Главная » Дизайн ванной комнаты » Вы не забыли, как решать неполное квадратное уравнение? можно познакомиться с функциями и производными

Вы не забыли, как решать неполное квадратное уравнение? можно познакомиться с функциями и производными

Известно, что оно является частным вариантом равенства ах 2 +вх+с = о, где а, в и с - вещественные коэффициенты при неизвестном х, и где а ≠ о, а в и с будут нулями - одновременно или порознь. Например, с = о, в ≠ о или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.

Трехчлен второй степени равен нулю. Первый его коэффициент а ≠ о, в и с могут принимать любые значения. Значение переменной х тогда будет когда при подстановке обратит его в верное числовое равенство. Остановимся на вещественных корнях, хотя решениями уравнения могут быть и Полным принято называть уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен о, а ≠ о, в ≠ о, с ≠ о.
Решим пример. 2х 2 -9х-5 = о, находим
D = 81+40 = 121,
D положительный, значит корни имеются, х 1 = (9+√121):4 = 5, а второй х 2 = (9-√121):4 = -о,5. Проверка поможет убедиться, что они верные.

Вот поэтапное решение квадратного уравнения

Через дискриминант можно решить любое уравнение, в левой части которого известный квадратный трехчлен при а ≠ о. В нашем примере. 2х 2 -9х-5 = 0 (ах 2 +вх+с = о)

Рассмотрим, какие бывают неполные уравнения второй степени

ах 2 +вх = o. Свободный член, коэффициент с при х 0 , здесь равен нулю, в ≠ o.
Как решать неполное квадратное уравнение такого вида? Выносим х за скобки. Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно нулю.
x(ax+b) = o, это может быть, когда х = о или когда ax+b = o.
Решив 2-е имеем x = -в/а.
В результате имеем корни х 1 = 0, по вычислениям x 2 = -b/a .
Теперь коэффициент при х равен о, а с не равен (≠) о.
x 2 +с = о. Перенесем с в правую часть равенства, получим x 2 = -с. Это уравнение только тогда имеет вещественные корни, когда -с положительное число (с ‹ о),
х 1 тогда равен √(-с), соответственно х 2 ― -√(-с). В противном случае уравнение совсем не имеет корней.
Последний вариант: b = c= o, то есть ах 2 = о. Естественно, такое простенькое уравнение имеет один корень, x = о.

Частные случаи

Как решать неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возмем любые виды.

В полном квадратном уравнении второй коэффициент при х ― четное число.
Пусть k = o,5b. Имеем формулы для вычисления дискриминанта и корней.
D/4 = k 2 - ас, корни вычисляются так х 1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
x = -k/a при D = o.
Нет корней при D ‹ o.
Бывают приведенные квадратные уравнения, когда коэффициент при х в квадрате равен 1, их принято записывать x 2 +рх+ q = o. На них распространяются все вышеприведенные формулы, вычисления же несколько проще.
Пример, х 2 -4х-9 = 0. Вычисляем D: 2 2 +9, D = 13.
х 1 = 2+√13, х 2 = 2-√13.
Кроме того, к приведенным легко применяется В ней говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второму коэффициенту с минусом (имеется ввиду противоположный знак), а произведение этих же корней будет равно q, свободному члену. Проверьте, как легко можно было бы устно определить корни этого уравнения. Для неприведенных (при всех коэффициентах, не равных нулю) эта теорема применима так: сумма x 1 +x 2 равна -в/а, произведение х 1 ·х 2 равно с/a.

Сумма свободного члена с и первого коэффициента а равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет не менее чем один корень (легко доказывается), первый обязательно равен -1, а второй -с/а, если он существует. Как решать неполное квадратное уравнение, можно проверить самостоятельно. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых соотношениях между собой

x 2 +x = o, 7х 2 -7 = o.
Сумма всех коэффициентов равна о.
Корни у такого уравнения - 1 и с/а. Пример, 2х 2 -15х+13 = o.
x 1 = 1, х 2 = 13/2.

Существует ряд других способов решения разных уравнениий второй степени. Вот, например, метод выделения из данного полинома полного квадрата. Графических способов несколько. Когда часто имеешь дело с такими примерами, научишься «щелкать» их, как семечки, ведь все способы приходят на ум автоматически.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, вы поняли...)

Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

I. ax 2 =0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0 ). Решение: х=0. Ответ: 0.

Решить уравнения.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:

3x 2 =0, отсюда x=0.

Ответ: 0.

II. ax 2 +bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Ответ: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.

Ответ: 0; 5,2.

Пример 3. 64x+4x 2 =0.

Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х =0. Из последнего равенства получим х=-16.

Ответ: -16; 0.

Пример 4. (x-3) 2 +5x=9.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

x 2 -6x+9+5x=9; преобразуем к виду: x 2 -6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:

x 2 -x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.

Ответ: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Если (-c/a)<0 , то действительных корней нет. Если (-с/а)>0

Пример 5. x 2 -49=0.

Решение.

x 2 =49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.

Пример 6. 9x 2 -4=0.

Решение.

Часто требуется найти сумму квадратов (x 1 2 +x 2 2) или сумму кубов (x 1 3 +x 2 3) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

x 2 +px+q=0

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Выразим через p и q :

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x 1 2 +x 2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x 1 +x 2 =-p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x 1 3 +x 2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Еще одно полезное равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x 1 2 +x 2 2 .

Решение.

x 1 +x 2 =-p=3, а произведение x 1 ∙x 2 =q= в примере 1 ) равенство:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. У нас -p =x 1 +x 2 =3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 =-4. Тогда x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Ответ: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x 1 3 +x 2 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x 1 +x 2 =-p=2, а произведение x 1 ∙x 2 =q= -4. Применим полученное нами (в примере 2 ) равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x 1 3 +x 2 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x 1 2 +x 2 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5 ; произведение корней равно -3,5 .

Решаем так же, как пример 3) , используя равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x 1 2 +x 2 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p , а произведение корней через q , получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q= -2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36 . Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет : всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13 , а произведение корней 36 . Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0 .

Решение.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D =7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

x 1 +x 2 =-b:a =- (-7):2=3,5.

Пример 7) . Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент (8 ) является четным числом. D 1 =4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x 1 ∙x 2 =c:a =-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

Дискриминант D=b 2 - 4ac.

Если D>0 , то имеем два действительных корня:

Если D=0 , то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a) .

Если D<0, то действительных корней нет.

Пример 1) 2x 2 +5x-3=0.

Решение. a =2; b =5; c =-3.

D=b 2 — 4ac =5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

4x 2 +21x+5=0.

Решение. a =4; b =21; c =5.

D=b 2 — 4ac =21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.

II. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором