Простейшие тригонометрические уравнения теория. Основные методы решения тригонометрических уравнений. Метод разложения на множители
Вариант 4
(ответы в конце теста)
А1. Какой из документов был принят раньше других?
1) «Соборное уложение»
2) «Табель о рангах»
3) «Генеральный регламент»
4) «Указ о трехдневной барщине»
А2. Какое событие связано с княжением Дмитрия Донского?
1) «стояние» на реке Угре
2) разорение Москвы ханом Тохтамышем
3) набег на Москву крымского хана
4) присоединение к Москве Великого Новгорода
А3. Как в Древней Руси назывался штраф в пользу князя?
1) вервь 3) гривна
2) вира 4) оброк
А4. Что из перечисленного было одним из результатов правления Ивана Калиты и его сыновей (XIV в.)?
1) прекращение зависимости Руси от Золотой Орды
2) присоединение к Москве Великого Новгорода
3) экономическое и военное укрепление Московского княжества
4) присоединение к Москве Тверского княжества
А5. Известным русским поэтом XVIII века был
1) Г.Р.Державин
2) Ф.С.Рокотов
3) Д.Г.Левицкий
4) Н.И.Новиков
А6. «Манифест о вольности дворянской», «Жалованная грамота дворянству» характеризовали процесс
1) законодательного оформления прав дворянства как господствующего привилегированного сословия
2) решения крестьянского вопроса
3) осуществления реформ в области государственного управления
4) введения обязательной службы для дворян
А7. Одним из следствий принятия Соборного уложения 1649 года было
1) установление бессрочного сыска беглых крестьян
2) продление сроков поиска крестьян до 15 лет
3) упразднение правила «с Дона выдачи нет»
4) разрешение помещикам ссылать крестьян в Сибирь
А8. Прочтите отрывок из сочинения историка и укажите хана Золотой Орды, о нашествии которого идет речь.
«Куликовская битва высоко вознесла славу Москвы, но Золотая Орда была еще сильна и отомстила русской столице… разорением.
После гибели Мамая, убитого в одном из крымских городов, власть над Золотой Ордой перешла к [хану], задумавшему отомстить за поражение татар на Куликовом поле. [Хан] подошел к Москве неожиданно со стороны Рязани, взял и сжег Серпухов, после чего двинулся к Москве. Приближение [хана] стало известно Дмитрию Донскому, но отсутствие единства среди князей и недостаток в Москве воинской силы заставили его отказаться от битвы с татарами и покинуть Москву».
1) Батый 3) Тамерлан
2) Менгли-Гирей 4) Тохтамыш
А9. Какое из перечисленных явлений, событий XIX века имело место раньше всех других?
1) строительство Транссибирской железнодорожной магистрали
2) начало промышленного переворота
3) возникновение трестов, концернов
4) издание Александром I указа о «вольных хлебопашцах»
А10. Кто из указанных лиц был историком?
1) И.М.Сеченов 3) Н.И.Лобачевский
2) Н.М.Карамзин 4) И.И.Мечников
А11. Основанные в первой половине XIX века центральные правительственные учреждения, ведавшие различными отраслями хозяйства, назывались
1) коллегиями 3) земствами
2) приказами 4) министерствами
А12. Что из названного было осуществлено в годы царствования Александра III?
1) основаны военные поселения
2) уравнены вотчина с поместьем
3) издан указ о возвращении беглых крестьян помещикам
4) снижены выкупные платежи
А13. Что было одной из причин поражения армии Наполеона в России в 1812 году?
1) совместные военные действия армий России и Пруссии
2) значительные потери французской армии при Бородино
3) пожелание Наполеона дать приграничное сражение в начале войны
4) значительное численное превосходство российских армий над французскими в начале войны
А14. Прочтите отрывок из рапорта военачальника и укажите его имя.
«Сего 18-го числа в полдень при умеренном восточном ветре с дождем атаковала турецкую эскадру из 7 больших фрегатов, шлюпа, 2 корветов, 2 транспортов и 2 пароходов, стоявшую между батареями на Синопском рейде, и в 2 часа совершенно ее уничтожила; суда были отброшены на мель, и два фрегата отброшены на отмель, и два фрегата взорваны на воздух, батареи срыты».
1) П.С.Нахимов
2) Ф.Ф.Ушаков
3) А.Г.Орлов
4) П.А.Румянцев-Задунайский
А15. И.В.Сталин объявил о переходе к политике «ликвидации кулачества как класса» в
1) 1921 г. 3) 1929 г.
