Главная » Советы » Как понять правильная дробь или неправильная. Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями. Сложение смешанного числа и правильной дроби

Как понять правильная дробь или неправильная. Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями. Сложение смешанного числа и правильной дроби

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.
Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.
Умножение дробей. Деление дробей.
Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби. Например,

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби. Например,

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.
П р и м е р. Сравнить две дроби:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.
П р и м е р.

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.
П р и м е р.

Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления (см. раздел “Арифметические операции”).
П р и м е р.

Великий русский критик В. Г. Белинский сказал, что задача поэзии состоит в том, “чтобы извлекать поэзию жизни Из прозы жизни и потрясать души верным изображением жизни”. Именно таким писателем, писателем, потрясающим души изображением порой самых ничтожных картин существования человека в мире, является Н. В, Гоголь. Величайшая заслуга Гоголя перед русским обществом, на мой взгляд.

Эта статья – попытка собрать воедино разнородную информацию относительно наиболее распространённого в среде любителей солнечных наблюдений телескопа. В той или иной степени она собрана на российских и зарубежных астрономических интернет-форумах, также в интернете собраны и все фотографии, размещённые ниже. Технические параметры, особенности конструкции, возможные.

Десятичная система счисления Десятичная система счисления - позиционная система счисления по основанию 10. Наиболее распространённая система счисления в мире. Для записи чисел наиболее часто используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека. .

Математика. 1 — 4 класс В этом разделе Вы познакомитесь с такими понятиями и терминами, как сложение, вычитание, умножение и деление. Так же вы познакомитесь с математическими действиями и порядком их выполнения, математическими сказками и многим – многим другим. .

for-schoolboy.ru

Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т. е.

б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем применяют правило а).

Пример 1. Сложить дроби и Решение. Имеем:

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то

б) если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило а).

Умножение обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

т. е. перемножают отдельно числители, отдельно знаменатели, первое произведение делают числителем, второе - знаменателем.

Например,

Деление обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

т. е. делимое умножают на дробь , обратную делителю

Например, .

Пример 2. Найти значение числового выражения

Решение. 1) Сократив числитель и знаменатель на 3 (это полезно сделать до выполнения действий умножения в числителе и знаменателе), получим т. е. Итак

3) При нахождении значения выражения действия сложения и вычитания можно выполнять одновременно. Наименьшим общим кратным чисел 15, 20, 30 является число 60. Приведем все три дроби к знаменателю 60, использовав дополнительные множители: для первой дроби 4, для второй - 3, для третьей - 2. Получим:

Пример 3. Выполнить действия: а)

Решение, а) Первый способ. Обратим каждое из данных смешанных чисел в неправильную дробь, а затем выполним сложение:

Обратим теперь неправильную дробь в смешанное число:

Второй способ. Имеем

б) В случае умножения и деления смешанных чисел всегда переходят к неправильным дробям:

Значит, в 7

Действия с обыкновенными дробями

Разделы: Математика

1) контроль и систематизация знаний учащихся по теме;

2) развивать вычислительные навыки, логику, математическую зоркость;

3) воспитывать самостоятельность, интерес к предмету, добросовестное отношение к учебному труду.

ОБОРУДОВАНИЕ: компьютерный класс, ПК- 9 шт

1) личностно-ориентированное обучение;

2) уровневая дифференциация;

3) игровая технология;

2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ УРОКА.

Сегодня на кануне контрольной работы у нас будет возможность проанализировать свою учебную деятельность и отработать вычислительные навыки выполнения всех действий с обыкновенными дробями на электронном тренажере.

Уч-ся записывают на специально подготовленных листах число и наименование работы.

3. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ

Чтобы получить допуск к индивидуальной работе вы должны устно ответить на вопросы (у каждого на столе дидактический материал А.П Ершова, В.В.Голобородько «Устная математика»):

1. Сформулируйте основное свойство дроби.

2. Правило нахождения наименьшего общего знаменателя двух дробей.

3. Выполните сложение

4. Какие числа называются взаимно обратными?

5. Как разделить дробь на дробь?

Уч-ся фронтально повторяют правила выполнения действий с обыкновенными дробями и выполняют задание с комментированием.

4. ИНСТРУКЦИЯ по выполнению этапов урока

Сегодня у вас есть возможность проверить себя в 3-х номинациях: информатиков, математиков и аналитиков. Учащиеся делятся на 3 группы, и получают карты самоанализа (Приложение 1), соответственно которым проходят все этапы. (Учитель фиксирует оценки всех трех этапов и выставляет среднеарифметическое в картах команд Приложение 2)

На компьютере, на зачетных листах, по коррекционным карточкам или творческим заданиям

5. 1 этап ЭЛЕКТРОННЫЙ ТРЕНАЖЕР (Приложении 3) — информатики

Прежде всего ваш успех на этом этапе зависит от того на сколько внимательно вы будете выполнять правила игры « Биатлон»

Тренировка состоит из трех этапов, отличающихся друг от друга сложностью заданий. Каждый этап включает «лыжную гонку» и «огневой рубеж». В режиме «лыжной гонки» требуется определить верным или неверным является предложенное утверждение и кликнуть мышью по соответствующей кнопке на экране.

В режиме «на огневом рубеже» необходимо выполнить четыре (1 этап) или три (2 и 3 этапы) задания на вычисление суммы, разности, произведения или частного двух дробей. Ваш ответ — это выстрел по мишени. Вы попадаете в «яблочко», если Ваш ответ — несократимая дробь.

Учитель фиксирует оценки выставленные компьютером. В карте команды.

Устная самостоятельная работа уч-ся.

Уч-ся устно отвечают на вопросы, выполняют действия и записывают результат на компьютере. А в карте самоанализа фиксируют свои ошибки.

(каждый ученик группы за компьютером)

По окончанию игры компьютер оценивает ученика.

6. 2 этап ЗАЧЕТ ПО ТЕОРИИ (А.П Ершова «Устная математика»): — аналитики

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями

Подписано в печать с готовых диапозитивов 12.02.01. Формат 84х108/32. Гарнитура Балтика. Бумага тип. № 2. Печать офсетная. Усл. печ. л. 25,1. Тираж 5000 экз. Заказ № 106.

Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции ОК-005-093, том 2; 953000- книги, брошюры.

Отпечатано с готовых диапозитивов на ГИПП «Уральский рабочий», 620219, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 13.

Тема №1.

Арифметические вычисления. Проценты.

Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями.

1º. Натуральные числа – это числа, употребляемые при счете. Множество всех натуральных чисел обозначают N, т.е. N= .

Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы. Обыкновенной дробью называется число вида , где натуральное число n показывает, на сколько равных частей разделена единица, а натуральное число m показывает, сколько таких равных частей взято. Числа m и n называют соответственно числителем и знаменателем дроби.

Если числитель меньше знаменателя, то обыкновенная дробь называется правильной ; если числитель равен знаменателю или больше него, то дробь называется неправильной . Число, состоящее из целой и дробной частей, называется смешанным числом .

Например, — правильные обыкновенные дроби, — неправильные обыкновенные дроби, 1 — смешанное число.

2º. При выполнении действий над обыкновенными дробями следует помнить следующие правила:

1) Основное свойство дроби . Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Например, а) ; б) .

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называется сокращением дроби .

2) Чтобы смешанное число представить в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части, записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить прежним.

Аналогично любое натуральное число можно записать в виде неправильной дроби с любым знаменателем.

Например, а) , так как ; б) и т.д.

3) Чтобы неправильную дробь записать в виде смешанного числа (т.е. из неправильной дроби выделить целую часть), нужно числитель разделить на знаменатель, частное от деления взять в качестве целой части, остаток — в качестве числителя, знаменатель оставить прежним.

Например, а) , так как 200: 7 = 28 (ост. 4);
б) , так как 20: 5 = 4 (ост. 0).

4) Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей (оно и будет их наименьшим общим знаменателем), разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей (т.е. найти дополнительные множители для дробей), умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Например, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Значит, ; ; .

5) Правила арифметических действий над обыкновенными дробями :

a) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется по правилу:

b) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями выполняется по правилу a), предварительно приведя дроби к наименьшему общему знаменателю.

c) При сложении и вычитании смешанных чисел можно обратить их в неправильные дроби, а затем выполнить действия по правилам a) и b),

d) При умножении дробей пользуются правилом:

e) Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

f) При умножении и делении смешанных чисел, их предварительно переводят в неправильные дроби, а затем пользуются правилами d) и e).

Презентация по предмету «Математика» на тему: «Презентация к уроку «Действия с обыкновенными дробями» Выполнила учитель математики Колбина Евгения Викторовна.». Скачать бесплатно и без регистрации. - Транскрипт:

1 Презентация к уроку «Действия с обыкновенными дробями» Выполнила учитель математики Колбина Евгения Викторовна

2 Цели урока. Обучающие: повторение правил сравнения, сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей; обобщение и систематизация знаний об обыкновенных дробях, закрепление и усовершенствование навыков действий с обыкновенными дробями; отработка навыков устного счета и умения применять правила при решении более сложных примеров. Развивающие: развитие умений учебно-познавательной деятельности; развитие культуры устной и письменной речи; развитие навыков самоконтроля и самооценки достигнутых знаний и умений. Воспитательные: воспитание внимательности, активности, самостоятельности, ответственности.

