мы сосредоточимся на полиномиальных, т.е. все функции параметра u при описании кривых или параметровu иv при описании поверхностей являются полиномами.

Рассмотрим уравнение кривой:

p (u )= [ x (u )y (u )z (u )] T .

i = 0 j = 0

Полиномиальная параметрическая кривая степени n имеет вид (в OpenGL часто используется термин «порядок» полинома (order), который имеет значение на 1 больше, чем степень полинома)

p(u) = ∑ uk ck ,
k= 0
где c k имеет независимые компонентыx ,y ,z , т.е.c k = c xk		c zk

Матрица {c k }, состоящая изn +1 столбцов, объединяет коэффициенты полиномов для компонентовp ; это означает, что у нас есть 3(n +1) степеней свободы в выборе коэффициентов для конкретной кривойp .

Кривую можно определить на любом интервале изменения параметра u , но не теряя общности суждений, можно принять, что 0≤ u ≤ 1, т.о. определяется сегмент кривой.

Параметрическая полиномиальная поверхность описывается уравнением следующего вида:

x(u, v)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui vj .

z(u, v)

Таким образом, для определения конкретной поверхности p (u ,v ) необходимо задать 3(n +1)(m +1) коэффициентов. Можно при анализе принятьn=m , а параметрыu иv изменять на интервале 0≤ u, v ≤ 1 и определить порцию поверхности (surface patch), показанной на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Определение порции поверхности

Определенный таким способом участок поверхности можно рассматривать как предел, к которому стремится множество кривых, которые формируются, когда один из параметров u илиv пробегает значения в своем интервале, в то время как другой сохраняет посто-

янное значение. В дальнейшем вначале будем определять полиномиальные кривые, а затем применять их для формирования поверхности с аналогичными характеристиками.

Отметим преимущества использования полиномиальной параметрической формы представления:

возможность локального контроля формы объекта;

гладкость и непрерывность в математическом смысле;

возможность аналитического вычисления производных;

устойчивость к малым возмущениям;

возможность использовать относительно простые, а значит, высокоскоростные методы тонирования.

4.5.2. Параметрически заданные кубические кривые

Если воспользоваться полиномом очень высокой степени, будет больше «свободы», но потребуется и больше вычислений при расчете координат точек. Также при росте степени свободы возрастает опасность получить волнистую форму кривой. С другой стороны, выбор полинома слишком низкой степени даст нам слишком мало параметров, и не удастся воспроизвести форму кривой. Решение – кривая разбивается на сегменты, которые описываются полиномами низкой степени.

Описать кубическую полиномиальную кривую можно следующим образом:

p(u) = c0 + c1 u+ c2 u2 + c3 u3 = ∑ uk ck = uT c,

						k= 0
где c = [ c 0c 1c 2c 3] ,	u = 1 u u					c k= c xk	c ykc zk

В этих выражениях c представляет собой матрицу коэффициентов полинома. Именно ее и требуется вычислять по заданному ансамблю опорных точек. Далее рассмотрим разные классы кубических кривых, которые отличаются характером сопоставления с опорными точками. Для каждого типа будет сформирована система из 12 уравнений с 12-ю неизвестными, но, поскольку параметрические функции для компонентов x,y,z независимы, эти 12 уравнений будет разделены на три группы по 4 уравнения с 4-мя неизвестными.

Вычисление значений коэффициентов определенного типа кубической кривой выполняется по заданному ансамблю опорных точек, соответствующих некоторым значениям независимого параметра

u . Эти данные могут иметь форму ограничений, требующих, чтобы кривая проходила через некоторые из заданных точек и в окрестности других точек. Кроме того, эти данные накладывают и определенные условия на гладкость кривой, например непрерывность производных в заданных точках сопряжения отдельных сегментов. Кривые разного класса, сформированные на одних опорных точках, могут существенно отличаться.

