Как вычислить объем призмы если. Объем прямой призмы

Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = AA’ = BB’ = CC’ (рис. 306).

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD и \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (рис. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и BB’, то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями BCD, ВСЕ, BАD и BAF.

Призмы с основаниями BCD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh . Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh .

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.

2. Объём прямой многоугольной призмы.

Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания Sи высотой h , разобьём её на треугольные призмы (рис. 308).

Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

V = S 1 h + S 2 h + S 3 h , или

V = (S 1 + S 2 + S 3)h .

И окончательно: V = Sh .

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

Объём призмы

Теорема. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

1) Проведём (черт. 95) через ребро AA 1 треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 плоскость, параллельную грани ВВ 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - плоскость, параллельную грани AA 1 B 1 B; затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пересечения с проведёнными плоскостями.

Тогда мы получим параллелепипед BD 1 , который диагональной плоскостью АА 1 С 1 С делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики. Для этого проведём перпендикулярное сечение abcd . В сечении получится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника. Данная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть \(\Delta\)аbc , а высота - ребро АА 1 . Другая треугольная призма равновелика такой прямой, у которой основание есть \(\Delta\)аdс , а высота - ребро АА 1 . Но две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они совмещаются), значит, призмы АВСА 1 В 1 С 1 и ADCA 1 D 1 C 1 равновелики. Из этого следует, что объём данной призмы составляет половину объёма параллелепипеда BD 1 ; поэтому, обозначив высоту призмы через H, получим:

$$ V_{\Delta пр.} = \frac{S_{ABCD}\cdot H}{2} = \frac{S_{ABCD}}{2}\cdot H = S_{ABC}\cdot H $$

2) Проведём через ребро АА 1 многоугольной призмы (черт. 96) диагональные плоскости АА 1 С 1 С и AA 1 D 1 D.

Тогда данная призма рассечётся на несколько треугольных призм. Сумма объёмов этих призм составляет искомый объём. Если обозначим площади их оснований через b 1 , b 2 , b 3 , а общую высоту через Н, то получим:

объём многоугольной призмы = b 1 H +b 2 H + b 3 H =(b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площади ABCDE) H.

Следствие. Если V, В и Н будут числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту призмы, то, по доказанному, можно написать:

Другие материалы

Метод 1 із 5: Обчислення обсягу трикутної призми

1 Запишіть формулу для знаходження об"єму трикутної призми. Формула проста: V = площа підстави призми х висота призми . Ви можете знайти площу основи за формулою для знаходження площі трикутника - 1/2 помножити на бік і помножити на висоту.

2 Знайдіть площу основи. Щоб обчислити об"єм трикутної призми, необхідно спочатку знайти площу трикутника, що лежить в основі. Знайдіть площу основи призми (в даному випадку трикутника) шляхом множення 1/2 на сторону трикутника і на його висоту.

• Наприклад, якщо висота трикутника дорівнює 5 см, а його сторона дорівнює 4 см, то площа основи дорівнює 1/2 х 5 см х 4 см = 10 см2.

3 Знайдіть висоту. Припустимо, висота нашої трикутної призми дорівнює 7 див.

4 Помножте площа основи (трикутника) на висоту призми. Після того, як ви помножите площа на висоту, ви отримаєте об"єм трикутної призми.

• Для нашого прикладу: 10 см2 x 7 см = 70 см3

5 Слід завжди використовувати кубічні одиниці виміру при розрахунку обсягу, так як ви працюєте з тривимірними об"єктами. Остаточну відповідь 70 див. 3

Метод 2 із 5: Обчислення об"єму куба

1 Запишіть формулу для знаходження об"єму куба. Формула проста: V = (довжина ребра) 3 Куб являє собою призму, у якого всі ребра рівні.

2 Знайдіть довжину ребра куба. Всі ребра рівні, тому неважливо, яке ребро розглядати.

• Наприклад: довжина ребра = 3 див.

3 Підійміть довжину в куб. Для зведення в куб просто двічі помножте число на саме себе. Наприклад, куб "А" - це "А x А x А". Оскільки всі довжини ребер куба рівні, вам не потрібно обчислювати площу основи і множити його на висоту. Перемножування будь-яких двох ребер куба дасть вам площі підстави, а будь-третє ребро може представляти висоту. Вам не потрібно замислюватися над перемножуванням довжини, ширини і висоти, так як в кубі цими величинами може бути будь-яке ребро.

