Что такое уравнения с двумя переменными. Видеоурок «Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Между частями сложного бессоюзного предложения ставятся следующие знаки препинания: запятая , точка с запятой , двоеточие , тире , реже – запятая и тире

Постановка того или иного знака препинания зависит от смысловых отношений, которые складываются между частями бессоюзного соединения, и от особенностей интонационного оформления предложения.

Запятая ставится между предикативными частями бессоюзного предложения, если они тесно связаны по смыслу, взаимозаменяемы, объединены между собой интонацией перечисления, не распространены или недостаточно распространены.

Например: Катятся ядра, свищут пули, нависли хладные штыки. (Л.) Метель не утихала, небо не прояснялось. (П.) Он весь в слезах, голова поникла, лицо бледно, руки сложены на груди, губы шепчут. (С.-Щ.).

Точка с запятой ставится:

– если части бессоюзного сложного предложения несколько отдалены друг от друга по смыслу, значительно распространены и имеют внутри себя запятые (точка с запятой конкретизирует границы предикативных частей в сложном предложении, если на стыке их имеются отделенные запятой осложненные компоненты).

Например: Уже вечерело; солнце скрылось за небольшую осиновую рощу, лежавшую в полуверсте от сада; тень от нее без конца тянулась через неподвижные поля. (Т.) Лесной запах усиливается, слегка повеяло теплой сыростью; влетевший ветер около вас замирает. (Т.); Бесшумные молнии исподтишка, но стремительно и сильно били в луга; далеко за Полянами уже горел стог сена, зажженный ими. (Пауст.) Луна уже стояла высоко над домом и освещала спящий сад, дорожки; георгины и розы в цветнике перед домом были отчетливо видны и казались все одного цвета. (Ч.)

– если бессоюзное сложное предложение распадается на части (группы предложений), по смыслу отдаленные друг от друга (внутри таких групп части разделяются запятыми).

Например: Мчатся тучи, вьются тучи; невидимкою луна освещает снег летучий; мутно небо, ночь мутна. (П.) Бледно-серое небо светлело, холодело, синело; звезды то мигали слабым светом, то исчезали; отсырела земля, запотели листья, кое-где стали раздаваться живые звуки, голоса. (Т.)

Комбинация этих знаков может быть также в многочленных сложных предложениях с бессоюзной и союзной (сочинительной и подчинительной) связью частей, то есть на границе бессоюзного соединения частей нередко ставится точка с запятой, а на границе сочинительной или подчинительной связи в пределах частей – запятая.

Например: Долины сохнут и пестреют; стада шумят, и соловей уж пел в безмолвии ночей. (П.) Голоса моряков и женщин были слышны очень далеко; бледное солнце стояло в вышине, и казалось, что за морем дышит пышная и светлая весна. (Пауст.).

Двоеточие обычно ставится в бессоюзных сложных предложениях с односторонним смысловым отношением частей, при котором первая предикативная часть нуждается в распространении, конкретизации, а вторая часть характеризует (поясняет, дополняет, обосновывает) содержание первой. Этому способствуют и особенности интонации этих предложений, в которых между частями делается интонационная пауза, предупреждающая о продолжении высказывания. При этом каждая часть может состоять из одной или нескольких предикативных единиц, объединенных союзной или бессоюзной связью.

Следовательно, двоеточие ставится между двумя частями бессоюзного предложения:

– при пояснительных отношениях , если вторая часть поясняет, раскрывает содержание первой (между такими частями обычно можно вставить пояснительный союз а именно).

Например: Погода была ужасная: ветер выл, мокрый снег падал хлопьями, фонари светили тускло, улицы были пусты. (П.) Погода была хорошая: морозило и тихо. (Л. Т.) В доме мало-помалу нарушалась тишина: в одном углу где-то скрипнула дверь, послышались по двору чьи-то шаги, на сеновале кто-то чихнул. (Гонч.) Страшная мысль мелькнула в уме моем: я вообразил ее в руках разбойников. (П.)

– при изъяснительных отношениях, если в первой структурно неполной части с помощью глагола речи, мысли, восприятия (говорить, сказать, думать, понимать, чувствовать, видеть, слышать и под.) или другого предикатива, выступающего в роли сказуемого, делается предупреждение, что далее последует изложение какого-либо факта или какое-нибудь описание во второй части, восполняющей содержание первой. При этом первая часть произносится с «неспокойным» понижением тона, сигнализируя о незавершенности высказывания и необходимости распространения сказуемого. Вторая часть таких конструкций может быть преобразована в придаточную изъяснительную с союзом что.

Например: Я знаю: в вашем сердце есть и гордость и прямая честь. (П.).