3 Без чего не могут обойтись математики, барабанщики и даже охотники?

4 Какой сейчас месяц? Какое время года? Чем вам нравится зима?

5 Сегодня на уроке мы с вами будем лепить снеговика, только не из снега, а из наших знаний

6 Оценочный лист (Ф.И. ученика) « Сугробы »« 1 ком »« 2 ком »« 3 ком »« Атрибуты » Итого Оценка

7 1. Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными, надо: 1) привести данные дроби к; 2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби. 2. Чтобы сложить (вычесть) смешанные числа, надо: 1) привести дробные части к; 2) отдельно выполнить сложение (вычитание) частей и дробных частей. 3. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее умножить на это число, а оставить без изменения. знаменателямиНОЗ (наименьшему общему знаменателю) НОЗ целых числитель знаменатель 4. Чтобы умножить дробь на дробь, надо найти произведение и произведение. 5. Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде дробей, а затем воспользоваться правилом дробей. 6. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить на число, делителю. числителейзнаменателей неправильных умножения делимое обратное «СУГРОБЫ» За каждое верное правило – 1 балл

8 «1 ком» За каждый верный ответ – 1 балл

10 I Вариант 635(а) II Вариант 635(б) «2 ком» За каждое верное действие – 1 балл

12 Трава маленькая-маленькая. Деревья высокие-высокие. Ветер деревья качает-качает. То направо, то налево наклоняет. То вверх, то назад. То вниз сгибает. Птицы летят-улетают. Ученики тихонько за парты садятся. Физминутка

13 Задача Туристы отправились в поход. В первый день они прошли км, что на км больше, чем во второй день. А в третий день они прошли в 2 раза меньше, чем в первый. Сколько километров туристы прошли за эти три дня? «3 ком»

14 1) найдем, сколько туристы прошли во второй день, для этого из отнимем 2) найдем, сколько туристы прошли в третий день, для этого разделим на 2 3) сложим, результат 1 действия и результат второго действия и найдем, сколько они прошли за эти три дня. Ответ: План решения За каждое верное действие – 1 балл + 1 балл за верный ответ

16 Тест «Атрибуты» За каждый верный ответ 1 балл

18 27-30 баллов – «5» баллов – «4» баллов – «3» 0-14 баллов – «2»

19 Домашнее задание: 635 (г), 643 Приготовить доклад на тему: происхождение обыкновенных дробей

20 Итог урока Все понравилось! Сложно, но интересно! Устал!

21 Великий русский писатель Л.Н. Толстой считал, что человек похож на дробь, знаменатель которой — это то, что он думает о себе, а числитель- это то, что думают о нем. Я желаю вам, чтобы числитель в вашей жизни был больше знаменателя.

Примеры с дробями – один из основных элементов математики. Существует много разных типов уравнений с дробями. Ниже приведена подробная инструкция по решению примеров такого типа.

Как решать примеры с дробями – общие правила

Для решения примеров с дробями любых типов, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, необходимо знать основные правила:

Для того чтобы сложить дробные выражения с одинаковым знаменателем (знаменатель – число, находящееся в нижней части дроби, числитель – в верхней), нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
Для того чтобы вычесть от одного дробного выражения второе (с одинаковым знаменателем), нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
Для того чтобы сложить или вычесть дробные выражения с разными знаменателями, нужно найти наименьший общий знаменатель.
Для того чтобы найти дробное произведение, нужно перемножить числители и знаменатели, при этом, если есть возможность, сократить.
Для того чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.

Как решать примеры с дробями – практика

Правило 1, пример 1:

Вычислить 3/4 +1/4.

Согласно правилу 1, если у дробей двух (или больше) одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители. Получим: 3/4 + 1/4 = 4/4. Если у дроби числитель и знаменатель одинаковы, такая дробь будет равна 1.

Ответ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Правило 2, пример 1:

Вычислить: 3/4 – 1/4

Пользуясь правилом номер 2, для решения этого уравнения нужно от 3 отнять 1, а знаменатель оставить тем же. Получаем 2/4. Так как два 2 и 4 можно сократить, сокращаем и получаем 1/2.

Ответ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Пример 1

Вычислить: 3/4 + 1/6

Решение: Пользуясь 3-м правилом, находим наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем называется такое число, которое делится на знаменатели всех дробных выражений примера. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное число, которое будет делиться и на 4, и на 6. Таким числом является 12. Записываем в качестве знаменателя 12. 12 делим на знаменатель первой дроби, получаем 3, умножаем на 3, записываем в числителе 3*3 и знак +. 12 делим на знаменатель второй дроби, получаем 2, 2 умножаем на 1, записываем в числителе 2*1. Итак, получилась новая дробь со знаменателем, равным 12 и числителем, равным 3*3+2*1=11. 11/12.

