Назвать противоположные знаки строгих и нестрогих неравенств. Строгие и нестрогие неравенства. Двойные, тройные неравенства и т.д

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Понятие равномощности множеств и его свойства позволяют выделить классы равномощных множеств. Интересно знать, как много существует неравномощных множеств и иметь в некотором смысле «эталонные множества», чтобы, сравнивая с ними другие, было легче устанавливать равномощность множеств или её отсутствие.

1. Конечных, но не равномощных множеств, бесконечно много. Их классов столько же, сколько натуральных чисел.

2. Бесконечных, но не равномощных множеств, также бесконечно много.

Возникает вопрос: есть ли среди бесконечных множеств множество наименьшей мощности? Да. Это счётные множества.

Определение 1. ПустьN - множество натуральных чисел. МножествоS называетсясчётным множеством, если оно равномощноN , то естьS  N .

Мощность счётного множества имеет специальное обозначение: (первая буква алфавита иврит, читается «алеф-нуль»). Мы будем обозначать мощность счётного множества буквойа :

Примеры счётных множеств

1. 2 N ;

2. Q ;

3. Z ;

4. Множество квадратов натуральных чисел.

Основные свойства счётных множеств

Теорема 1. Для того чтобы множествоS было счётным необходимо и достаточно, чтобы его элементы можно было занумеровать в последовательность, члены которой попарно различны:

.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть S - счётное множество, тогда существует биекцияf : N  S . В этой биекции образ элементаn обозначима n , тем самым будут занумерованы все элементы множестваS , то есть
. Так как все элементы множестваS различны, то и все члены последовательности
попарно различны.

2. Достаточность.

Пусть
,а n попарно различны. Сопоставим элементуа n его номерn . Полученное соответствие изS вN является биекцией. Следовательно, по определениюS - счётное множество.

Теорема 2. Во всяком бесконечном множествеА имеется счётное подмножество.

Доказательство:

Возьмём во множестве А произвольный элемент. Множество
бесконечное (доказывается от противного). Из множества
выберем элемент. Множество
- бесконечное. Из множества
выбираем элементи так далее. Так какА – бесконечное множество, то этот процесс продолжим до бесконечности. В результате получим последовательность
. Так как во множествеА все элементы попарно различны, по теореме 1S - счётное множество.

Следствие. Счётная мощность является наименьшей из мощностей бесконечных множеств.

Доказательство:

Пусть А - произвольное бесконечное множество. По теореме 2 оно содержит счётное подмножествоS , то естьm (S )=а . Так какS  , тоm (S )  m (А) илиа  m (А) .

Теорема3. Всякое бесконечное подмножествоВ счётного множестваS счётно:

В  S ; m (S )=а  m (В)=а.

Доказательство:

Так как В  S , тоm (В)  m (S )=а . Но по следствиюm (В)  а. Таким образом,m (В)  а иm (В)  а. По теореме Кантора-Бернштейнаm (В)=а .

Теорема 4. Бесконечное множествоВ счётно, если существует сюрьекцияf какого-нибудь счётного множестваS наВ .

Доказательство:

Не умоляя общности доказательства можно считать, что S = N . По условиюf : N  - сюрьекция (В – это образN при отображенииf , то естьf (N )=В ). Возьмём любой элемент
,b – образ какого-либо натурального числа. При отображенииf его прообразом является некоторое множество натуральных чиселf -1 (b ) , состоящее из тех элементов, образ которых равенb , то естьf -1 (в)={ n  N : f (n )= b } . В этом множестве существует наименьшее натуральное число. Рассмотрим множество
- бесконечное множество (От противного: пустьА конечно. Тогда для бесконечного числа элементов
существует один элемент
N , то есть одному элементуn  N соответствует бесконечно много элементов
. Это означает, что соответствиеN  не является отображением. Получили противоречие с условием. Следовательно, предположение не верно.). Так какА  N иА – бесконечное множество, то по теореме 3 множествоА счётно. Рассмотрим соответствие
, при котором
. Это соответствие является биекцией. Следовательно,А  В иВ счётно.

Определение 2. Кортежем называется конечное множество элементов.

Теорема 5. МножествоК всевозможных кортежей, составленных из натуральных чисел, счётно.

Доказательство:

Пусть Р - множество всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания:

Р=(р к ), р 1 =2, р 2 =3, р 3 =5,… .

Возьмём любой кортеж из натуральных чисел (n 1 , n 2 ,…, n k ) и поставим в соответствие ему число

N .

Например,

На основании теоремы о единственности разложения чисел на простые множители различным кортежам соответствуют различные натуральные числа, то есть если

То

.

Рассмотрим соответствие f : K  А , гдеА – некоторое бесконечное подмножество множестваN , то естьА - счётно (по теореме 3). Указанное соответствие является биекцией. Так какА счётно и , тоK также счётно.

Определение 3. Декартовым произведением А 1  А 2  …  А m называется множество, состоящее из кортежей
, где.

Теорема 6. Декартово произведение конечного числа счётных множеств счётно.

Доказательство:

Пусть А 1 ,А 2 ,…,А m А 1  А 2  …  А m =А - счётное множество. Счётные множестваА k ,
,

…………………………………

Возьмём , поставим ему в соответствие кортеж из натуральных чисел
. Обозначим
. Указанное соответствие является биекциейf :А  1 . Но 1 – бесконечное подмножество счётного множества из теоремы 5. По теореме 3 1 счётно. Так какf - биекция, тоА счётно.

Теорема 7. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств счётно.

Доказательство:

Пусть А 1 ,А 2 ,…,А m ,… - счётные множества. Докажем, что
- счётное множество.

1. Пусть
- объединение счётного числа счётных множеств. Счётные множестваА m представим в виде последовательностей

…………………………………

……………………………………

,

где
- это элемент множествас номером. Рассмотрим множествоN 2 = N ´N . Оно счётно по теореме 6. Возьмём любой элемент(p , q ) Î N 2 . Сопоставим ему элемент
. Так как любой элемент
принадлежит хотя бы одному из множествА p и имеет в нём определённый номерq , то указанное соответствие является сюрьекциейf : N 2 ®A . Так как множествоN 2 счётно, то по теореме 4 множествоА счётно.

2. Пусть
- объединение конечного числа счётных множеств. Положим

,

тогда
. По первой части теоремы множествоА счётно.

Теорема 8. МножествоQ рациональных чисел счётно.

Доказательство:

Представим множество Q в виде

Q = Q +
Q - ,

Q + ={m/n, m,n  N , (m,n)=1},

={m/n, m,n   },

Q +
,

,

где Q n - множество дробей видас фиксируемым знаменателем. Очевидно, чтоQ n   , то естьQ n счётное множество. Тогда по теореме 7 также счётно. НоQ + является бесконечным подмножеством счётного множества . Тогда по теореме 3 множествоQ + счётно. В силу того, чтоQ + ~ Q - , заключаем, что множествоQ - счётно. По теореме 7 множествоQ + Q - счётно, тогда по теореме 1 множествоQ счётно.

Теорема 9. Объединение счётной совокупности конечных множеств конечно или счётно.

Доказательство:

Пусть
- конечные множества,
.

1. Множество А может быть конечным (например, если все множестваА k равны:
N ).

2. Рассмотрим случай, когда множество А - бесконечно. Пусть множествоА k имеетn k элементов. Присоединим к этому множеству все натуральные числа, большие чемn k , получим счётное множествоВ k . Проделаем это для всехk . Рассмотрим множество
. По теореме 7 множествоВ счётно. НоА  и является его бесконечным подмножеством. По теореме 3 множествоА счётно.

Теорема 10. Мощность бесконечного множества не изменяется, если к нему присоединить конечное или счётное множествоS .

