Мордкович рациональные уравнения. Алгоритм решения рациональных уравнений. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это - алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Если r(х) - рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.
Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) - рациональные выражения.
До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению
. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.
Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде
При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем
Вспомним условия равенства дроби
нулю: тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:
1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля ).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим
Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения (1), что . Значения х 1 = 2 и х 2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.
1) Преобразуем уравнение к виду
2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:
(одновременно изменили знаки в числителе и
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид
3) Решим уравнение х 2 - 6x + 8 = 0. Находим
4) Для найденных значений проверим выполнение условия 
. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 - нет. Значит, 4 - корень заданного уравнения, а 2 - посторонний корень.
О т в е т: 4.
2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной
Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.
Пример 3. Решить уравнение х 4 + х 2 - 20 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = х 2 . Так как х 4 = (х 2) 2 = у 2 , то заданное уравнение можно переписать в виде
у 2 + у - 20 = 0.
Это - квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы
; получим у 1 = 4, у 2 = - 5.
Но у = х 2 , значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x 2 =4; х 2 =-5.
Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Уравнение вида ах 4 + bx 2 +c = 0 называют биквадратным уравнением («би» - два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х 2 , решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х 2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х 2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной
- и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):
А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.
1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:
= 0
2) Преобразуем левую часть уравнения
Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду
3) Из уравнения - 7у 2 + 29у -4 = 0 находим (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).
4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1). Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: 
Поскольку у = х 2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и , - нам еще предстоит решить два уравнения: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх = . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения - числа
В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.
Пример 5.
Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х 2 - Зх.
С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у 2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два уравнения х 2 - Зх = 4 и х 2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х 1 = 4, х 2 = - 1; второе уравнение не имеет корней.
О т в е т: 4, - 1.
Урок алгебры в 8 классе по теме «Решение рациональных уравнений».
Пискун Елена Михайловна
учитель математики
МКОУ СОШ №2 г.Нефтекумск
Урок - обобщения знаний и способов решения рациональных уравнений.
Цели урока:
1 .Совершенствовать практические навыки и умения учашихся.
2 . Развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать
Математические модели.
3. Воспитывать познавательную активность, культуру общения, самостоятельность; учить самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу деятельности.
Оборудование к уроку: компьютер, мультимедийный проектор, экран, печатные листы для работы учащихся на уроке, листы с дополнительным заданием на дом.
Используемые технологии: личностно-ориентированные технологии, ИКТ.
Ход урока:
Приветствие. Создатель теории относительности Альберт Эйнштейн в свое время заметил: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будет существовать вечно».
ΙΙ.Постановка цели и мотивация учебной деятельности:
Целью нашего урока является обработка навыков решения рациональных уравнений.
Записать дату и тему урока в тетрадях.
ΙΙΙ.Актуализация знаний:
1.Что такое уравнение?
2.Что значит решить уравнение?
3.Какие уравнения называются рациональными?
4.Что будет являться решением такого уравнения?
Я предлагаю вам «связку ключей» к решению рациональных уравнений.
Заготовка на переносной доске:
Ключ 1. Условие равенства дроби нулю: y²-5y+4 =0
У-2
Ключ 2. Условие равенства двух дробей с одинаковым знаменателем:
5х²-3 = х
Х-1 х-1
Ключ 3. Условие равенства двух дробей или основное свойство дроби:
х² = 2х
Х-2 3
Ключ 4. Свойство равенства дробей с разными знаменателями:
х²+4 = 5х
Х+2 х-1
Ключ 5. Решение уравнений с помощью подстановки:
Х – 9Х + 20=0
Попробуйте применить разные «ключи» в зависимости от ситуации.
Почему рациональные уравнения надо решать с осторожностью?
Устно: 1) При каких значениях х выражение имеет смысл?
1 1 5 4 5
Х; Х+5 ; Х(Х – 2) ; (Х – 3)(Х+4) ;
2) Найдите общий знаменатель дробей в каждом уравнение:
А) х 5 _ 3х 6 = = 0 ;
2 – 5х 5х - 2
Б) 3у 5 _ у² 6 = = 1 ;
У - 2 у² - 4
В) 2х 5 + 3 6 = = 0 .
Х + 2 х
Ответы: а) 5х – 2 или 2 – 5х; б) у² - 4; в) х(х+2).
ΙV.Формирование умений и навыков: Работа у доски с комментарием (каждый шаг алгоритма выполняет один человек).
Решите уравнения: Какой ключ надо использовать?
а) 2х² - 5х + 3 = 0 ; б) 8у - 5 = 9у .
Х – 1 у у+2
Ответы: а) х=1,5, б) у1=10; у2=1.
Это уравнение взято из материалов ГИА 9 класс.
Выдвижение проблемы:
Назовите количество решений уравнения.
Х(х + 3) (х² - 3х + 2) = 0
Х – 1
Попробуйте решить это уравнение. Ваши предложения.
Каким ключом вы воспользуетесь?
Когда дробь равна 0?
Когда произведение равно 0?
Сколько корней вы получите?
Решение: дробь равна 0, если числитель этой дроби равен 0, а знаменатель
Х– 1 ≠ 0
Х(х +3) (х² - 3х + 2) = 0
Х1=0 или Х+3=0 или Х² - 3Х + 2 = 0
Х2= -3 Х3=2, Х4=1
Проверка: подставим корни в знаменатель х– 1 ≠ 0
Х4=1 – посторонний корень.
Теперь можно назвать количество корней данного уравнения?
Ответ: данное уравнение имеет 3 решения.
V.Самостоятельная работа: Раздаются листы с условием.
1-вариант 2-вариант
а) х²-х-6 = 0 а) х²-5х-6 = 0
Х-3 х +1
Ответ: х = -2 Ответ: х = 6
4 2 4 2
б) Х – 5Х - 36 = 0 б) Х – 8Х + 16 = 0
Ответ: х1 = 2;х2=-2. Ответ: х1 = 2; х=-2.
в) х²-6х = 3х-4 в) х²-2х = 4х-3
3х-1 1-3х 2х-1 1-2х
Ответ: х1 = 4;х2=-1. Ответ: х1 = 1; х2=-3.
Взаимопроверка (работа в парах).
Ребята обмениваются тетрадями, проверяют решение.
Ответы размещаются на доске . Система оценивания на переносной доске.
Выставление оценок.
VΙ. Подведение итогов.
Какие же из предложенных «ключей» пригодились вам на уроке?
Каким «ключом» вы пользуетесь чаще всего?
Желаю, чтобы «связка ключей» пополнялась по мере изучения
Математики. А на экзамене вы смогли бы подобрать «ключи» к решению любого уравнения!
VΙΙ. Домашнее задание. Задание раздаётся в начале урока (на «3» а,б;
на «4» а, б, в; на «5» а, б, в, г).
1-вариант 2-вариант
а) х² = 2х ; а) 3х-9 = 3х;
3-х 3-х х-1 2-х
б) х-7 _ х+4 = 1; б) х²-2х + х+6 =3;
Х-2 х+2 2х-1 х+1
4 2 4 2
в) 9 Х – 40Х + 16 = 0 ; в)16 Х – 25Х + 9 = 0;
г) 3 х²+11х-4 = 3 . г) 2 х²+2х-1 = 2.
3х-1 2х-1
3 + 2 = 1
Х²-2х +1 1-х² х+1
Список используемой литературы:
1.Учебник и задачник «Алгебра» - 8 класс под редакцией А.Г. Мордковича.
2. Математика 9 класс. Подготовка ГИА под редакцией Ф.Ф.Лысенко.
3. Хрестоматия по истории математики. Под редакцией А.П.Юшкевича.
Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.
Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.
Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где 
- рациональные выражения.
Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.
Пример 1
Решить уравнение: .
Решение:
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Получаем следующую систему:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:
Получаем два корня: ; .
Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.
Ответ: .
Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:
1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.
2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.
3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: 
.
4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.
Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример 2
Решить уравнение: 
.
Решение
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.
Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:
Получаем два корня: ; .
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.
Ответ: .
На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.
На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
- Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Домашнее задание
Конспект урока математики в 8 классе по теме «Решение рациональных уравнений» по учебнику Мордкович А.Г.
Калинникова Алина Юрьевна
Место работы
МБОУ СОШ № 6 им.Ц.Л.Куниковаг.Туапсе
Должность
Учитель математики
Предмет
Класс
А.Г. Мордкович. Алгебра 8 класс. Двух частях. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений, 12- е издание, стереотипное. – М. Мнемозина, 2010 . – 215с.
Название урока
Решение рациональных уравнений
Тип урока
Урок - обобщения знаний и способов решения рациональных уравнений
Форма проведения урока
Традиционная
Образовательная среда урока
Компьютер, мультимедийный проектор, экран, печатные листы для работы учащихся на уроке, листы с дополнительным заданием на дом.
Формы работы учащихся
Индивидуальная, групповая
Цели задачи урока:
-обучающие: Совершенствовать практические навыки и умения учашихся
-развивающие: развивать логическое мышление учащихся, повышать интерес к изучаемой теме;, развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать
-воспитательные Воспитывать познавательную активность, культуру общения, самостоятельность; учить самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу деятельности.
Ход урока:
Ι.Организационный момент:
Приветствие. Создатель теории относительности Альберт Эйнштейн в свое время заметил: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будет существовать вечно».
ΙΙ.Постановка цели и мотивация учебной деятельности:
Целью нашего урока является обработка навыков решения рациональных уравнений.
Записать дату и тему урока в тетрадях.
ΙΙΙ.Актуализация знаний:
1.Что такое уравнение?
2.Что значит решить уравнение?
3.Какие уравнения называются рациональными?
4.Что будет являться решением такого уравнения?
Я предлагаю вам «связку ключей» к решению рациональных уравнений.
Заготовка на закрытой доске:
Ключ 1. Условие равенства дроби нулю: y ²-5 y +4 =0
Ключ 2. Условие равенства двух дробей с одинаковым знаменателем:
5х²-3 = х
Ключ 3. Условие равенства двух дробей или основное свойство дроби:
х² = 2х
Ключ 4. Свойство равенства дробей с разными знаменателями:
х²+4 = 5х
Ключ 5. Решение уравнений с помощью подстановки:
Х – 9Х + 20=0
Попробуйте применить разные «ключи» в зависимости от ситуации.
Почему рациональные уравнения надо решать с осторожностью?
Устно: 1) При каких значениях х выражение имеет смысл?
1 1 5 4 5
Х; Х+5 ; Х(Х – 2) ; (Х – 3)(Х+4) ;
2) Найдите общий знаменатель дробей в каждом уравнение:
А) х 5 _ 3х 6 = = 0 ;
2 – 5х 5х - 2
Б) 3у 5 _ у² 6 = = 1 ;
В) 2х 5 + 3 6 = = 0 .
Ответы: а) 5х – 2 или 2 – 5х; б) у² - 4; в) х(х+2).
Ι V .Формирование умений и навыков: Работа у доски с комментарием (каждый шаг алгоритма выполняет один человек).
Решите уравнения: Какой ключ надо использовать?
а) 2х² - 5х + 3 = 0 ; б) 8у - 5 = 9у .
х – 1 у у+2
Ответы: а) х=1,5, б) у1=10; у2=1.
Это уравнение взято из материалов ГИА 9 класс, будьте внимательны.
Выдвижение проблемы:
Назовите количество решений уравнения.
х(х + 3 ) (х² - 3х + 2) = 0
Попробуйте решить это уравнение. Ваши предложения.
Наводящие вопросы:
Каким ключом вы воспользуетесь?
Когда дробь равна 0?
Когда произведение равно 0?
Сколько корней вы получите?
Решение: дробь равна 0, если числитель этой дроби равен 0, а знаменатель
х(х +3 ) (х² - 3х + 2) = 0
Х1=0 или Х+3=0 или Х² - 3Х + 2 = 0
Х2= -3 Х3=2, Х4=1
Проверка: подставим корни в знаменатель х– 1 ≠ 0
Х4=1 – посторонний корень.
Теперь можно назвать количество корней данного уравнения?
Ответ: данное уравнение имеет 3 решения.
V .Самостоятельная работа: Раздаются листы с условием.
1-вариант 2-вариант
а) х²-х-6 = 0 а) х²-5х-6 = 0
Х-3 х +1
Ответ: х = -2 Ответ: х = 6
б) Х – 5Х - 36 = 0 б) Х – 8Х + 16 = 0
Ответ: х1 = 2;х2=-2. Ответ: х1 = 2; х=-2.
в) х²-6х = 3х-4 в) х²-2х = 4х-3
3х-1 1-3х 2х-1 1-2х
Ответ: х1 = 4;х2=-1. Ответ: х1 = 1; х2=-3.
Взаимопроверка (работа в парах).
Ребята обмениваются тетрадями, проверяют решение.
Ответы размещаются на доске. Система оценивания на переносной доске.
Выставление оценок.
VΙ. Подведение итогов.
Какие же из предложенных «ключей» пригодились вам на уроке?
Каким «ключом» вы пользуетесь чаще всего?
Желаю, чтобы на экзамене вы смогли бы подобрать «ключи» к решению любого уравнения!
VΙΙ. Домашнее задание. Задание раздаётся в начале урока
(на «3» а,б;
на «4» а, б, в;
на «5» а, б, в, г).
1-вариант 2-вариант
а) х² = 2х ; а) 3х-9 = 3х;
3-х 3-х х-1 2-х
б) х-7 _ х+4 = 1; б) х²-2х + х+6 =3;
х-2 х+2 2х-1 х+1
в) 9 Х – 40Х + 16 = 0 ; в)16 Х – 25Х + 9 = 0;
г) 3х²+11х-4 = 3 . г) 2х²+2х-1 = 2.
Дополнительное задание:
3 + 2 = 1
х²-2х +1 1-х² х+1
Список используемой литературы:
1.Учебник и задачник «Алгебра» - 8 класс под редакцией А.Г. Мордковича.
2. Математика 9 класс. Подготовка ГИА под редакцией Ф.Ф.Лысенко.
3. Хрестоматия по истории математики. Под редакцией А.П.Юшкевича.
