Кръгова линия. Обиколка: общо понятие и основни формули. Окръжност, вписана в триъгълник и описана около него

За да получите обща представа какво е кръг, погледнете пръстен или обръч. Можете също така да вземете кръгла чаша и чаша, да я поставите с дъното надолу върху лист хартия и да я оградите с молив. При многократно увеличение получената линия ще стане дебела и не съвсем равномерна, а краищата й ще бъдат размазани. Кръгът като геометрична фигура няма такава характеристика като дебелина.

Кръг: определение и основни средства за описание

Окръжността е затворена крива, състояща се от много точки, разположени в една и съща равнина и на еднакво разстояние от центъра на окръжността. В този случай центърът е в същата равнина. По правило се обозначава с буквата О.

Разстоянието от която и да е точка на окръжността до центъра се нарича радиус и се обозначава с буквата R.

Ако свържете две точки от окръжността, тогава полученият сегмент ще се нарича хорда. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, е диаметърът, обозначен с буквата D. Диаметърът разделя окръжността на две равни дъги и е два пъти по-голям от дължината на радиуса. Така D = 2R, или R = D/2.

свойства на акорда

1. Ако се начертае хорда през произволни две точки на окръжността и след това се начертае радиус или диаметър перпендикулярно на последната, тогава този сегмент ще раздели както хордата, така и дъгата, отрязана от нея, на две равни части. Обратното също е вярно: ако радиусът (диаметърът) разделя хордата наполовина, тогава тя е перпендикулярна на нея.
2. Ако в рамките на една и съща окръжност са начертани две успоредни хорди, тогава дъгите, отрязани от тях, както и оградените между тях, ще бъдат равни.
3. Начертайте две хорди PR и QS, пресичащи се в кръг в точка T. Произведението на сегментите на една хорда винаги ще бъде равно на произведението на сегментите на другата хорда, тоест PT x TR = QT x TS.

Обиколка: общо понятие и основни формули

Една от основните характеристики на тази геометрична фигура е обиколката. Формулата се извлича с помощта на стойности като радиус, диаметър и константата "π", която отразява постоянството на съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър.

Така L = πD или L = 2πR, където L е обиколката, D е диаметърът, R е радиусът.

Формулата за обиколка на окръжност може да се счита за първоначална формула за намиране на радиуса или диаметъра за дадена обиколка: D = L/π, R = L/2π.

Какво е кръг: основни постулати

• нямат допирни точки;
• имат една обща точка, докато линията се нарича допирателна: ако начертаете радиус през центъра и точката на контакт, тогава той ще бъде перпендикулярен на допирателната;
• имат две общи точки и правата се нарича секанс.

2. През три произволни точки, лежащи в една равнина, може да се начертае най-много една окръжност.

3. Две окръжности могат да се допират само в една точка, която се намира на отсечката, свързваща центровете на тези окръжности.

4. При всяко въртене около центъра кръгът влиза в себе си.

5. Какво представлява окръжността от гледна точка на симетрията?

• същата кривина на линията във всяка от точките;
• спрямо точка O;
• огледална симетрия спрямо диаметъра.

6. Ако построите два произволни вписани ъгъла върху една и съща окръжна дъга, те ще бъдат равни. Ъгълът, основан на дъга, равна на половината, т.е. отрязана от диаметър на хордата, винаги е равна на 90 °.

7. Ако сравним затворени криви линии с еднаква дължина, се оказва, че кръгът ограничава участъка от равнината на най-голямата площ.

Окръжност, вписана в триъгълник и описана около него

Идеята за това какво е кръг ще бъде непълна без описание на характеристиките на тази връзка с триъгълници.

1. Когато конструирате окръжност, вписана в триъгълник, нейният център винаги ще съвпада с пресечната точка на триъгълника.
2. Центърът на окръжност, описана около триъгълник, се намира в пресечната точка на средните перпендикуляри на всяка от страните на триъгълника.
3. Ако опишете кръг наоколо, тогава неговият център ще бъде в средата на хипотенузата, тоест последният ще бъде диаметърът.
4. Центровете на вписаната и описаната окръжност ще бъдат в една и съща точка, ако основата за изграждане е

Основни твърдения за кръга и четириъгълниците

1. Окръжност може да бъде описана около изпъкнал четириъгълник само ако сборът от противоположните му вътрешни ъгли е 180°.
2. Възможно е да се построи окръжност, вписана в изпъкнал четириъгълник, ако сборът от дължините на противоположните му страни е еднакъв.
3. Възможно е да се опише окръжност около успоредник, ако ъглите му са прави.
4. Кръг може да бъде вписан в успоредник, ако всичките му страни са равни, тоест това е ромб.
5. Възможно е да се построи окръжност през ъглите на трапец само ако той е равнобедрен. В този случай центърът на описаната окръжност ще бъде разположен в пресечната точка на четириъгълника и средния перпендикуляр, изтеглен отстрани.

кръге фигура, която се състои от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка.

Основни понятия:

Център на кръгае точка, равноотдалечена от точките на окръжността.

Радиус- това е разстоянието от точките на окръжността до нейния център (равно на половината от диаметъра, фиг. 1).

Диаметъре хорда, минаваща през центъра на окръжността (фиг. 1).

Акорд- това е сегмент, свързващ две точки от окръжността (фиг. 1).

Допирателнае права линия, която има само една обща точка с окръжността. Преминава през точка от окръжността, перпендикулярна на диаметъра, начертан до тази точка (фиг. 1).

Секансе права линия, минаваща през две различни точки от окръжността (фиг. 1).

единична окръжносте окръжност, чийто радиус е равен на единица.

дъга от окръжносте частта от окръжността, разделена от две несъвпадащи точки на окръжността.

1 радиан- това е ъгълът, образуван от дъгата на окръжност, равен на дължината на радиуса (фиг. 4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Централен ъгъле ъгълът с върха в центъра на окръжността. Тя е равна на градусната мярка на дъгата, върху която лежи (фиг. 2).

Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността. Тя е равна на половината градусна мярка на дъгата, върху която лежи (фиг. 3).

Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентричен.

Две окръжности, които се пресичат под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Обиколка и площ на кръг:

Обозначения:
Обиколка - C
Диаметър дължина - d
Дължина на радиуса - r

Значениеπ :
Съотношението на обиколката на кръга към дължината на неговия диаметър се обозначава с гръцката буква π (pi).

22
π = -
7

Формула за обиколка:

C = πd или C = 2πr

Формули за площта на кръга:

C r
S = --
2

π D 2
S=---
4

Площ на кръговия сектор и кръговия сегмент.

Уравнение на окръжност в декартови координатих, г центриран в точката (а; b):

(х-а) 2 + (у-б) 2 = Р 2

Окръжност, описана около триъгълник (фиг. 4).

Окръжност, вписана в триъгълник (фиг. 5).

Ъгли, вписани в окръжност (фиг. 3).

Ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат тази окръжност, се нарича вписан в кръг.

Основни понятия:

Ъгълът разделя равнината на две части. Всяка от тези части се нарича плосък ъгъл.

Наричат ​​се равнинни ъгли с общи страни допълнителен.

Плосък ъгъл с връх в центъра на окръжността се нарича централен ъгъл(фиг.2)

Пропорционалност на отсечки от хорди и секущи окръжности.

Специални случаи и формули:

1) От точка C, която е извън окръжността, прекарваме допирателна към окръжността и отбелязваме точката на техния контакт с буквата D.

След това от същата точка C ще начертаем секуща и пресечните точки на секущата и окръжността ще бъдат обозначени с буквите A и B (фиг. 8).

В такъв случай:

CD2=климатик ·пр.н.е

2) Начертайте диаметър AB в кръг. След това от точка C, разположена на окръжността, изчертаваме перпендикуляр на този диаметър и обозначаваме получения сегмент CD (фиг. 9).

В такъв случай:

CD2=AD ·Б.Д.

кръге фигура, която се състои от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността.

Окръжност с нулев радиус (изродена окръжност) е точка, понякога този случай се изключва от дефиницията.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

Кръг и неговите свойства (безботви)

Вписана и описана окръжност - от bezbotvy

Математика: подготовка за OGE и Единния държавен изпит. Планиметрия. Окръжности и техните свойства

Математика 26. Компаси. Кръг и кръг - школа Шишкин

УРАВНЕНИЕ НА ОКРУГА. ЗАДАЧА 18 (С5). АРТЪР ШАРИФОВ

субтитри

Обозначаване

Ако една окръжност минава например през точки A, B, C, тогава тя се обозначава с посочване на тези точки в скоби: (A, B, C). Тогава дъгата от окръжност, минаваща през точките A, B, C, се означава като дъгата ABC (или дъгата AC), както и υ ABC (или υ AC).

Други определения

• Диаметър кръг AB А, Б ABвидими под прав ъгъл (Определяне чрез ъгъл въз основа на диаметъра на кръг).