2) 1924 г. 4) 1934 г.
А16. Как, согласно Конституции 1924 года, назывался высший орган исполнительной власти в СССР?
1) Совет министров
2) Совет народных комиссаров
3) Совет национальностей
4) Государственный совет
А17. В период НЭПа
1) была отменена государственная монополия внешней торговли
2) осуществлялась политика форсированной индустриализации
3) была провозглашена свобода внутренней торговли
4) земля и ее недра были переданы в частную собственность
А18. Что из названного относится к последствиям победы И.В.Сталина во внутрипартийной борьбе?
1) утверждение внутрипартийной демократии
2) критика со стороны руководства ленинского наследия
3) раскол партии на большевиков и меньшевиков
4) установление в партии и стране культа личности
А19. Прочтите отрывок из законодательного акта и определите год его принятия.
«Школа отделяется от церкви. Преподавание религиозных вероучений во всех государственных и общественных, а также частных учебных заведениях, где преподают общеобразовательные предметы, не допускается. Граждане могут обучать и обучаться религии частным образом».
1) 1905 г. 3) 1918 г.
2) 1914 г. 4) 1928 г.
А20. В Сталинградской битве героически сражалась 62-я армия под командованием генерала
1) В.И.Чуйкова 3) В.К.Блюхера
2) Д.М.Карбышева 4) М.В.Фрунзе
А21. Прочтите отрывок из статьи отечественного историка и укажите, к какому году относится описанная ситуация.
«Ставка… с марта работала над планом стратегического наступления, задача которого состояла в том, чтобы разгромить основные силы группы армий «Юг» и «Центр», сокрушить вражескую оборону на фронте от Смоленска до Черного моря. Предполагалось, что советские войска первыми перейдут в наступление. Однако в середине апреля на основании данных разведки о том, что командование вермахта планирует провести наступление под Курском, было принято решение обескровить немецкие войска мощной обороной, а затем перейти в контрнаступление».
1) 1941 г. 3) 1943 г.
2) 1942 г. 4) 1944 г.
А22. Какая из перечисленных дат связана с участием СССР в подписании Заключительного акта Совещания по безопасности и сотрудничеству в Европе?
1) 1961 г. 3) 1991 г.
2) 1975 г. 4) 1997 г.
А23. Какой из названных документов был принят в СССР в период перестройки?
1) «О журналах «Звезда» и «Ленинград»
2) «О культе личности и его последствиях»
3) «О репертуаре драматических театров и мерах по его улучшению»
4) «Об аренде и арендных отношениях в СССР»
А24. Программа «500 дней» С.С.Шаталина и Г.А.Явлинского предполагала
1) переход к рыночной экономике за 1,5 года
2) поэтапное введение рыночных отношений за 10 – 20 лет
3) усовершенствование плановой экономики
4) применение метода «шоковой терапии» в проведении реформ
А25. Что стало одним из последствий принятия статьи 6 Конституции СССР 1977 года?
1) сокращение численности партийно-государственного аппарата
2) ликвидация привилегий партийно-государственной номенклатуры
3) развитие внутрипартийной демократии
4) правовое закрепление власти партийно-государственной номенклатуры
А26. Прочтите отрывок из книги «Смешанное общество: российский вариант» и укажите год, когда было принято названное в тексте решение.
«Для развития предпринимательства в ходе либерализации принципиальным явилось разрешение свободной торговли… Свободная торговля и ее становление в качестве предпринимательской сферы дали ряд позитивных результатов. Свобода торговли способствовала поддержке многочисленных слоев населения, обездоленного в процессе реформ безработицей («челноки», а вместе с членами семей их численность составляла 30 млн человек), потерей накоплений, ликвидацией социальных гарантий и т.п.».
1) 1957 г. 2) 1965 г. 3) 1992 г. 4) 1998 г.
А27. Одним из важных событий во внешней политике России в 1990-е гг. стало ее вступление в
1) Лигу Наций
2) Совет Европы
3) Организацию Объединенных Наций
В1. Расположите следующие документы XVIII века в хронологической последовательности их издания. Запишите буквы, которыми обозначены документы, в правильной последовательности.
А) «Указ о секуляризации церковных земель»
Б) «Табель о рангах»
В) «Указ о единонаследии»
Г) «Манифест о вольности дворянской»
В2. Какие три из названных событий произошли в XVIII веке?
