Увеличивается в 2 раза а. Задачи на уменьшение и увеличение числа в несколько раз. Д. Не изменится

При изучении стереометрии одной из главных тем становится «Цилиндр». Площадь боковой поверхности считается если не главной, то немаловажной формулой при решении геометрических задач. Однако важно помнить и определения, которые помогут сориентироваться в примерах и при доказательстве различных теорем.

Понятие цилиндра

Вначале нужно рассмотреть несколько определений. Только после их изучения можно приступать к рассмотрению вопроса о формуле площади боковой поверхности цилиндра. На основе этой записи можно вычислить и иные выражения.

• Под цилиндрической поверхностью понимают плоскость, описываемую образующей, движущейся и остающейся параллельной заданному направлению, скользящей по имеющейся кривой.
• Имеется и второе определение: цилиндрическую поверхность образуют множество параллельных прямых, пересекающих заданную кривую.
• Образующей называют условно высоту цилиндра. При ее перемещении вокруг оси, проходящей через центр основания, получается обозначенное геометрическое тело.
• Под осью подразумевают прямую, проходящую через оба основания фигуры.
• Цилиндром называется стереометрическое тело, ограниченное пересекающимися боковой поверхностью и 2 параллельными плоскостями.

Существуют разновидности данной объемной фигуры:

1. Под круговым подразумевают цилиндр, направляющая которого - это окружность. Его главными составляющими считаются радиус основания и образующая. Последняя равна высоте фигуры.
2. Существует прямой цилиндр. Свое название он получил благодаря перпендикулярности образующей к основаниям фигуры.
3. Третий вид - скошенный цилиндр. В учебниках можно встретить и другое его название «круговой цилиндр со скошенным основанием». Данную фигуру определяет радиус основания, минимальная и максимальная высоты.
4. Под равносторонним цилиндром понимают тело, имеющее равные между собой высоту и диаметр круглой плоскости.

Условные обозначения

Традиционно основные «компоненты» цилиндра принято называть следующим образом:

• Радиус основания - R (он же заменяет аналогичную величину стереометрической фигуры).
• Образующая - L.
• Высота - H.
• Площадь основания - S осн (иначе говоря, необходимо найти указанный параметр круга).
• Высоты скошенного цилиндра - h 1 ,h 2 (минимальная и максимальная).
• Площадь боковой поверхности - S бок (если ее развернуть, то получится своего рода прямоугольник).
• Объем стереометрической фигуры - V.
• Площадь полной поверхности - S.

«Компоненты» стереометрической фигуры

Когда изучается цилиндр, площадь боковой поверхности играет немаловажную роль. Связано это с тем, что данная формула входит в несколько других, более сложных. Поэтому необходимо быть хорошо подкованным в теории.

Основными составляющими фигуры являются:

1. Боковая поверхность. Как известно, она получается благодаря движению образующей по заданной кривой.
2. Полная поверхность включает в себя имеющиеся основания и боковую плоскость.
3. Сечением цилиндра, как правило, выступает прямоугольник, расположенный параллельно оси фигуры. Иначе его называют плоскостью. Оказывается, длина и ширина по совместительству являются составляющими других фигур. Так, условно длинами сечения являются образующие. Ширина - параллельные хорды стереометрической фигуры.
4. Под осевым сечением подразумевают расположение плоскости через центр тела.
5. И наконец, завершающее определение. Касательной называют плоскость, проходящую через образующую цилиндра и находящуюся под прямым углом к осевому сечению. При этом должно выполниться одно условие. Указанная образующая должна входить в плоскость осевого сечения.

Основные формулы для работы с цилиндром

Для того чтобы ответить на вопрос, как найти площадь поверхности цилиндра, необходимо изучить основные «компоненты» стереометрической фигуры и формулы их нахождения.

Данные формулы отличаются тем, что вначале даются выражения для скошенного цилиндра, а затем - для прямого.

Примеры с разобранным решением

Необходимо узнать площадь боковой поверхности цилиндра. Дана диагональ сечения AC = 8 см (причем оно является осевым). При соприкосновении с образующей получается < ACD = 30°

Решение. Поскольку известны величины диагонали и угла, то в таком случае:

• CD = AC*cos 30°.

Комментарий. Треугольник ACD, в конкретном примере, прямоугольный. Это означает, что частное от деления CD и AC = косинусу имеющегося угла. Значение тригонометрических функций можно найти в специальной таблице.

Аналогично, можно найти и значение AD:

• AD = AC*sin 30°

Теперь необходимо вычислить по следующей формулировке нужный результат: площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенному результату перемножения «пи», радиуса фигуры и ее высоты. Следует воспользоваться и другой формулой: площадью основания цилиндра. Она равняется результату перемножения «пи» на квадрат радиуса. И наконец, последняя формула: общая площадь поверхности. Она равна сумме предыдущих двух площадей.

Даны цилиндры. Их объем = 128*п см³. У какого из цилиндров наименьшая полная поверхность?

Решение. Для начала нужно воспользоваться формулами нахождения объема фигуры и ее высоты.

Поскольку площадь полной поверхности цилиндра известна из теории, необходимо применить ее формулу.

Если рассматривать полученную формулу в качестве функции площади цилиндра, то минимальный «показатель» будет достигнут в точке экстремума. Для получения последнего значения необходимо воспользоваться дифференцированием.

Формулы можно посмотреть в специальной таблице по нахождению производных. В дальнейшем найденный результат приравнивается к нулю и находится решение уравнения.

Ответ: S min будет достигнута при h = 1/32 см, R = 64 см.

Дана стереометрическая фигура - цилиндр и сечение. Последнее проведено таким образом, что располагается параллельно оси стереометрического тела. У цилиндра следующие параметры: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необходимо найти расстояние между сечением и осью.

Поскольку под сечением цилиндра понимается ВСКМ, т. е. прямоугольник, то его сторона ВМ = h. Необходимо рассмотреть ВМК. Треугольник является прямоугольным. Исходя из этого утверждения, можно вывести верное предположение, что МК = ВС.

ВК² = ВМ² + МК²

МК² = ВК² - ВМ²

МК² = 17² - 15²

Отсюда можно сделать вывод, что МК = ВС = 8 см.

Следующий шаг - проведение сечения через основание фигуры. Необходимо рассмотреть получившуюся плоскость.

AD - диаметр стереометрической фигуры. Он параллелен сечению, упомянутому в условии задачи.

BC - прямая, расположенная на плоскости имеющегося прямоугольника.

ABCD - трапеция. В конкретном случае она считается равнобедренной, поскольку вокруг нее описана окружность.

Если найти высоту полученной трапеции, то можно получить ответ, поставленный в начале задачи. А именно: нахождение расстояния между осью и проведенным сечением.

Для этого необходимо найти величины AD и ОС.

Ответ: сечение располагается 3 см от оси.

Задачи на закрепление материала

Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности используется в дальнейшем решении. Известны другие параметры. Площадь основания - Q, площадь осевого сечения - М. Необходимо найти S. Иными словами, полную площадь цилиндра.

Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности необходимо найти в одном из шагов решения задачи. Известно, что высота = 4 см, радиус = 2 см. Необходимо найти полную площадь стереометрической фигуры.

Цель:

1. Способствовать совершенствованию умений увеличивать и уменьшать число в несколько раз.
2. Закреплять навыки табличных случаев умножения на 2,3,4 и соответствующих случаев деления.
3. Способствовать привитию интереса к предмету.

Оборудование:

• учебник «Математика 2 класс» Л. Г. Петерсон;
• карточки для детей с таблицей «Увеличь в 4 раза», «Уменьши в 4 раза»;
• экран, дискета для проверки заданий с готовыми ответами;
• мультимедийный проектор, магнитофон;
• воздушные шары, записи на доске;
• оценочные листы для детей.

Ход урока

I. Ориентировочно-мотивационный этап, актуализация знаний.

(Звучит песня. Входит учитель, держа в руках воздушные шары.)

Учитель: Здравствуйте! Меня зовут Роза Мазитовна. Сегодня у меня замечательное настроение. Ведь сегодня у нас праздник. А какой же праздник без воздушных шариков. Чем больше шариков, тем радостнее праздник. Давайте сосчитаем сколько шариков.

Дети: Десять.

Учитель: А как можно уменьшить количество шариков?

Дети: Сдуть, отдать, подарить.

Учитель: А как найти половину?

Дети: Разделить на два.

Учитель: Уменьшиться число шариков?

Дети: Да.

Учитель: Во сколько раз?

Дети: В 2 раза.

Учитель: А можно их количество увеличить в 2 раза? Как это сделать?

Дети: 10 * 2.

Учитель: Сегодня мы с вами будем совершенствовать навыки работы с числами, увеличивать и уменьшать их в несколько раз (появляется на экране запись названия темы «Увеличение и уменьшение числа в несколько раз».) А чтобы хорошее настроение было и у наших гостей, подарим им шарики. А другую половинку шариков повесим на стену, пусть радуют нас целый урок и помогут быстро выполнить все задания.

II. Операционно-исполнительный этап.

1 задание (на доске прописан ряд чисел): 2, 4, 6, .....

Учитель: На листочках запишите и продолжите заданный ряд чисел еще на 3 числа.

Проверка.

Учитель: Какая закономерность в первой строчке?

Дети: Каждое последующее число увеличивается на 2.. Назовите весь ряд.

(После ответов детей на экране появляется запись 2, 4, 6, 8, 10, 12.)

Учитель: Проверьте еще раз. Исправьте, если допустили ошибку.

Самооценка.

Учитель: На оценочных листах в первой клеточке поставьте себе отметку от одного до пяти баллов.

2 задание.

Учитель: Теперь возьмите таблички, внимательно прочитайте задание.

I вариант: «Увеличь данные числа в 4 раза».

Учитель: Что значит увеличить число в 4 раза?

Дети: Умножить на 4.

Учитель: Что значит уменьшить число в 4 раза?

Дети: Разделить на 4.

Учитель: Заполните пустые клетки. А два человека выполнят задание на доске.

Взаимопроверка.

Учитель: А теперь поменяйтесь листочками с соседом по парте и проверьте его работу. А я проверю работы, выполненные на доске. Поставьте в оценочной таблице соседа отметку в следующей клетке.

Физкультурная минутка. (Звучит песня «Когда я стану кошкой», автор текста Секачева И., композитор Фадеев М.)

Учитель: Какое животное упоминается в песне?

Дети: Кошка.

Учитель: Потянемся плавно, выгнем спину. Кошка облизывает себя, а мы погладим руки, расслабим мышцы, ещё раз выгнем спину. (Учитель показывает движения.)

3 задание.

Учитель: Пропустите клеточку вниз на листочках, запишите через запятую в строчку ответы математического диктанта.

1. 18 уменьшить в 9 раз. (2)
2. Найдите частное 15 и 3. (5)
3. Умножьте 36 на 0. (0)
4. Произведение чисел 2 и 2. (4)
5. Увеличьте 10 в 2 раза. (20)
6. Делимое 18, делитель 2. Найдите частное. (9)
7. 6 умножить на 1. (6)

Учитель: Проверьте ряд чисел, который у вас должен получиться. Исправьте, если допустили ошибку. Поставьте себе отметку в третьей клеточке оценочной таблицы. У каждого числа своя буква. Расположите числа в порядке возрастания и прочтите слово. (Запись на экране.)

.Дети: Столица.

Учитель: Увеличьте число букв в слове «столица» в 3 раза.

Дети: 21.

Учитель: Какой город является столицей нашей республики?

Дети: Казань.

Учитель: Количество гласных букв в слове «Казань» увеличьте 4 раза.

Дети: 8.

Дети: Выборы президента России и депутатов в Государственный совет республики Татарстан.

Учитель: Разделите число 14 на количество дней в неделе.

Дети: 2.

Учитель: Увеличьте число 2 на количество этажей в нашей школе.

Дети: 3 или 4.

Учитель: А теперь проверим, как изменяется число в результате указанной операции в задании нашего учебника.

4 задание.

Страница 21м № 5 (учебник «Математика», 2 класс, часть3).

Учитель: Итак, что произойдет с числом в? Уменьшится или увеличиться? На сколько или во сколько раз?

Фронтальный опрос.

Учитель: Вы хорошо отвечали.

Самооценка.

Учитель: Поставьте отметку в четвертой клеточке оценочной таблицы.

Выдача домашнего задания № 6 стр.11.

Учитель: В учебнике рядом с задачей в прямоугольнике запишите решение задачи.

5 задание.

Учитель: Выполним последнее задание на стр. 22 № 9. Не читая задания, попробуйте объяснить, что нужно сделать?

Дети: Проставить в кружочки числа.

Учитель: Что обозначает число б (фигура е)?

Дети: Количество сторон, вершин.

Учитель: Проставьте числа Проверьте себя. (Ответы на экране).

Самооценка.

Учитель: Поставьте отметку в следующей клетке оценочного листа. Назовите многоугольник, число сторон которого в 2 раза больше, чем у фигуры в.

Дети: Фигура е и п.

Учитель: Как они называются?

Дети: Шестиугольники.

Учитель: Молодцы.

III. Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель: Со всеми заданиями вы справились. Вот, что значит зарядиться хорошим настроением. А какое задание было для вас самым интересным? А какое вызывало затруднение? Почему? Сложите все числа, которые вы проставили в клеточках на оценочных листах. «5» получает тот, у кого сумма всех чисел от 20 до 25. Поднимите руки, у кого такой результат. Работали на «4» те, у кого получилось число от 15 до 19, «3» – у тех, кто набрал число от 10 до 14. Поднимите руки у кого такой результат. Как вы думаете, вы сегодня лучше работали на уроке, чем вчера или хуже (спрашиваю несколько человек). Я очень рада этому.

Учитель: Большое вам спасибо. До свидания.