4.5.3. Интерполяция

Пусть имеются четыре опорные точки в трехмерном пространстве: p 0 ,p 1 ,p 2 иp 3 . Каждая точка представлена тройкой своих координат:

p k= [ x ky kz k] T .

Найдем элементы матрицы коэффициентов c , такие, что полиномp(u)=u T c будет проходить через заданные четыре опорные точки.

Решение. Есть четыре точки, составляем 12 уравнений с 12-ю неизвестными – элементами матрицыc . Полагаем, что значенияu k (k= 0,1,2,3) распределены равномерно на интервале , т.е.u= 0,1/3,2/3,1. Получаем уравнения:

P (0)= c 0 ,

c 3,

c 3,

p 3= p (1 ) = c 0+ c 1+ c 2+ c 3.

Запишем эти уравнения в матричной форме: p=AC ,

p = [ p 0p 1p 2p 3] T

			(2 3 )				(2 3 )

Проанализируем матрицу A . Если интерпретироватьp иc как матрицы-столбцы из 12 элементов, то правило умножения матриц соблюдено не будет. Но мы можем рассматриватьp иc как матрицы столбцы из 4-х элементов, каждый из которых в свою очередь является матрицей-строкой. Тогда в результате произведения получим элемент того же вида, что и элементы матрицы столбцаp . Матрица не является вырожденной, ее можно обратить и получитьбазисную ин-

терполяционную матрицу:

M I =A − 1 =− 5.5			− 4.5
		− 22.5		− 4.5
			− 13.5
− 4.5

Располагая значениями M I , можно вычислить искомые значения коэффициентовc= M I /p .

Если кривая задана не 4-мя, аm опорными точками, то можно представить интерполяционным полиномом (m -1)-го порядка (рассчитать 3× m коэффициентов, используя аналогичную методику). Можно поступить иначе – считать эту кривую состоящей из нескольких сегментов, каждый из которых задается очередной группой из 4-х точек. Непрерывность можно обеспечить тем, что считать последнюю опорную точку предшествующей группы первой опорной точкой следующей группы. МатрицыM I на каждом сегменте будут одинаковы, т.к.u . Но в этом случае функции производных по па-

раметру будут претерпевать разрыв в точках сопряжения.

4.5.4. Функции смешивания (полиномиальные весовые функции опорных точек)

Проведем анализ гладкости интерполяционных полиномиальных кривых. Для этого перепишем выведенные ранее соотношения в слегка измененном виде:

p(u) = uT с= uT MI p.

Это соотношение можно записать в виде: p (u ) = b (u ) T p ,

b(u) = MI T u,

есть матрица-столбец из четырехполиномиальных функций смеши-

вания (blending polynomials) :

b (u )= [ b 0 (u )b 1 (u )b 2 (u )b 3 (u )] T .

В каждой функции смешивания полином является кубическим. Выразив p (u ) как сумму полиномов смешивания, получим:

p (u )= b 0 (u )p 0 + b 1 (u )p 1 + b 2 (u )p 2 + b 3 (u )p 3 = ∑ b i (u )p i .

i= 0

Из этого соотношения следует, что полиномиальные функции смешивания характеризуют вклад, который вносит каждая опорная точка, и таким образом позволяют оценить, насколько скажется на виде конечной кривой изменение положения той или иной опорной точки. Аналитические выражения для них:

b 0 (u )= − 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 )(u − 1),b 1 (u )= 27 2 u (u − 2 3 )(u − 1),

b 2 (u )= − 27 2 u (u − 1 3 )(u − 1),b 3 (u )= 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 ) .