Сравните: Я знаю, что в вашем сердце есть и гордость и прямая честь. (П.) Помню также: она любила хорошо одеваться и прыскаться духами. (Ч.) Павел чувствует: чьи-то пальцы дотрагиваются до его руки выше кисти. (Н. О.) Я верил: если говорить о грустном весело, печаль исчезает. (М. Г.) Для них было ясно: они заблудились в лесу. (Сол.)

Надо учитывать, что в данных конструкциях сказуемое первой части может быть выражено глаголом действия, сопутствующего восприятию (выглянуть, оглянуться, посмотреть, прислушаться), а сам глагол восприятия отсутствует, но может быть восстановлен после глагола действия в качестве однородного сказуемого.

Например: Я выглянул в окно: на безоблачном небе разгорались звезды. (М. Г.)

Сравните: выглянул и увидел, что... . Варвара прислушалась: донесся шум вечернего поезда, подходившего к станции. (Ч.) Смотрю: Печорин на скаку приложился из ружья... .(Л.).

Если первое предложение произносится без оттенка предупреждения и паузы (с полным интонационным слиянием частей), то вместо двоеточия ставится запятая.

Например: Слышу, земля задрожала. (Н.) Помню, ты дитей с ним часто танцевала. (Гр.)

– при отношениях обоснования , когда вторая часть указывает причину, основание того, о чем говорится в первой части, интонационно подчеркиваются причинно-следственные отношения между ними, в результате чего вторая часть может быть преобразована в придаточное предложение с подчинительным союзом потому что, так как, поскольку и др.

Например: Осень и зиму Павел не любил: они приносили ему много физического страдания. (Н. О.) Печален я: со мною друга нет... . (П.) Устоять на судах было невозможно: их бросало, как жалкие лодчонки, и кренило, казалось бы, до предела. (С.-Ц.) Степан боялся подойти к обрыву: скользко. (Шишк.) Солдаты любили маршала: он разделял с ними тяжесть войны. (Пауст.)

– если в первой части бессоюзного предложения имеются слова так, такой, таков, одно , конкретное содержание которых раскрывается во второй части.

Например: Я это сделаю так : выкопаю возле самого камня большую яму... .(Л. Т.) Обычай мой такой : подписано, так с плеч долой. (Гр.) Одно было несомненно: назад он не вернется. (Т.)

– при выражении прямого вопроса во второй части бессоюзного сложного предложения.

Например: Он взглянул на Батурина: поймет ли? (Пауст.) Не заглядывая вдаль, так скажу: зачем мне орден? Я согласен на медаль. (Тв.)

Тире ставится в бессоюзных сложных предложениях с двусторонним отношением частей, выражающих взаимообусловленные действия и произносимых с интонацией обусловленности или резкого противопоставления, то есть интонацией незаконченности при произнесении первой части, повышения тона на ней и понижения на второй части с заметно выдержанной паузой между частями.

С учетом изложенного тире между частями бессоюзного соединения ставится в следующих случаях:

– если во второй части выражается неожиданное действие или содержится указание на быструю смену событий (между частями можно вставить союз и ).

Например : Дунул ветер – все дрогнуло, ожило и засмеялось. (М. Г.) И только взялся Сережа за рог, гляжу – Анчар к нам бежит по лощине. (М. П.) Вдруг мужики с топорами явились – лес зазвенел, застонал, затрещал. (Н.)

– если во второй части содержится резкое противопоставление по отношению к содержанию первой (между такими частями устанавливаются противительные отношения обычно с компонентом-отрицанием в первой части, отношения подчеркнутого несоответствия или сопоставления, а между частями можно вставить противительный союз а, но, однако ).

Например: Не сумку у Мишки украли – последнюю надежду похитили. (А. Неверов) Не кукушки загрустили – плачет Танина родня. (Ес.) Я говорил правду – мне не верили. (Л.) В сказках Андерсена обретают дар речи не только цветы, ветры, деревья – в них оживает домашний мир вещей и игрушек. (Пауст.) Он гость – я хозяин. (Багр.) Вы богаты – мы бедны. (Л. Т.)

- если вторая часть заключает в себе следствие, вывод из того, о чем говорится в первой части (перед второй частью можно вставить слово поэтому или заменить ее придаточной частью следствия с союзом так что ).

Например: Я умираю – мне не к чему лгать. (Т.); Лейтенант быстро взял штурвал на себя – «ястребок» резко взмыл кверху. (С.-Ц.) Я бы в летчики пошел – пусть меня научат. (Маяк.)