Ответ: 11/12

Правило 3, Пример 2:

Вычислить 3/4 – 1/6. Этот пример очень схож с предыдущим. Проделываем все те же действия, но в числителе вместо знака +, пишем знак минус. Получаем: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Ответ: 7/12

Правило 4, Пример 1:

Вычислить: 3/4 * 1/4

Пользуясь четвертым правилом, умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй и числитель первой дроби на числитель второй. 3*1/4*4 = 3/16.

Ответ: 3/16

Правило 4, Пример 2:

Вычислить 2/5 * 10/4.

Данную дробь можно сократить. В случае произведения сокращаются числитель первой дроби и знаменатель второй и числитель второй дроби и знаменатель первой.

2 сокращается с 4. 10 сокращается с 5. получаем 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Ответ: 2/5 * 10/4 = 1

Правило 5, Пример 1:

Вычислить: 3/4: 5/6

Пользуясь 5-м правилом, получим: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Сокращаем дробь по принципу предыдущего примера и получаем 9/10.

Ответ: 9/10.

Как решать примеры с дробями – дробные уравнения

Дробными уравнениями называются примеры, где в знаменателе есть неизвестное. Для того чтобы решить такое уравнение нужно пользоваться определенными правилами.

Рассмотрим пример:

Решить уравнение 15/3x+5 = 3

Вспомним, нельзя делить на ноль, т.е. значение знаменателя не должно равняться нулю. При решении таких примеров, это нужно обязательно указывать. Для этого существует ОДЗ (область допустимых значений).

Таким образом, 3x+5 ≠ 0.
Отсюда: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

При x = 5/3 уравнение просто не имеет решения.

Указав ОДЗ, наилучшим способом решить данное уравнение будет избавиться от дробей. Для это сначала представим все не дробные значения в виде дроби, в данном случае число 3. Получим: 15/(3x+5) = 3/1. Чтобы избавиться от дроби нужно умножить каждую из них на наименьший общий знаменатель. В данном случае таковым будет (3x+5)*1. Последовательность действий:

Умножаем 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
Раскрываем скобки: 15*(3x+5) = 45x + 75.
То же самое проделываем с правой частью уравнения: 3*(3x+5) = 9x + 15.
Приравниваем левую и правую часть: 45x + 75 = 9x +15
Переносим иксы влево, числа вправо: 36x = – 50
Находим x: x = -50/36.
Сокращаем: -50/36 = -25/18

Ответ: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.

Как решать примеры с дробями – дробные неравенства

Дробные неравенства по типу (3x-5)/(2-x)≥0 решаются при помощи числовой оси. Рассмотрим данный пример.

Последовательность действий:

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2
Чертим числовую ось, расписывая на ней получившиеся значения.
Под значение рисуем кружок. Кружок бывает двух типов – заполненный и пустой. Заполненный кружок означает, что данное значение входит в ареал решений. Пустой круг говорит о том, что данное значение не входит в ареал решений.
Так как знаменатель не может быть равным нулю, под 2-ой будет пустой круг.

Чтобы определить знаки, подставляем в уравнение любое число больше двух, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значение отрицательное, значит над областью после двойки пишем минус. Затем подставляем вместо икса любое значение интервала от 5/3 до 2, например 1. Значение опять отрицательное. Пишем минус. То же самое повторяем с областью, находящейся до 5/3. Подставляем любое число, меньшее чем 5/3, например 1. Опять минус.

Так как нас интересуют значения икса, при котором выражение будет больше или равно 0, а таких значений нет (везде минусы), это неравенство не имеет решения, то есть x = Ø (пустое множество).

Ответ: x = Ø

Условимся считать, что под "действиями с дробями" на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь - это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Две дроби и называются равными, если .

Например, , так как

Равными также являются дроби и (так как ), и (так как ).

Очевидно, равными являются и дроби и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то получим . Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

Сокращение дробей

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

Итак, сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

Пример 1. Сократить дробь

Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен - 5xy в виде суммы - 2xy - 3xy , получим

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

В результате

Приведение дробей к общему знаменателю

Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим

Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120 .

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.

Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Пример 2. Найти общий знаменатель дробей и .

Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен , так как он делится и на , и на . Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей. Им может быть также многочлен , и многочлен , и многочлен и т.д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.

В нашем примере наименьший общий знаменатель равен . Получили:

;

Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на , а числителя и знаменателя второй дроби - на . Многочлены и называются дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей определяется следующим образом:

Например,

Если b = d , то

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,