Т.к. все нули функций лежат на отрезке , то их значения могут существенно изменятся на этом интервале, а сами функции не являются монотонными (рис. 4.5.). Эти характеристики следуют из того, что интерполяционная кривая должна проходить через опорные точки, а не в ближайшей их окрестности. Плохая гладкость кривой, отсутствие непрерывности производных в точках стыка сегментов объясняют, почему интерполяционные полиномиальные кривые редко используются в КГ. Но пользуясь той же методикой анализа, можно отыскать более подходящий тип кривой.

		b1 (u)	b2 (u)
				b3 (u)
Рис. 4.5. Полиномиальная функция смешивания
	для случая кубической интерполяции

Порция кубической интерполяционной поверхности

Бикубическое уравнение поверхности можно записать следующим образом:

p(u, v) = ∑∑ ui vj cij .

i = 0j = 0

Здесь c ij – трехкомпонентная матрица-столбец, элементами которой являются коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной в уравнениях дляx ,y , z- компонент. Определим матрицуC 4x4 таким образом, что ее элементами будут трехкомпонентные мат- рицы-столбцы:

C = [ cij ].

Тогда описать порцию поверхности можно следующим образом: p (u , v ) = u T Cv ,

v = 1 v v

Конкретная порция бикубической поверхности определяется 48 значениями элементов матрицы C – 16-ю трехмерными векторами.

Допустим, что имеется 16 трехмерных опорных точек p ij ,i= 0,..,3,j= 0,..,3 (рис. 4.6.). Будем считать, что эти данные используются для интерполирования с равным шагом по обоим независимым параметрамu иv , которые принимают значения 0, 1/3, 2/3, 1. Отсюда

получим три набора из 16 уравнений с 16 неизвестными в каждом. Так, при u=v= 0 получим

p 00 = [ 1 0 0 0] C 0 0 = c 00 .0

Рис. 4.6. Порция интерполяционной поверхности

Можно не решать все эти уравнения. Если зафиксировать v =0, то, изменяяu , получим кривую, проходящую черезp 00 ,p 10 ,p 20 ,p 30 . Используя результаты, полученные в предыдущем разделе, можем записать для этой кривой следующее соотношение:

p (u ,0)= u T M
				UT C.

При значениях v= 1/3, 2/3, 1 можно определить три другие интерполяционные кривые, каждую из которых можно описать тем же способом. Объединив уравнения для всех кривых, получим интересующую нас систему из 16 уравнений:

uT MI P= uT CAT ,

где A – матрица, обратнаяM I . Решением этого уравнения будет искомая матрица коэффициентов:

C = MI PMI T .

Подставляя ее в уравнение поверхности, окончательно получим p (u ,v )= u T M I PM I T v .

Этот результат можно интерпретировать по-разному. Из него следует, во-первых, что результаты, полученные при анализе кривых, можно распространить на соответствующие поверхности. Во-вторых, можно распространить на поверхности методику использования полиномиальных функций смешивания:

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v ) pij .

i = 0j = 0

4.5.5. Форма представления кривых и поверхностей Эрмита

Пусть имеются точки p 0 ,p 3 и сегменту соответствует интервалu , т.е. имеющиеся точки соответствуютu =0 иu =1. Запишем

два условия:

p (0)= p 0 = c 0,

p (1) = p 3= c 0+ c 1+ c 2+ c 3.

Два других условия получим, задав значения производных функций в крайних точках сегмента u =0 иu =1:

p " (u )= c 1 + 2uc 2 + 3u 2 c 3 , тогда

p " 0 = p " (0)= c 1 ,

p " 3= p " (1) = c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Запишем эти уравнения в матричной форме:

p " 3
Обозначив через q вектор данных
q = [ p0						p " 0	p " 3 ] T ,

можно записать уравнение в виде:

c = MH q,

где MH называется обобщенной матрицей Эрмита (Hernite geometry matrix).

		−3			−2	−1
				−2

В результате получим представления полиномиальной кривой в форме Эрмита:

p(u) = uT MH q.

