На рисунке изображен график первообразной некоторой функции. Первообразная функции. Основное свойство первообразной. Основные свойства неопределенного интеграла
Русский язык. Подготовка учащихся к итоговой аттестации: ОГЭ, ЕГЭ. Все классы.
Устная и письменная речь культурного, грамотного человека должна подчиняться определённым правилам, или нормам. Норма литературного языка - это общепринятое употребление языковых средств: звуков, ударения, интонации, слов, их форм, синтаксических конструкций. Основное свойство норм - их обязательность для всех говорящих и пишущих по-русски. Другое важное свойство нормы --устойчивость, благодаря чему сохраняется языковая связь между поколениями, обеспечивается преемственность культурных традиций народа. Вместе с тем нормы медленно, но непрерывно изменяются (под влиянием разговорной речи, лексики различных социальных и профессиональных групп, заимствований).
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ НОРМ СОВРЕМЕННОГО РУССКОГО ЛИТЕРАТУРНОГО ЯЗЫКА
Различают три типа языковых норм.
1. Нормы письменной и устной форм речи:
Лексические нормы (нормы словоупотребления) - это нормы, определяющие правильность выбора слова. а также употребление его в тех значениях, которые оно имеет в литературном языке (играет роль, имеет значение и ни в коем случае не наоборот). Соблюдение лексических норм - важнейшее условие точности речи и её правильности. Их нарушение приводит к ошибкам: Раскольников волочил жалкое существование. Родители Ильи Муромца были простыми колхозниками.
Грамматические нормы делятся на словообразовательные, морфологические и синтаксические. Словообразовательные нормы определяют порядок соединения частей слова, образования новых слов.
Примеры словообразовательных ошибок: взятничество (вместо взяточничество), глубизна переживаний (вместо глубина). Морфологические нормы требуют правильного образования грамматических форм слов разных частей речи (форм рода, числа, кратких форм и степеней сравнения прилагательных и др.) Нарушение этих норм приводит к грамматическим ошибкам: Жизнь сейчас трудная, происходит катаклизма за катаклизмой (слово катаклизм мужского рода). Это платье более красивее (вместо просто красивее ). Синтаксические нормы предписывают правильное построение словосочетаний и предложений и включают правила согласования слов и синтаксического управления, соотнесения частей предложения. Нарушение синтаксических норм часто встречается, например, в предложениях с деепричастным оборотом: Читая текст, у меня возник вопрос. (Вместо: Читая текст, я задаюсь вопросом. Или: Когда я читал текст, у меня возник вопрос.)
Стилистические нормы определяют употребление языковых средств в соответствии с законами жанра, особенностями стиля и условиями общения. Так, в предложении На Кавказе Печорин неплохо проводил время, например, умыкнул Бэлу следует считать ошибкой употребление слова умыкнул, которое не соответствует стилю и жанру школьного сочинения.
2. Специальные нормы письменной речи:
Нормы орфографии (правописание) включают правила обозначения звуков буквами, правила слитного, дефисного и раздельного написания слов, правила употребления прописных (заглавных) букв и графических сокращений.
Нормы пунктуации определяют употребление знаков препинания.
Правила орфографии и пунктуации можно найти в соответствующих справочниках, наиболее авторитетным из которых считается "Справочник по орфографии и пунктуации" Д.Э. Розенталя.
3. Только к устной речи применимы орфоэпические нормы (орфоэпия от греч. слов orthos - правильный и epos - речь). Они включают нормы произношения, ударения и интонации (наро[ш]но, каталОг, включИт ). Соблюдение этих правил способствует более быстрому и более лёгкому взаимопониманию говорящих, тогда как нарушение орфоэпических норм отвлекает от восприятия содержания речи и создаёт у слушателей неприятное впечатление о говорящем. Орфоэпические нормы зафиксированы в орфоэпических словарях русского языка и словарях ударений.
Таким образом, нормы действуют на всех уровнях литературного языка, во всех формах речи. Возникает закономерный вопрос, кто же устанавливает нормы? языковые нормы не выдумываются учёными. Они отражают те процессы и явления, которые происходят в языке и поддерживаются говорящими. Основными источниками языковой нормы принято считать произведения писателей-классиков и современных писателей, средства массовой информации, общепринятое современное употребление, данные опросов и исследований.
Нормы помогают сохранять целостность и общепонятность языка, защищают литературный язык от потока диалектной речи, социальных и профессиональных жаргонов, просторечия. Это позволяет литературному языку выполнять основную функцию - культурную.
зыковые нормы (нормы литературного языка, литературные нормы) - это правила использования языковых средств в определенный период развития литературного языка, т.е. правила произношения, правописания, словоупотребления, грамматики. Норма - это образец единообразного, общепризнанного употребления элементов языка (слов, словосочетаний, предложений).
Хочется сказать, что языковые нормы не придуманы филологами, они отражают определенный этап в развитии литературного языка всего народа
.
Нормы языка нельзя ввести или отменить указом, их невозможно реформировать административным путем. Деятельность ученых-языковедов, изучающих нормы языка, заключается в другом: они выявляют, описывают и кодифицируют языковые нормы, а также разъясняют и пропагандируют их.