1) Семилетняя война
2) секуляризация церковных земель
3) созыв первого Земского собора
4) раздел Речи Посполитой
5) Смоленская война
6) учреждение в России патриаршества
В3. Установите соответствие между фамилиями исторических личностей и их деятельностью.
В4. Прочтите отрывок из именного указа от 18 января 1721 года и напишите, как назывались крестьяне, о которых идет речь.
«…Позволяется сим нашим указом для размножения… заводов, как шляхетству, так и купецким людям, к тем заводам деревни покупать невозбранно с позволения берг- и мануфактур-коллегии, токмо под такою кондициею, дабы те деревни всегда были уже при тех заводах неотлучно».
В5. Расположите следующие события в хронологической последовательности. Запишите буквы, которыми обозначены события, в правильной последовательности.
А) издание А.Н.Радищевым «Путешествия из Петербурга в Москву»
Б) основание А.И.Герценом Вольной русской типографии за границей
В) выступление декабристов на Сенатской площади в Петербурге
Г) создание организации «Народная воля»
В6. Какие три из перечисленных явлений сохранились в России в 1890-е годы?
1) самодержавие
2) месячина
3) военные поселения
4) барщина
5) помещичье землевладение
6) крестьянская поземельная община
В7. Установите соответствие между фамилиями государственных деятелей, высокопоставленных чиновников и именами российских императоров, в годы царствования которых они достигли наибольшего могущества.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.
В8. Прочтите отрывок из записок военного корреспондента и напишите название проходившей в XIX веке войны, о которой идет речь.
«Нашу стоянку у Константинополя долго не забудут войска скобелевского отряда. Со дня на день ждали приказа – двинуться и занять Царьград. Население готовило цветы и флаги, христиане подняли голову… На берегах Босфора толпы солдат и офицеров стояли у пристани в ярком мареве чудесного, сказочного города…».
В9. Какие три из перечисленных событий произошли в царствование Николая II?
1) денежная реформа С.Ю.Витте
2) создание Синода
3) «Кровавое воскресенье»
4) перевод крестьян на обязательный выкуп
5) аграрная реформа П.А.Столыпина
6) принятие плана ГОЭЛРО
В10. Установите соответствие между советскими законодательными актами и годами их принятия.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию.
В11. Прочтите отрывок из сочинения историка и напишите сокращенное название партии, о которой идет речь.
«Центральный пункт их программы – «социализация» земли, т.е. ликвидация частной собственности на землю и передача ее без выкупа в заведование сельских и городских общин. В основу пользования землей они клали уравнительно-трудовой принцип. Важнейшим элементом революционной тактики они считали политический террор. Для осуществления крупных актов, т.н. «центрального террора», осенью 1901 г. была создана боевая группа, которая затем получила название Боевой организации. Вождем и теоретиком партии был В.М.Чернов».
В12. Какие три из названных событий произошли во второй половине 1940-х гг.?
1) принятие проекта нового Союзного договора 9 республик СССР в Ново-Огарево
2) проведение денежной реформы и отмена карточной системы распределения товаров
3) разгром генетиков, победа направления биологии, возглавляемого Т.Д.Лысенко
4) начало реабилитации незаконно репрессированных людей
5) кампания борьбы с «космополитизмом»
6) подавление выступления рабочих в г.Новочеркасске
В13. Установите соответствие между событиями и годами, в которые они происходили.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.
В14. Прочтите отрывок из резолюции I съезда шахтеров СССР и напишите название периода, когда эта резолюция была принята.
«Мы требуем, чтобы КПСС уже сегодня была лишена привилегированного положения на наших предприятиях и в учреждениях. Парткомы и комитеты ВЛКСМ должны быть выведены с предприятий и учреждений.
Льготный стаж, который идет освобожденным партийным и комсомольским работникам, должен быть отменен. Мы считаем, что в условиях становления многопартийности должен быть решен вопрос о национализации созданной народом собственности КПСС, а также созданы реальные возможности для деятельности партий».
В15. Расположите понятия и термины в хронологической последовательности их появления. Запишите буквы, которыми обозначены понятия и термины, в правильной последовательности.
А) «корниловщина»
Б) «антоновщина»
В) «нечаевщина»
Г) «троцкизм»
Прочтите отрывок из исторического источника и кратко ответьте на вопросы С1-С3. Ответы предполагают использование информации из источника, а также применение исторических знаний по курсу истории соответствующего периода.