Будем использовать форму Эрмита для представления сегментов составной кривой, как показано на рис. 4.7. Точка сопряжения является общей для обоих сегментов, и, кроме того, производные к кривой в точке сопряжения для обоих сегментов также равны. В результате получаем составную кривую, непрерывную по первой производной на всем протяжении.

p(0) p(1)=q(0)

Рис. 4.7. Применение формы Эрмита к стыковке сегментов

Возможность получения более гладких кривых при использования формы представления по Эрмиту можно обосновать математически следующим образом. Запишем полином в виде

p(u) = b(u) T q,

где новая функция смешивания имеет вид

b(u) = MT u=		− 2 u 3+ 3 u 2.
			−2 u 2 +u
			u 3− u 2

Нули четырех этих полиномов расположены вне интервала , а потому функции смешивания являются гораздо более гладкими, чем для интерполяционных полиномов.

Можно следующим образом определить порцию поверхности в форме Эрмита:

p (u , v ) = ∑∑ b i(u ) b j(v) q ij,

i = 0j = 0

где Q =[ q ij ] – набор данных, представляющих порцию поверхности аналогично тому, какq представляет сегмент кривой. Четыре элементаQ представляют собой значения функцииp (u,v ) в угловых точках поверхности, а четыре других должны представлять производные к поверхности в этих угловых точках. В интерактивных приложениях пользователю желательно специфицировать не данные о производных, а координаты точек, и, следовательно, не сформулировав аналитические выражения для этих данных, мы не сможем получить производные.

Если в точке сопряжения значения всех трех параметрических компонент векторов p иq равны, то имеет местопараметрическая непрерывность (parametric continuity) классаС 0 .

Кривые, в которых условия непрерывности удовлетворяются и для значения, и для первой производной, обладают параметрической непрерывностью класса С 1 .

Если значения компонент производных пропорциональны, то имеет место геометрическая непрерывность класса G 1 .

Эти идеи можно обобщить для производных более высоких порядков.

Форма кривой, обладающей геометрической непрерывностью класса G 1 , зависит от коэффициента пропорциональности длин касательных к сегментам в точке сопряжения. На рис.4.8. показано, что форма сегментов кривых, совпадающих в конечных точках и имеющих в этих точках пропорциональные векторы касательных, довольно существенно отличается. Это свойство часто используется в графических программах вычерчивания.

p"(0) q(u) p"(1)

Рис. 4.8. Влияние длины вектора касательных на форму сегментов

4.5.6. Кривые и поверхности в форме Безье

Сравнение кривых в форме Эрмита и в форме интерполяционного полинома невозможно, т.к. для их формирования используются

разные по характеру наборы данных. Попробуем использовать один и тот же ансамбль опорных точек и для определения интерполяционного многочлена и для косвенного задания кривых в форме Эрмита. В результате этого получим кривую в форме Безье (Bezier), которая является хорошим приближением кривой в форме Эрмита и которую можно сравнивать с интерполяционным полиномом, сформированным на том же ансамбле точек. Кроме того, такая процедура идеально подходит для интерактивного построения криволинейных объектов в системах КГ и САПР, т.к. определение кривой в форме Безье не требует задания производных.

Кривые Безье

Пусть имеются четыре опорные точки в трехмерном пространстве: p 0 ,p 1 ,p 2 иp 3 . Конечные точки формируемой кривойp (u ) должны совпадать с опорными точкамиp 0 ,p 1 :

p 0 = p (0),p 3 = p (1) .

Безье предложил использовать две другие опорные точки p 1 иp 2 для задания производных в крайних точках сегментаu= 0 иu= 1. Вос-

пользуемся для этого линейной аппроксимацией (рис.4.9).
p "(0)=	p 1− p 0	3(p − p ),		p "(1)=	p 3− p 2	3(p −p

Рис. 4.9. Аппроксимация векторов касательных

Применив эту аппроксимацию к касательным в двух крайних точках к параметрической полиномиальной кривой p (u ) =u T c , получим два условия:

3 p 1− 3 p 0= c 1,

3 p 3− 3 p 2= c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Добавим их к уже имеющимся условиям совпадения кривой в конечных точках:

p (0)= p 0 = c 0 ,

p (1) =p 3 =c 0 +c 1 +c 2 +c 3 .

Итак, мы снова получили три набора по четыре уравнения относительно четырех неизвестных в каждом. Решая их по той же методике, что и в предыдущем разделе, получим:

c = MB p,

где M B называется базисной матрицей Безье (Bezier geometry matrix):

		= − 3
				−6
			−1		−3

В результате получим представления полиномиальной кривой в форме Безье:

p(u) = uT MB p.

Эту формулу можно использовать для получения составной кривой, сегменты которой являются интерполяционными полиномами. Очевидно, что составная кривая, построенная по методу Безье на произвольном ансамбле опорных точек, относится к классу С 0 , но требованиям классаС 1 она не удовлетворяет, т.к. касательные справа и слева от точки сопряжения аппроксимируются по разным формулам.

Проанализируем свойства кривой с помощью функций смешивания. Запишем полином в форме:

p(u) = b(u) T p,

где новая функция смешивания имеет вид (рис. 4.10):

			−u )
b(u) = MT u= 3 u (1 − u ) 2
	3u 2		(1− u )

Эти четыре полинома являются частными случаями полиномов Бернштейна :

b kd (u )= k !(d d − ! k )! u k (1− u )d − k .

Свойства полиномов Бернштейна:

1) все нули в точках u= 0 илиu= 1;

2) следовательно, при 0< ) должна лежать внутри выпуклой многоугольной оболочки, образованной четырьмя заданными точками, как показано на рис. 4.11. Таким образом, хотя кривая Безье и не проходит через все заданные опорные точки, она никогда не выходит за пределы области, ограниченной этими точками. Это очень удобно при интерактивном визуальном конструировании.

		Рис. 4.11. Выпуклая оболочка и
Рис. 4.10. Полиномиальные функции

Порции поверхности в форме Безье

Порции поверхностей Безье можно сформировать с помощью функций смешивания. Если P = – массив опорных точек с раз-

мерами 4x4, то соответствующая порция поверхности в форме Безье описывается соотношением:

p(u, v) = ∑∑ bi ( u) bj (v ) pij = uT MB PMB T v.
i= 0	j= 0

Порция поверхности проходит через угловые точки p 00 ,p 03 ,p 30 иp 33 и не выходит за пределы выпуклого многоугольника, вершинами которого являются опорные точки. Двенадцать опорных точек из 16

можно интерпретировать как данные, определяющие направление производных по разным параметрам в угловых точках формируемой порции поверхности.

4.6. Пример построения полигональных моделей

Рассматриваемую задачу – представление геометрических моделей, задаваемых полигональным сетками, – можно разбить на следующие этапы:

1) разработка модели (структур данных) для представления сцены;

2) разработка формата файла, для хранения модели;

3) написание программы для просмотра созданных сцен;

4) написание программы для генерации полигональных моделей объектов в соответствии с вариантом задания.

4.6.1. Разработка структур данных полигональной модели

Можно выделить следующие элементы модели: точка, полигон, модель отдельного объекта, сцена (множество объектов с заданным расположением относительно друг друга).

1) Точка описывается тремя координатами:

2) Полигон – в общем случае произвольный выпуклый многоугольник. Мы будем использовать его частный случай – треугольник. Наш выбор обоснован тем, что последующие алгоритмы закраски с Z-буфером, для своей работы будут требовать именно треугольные

грани и все более сложные многоугольники потребуется разбивать.

typedef struct Polygon {

int Points; //индексы трех вершин, образующих //полигон, вершины хранятся в списке вершин модели

3) Модель отдельного объекта представляет собой список точек и список вершин:

typedef struct Model3D {

Polygon Polygons; //массив полиго-

4) Сцена – это множество объектов с заданным расположением относительно друг друга. В простейшем случае можно использовать

список (массив) объектов, например,

4.6.2. Разработка формата файла для хранения модели

Для хранения и обработки сцен и моделей удобно использовать текстовые файлы, состоящие из различных секций. Секции могут разделяться ключевыми словами, которые делают чтение и редактирование файлов более простым, а также дают возможность задания для модели только части информации. Хорошим примером является формат DXF, который используется для обмена чертежей между САПР-системами. Рассмотрим простой пример:

где первое число – количество моделей в файле сцены N. Далее следует N моделей. Первым числом в описании моделей является количество вершин K. Далее последовательно перечисляются координаты

x,y,z всех К вершин. После этого идет число G, задающее количество граней в модели. После чего следует G строк, каждая из которых содержит индексы трех вершин, образующих треугольную грань.

4.6.3. Просмотр созданных сцен

Для просмотра созданных сцен в ортографической проекции разработана следующая программа:

#include #include #include #include

const int MAX_MODEL_COUNT = 3; //макс. к-во моделей в сцене const int MAX_POINT_COUNT =100; //макс. к-во точек в модели const int MAX_POLY_COUNT =100; //макс. к-во граней в модели

typedef struct Point { double x, y, z;

typedef struct Polygon {

int Points; //индексы трех вершин, образующих полигон

typedef struct Model3D {

int PolygonCount;//количество полигонов в модели

Polygon Polygons; //массив полигонов

Model3D Models; //массив моделей

//функция выполняет чтение сцены из файла

void LoadScene(Scene3D &scene, const char * filename)

if ((f = fopen(filename, "rt")) == NULL)

fprintf(stderr, "Cannot open input file.\n"); exit(1);

//читаем к-во моделей в файле fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount);

for(int m = 0; m < scene.ModelsCount; ++m)

Model3D *model = &scene.Models[m]; //загрузка списка точек модели fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

for(int i = 0; i < model->PointCount; ++i)

fscanf(f, "%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z); model->Points[i] = p;

Polygon *p = &(model->Polygons[i]); fscanf(f, "%d%d%d", &(p->Points),

&(p->Points), &p->Points);

//вывод на экран каркасной //модели в ортографической проекции

//недостаток - все ребра рисуются по два раза void DrawWireFrameScene(const Scene3D &scene)

for(int m = 0; m < scene.ModelsCount; ++m)

const Model3D *model = &scene.Models[m]; for(int i = 0; i < model->PolygonCount; ++i)

const Polygon *poly = &model->Polygons[i];

			&model->Points;
			&model->Points;
			&model->Points;
line(320 + p1->x,
line(320 + p2->x,
line(320 + p3->x,

//инициализация графического режима void InitGraphMode(void)

int gdriver = DETECT, gmode, errorcode; initgraph(&gdriver, &gmode, "");

errorcode = graphresult();

if (errorcode != grOk) //an error occurred

printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode));

printf("Press any key to halt:");

	//возвращаем код ошибки

Scene3D scene; LoadScene(scene, "model.dat"); InitGraphMode(); DrawWireFrameScene(scene); getch();

Приведенный пример позволяет загружать сцены, заданные в описанном формате, и отображать их в ортографической проекции. Он демонстрирует базовые принципы работы с полигональными моделями.

Но из-за упрощения для повышения наглядности он имеет следующие существенные недостатки:

1) количество вершин, граней, моделей задается непосредственно в программе, а должна использоваться динамическая память, например динамический одномерный массив, память под который будет выделяться при загрузке сцены.

2) если имеется несколько одинаковых моделей, отличающихся только положением и ориентацией в пространстве, то данные описывающие их геометрию, дублируются, например несколько моделей сфер. Целесообразно разделить модель на две составляющие: геометрическую, хранящую описание граней, вершин, и топологическую, т.е. конкретный экземпляр объекта, расположенный в пространстве.

3) описание структур данных и методы, их поддерживающие, следует выделить в отдельный модуль, тогда его можно будет использовать, например, в программах генерации примити-

Таким образом, в настоящее время доминируют полигональные геометрические модели. Это вызвано простотой программного и аппаратного их представления. В виду постоянного роста возможностей

вычислительной техники с одной стороны и требований к качеству моделей с другой ведутся интенсивные исследования новых типов моделей.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Чем отличаются геометрические модели от других видов моделей?

2. Назовите основные компоненты геометрической модели.

3. Чем отличаются координатные модели от аналитических?

4. Какие виды геометрических моделей существуют?

5. Почему полигональные модели получили широкоераспространение?

6. Какие способы задания полигональной модели вы знаете?

7. Какие недостатки и ограничения имеют полигональные модели?

8. Реализуйте алгоритмы построения полигональных моделей додекаэдров, икосаэдров и сфер.

9. Предложите алгоритм построения полигональной модели тора.

10. Каким образом можно сократить объем данных, хранимых

в памяти ЭВМ, при многократном использовании одинаковых полигональных моделей?

Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Эта эффектная объемная фигура обладает центром симметрии, называемым центром додекаэдра. Кроме того, в ней присутствуют пятнадцать плоскостей симметрии (в каждой грани любая из них проходит через середину противоположного ребра и вершину) и пятнадцать осей симметрии (пересекающих середины параллельных противолежащих ребер). Каждая из вершин додекаэдра является вершиной трех пятиугольников правильной формы.

Свое название конструкция получила по количеству входящих в нее граней (традиционно древние греки давали многогранникам имена, отображающие число граней, составляющих структуру фигуры). Таким образом, понятие «додекаэдр» образовано из значений двух слов: «додека» (двенадцать) и «хедра» (грань). Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и ). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

Правильные многогранники всегда привлекали людей своей красотой, органичностью и необыкновенным совершенством форм, но додекаэдр имеет особую историю, которая из года в год обрастает все новыми, иногда совершенно мистическими, фактами. Представители многих цивилизаций усматривали в нем сверхъестественную и таинственную сущность, утверждая, что: «Из числа двенадцать произрастает многое». На территориях древних разрушенных государств до сих пор находят маленькие фигурки в виде додекаэдров, выполненные из бронзы, камня или кости. Кроме того, при раскопках на землях современной Англии, Франции, Германии, Венгрии, Италии археологи обнаружили несколько сотен так называемых «римских додекаэдров», датирующихся II-III-м веками нашей эры. Основные размеры фигурок составляют от четырех до одиннадцати сантиметров, причем отличаются они самыми невероятными узорами, текстурами и техникой исполнения. Выдвинутая еще во времена Платона версия о том, что Вселенная представляет собой огромного размера додекаэдр, нашла подтверждение уже в начале XXI -го века. После тщательного анализа данных, полученных при помощи WMAP(многофункционального космического аппарата NASA), ученые согласились с предположением древнегреческих астрономов, математиков и физиков, в свое время занимавшихся вопросами изучения небесной сферы и ее строением. Более того, современные исследователи считают, что наша Вселенная представляет собой бесконечно повторяющийся набор додекаэдров.

Как сделать правильный додекаэдр своими руками

Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее). В продаже можно приобрести уже готовые наборы, содержащие все необходимое для изготовления сувениров, но наиболее интересно произвести весь процесс работы своими руками, начиная от построения отдельных деталей и заканчивая сборкой готовой конструкции.

Материалы:

Для того, чтобы сделать правильный додекаэдр из картона, необходим собственно сам материал и подручные средства:

• ножницы,
• карандаш,
• ластик,
• линейка,
• клей.

Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.

Как сделать звездчатый додекаэдр

Звездчатые додекаэдры имеют более сложную конструкцию по сравнению с обычными. Эти многогранники подразделяются на малый (первого продолжения), средний (второго продолжения) и большой (последняя звездчатая форма правильного додекаэдра). Каждый из них отличается своими особенностями построения и сборкой. Для работы Вам потребуются те же материалы и инструменты, что и для изготовления стандартного додекаэдра. Если Вы решили сделать первый вариант (малый додекаэдр), то необходимо построить чертеж первого элемента, который станет основой для всей конструкции (в дальнейшем производится ее склеивание или сборка деталей при помощи скрепок).