К основным источникам языковой нормы относятся:
произведения писателей-классиков;
произведения современных писателей, продолжающих классические традиции;
публикации средств массовой информации;
общепринятое современное употребление;
данные лингвистических исследований.
Характерными чертами языковых норм являются:
относительная устойчивость;
распространенность;
общеупотребительность;
общеобязательность;
соответствие употреблению, обычаю и возможностям языковой систем
Нормы помогают литературному языку сохранять свою целостность и общепонятность. Они защищают литературный язык от потока диалектной речи, социальных и профессиональных жаргонов, просторечия. Это позволяет литературному языку выполнять одну из важнейших функций - культурную.
Речевой нормой называется совокупность наиболее устойчивых традиционных реализаций языковой системы, отобранных и закрепленных в процессе общественной коммуникации.
В литературном языке различают следующие типы норм :
нормы письменной и устной форм речи;
нормы письменной речи;
нормы устной речи.
К нормам, общим для устной и письменной речи, относятся:
лексические нормы;
грамматические нормы;
стилистические нормы.
Специальными нормами письменной речи являются:
нормы орфографии;
нормы пунктуации.
Только к устной речи применимы:
нормы произношения;
нормы ударения;
интонационные нормы.
Нормы, общие для устной и письменной речи, касаются языкового содержания и построения текстов.
Лексические нормы , или нормы словоупотребления, - это нормы, определяющие правильность выбора слова из ряда единиц, близких ему по значению или по форме, а также употребление его в тех значениях, которые оно имеет в литературном языке.
Лексические нормы отражаются в толковых словарях, словарях иностранных слов, терминологических словарях и справочниках.
Соблюдение лексических норм - важнейшее условие точности речи и ее правильности. Их нарушение приводит к лексическим ошибкам разного типа (
неправильный выбор слова из ряда единиц, в том числе смешение паронимов, неточный выбор синонима, неправильный выбор единицы семантического поля (костяной тип мышления, проанализировать жизнедеятельность писателей, николаевская агрессия, Россия переживала в те годы много казусов во внутренней и внешней политике );
нарушение норм лексической сочетаемости (стадо зайцев, под гнетом гуманности, тайный занавес, закоренелые устои, прошел все стадии развития человека );
противоречие между замыслом говорящего и эмоционально-оценочными коннотациями слова (Пушкин правильно выбрал дорогу жизни и пошел по ней, оставляя несмываемые следы; Он внес непосильный вклад в развитие России );
употребление анахронизмов (Ломоносов поступил в институт; Раскольников учился в вузе );
смешение лингвокультурологических реалий (Ломоносов жил за сотни миль от столицы );
неверное употребление фразеологических оборотов (Молодость била из него ключом; Надо вывести его на свежую воду ).
Грамматические нормы делятся на словообразовательные, морфологические и синтаксические. Грамматические нормы описаны в "Русской грамматике" (М., 1980, т. 1-2), подготовленной Академией наук, в учебниках русского языка и грамматических справочниках.
Словообразовательные нормы определяют порядок соединения частей слова, образования новых слов. Словообразовательной ошибкой является употребление несуществующих производных слов вместо существующих производных слов с другим аффиксом, например, описывание характера, продажничество, беспросвет, произведения писателя отличаются глубиной и правдивостью .
Морфологические нормы требуют правильного образования грамматических форм слов разных частей речи (форм рода, числа, кратких форм и степеней сравнения прилагательных и др.). Типичным нарушением морфологических норм является употребление слова в несуществующей или несоответствующей контексту словоизменительной форме (проанализированный образ, царящиеся порядки, победа над фашизмами, назвал Плюшкина прорехом ). Иногда можно услышать такие словосочетания: железнодорожная рельса, импортная шампунь, заказной бандероль, лакированный туфель . В этих словосочетаниях допущена морфологическая ошибка - неправильно оформлен род имен существительных.
Синтаксические нормы предписывают правильное построение основных синтаксических единиц - словосочетаний и предложений. Эти нормы включают правила согласования слов и синтаксического управления, соотнесения частей предложения друг с другом с помощью грамматических форм слов с той целью, чтобы предложение было грамотным и осмысленным высказыванием. Нарушение синтаксических норм имеется в следующих примерах: Читая ее, возникает вопрос; Поэме характерен синтез лирического и эпического начал; Выйдя замуж за его брата, никто из детей не родился живым .
Стилистические нормы определяют употребление языковых средств в соответствии с законами жанра, особенностями функционального стиля и - шире - с целью и условиями общения. Немотивированное употребление в тексте слов другой стилистической окраски вызывает стилистические ошибки. Стилистические нормы зафиксированы в толковых словарях в качестве специальных помет, комментируются в учебниках по стилистике русского языка и культуре речи.
Стилистические ошибки состоят в нарушении стилистических норм, включении в текст единиц, не соответствующих стилю и жанру текста. Наиболее типичными стилистическими ошибками являются:
стилистическая неуместность (зацикливается, царский беспредел, пофигист, любовный конфликт обрисован во всей красе - в тексте сочинения, в деловом документе, в анали-тической статье);
употребление громоздких, неудачных метафор (Пушкин и Лермонтов - два луча света в темном царстве; Этим цветам - посланникам природы - неведомо, что за буйное сердце бьется в груди под каменными плитами!; Имел ли он право отрезать эту ниточку жизни, которую не сам подвесил? );
лексическая недостаточность (Меня до глубины волнует этот вопрос );
лексическая избыточность (Он их будит, чтобы они проснулись; Надо обратиться к периоду их жизни, то есть к тому периоду времени, когда они жили; Пушкин - поэт с большой буквы этого слова );
двусмысленность (Во время того, как Обломов спал, многие готовились к его пробуждению; Единственное развлечение Обломова - Захар; Есенин, сохраняя традиции, но как-то не так любит прекрасный женский пол; Все действия и отношения между Ольгой и Обломовым были неполными ).
Нормы орфографии - это правила обозначения слов на письме. Они включают правила обозначения звуков буквами, правила слитного, дефисного и раздельного написания слов, правила употребления прописных (заглавных) букв и графических сокращений, правила переноса слов.
Нормы пунктуации определяют употребление знаков препинания. Средства пунктуации имеют следующие функции:
отграничение в письменном тексте одной синтаксической структуры (или ее элемента) от другой;
фиксация в тексте левой и правой границ синтаксической структуры или ее элемента;
объединение в тексте нескольких синтаксических структур в одно целое.
Подробнее о возможных стилистических ошибках можно прочитать
А теперь решим
51. На рисунке изображён график y=f "(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x ) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней.
Ответ: 5
52. На рисунке изображён график y=F(x) f(x) f(x) положительна?
Ответ: 7
53. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x ) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?
Ответ: 3
54. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 . В скольких из этих точек функция f(x) положительна?
Ответ: 6
55. На рисунке изображён график y=F(x f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2].
Ответ: 3
56. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)= 0 на отрезке [− 5; 5].
Ответ: 4
57. На рисунке изображён график y=F (x ) одной из первообразных некоторой функции f (x ), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x )=0 на отрезке .
Ответ: 4
58. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−8), где F(x) f(x).
Ответ: 20
59. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−9), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).
Ответ: 24
60. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ). Функция
-одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры .
Ответ: 6
61. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция
Одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 14,5
параллельна касательной к графику функции
Ответ:0,5
Найдите абсциссу точки касания.
Ответ: -1
является касательной к графику функции
Найдите c .
Ответ: 20
является касательной к графику функции
Найдите a .
Ответ:0,125
является касательной к графику функции
Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Ответ: -33
67. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?
Ответ: 18
68. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 48 м/с?
Ответ: 9
69. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x t t =6 с.
Ответ: 20
70. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t =3 с.
Ответ: 59
Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.
Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.
Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.
Пример №1 .
Пусть (f(х))’ = 3х 2 . Найдем f(х).
Решение:
Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо
(х 3)’ = 3х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др.
Т.к. производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.
Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х 2
Определение.
Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2
Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных.
Пример №2.
Функция есть первообразная для всех на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:
Признак постоянства функции. Если F"(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.
Доказательство.
Зафиксируем некоторое x 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x 0 , что
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).
По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,
F(x) - F(x 0) = 0.
Итак, для всех х из промежутка I
т е. функция F сохраняет постоянное значение.
Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных ):
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
F(x) + C, (1) где F (х) - одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:
- какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
- какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство
Доказательство.
- По условию функция F - первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F"(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)" = F"(x) + C"=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C - первообразная для функции f.
- Пусть Ф (х) - одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф"(x) = f (х) для всех x∈I.
Тогда (Ф(x) - F (x))" = Ф"(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.
Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) - F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.
Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу
Вопросы к конспектам
Функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите F(1), если f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.
Найдите все первообразные для функции
Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.
Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
Цель:
- Формирование понятия первообразной.
- Подготовка к восприятию интеграла.
- Формирование вычислительных навыков.
- Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).
Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.
Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”.
Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.
Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.
Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.
Пример №1 .
Пусть (х)`=3х 2 .
Найдем f(х).
Решение:
Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо (х 3)`=3х 2
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.
В качестве f(х) можно взять
f(х)= х 3 +1
f(х)= х 3 +2
f(х)= х 3 -3 и др.
Т.к.производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.
Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х 2
Определение.
Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞
; ∞).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2
Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1).
Пример № 2.
Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на
промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х -1/2 =1/2х
Пример № 3.
Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на
промежутке (-п/2;
п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos 2 3х
Пример № 4.
Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х 2
на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х 2
Лекция 2.
Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.
При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.
Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.
Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0 . Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.
Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.
Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать:
f(х 2)- f(х 1)=f`(с) (х 2 - х 1), т.к.
f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)
Теорема: (Основное свойство первообразной функции)
Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Доказательство:
Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая
первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0,
для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на
промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.
Решение:
Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.
F 1 (х) = Sin х-1
F 2 (х) = Sin х
F 3 (х) = Sin х+1
Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).
Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)
Решение:
F(х)=х 2 +С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 1 2 +С
С = 3
F(х) = х 2 +3