Доказательство:

Случай конечного множества S не интересен, так как является следствием теоремы 1. Рассмотрим случай счётного множестваS . Не нарушая общности доказательства будем считать, что
=. По теореме 2 множествоВ можно представить в виде
, гдеS 1 - счётное множество множестваS . Тогда

Так как множества
иS 1 - счётные множества, то существует биекцияf :
S 1 . Рассмотрим отображение , определяемое следующим образом:

Это отображение является биекцией
. Следовательно,
, то есть
.

Определение 4. Если бесконечное множество не является счётным, то оно называетсянесчётным.

Теорема 11. Мощность несчётного множестваМ не изменяется, если из него удалить конечное или счётное подмножествоS .

Доказательство:

Пусть М – несчётное множество, тогдаМ \S – бесконечное множество (доказательство от противного). Тогда по теореме 10 .

Определение 5. Числоназываетсяалгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами.

Теорема 12. МножествоА всех алгебраических чисел счётно.

Доказательство:

Пусть М – множество всех многочленов с целыми коэффициентами,М n – множество многочленов с целыми коэффициентами и с фиксированной степеньюn . Возьмём любой многочлен
,
, из множестваМ n . Этому многочлену сопоставим кортеж из его коэффициентов(а n ,…,а 0 ) . Множество таких кортежей обозначимТ . Очевидно, чтоТ=(Z \{0})  Z n . Построенное соответствие является биекциейf : М n  T . Так как множествоZ счётно, то по теореме 3 множествоZ \{0} также счётно. Следовательно, по теореме 6 множествоТ счётно. Так какf – биекция, тоМ n ~ T , то естьМ n счётно. Так как
и все множестваМ n счётны, то по теореме 7 множествоМ счётно. Итак, множество всех многочленов с целыми коэффициентами счётно и любой многочлен имеет конечное число корней. Следовательно, множествоА представляет собой объединение счётного числа конечных множеств. Так какА – бесконечное множество, то по теореме 9 оно счётно.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 242. Числовые поля

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития. В главе II (см. ч. I) мы рассказали о том, как от простейших, натуральных чисел человек пришел к более сложным, действительным числам. Сейчас мы хотим вернуться к рассмотрению этого вопроса. Но при этом нам придется несколько отступить от того порядка, в котором исторически развивалось понятие числа.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел

В нем всегда выполнимы два основных алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа m и n , сумма их m + n , а также произведение m n являются непременно натуральными числами. При этом соблюдаются следующие пять законов:

1) коммутативный закон сложения:

m + n = n + m

2) ассоциативный закон сложения:

(m + n) + k = m + (n + k)

3) коммутативный закон умножения:

m n = n m

4) ассоциативный закон умножения:

(m n) k = m (n k) ;

5) дистрибутивный закон умножения относительно сложения:

(m + n) k = m k + n k .

Что касается вычитания и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, ни одна из разностей 3-5 и 2-2, а также, ни одно из частных 3: 5 и 7: 4 нельзя выразить никаким натуральным числом.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате такого расширения мы приходим к множеству всех целых чисел:

3,-2,-1,0, 1,2,3.....

Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо .

Расширив множество всех натуральных чисел до множества всех целых чисел, мы добились тем самым, что действие вычитания стало выполнимым всегда. Но деление по-прежнему осталось, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы устранить этот пробел, нужно расширить и множество всех целых чисел. Сделать это можно путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел вида m / n , где т и п - произвольные целые числа и п =/= 0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел . Как было показано во второй главе, в этом числовом множестве всегда выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль), причем первые два из них подчинены пяти основным законам сложения и умножения.

Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем. Множество всех рациональных чисел является простейшим числовым полем .

Уместно сразу же заметить, что множество всех иррациональных чисел поля не образует. Действительно, любое из четырех действий (сложение, умножение, вычитание и деление) над иррациональными числами может привести к числу рациональному. Так, например,

√2 + (- √2 ) = 0,

√2 √2 = 2

и т. д. А вот множество всех действительных чисел образует поле. Как указывалось во второй главе, действия сложения, умножения, вычитания и деления действительных чисел (кроме деления на нуль) не выводят нас за пределы действительных чисел, причем сложение и умножение подчинены пяти основным законам.