- если первая часть указывает на условие совершения действия , о котором говорится во второй части (она может быть заменена придаточной частью условия с союзом если).

Например: Любишь кататься – люби и саночки возить. (посл.) Нравится рисовать – рисуй на здоровье, никто не запрещает. (Пан.) Зима без снега – лето без хлеба. (посл.) Хочешь быть счастливым – выучись сперва страдать. (Т.)

- если в первой части указывается время совершения действия , о котором говорится во второй части (она может быть преобразована в придаточную времени с союзом когда ).

Например: Прилетели зяблики – лес ожил. (Кайг.) Лес рубят – щепки летят. (посл.) Ехал сюда – рожь начинала желтеть. (М. П.); Я открыл глаза – утро зачиналось. (Т.)

- если вторая часть выражает сравнение с тем, о чем говорится в первой части (ее можно заменить придаточной сравнительной).

Например: Береза в лесу без вершины – хозяйка без мужа в дому. (Некр.) Молвит слово – соловей поет. (Л.)

- если вторая часть с изъяснительным значением является неполной , а также при эллиптическом строении частей бессоюзных соединений.

Например: Он говорит – болен. (Н.); Я глянул – селедка! (Пауст.) Смотрим – трамвай (Б. Ж.) Глянешь с горы – какой вид! (Б. Ж.)

- если вторая часть образует присоединительное предложение , содержит не основную информацию, а дополнительную с пояснительным, причинным оттенком значения, а первая часть представляет в большей мере самостоятельное сообщение (присоединительная часть может начинаться местоименными словами это, так, такой). Причем при наличии слова это или при возможности его введения перед присоединительной частью может ставиться запятая и тире как единый пунктуационный знак.

Например: Широкий подъезд был совершенно пуст, – это казалось мне странным. (Кав.) В саду, в горах листвы сверкали белые и небольшие лампочки, – было похоже на иллюминацию. (Пауст.).

Сравните: Все предметы вокруг были отчетливо и преувеличенно реальны, – так бывает, когда не спишь всю ночь. (Шол.) Она сидела неподалеку на скамье под покосившимся деревянным грибом, – такие делают в лагерях для часовых. (Пауст.).

Знаки препинания на границе предикативных частей бессоюзного многочленного предложения «обусловливаются смысловыми отношениями, которые выступают на первом плане членения его на две логические части, затем на втором плане, когда та или иная часть в свою очередь распадается на две части, характеризующиеся определенными смысловыми связями.

Например: Умом Россию не понять, аршином общим не измерить: у ней особенная стать – в Россию можно только верить. (Тютч.). (На первом плане отношения обоснования – ставится двоеточие; между двумя частями второй логически выделяемой части устанавливаются причинно-следственные связи, следствие – во второй части, поэтому ставится тире)»

Из этого следует, что употребление тех или иных знаков препинания в многочленном бессоюзном предложении обусловлено смысловыми отношениями, которые складываются между его частями с указанными особенностями их членения, и интонационными особенностями предложения.

Сравните: Я посмотрел вокруг – сердце во мне заныло: не весело войти ночью в мужицкую избу. (Т.) Слово отражает мысль: непонятна мысль – непонятно и слово... (Бел.) Дивишься драгоценности нашего языка: что ни звук, то и подарок; все зернисто, крупно, как сам жемчуг, и право, иное названье еще драгоценнее самой вещи. (Г.) Любите книгу: она облегчит вам жизнь, дружески поможет разобраться в пестрой и бурной путанице мыслей, чувств, событий, она научит вас уважать человека и самих себя, она окрылит ум и сердце чувством любви к миру, к человеку. (М. Г.).

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

,

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;

Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.

Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.

1. 10*x + 25*y = 150;

Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.

Решение линейного уравнения

Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором - значение переменной у.

Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения.

Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.

Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции

f (x , y ) = ax +by + c ,

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Ответ : (6 ; 3)

Пример 2 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y ) ,

где y – любое число.

линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид

g (x , y )

Пример 4 . Решить систему уравнений

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Решая уравнение

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Следовательно,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

Решение . Решим однородное уравнение

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y 2 = - 20 ,

которое корней не имеет.

В случае, когда

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

У системы (16) первое уравнение - линейное , поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы.

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

• повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету
• формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Пример: 5x+2y=10

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Утверждение 1.

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Утверждение 2.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Утверждение 3.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

Где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

Утверждение 4.

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

1) 9x – 18y = 5

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

Ответ: (0;0), (2;2)

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

Ответ: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит
2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

Ответ: (-2;0), (2;0).

Ответы: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3), (10;-9).

в)

Ответ: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Итоги. Чтозначит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Приложение:

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения.