Январь 1943 была уничтожена 2 венгерская армия. Венгрия в войне против ссср — как действовали венгерские «оккупационные группы. А29. Какое из утверждений является ошибочным
Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, - вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, "математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа". Понятие "квадратный корень" появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.
С чего все начиналось
Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало - ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.
Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.
Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе "Математика в девяти книгах", а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.
Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность - все, что имеет под собой "корневую" смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).
Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду "галочка" √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.
Наши дни
С точки зрения математики, квадратный корень из числа y - это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.
В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.
Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.
Свойства квадратного корня на поле R
Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.
Как найти корень числа?
Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:
1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа - до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:
Следующее нечетное число - это 11, остаток у нас следующий: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Для таких случаев существует разложение в ряд Тейлора:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , где n принимает значения от 0 до
+∞, а |y|≤1.
Графическое изображение функции z=√y
Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:
Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).
Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R
1. Область определения рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).
2. Область значений рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).
3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.
4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.
5. Функция z=√y не является периодической.
6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).
7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.
8. Функция z=√y непрерывно растет.
9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.
Варианты изображения функции z=√y
В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.
А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.
Стоит отметить, что в данной области квадратный корень очень востребован, так как входит в состав большинства геометрических формул, необходимых для вычислений. Сам алгоритм подсчета достаточно сложен и строится на рекурсии (функции, что вызывает сама себя).
Корень квадратный в комплексном поле С
По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.
Урок и презентация на тему:
"Свойства квадратного корня. Формулы. Примеры решений, задачи с ответами"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Интерактивное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 8 класса
Образовательный комплекс "1С: Школа. Геометрия, 8 класс"
Свойства квадратного корня
Мы продолжаем изучать корни квадратные . Сегодня рассмотрим основные свойства корней. Все основные свойства интуитивно понятны и согласуются со всеми операциями, которые мы проводили раньше.Свойство 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел: $\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}$.
Любые свойства принято доказывать, давайте это и сделаем.
Пусть $\sqrt{a*b}=x$, $\sqrt{a}=y$, $\sqrt{b}=z$. Тогда нам доказать, что $x=y*z$.
Давайте каждое выражение возведем в квадрат.
Если $\sqrt{a*b}=x$, то $a*b=x^2$.
Если $\sqrt{a}=y$, $\sqrt{b}=z$, то возведя оба выражения в квадрат, получим: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, то есть $x^2=(y*z)^2$. Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то значит и сами числа равны, что и требовалось доказать.
Из нашего свойства следует, что, например, $\sqrt{5}*\sqrt{3}=\sqrt{15}$.
Замечание 1. Свойство справедливо и для случая, когда под корнем более двух неотрицательных множителей.
Свойство 2. Если $а≥0$ и $b>0$, то справедливо следующее равенство: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
То есть корень из частного равен частному корней.
Доказательство.
Воспользуемся таблицей и кратко докажем наше свойство.
Примеры использования свойств квадратных корней
Пример 1.Вычислить: $\sqrt{81*25*121}$.
Решение.
Конечно, мы можем взять калькулятор, перемножить все числа под корнем и выполнить операцию извлечения корня квадратного. А если под рукой нет калькулятора, как быть тогда?
$\sqrt{81*25*121}=\sqrt{81}*\sqrt{25}*\sqrt{121}=9*5*11=495$.
Ответ: 495.
Пример 2. Вычислить: $\sqrt{11\frac{14}{25}}$.
Решение.
Подкоренное число представим в виде неправильной дроби:
$11\frac{14}{25}=\frac{11*25+14}{25}=\frac{275+14}{25}=\frac{289}{25}$.
Воспользуемся свойством 2.
$\sqrt{\frac{289}{25}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{25}}=\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}=3,4$.
Ответ: 3,4.
Пример 3.
Вычислить: $\sqrt{40^2-24^2}$.
Решение.
Мы можем вычислить наше выражение напрямую, но практически всегда его можно упростить. Давайте попробуем это сделать.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Итак, $\sqrt{40^2-24^2}=\sqrt{16*64}=\sqrt{16}*\sqrt{64}=4*8=32$.
Ответ: 32.
Ребята, обратите внимание, что для операций сложения и вычитания подкоренных выражений ни каких формул не существует и представленные ниже выражения не верны.
$\sqrt{a+b}≠\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
$\sqrt{a-b}≠\sqrt{a}-\sqrt{b}$.
Пример 4.
Вычислить: а) $\sqrt{32}*\sqrt{8}$; б) $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}$.
Решение.
Свойства, представленные выше, работают как и слева на право, так и в обратном порядке, то есть:
$\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}$.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.
Используя это, решим наш пример.
а) $\sqrt{32}*\sqrt{8}=\sqrt{32*8}=\sqrt{256}=16.$
Б) $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2$.
Ответ: а) 16; б) 2.
Свойство 3. Если $а≥0$ и n – натуральное число, то выполняется равенство: $\sqrt{a^{2n}}=a^n$.
Например. $\sqrt{a^{16}}=a^8$, $\sqrt{a^{24}}=a^{12}$ и так далее.
Пример 5.
Вычислить: $\sqrt{129600}$.
Решение.
Представленное нам число довольно таки большое, давайте разложим его на простые множители.
Мы получили: $129600=5^2*2^6*3^4$ или $\sqrt{129600}=\sqrt{5^2*2^6*3^4}=5*2^3*3^2=5*8*9=360$.
Ответ: 360.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить: $\sqrt{144*36*64}$.2. Вычислить: $\sqrt{8\frac{1}{36}}$.
3. Вычислить: $\sqrt{52^2-48^2}$.
4. Вычислить:
а) $\sqrt{128*\sqrt{8}}$;
б) $\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{8}}$.
Демонстрационный вариант КИМ (II).
(Ответы в конце теста).
А1. В каком слове верно выделена буква, обозначающая ударный гласный звук?
2) красивЕе
3) прИнята
4) нАнявшийся
А2. В каком предложении вместо слова ОБОРОТНЫЙ нужно употребить слово ОБОРОТИСТЫЙ?
1) На ОБОРОТНОЙ стороне листа был написан телефон.
2) Фабрика не может класть на депозит ОБОРОТНЫЕ средства.
3) К тому времени Порфирий скопил немалый ОБОРОТНЫЙ капиталец.
4) Попандопуло был ОБОРОТНЫМ дельцом с сомнительной репутацией.
А3. Укажите пример с ошибкой в образовании формы слова.