Из работы историка Б.А.Рыбакова.
«Помимо красочной и драматической внешней истории княжеств и князей, эта эпоха крайне интересна для нас теми обостренными отношениями между князьями и боярством, которые так явственно обозначились уже во времена Ярослава Осмомысла. Если отбросить элемент личной выгоды и корысти… то следует признать, что проводимая ими политика концентрации земель, ослабления уделов и усиления центральной княжеской власти объективно была безусловно прогрессивной, поскольку совпадала с народными интересами. В проведении этой политики князья опирались на широкие слои горожан и на выращенные ими самими резервы мелких феодалов («отроки», «детские», «милостники»), полностью зависевших от князя.
Необходимо обратить внимание на то, что начальная фаза <этого периода> (до того, как в нормальное развитие вмешался фактор завоевания) характеризуется не упадком культуры, как можно было бы ожидать… а, наоборот, бурным ростом городов и ярким расцветом русской культуры во всех ее проявлениях. Из этого следует, что новая политическая форма, очевидно, содействовала (может быть, на первых порах) прогрессивному развитию».
С1. Укажите название и хронологические рамки исторического периода, о котором говорится в отрывке. Используя знания по истории, назовите крупнейшие политические центры этого периода. Укажите в общей сложности не менее трех положений.
С2. Используя текст документа и привлекая знания по истории, укажите не менее трех характерных черт этого периода.
С3. Привлекая знания по истории и текст документа, дайте оценку этому периоду. Приведите не менее трех аргументов.
С4. Назовите не менее трех основных направлений проведения реформ в период перестройки в СССР в 1985 – 1990 гг. Приведите не менее двух примеров экономических преобразований этого периода.
С5. Вопрос относится к области теории и исторических споров, предполагающих два кардинально противоположных ответа. Он не решает задачи данного сайта, поэтому мы его пропускаем.
С6. Рассмотрите историческую ситуацию и ответьте на вопросы.
В начале царствования Александр I свою главную задачу в сфере внешней политики видел в борьбе против наполеоновской Франции. В этом вопросе царь был принципиален и тверд. Однако в 1807 году Александр I был вынужден подписать с Наполеоном мирный договор в Тильзите.
Каково было отношение дворянства, купечества к подписанию, условиям Тильзитского мирного договора? Как изменилось их отношение к Александру I? (Укажите не менее двух положений).
Чем объяснялось такое отношение дворянства, купечества к подписанию, условиям Тильзитского мирного договора? (Укажите не менее двух причин).
С7. Сравните положение крестьян, крестьянских хозяйств в 1870-е гг. и в 1907 – 1914 гг.
Укажите, что было общим (не менее двух общих характеристик), а что различным (не менее трех различий).
№ вопросов | Ответы | № вопросов | Ответы |
посессионные |
|||
русско-турецкая |
|||
эсеры (или ПСР) |
|||
перестройка |
|||
№ вопроса | Ответы |
Название периода – феодальная раздробленность Хронологические рамки: 30-е годы XII в. – конец XV в. Крупнейшие политические центры: Владимиро-Суздальское княжество, Великий Новгород, Галицко-Волынское княжество. |
|
Выбирайте любые три: 1) княжеские междоусобицы 2) раздробленность и отсутствие политического единства в русских землях 3) ослабление военного потенциала страны 4) обострение отношений между князьями и боярством 5) самостоятельность бояр-вотчинников в своих землях 6) рост и усиление экономического и политического могущества городов 7) расцвет культуры |
|
1) противоречивый период: с одной стороны раздробленность, а с другой – бурное развитие культуры 2) к прогрессивному развитию можно отнести рост и развитие городов 3) ослабление уделов и усиление власти князей имело прогрессивное значение, отвечала интересам народа |
|
Направления реформ: 1) экономические реформы, которые вели к рыночной экономике 2) демократизация политической системы, введение многопартийности 3) проведение политики гласности 4) перестройка международных отношений на принципах «нового политического мышления» Примеры экономических преобразований: 1) принятие закона о расширении прав государственных предприятий 2) принятие закона о кооперации 3) разрешение частной индивидуальной деятельности 4) признание равенства всех форм собственности на селе (колхозов, совхозов, фермерских хозяйств, арендных кооперативов) |
|
1) дворяне считали Тильзитский мирный договор унизительным для России 2) с экономической точки зрения договр был невыгоден для России, так купцы и дворяне, после присоединения России к континентальной блокаде Англии, теряли важный рынок 3) Россия теряла свои позиции на Средиземном море 4) было создано герцогство Варшавское как средство давления на Россию |
|
Общие характеристики : Сохраняется неравноправное положение крестьян Низкий уровень производительности крестьянских хозяйств Недостаток земли (малоземелье) Участие крестьян в работе земств Развитие наемного труда в сельском хозяйстве Различия : |
Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.
Что такое тригонометрические уравнения?
Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.
Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk
Для всех формул k- целое число
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.
Пример.Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:
Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.
Ещё примеры тригонометрических уравнений.
Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3Решение:
А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk
Ответ: x=5πk, где k – целое число.
Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.
Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .
Решение:
Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.
Ответ: x= π/16, x= 9π/16
Два основных метода решения.
Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.Решим уравнение:
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Пример решения уравнения
Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk
Однородные тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.Уравнения вида
однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):
Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.
Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Решение:
Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Тогда нам надо решить два уравнения:
Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk
Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!
1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде
2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:
Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:
Решить пример №:3
Решить уравнение:Решение:
Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1
Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk
Решить пример №:4
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Решить пример №:5
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2
Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Задачи для самостоятельного решения.
1) Решить уравнениеА) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7
2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].
3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Тригонометрические уравнения - тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
И тому подобное...
Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый - вы не поверите - в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.
Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором - решается это самое простое уравнение. Иначе - никак.
Так что, если на втором этапе у вас проблемы - первый этап особого смысла не имеет.)
Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
Здесь а обозначает любое число. Любое.
Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:
cos(3x+π /3) = 1/2
и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.
Как решать тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь - с использованием памяти и формул - рассмотрим в следующем уроке.
Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)
Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.
Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако... Трудно же вам в тригонометрии придётся...) Но не беда. Загляните в уроки "Тригонометрический круг...... Что это такое?" и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге". Там всё просто. В отличие от учебников...)
Ах, вы в курсе!? И даже освоили "Практическую работу с тригонометрическим кругом" !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс - ему всё едино. Принцип решения один.
Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:
cosx = 0,5
Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.
Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!
Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:
Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.
Косинус какого угла равен 0,5?
х = π /3
cos60° = cos(π /3 ) = 0,5
Кое-кто скептически хмыкнет, да... Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно... Можно, конечно, хмыкать...) Но дело в том, что это - ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.
Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус - нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.
Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество... И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да...)
Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:
х = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)
π /3 - это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.
2π - это один полный оборот в радианах.
n - это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3.... и так далее. Что и указано краткой записью:
n ∈ Z
n принадлежит (∈ ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т.д.
Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)
Или, другими словами, х = π /3 - это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.
Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 1 - не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.
Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!
Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:
Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые... Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:
х 2 = - π /3
Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Это правильный ответ.
Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)
Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:
Прошу учесть, что число 0,5 - это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.
Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:
Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:
х = π /6
Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол... Это похитрее, чем в косинусах, да... Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.
Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:
π - х
Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:
π - π /6 = 5π /6
Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.
В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)
Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:
Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.
Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем... Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт "обратных тригонометрических функций" нету... Лишнее это в данной теме.
Если вы в курсе, достаточно сказать себе: "Икс - это угол, косинус которого равен 2/3". И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:
Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:
х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:
х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.
Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет - кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой - это уж нам решать.
С синусом та же песня. Например:
Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:
И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!
Вот и готова первая пачка корней:
х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:
π - х
Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:
х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)
Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах - те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.
Применим знания на практике?)
Решить тригонометрические уравнения:
Сначала попроще, прямо по этому уроку.
Теперь посложнее.
Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)
А теперь внешне простенькие... Их ещё частными случаями называют.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна... И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)
Ну и совсем простые):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)
Ответы, разумеется, в беспорядке):
х 1
= arcsin0,3 + 2π
n, n ∈ Z
х 2
= π
- arcsin0,3 + 2
Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово...) И по ссылкам походите. Главные ссылки - про круг. Без него в тригонометрии - как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений
при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.
Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения
, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
sinх = а
cos x = a
tg x = a
cot x = a
Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.
Метод замены переменной и подстановки
Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители
Приведение к однородному уравнению
Решение уравнений, через переход к половинному углу
Введение вспомогательного угла
Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2
Теперь идем в обратном порядке
Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:
Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Получаем два уравнения
Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.
Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Делим на cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
x 2 = arctg 3 + k
Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Пререносим все влево:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Делим на cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :
Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
х = (-1) k * arcsin С - + k, где
Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
В этом уравнении коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2