Приведем еще один, более сложный, пример числового поля. Рассмотрим все действительные числа вида r + s √2 , где r и s - рациональные числа.

Пусть а + b √2 и с + d √2 - произвольные два числа рассматриваемого вида. Тогда

(а + b √2 ) + (с + d √2 ) = (a + с ) + (b + d )√2

(а + b √2 ) - (с + d √2 ) = (a - с ) + (b - d )√2

(а + b √2 ) (с + d √2 ) = ac + ad √2 + bc √2 + 2 bd = (ac + 2bd ) + (ad + bc )√2 .

Предположим теперь, что число с + d √2 не равно нулю. Тогда, очевидно, и сопряженное ему число с - d √2 будет отлично от нуля (докажите это!). Поэтому можно написать:

Как мы видим, каждое из четырех действий (сложение, вычитание, умножение и деление) над числами вида r + s √2 приводит к числу того же самого вида. Ясно также, что сложение и умножение всех этих чисел подчинено каждому из пяти указанных выше законов. Поэтому совокупность всех чисел вида r + s √2 , где и r и s - рациональные числа, образует числовое поле.

Упражнения

1967. Образует ли кольцо:

а) множество всех четных чисел;

б) множество всех нечетных чисел;

в) множество всех чисел, кратных некоторому числу р ?

1968. Образует ли поле:

а) множество всех дробей со знаменателем 3;

б) множество всех дробей, знаменатели которых есть целые степени числа 3?

1969. Докажите, что множество всех конечных десятичных дробей образует кольцо, но не образует поле.

1970. Докажите, что любое числовое поле либо совпадает с множеством всех рациональных чисел, либо содержит в себе это множество.

1971. Докажите, что множество всех чисел вида а + b √3 , где а и b - рациональные числа, является полем. Содержит ли это поле:

а) все рациональные числа;

б) все иррациональные числа;

в) все действительные числа?

1967. а) Да; б) нет; в) да. 1968. а) Нет; б) нет.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

«Числовые неравенства» - Если a>b и m<0, то amb, то а в степени n > b в степени n, где n - любое натуральное число. Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Если a>b и c>d, то a+c>b+d. Свойство 5. Свойство 1.

«Решение показательных неравенств» - Структура урока. Когда показательное неравенство не имеет решений? Альберт Эйнштейн. 1 Область определения функции. 3. Промежутки сравнения значений функции с единицей. Убывает на всей области определения, 8. При любых действительных значениях х и у; a>0, a?1; b>0, b?1. План лекции. Как решаются неравенства, сводящиеся к квадратным?

«Решение дробно-рациональных неравенств» - Решите неравенство. Знаменатель. Решение. Выколотые и невыколотые точки. Назовите числа. Числитель и знаменатель. Назовите выколотые и невыколотые точки. Точки. Найти «нули». Луч. Домножать на знаменатель, содержащий неизвестное. Решение дробно-рациональных неравенств. Определить знак. Решите. Выражение.

«Решение систем неравенств» - Закрепление. Записать неравенства, множеством решения которых служат промежутки. Решение систем неравенств. Повторение. Отрезки. Полуинтервалы. Чтобы решить систему линейных неравенств, достаточно решить каждое из входящих в неё неравенство и найти пересечение множеств их решений. Интервалы. Математический диктант.

«Показательные неравенства» - Что нужно учесть при решении показательных неравенств? Решение простейших показательных неравенств. Что нужно учесть при решении простейших показательных неравенств? Решение неравенства. Решение простейших показательных неравенств. Решите неравенство. Знак неравенства. Неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательным неравенством.

«Числовые неравенства и числовые промежутки» - Самостоятельная работа. Числовой луч. Неравенство. Проверка. Числовые промежутки. Понятие числового промежутка. Числовой отрезок. Множество действительных чисел. Полуинтервал. Изобразите промежутки на координатной прямой. Числовой промежуток. Открытый луч. Назовите промежутки. Множество всех чисел. Число.

Всего в теме 38 презентаций