• Наприклад: 3 см3 = 3 см 3 см 3 см = 27 см3

4 Запишіть відповідь у кубічних одиницях. Не забудьте записати ваш остаточний відповідь у кубічних одиницях. Остаточну відповідь 27 см3

Метод 3 із 5: Обчислення обсягу прямокутної призми

1 Запишіть формулу для знаходження об"єму прямокутної призми. Формула: V = довжина * ширина * висота Прямокутна призма - призма з прямокутним підставою.

2 Знайдіть довжину. Довжина прямокутної призми – довша сторона прямокутника, який лежить в основі призми.

• Наприклад: довжина = 10 див.

3 Знайдіть ширину. Ширина прямокутної призми – коротка сторона прямокутника, який лежить в основі призми.

• Наприклад: ширина = 8 див.

4 Знайдіть висоту. Висота прямокутної призми – будь-яка межа, перперндикулярная основи (грань, що піднімається вгору). Ви можете уявити собі висоту прямокутної призми як грань, яка простягається вгору від основи до верхнього плоского прямокутник і робить фігуру тривимірною.

• Наприклад: Висота = 5 див.

5 Перемножьте довжину, ширину і висоту. Ви можете помножити їх в будь-якому порядку і отримаєте той же результат. За допомогою цього методу ви, по суті, вираховуєте площа прямокутного підстави (10 х 8), а потім примножуєте його на висоту (5). Тому для знаходження обсягу цієї призми, ви можете помножити довжини ребер в будь-якому порядку.

• Наприклад: 10 см * 8 см * 5 см = 400 див. 3

6 Запишіть відповідь у кубічних одиницях. Остаточну відповідь 400 см3

Метод 4 із 5: Обчислення об"єму призми трапецеїдальної

1 Запишіть формулу для обчислення об"єму трапецеїдальної призми. Формула: V = x висота призми Ви повинні використовувати першу частину цієї формули, щоб знайти площу основи призми (площа трапеції), перш ніж обчислювати об"єм призми.

2 Знайдіть площу основи трапецеїдальної призми. Для цього просто підставте в формулу довжину обох основи і висоту трапеції.

• Наприклад, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а висота = 10 див.
• 1/2 х (6 8) х 10 = 1/2 x 14 см х 10 см = 80 см 2

3 Знайдіть висоту трапецеїдальної призми. Припустимо, висота трапецеїдальної призми становить 12 див.

4 Помножте площа основи на висоту. Щоб розрахувати обсяг трапецеїдальної призми, треба просто помножити площу основи на висоту.

• 80 см2 x 12 см = 960 см3.

5 Остаточну відповідь буде 960 см3

Метод 5 із 5: Обчислення обсягу правильної п"ятикутної призми

1 Запишіть формулу для знаходження об"єму п"ятикутної призми. Формула: V = x висота призми . Можна використовувати першу частину формули для знаходження площі п"ятикутника в основі призми. Ви можете вирішити це через знаходження площі п"яти трикутників, що становлять правильний п"ятикутник. В цьому випадку сторона п"ятикутника дорівнює основи трикутника, а апофема - висоті трикутника. Помножимо ці величини на 1/2 і отримаємо площу трикутника, а потім результат помножимо на 5, так як 5 однакових трикутників складають основу правильної п"ятикутної призми.

2 Знайдіть площу п"ятикутного підстави. Припустимо, довжина сторони становить 6 см і довжина апофемы дорівнює 7 див. Просто підставте ці цифри в формулу:

• А = 1/2 х 5 х сторона х апофема
• А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см 2

3 Знайдіть висоту призми. Припустимо, висота призми дорівнює 10 див.

4 Помножте площа п"ятикутного основи на висоту призми. Просто помножте площа основи (105 см2) на висоту (10 см) і знайдете об"єм правильної п"ятикутної призми.

• 105 см2 x 10 см = 1050 см3

5 Запишіть вашу відповідь у кубічних одиницях. Остаточну відповідь 1050 см3.

Поради

• Постарайтеся не плутати "основа призми" з "підставою фігури". Основа призми - це двовимірна фігура, яка утворює основу всієї призми (як правило, її верхня і нижня грань). Але ця двовимірна фігура може мати свою власну основу – сторона, на яку опускається перпендикуляр і яка допомагає обчислити площу двомірної фігури.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.