Определить физический смысл постоянных распределения гиббса. Распределение гиббса. Значение работы Гиббса

Расширенная по сравнению с Максвеллом и Больцманом трактовка статистической физики была дана Гиббсом. В его трактовке задача заключается в вычислении средних значений физических величин. Вместо усреднения по времени в рамках одной системы рассматривается совокупность большого числа определенным образом неупорядоченных одинаковых систем. Замкнутая система определяется как система с постоянной энергией, постоянным числом частиц и постоянным объемом. Основополагающими понятиями в этом описании являются понятия ансамбля, совокупности частиц и фазового пространства.

Под фазовым Г-пространством понимают пространство всех обобщенных координат q и импульсов р. Микросостояние системы или ее фаза изображаются в этом пространстве точкой. При наличии n степеней свободы мы имеем пространство 2n-измерений.

Представим себе, что имеется N вариантов изучаемой системы, полностью адекватных в макроскопическом отношении: все они находятся в одинаковых внешних условиях, имеют одинаковый состав и строение. Такая условная совокупность тождественных, невзаимодействующих друг с другом систем называется ансамблем Гиббса. Различные системы ансамбля отличаются друг от друга микросостояниями. Будем предполагать, что в ансамбле представлены все возможные микроскопические состояния, совместимые с данными внешними условиями. С течением времени вследствие движения частиц микроскопические состояния сменяют друг друга.

В классической статистике каждое микросостояние системы характеризуется точкой. находящейся в объеме DpDq 6N-мерного пространства. Вероятность данного микросостояния системы, или вероятность того, что координаты и импульсы частиц находятся в заданном интервале Dx, Dp:

где N- полное число систем в ансамбле, DN- число микросостояний, изображаемых точками, лежащими внутри заданного объема.

Вероятность определенного состояния системы пропорциональна заданному фазовому объему DpDq и плотности распределения точек, изображающих состояния систем ансамбля в фазовом пространстве.

Функцией распределения (функцией состояния) f(p,q) называется плотность распределения (число точек в единице объема фазового пространства), отнесенных к полному количеству систем в ансамбле N.

(1.6.2)

Из определения вероятности следует, что должно иметь место условие нормировки

Таким образом, функция распределения для некоторой изолированной (находящейся в термостате) системы имеет вид

, (1.6.4)

где W(p,q) - полная энергия системы, а коэффициент A(T) определяется из условия нормировки (1.6.2). Полученное распределение называется распределением Гиббса или каноническим распределением.

В случае квантовой статистики необходимо заменить непрерывное распределение различных состояний их дискретным набором. Характеристикой замкнутой системы служит энтропия. Каждому значению энергии W i отвечает некоторая группа N(W i) квантовых состояний (степень вырождения).

Так как все состояния с заданной энергией равновероятны, вероятность нахождения системы в одном из состояний с данной энергией

Это микроканоническое распределение Гиббса. Оно показывает, что вероятность нахождения замкнутой системы в одном из состояний с данной энергией пропорциональна кратности его вырождения (см. библиографический список (3)).

Условие нормировки:

Отсюда следует каноническое распределение Гиббса

(1.6.6)

При помощи распределения Гиббса можно вычислить среднее значение любой величины, зависящей от состояния системы. Состояние, отвечающее максимуму распределения Гиббса, является наиболее вероятным.

Перейдем теперь к поставленной в главе I задаче о нахождении функции распределения для любого макроскопического тела, являющегося малой частью какой-либо большой замкнутой системы (подсистемой). Наиболее удобный и общий способ подхода к решению этой задачи основан на применении ко всей системе микроканонического распределения.

Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей: изданного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средой».

Микроканоническое распределение (6,6) напишется в виде

где относятся соответственно к телу и среде, а - заданное значение энергии замкнутой системы; этому значению должна быть равна сумма энергий тела и среды.

Нашей целью является нахождение вероятности такого состояния всей системы, при котором данное тело находится в некотором определенном квантовом состоянии (с энергией ), т. е. в состоянии, описанном микроскопическим образом. Микроскопическим же состоянием среды мы при этом не интересуемся, т. е. будем считать, что она находится в некотором макроскопически описанном состоянии. Пусть есть статистический вес макроскопического состояния среды; обозначим также посредством интервал значений энергии среды, соответствующий интервалу квантовых состояний в указанном в § 7 смысле.

Искомую вероятность мы найдем, заменив в (28,1) единицей, положив и проинтегрировав по

Пусть - полное число квантовых состояний среды с энергией, меньшей или равной Е.

Поскольку подынтегральное выражение зависит только от Е, можно перейти к интегрированию по , написав:

Производную заменяем (ср. § 7) отношением

где - энтропия среды как функция ее энергии (функцией Е является, конечно, также и ). Таким образом,

Благодаря наличию - функции интегрирование сводится к замене Е на и получаем

(28,2)

Учтем теперь, что вследствие малости тела его энергия мала по сравнению с Величина относительно очень мало меняется при незначительном изменении ; поэтому в ней можно просто положить после чего она превратится в независящую от постоянную. В экспоненциальном же множителе надо разложить по степеням сохранив также и линейный член:

Но производная от энтропии S по энергии есть не что иное, как , где Т - температура системы (температура тела и среды одинакова, так как система предполагается находящейся в равновесии).

Таким образом, получаем окончательно для следующее выражение:

где А - не зависящая от нормировочная постоянная. Это - одна из важнейших формул статистики; она определяет статистическое распределение любого макроскопического тела, являющегося сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой системы. Распределение (28,3) называется распределением Гиббса или каноническим распределением; оно было открыто Гиббсом (J. W. Gibbs) для классической статистики в 1901 г.

Нормировочная постоянная А определяется условием откуда

Среднее значение любой физической величины f, характеризующей данное тело, может быть вычислено с помощью распределения Гиббса по формуле

В классической статистике выражение, в точности соответствующее формуле (28,3), получается для функции распределения в фазовом пространстве:

где - энергия тела как функция его координат и импульсов. Нормировочная постоянная А определяется условием

На практике часто приходится иметь дело со случаями, когда квазиклассическим является не все микроскопическое движение частиц, а лишь движение, соответствующее части степеней свободы, в то время как по остальным степеням свободы движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при квантовом характере внутримолекулярного движения атомов). В таком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов: где обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих «квантовую часть» движения, для которого значения и q играют роль параметров. Формула распределения Гиббса напишется тогда в виде

где - произведение дифференциалов «квазиклассических» координат и импульсов.

Наконец, необходимо сделать следующее замечание по поводу круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел.

Действительно, такие свойства тела, как значения его термодинамических величин или распределения вероятностей для координат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не зависят от, того, рассматриваем ли мы тело как замкнутое или как помещенное в воображаемый термостат (§ 7). В последнем случае, однако, тело становится «подсистемой» и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Распределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела совершенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует.

Возможность применения (в указанном смысле) распределения Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микроканонического (и в то же время несравненно удобнее для проведения конкретных расчетов). Действительно, микроканоническое распределение эквивалентно, грубо говоря, признанию равновероятными всех микросостояний тела, отвечающих заданному значению его энергии. Каноническое же распределение «размазано» по некоторому интервалу значений энергии, ширина которого (порядка величины средней флуктуации энергии), однако, для макроскопического тела ничтожно мала.

Гиббса распределение

фундаментальный закон статистической физики (См. Статистическая физика), определяющий вероятность данного микроскопического состояния системы, т. е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют определённые значения.

Для систем, находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой, в которой поддерживается постоянная температура (с термостатом), справедливо каноническое Г. р., установленное Дж. У. Гиббс ом в 1901 для классической статистики. Согласно этому распределению, вероятность определённого микроскопического состояния пропорциональна функции распределения f (q i , p i ), зависящей от координат q i и импульсов p i частиц системы:

где H (q i , p i ) - функция Гамильтона системы, т. е. её полная энергия, выраженная через координаты и импульсы частиц, k - Больцмана постоянная , Т - абсолютная температура; постоянная А не зависит от q i и p i и определяется из условия нормировки (сумма вероятностей пребывания системы во всех возможных состояниях должна равняться единице). Т. о., вероятность микросостояния определяется отношением энергии системы к величине kT (которая является мерой интенсивности теплового движения молекул) и не зависит от конкретных значений координат и импульсов частиц, реализующих данное значение энергии.

В квантовой статистике вероятность w n данного микроскопического состояния определяется значением энергетического уровня системы Ε п .

Для идеального газа, т. е. газа. в котором энергией взаимодействия частиц можно пренебречь, каноническое Г. р. переходит в Больцмана распределение, определяющее вероятность того, что координата и импульс (энергия) отдельной частицы имеют данные значения (см. Больцмана статистика).

Если система изолирована, то её энергия постоянна; в этом случае справедливо микроканоническое Г. р., согласно которому все микроскопические состояния изолированной системы равновероятны. Микроканоническое Г. р. лежит в основе Г. р. канонического.

Г. Я. Мякишев.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Гиббса распределение" в других словарях:

Каноническое распределение вероятностей различных состояний макроскопической системы с постоянным объемом и постоянным числом частиц, находящейся в равновесии с окружающей средой заданной температуры; если система может обмениваться частицами со… … Большой Энциклопедический словарь

Каноническое, распределение вероятностей различных состояний макроскопической системы с постоянным объёмом и постоянным числом частиц, находящейся в равновесии с окружающей средой заданной температуры; если система может обмениваться частицами со … Энциклопедический словарь

Распределение вероятностей обнаружения равновесной статистич. системы в любом из ее стационарных микроскопич. состояний. Последние обычно задаются как чистые квантово механич. состояния, определяемые решением yn стационарного Шрёдингера уравнения … Математическая энциклопедия

Каноническое, распределение вероятностей разл. состояний макроскопич. системы с пост. объёмом и пост. числом частиц, находящейся в равновесии с окружающей средой заданной темп ры; если система может обмениваться частицами со средой, то Г. р. наз … Естествознание. Энциклопедический словарь

Распределение Гиббса распределение, определяющее количества частиц в различных квантовых состояниях. Основывается на постулатах статистики: Все доступные микросостояния системы равновероятны. Равновесию соответствует наиболее вероятное… … Википедия

Распределение вероятностей состояний статистического ансамбля систем, к рые находятся в тепловом и материальном равновесии со средой (термостатом и резервуаром ч ц) и могут обмениваться с ними энергией и ч цами (через полупроницаемые перегородки) … Физическая энциклопедия

Равновесные распределения вероятностей состояний статистич. систем в разл. физ. условиях фундам. законы статистич. физики, установленные Дж. У. Гиббсом (1901). Г. р. имеют место как для состояний классич. систем, полная энергия к рых определяется … Физическая энциклопедия

Как функция от ε/μ, построенная для 4 различных температур. С ростом температуры ступенька размывается Статистика Ферми Дирака в статистической физике квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с… … Википедия

Статистический ансамбль для макроскопич. систем пост. объёма в тепловом равновесии с термостатом и в материальном равновесии с резервуаром ч ц (обмен ч цами можно осуществить при помощи полупроницаемых перегородок). У рассматриваемых систем… … Физическая энциклопедия

Статистика Максвелла Больцмана статистический метод описания физических систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц, движущихся по законам классической механики (то есть классического идеального газа); предложена в 1871 г.… … Википедия

Книги

• Теоретическая физика. В десяти томах. Том 5. Статистическая физика , Ландау Лев Давидович, Лифшиц Евгений Михайлович. От производителя Авторы стремились дать в настоящей книге систематическое изложение статистической физики вместе с термодинамикой. В основу положен метод Гиббса. Все конкретные задачи…
• Теоретическая физика. В 10-и томах. Том 5. Статистическая физика. В 2-х частях. Часть 1. Учебное пособие. Гриф МО РФ , Ландау Лев Давидович, Лифшиц Евгений Михайлович. От производителяАвторы стремились дать в настоящей книге систематическое изложение статистической физики вместе с термодинамикой. В основу положен метод Гиббса. Все конкретные задачи…

фундаментальный закон статистической физики (См. Статистическая физика), определяющий вероятность данного микроскопического состояния системы, т. е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют определённые значения.

Для систем, находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой, в которой поддерживается постоянная температура (с термостатом), справедливо каноническое Г. р., установленное Дж. У. Гиббсом в 1901 для классической статистики. Согласно этому распределению, вероятность определённого микроскопического состояния пропорциональна функции распределения f (q i , p i ), зависящей от координат q i и импульсов p i частиц системы:

где H (q i , p i ) - функция Гамильтона системы, т. е. её полная энергия, выраженная через координаты и импульсы частиц, k - Больцмана постоянная, Т - абсолютная температура; постоянная А не зависит от q i и p i и определяется из условия нормировки (сумма вероятностей пребывания системы во всех возможных состояниях должна равняться единице). Т. о., вероятность микросостояния определяется отношением энергии системы к величине kT (которая является мерой интенсивности теплового движения молекул) и не зависит от конкретных значений координат и импульсов частиц, реализующих данное значение энергии.

В квантовой статистике вероятность w n данного микроскопического состояния определяется значением энергетического уровня системы Ε п .

Для идеального газа, т. е. газа. в котором энергией взаимодействия частиц можно пренебречь, каноническое Г. р. переходит в Больцмана распределение, определяющее вероятность того, что координата и импульс (энергия) отдельной частицы имеют данные значения (см. Больцмана статистика).

Если система изолирована, то её энергия постоянна; в этом случае справедливо микроканоническое Г. р., согласно которому все микроскопические состояния изолированной системы равновероятны. Микроканоническое Г. р. лежит в основе Г. р. канонического.

Лит . см. при статье Статистическая физика.

Г. Я. Мякишев.

• - ...

  Физическая энциклопедия

• -  ...

  Физическая энциклопедия

• -  ...

  Физическая энциклопедия

• - равновесные распределения вероятностей состояний статистич. систем в разл. физ. условиях - фундам. законы статистич. физики, установленные Дж. У. Гиббсом...

  Физическая энциклопедия

• - , один из потенциалов термодинамических; характеристическая функция термодинамич. системы при независимых параметрах р, Т и N ...

  Физическая энциклопедия

• - распределение вероятностей состояний статистич...

  Физическая энциклопедия

• -  ...

  Физическая энциклопедия

• - см. Фаз правило...

  Химическая энциклопедия

• - см. Термодинамические потенциалы...

  Химическая энциклопедия

• - см. Частота распределения...

  Медицинские термины

• - в термодинамике: число равновесно сосуществующих в к.-л. системе фаз не может быть больше числа образующих эти фазы компонентов плюс, как правило, 2. Установлено Дж. У. Гиббсом в 1873-76...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - см. Потенциал термодинамический...

  Геологическая энциклопедия

• - основной закон гетерогенных равновесий, согласно которому в гетерогенной физико-химической системе, находящейся в устойчивом термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать числа компонентов,...
• - фундаментальный закон статистической физики, определяющий вероятность данного микроскопического состояния системы, т. е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют определённые...

  Большая Советская энциклопедия

• - в термодинамике: число равновесно сосуществующих в какой-либо системе фаз не может быть больше числа образующих эти фазы компонентов плюс - как правило, 2. Установлено Дж. У. Гиббсом в 1873-76...
• - ГИББСА распределение каноническое - распределение вероятностей различных состояний макроскопической системы с постоянным объемом и постоянным числом частиц, находящейся в равновесии с окружающей средой заданной...

  Большой энциклопедический словарь

"Гиббса распределение" в книгах

Распределение