• Кръг с акорд ABе пунктирана фигура А, Би всички точки на равнината, от които е отсечката ABгледано под постоянен ъгъл от едната страна, равно на вписан ъгъл на дъга AB, и под друг постоянен ъгъл от другата страна, равен на 180 градуса минус вписан ъгъл на дъга ABпо-горе (дефиниран от гледна точка на вписан ъгъл).
• Фигура, състояща се от такива точки X , (\displaystyle X,)какво е отношението на дължините на отсечките БРАВИЛАи BXпостоянно: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)е кръг (Дефиниран от гледна точка на кръга на Аполоний).
• Фигура, състояща се от всички такива точки, за всяка от които сумата от квадратите на разстоянията до две дадени точки е равна на дадена стойност, по-голяма от половината от квадрата на разстоянието между дадените точки, също е кръг (Дефиниция чрез Питагорова теорема за произволен правоъгълен триъгълник, вписан в окръжност с хипотенуза, която е диаметърът на окръжността).
• Мначертайте всякакви акорди вътре в него AB, CD, EFи т.н., тогава са валидни равенствата: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Равенствата винаги ще са валидни, независимо от избора на точка Ми посоките на хордите, прекарани през него (Определяне чрез пресичащи се хорди).
• Окръжността е затворена, самонесичаща се фигура със следното свойство. Ако през произволна точка Мизвън него, начертайте две допирателни към точките на техния контакт с кръга, например, Аи б, тогава техните дължини винаги ще бъдат равни: M A = M B (\displaystyle MA=MB). Равенството винаги ще се запази, независимо от избора на точка М(Определяне по отношение на равни допирателни).
• Окръжността е затворена, самонесичаща се фигура със следното свойство. Съотношението на дължината на която и да е от нейните акорди към синуса на която и да е от нейните вписан ъгъл, въз основа на тази хорда, е постоянна стойност, равна на диаметъра на тази окръжност (дефиниция чрез синусовата теорема).
• Кръгът е специален случай на елипса, в който разстоянието между фокусите е нула (Определение по отношение на изродена елипса).

Свързани определения за един кръг

• Геометричното място на точките в равнината, разстоянието от които до дадена точка не е по-голямо от дадена ненулева стойност, се нарича наоколо .
• Радиус- не само стойността на разстоянието, но и сегмента, свързващ центъра на кръга с една от неговите точки. Радиусът винаги е наполовина диаметъркръгове.
• Радиусът винаги е перпендикулярен на допирателната, начертана към окръжността в общата й точка с окръжността. Тоест, радиусът също е нормалата към окръжността.
• Кръгът се нарича единичен ако радиусът му е равен на единица. Единичен кръге един от основните обекти на тригонометрията.
• Отсечка, която свързва две точки от окръжност, се нарича акорд. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър.
• Всякакви две несъвпадащи точки от окръжността я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга окръжност. Дъгата се нарича полукръгако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
• Дължината на единичен полукръг се означава с .

• Права, която има точно една обща точка с окръжност, се нарича допирателнакъм окръжността, а общата им точка се нарича допирна точка на правата и окръжността.
• Допирателнакъм окръжност винаги е перпендикулярна на нейния радиус (и диаметър), начертан в точката на контакт, която е нормалноначертан в тази точка.
• Нарича се права, минаваща през две различни точки на окръжност секуща.

Определение на триъгълници за една окръжност

• Триъгълник ABC се нарича вписан в кръг(A,B,C), ако и трите му върха A, B и C лежат на тази окръжност. Кръгът се нарича описана окръжносттриъгълник ABC (Вижте описаната окръжност).
• Допирателнана окръжност, начертана през който и да е връх на вписан в нея триъгълник, е антиуспоредна на противоположната на дадения връх страна на триъгълника.
• Триъгълник ABC се нарича описана около окръжност(A", B", C"), ако и трите й страни AB, BC и CA докосват тази окръжност съответно в някои точки C", A" и B". Кръгът се нарича вписан кръгтриъгълник ABC (Вижте вписана окръжност).

Дефиниции на ъгли за една окръжност

• Ъгълът, образуван от дъга от окръжност, равна по дължина на радиуса, се приема за 1 радиан.

• Централнаъгъл - ъгъл с връх в центъра на окръжността. Централният ъгъл е равен на мярката в радиан/градус на дъгата, върху която лежи (вижте фиг.).
• Надписанъгъл - ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност, а страните пресичат тази окръжност. Вписан ъгълравна на половината градусна мярка на дъгата, върху която лежи (виж Фиг.).
• външен ъгълза надписанъгъл - ъгълът, образуван от едната страна и продължението на другата страна надписанъгъл (вижте фиг. ъгъл θ Кафяв цвят). външен ъгълзащото ъгълът на окръжността, вписана от другата страна, има същата стойност θ .
• Ъгъл между окръжност и права- ъгълът между правата и допирателната към окръжността в точката на пресичане на правата и окръжността. Двата ъгъла между пресичащата се окръжност и правата са равни.
• Ъгъл, базиран на диаметъра на кръг- ъгълът, вписан в този кръг, чиито страни съдържат краищата на диаметъра. Той винаги е директен.

Свързани определения за два кръга

• Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентричен.
• Две окръжности, които имат само една обща точка, се наричат относновъншно, ако окръжностите им нямат други общи точки, и вътрешно, ако окръжностите им лежат една в друга.
• Две окръжности, които имат две общи точки, се наричат пресичащи се. Техните кръгове (ограничени от тях) се пресичат в област, наречена сегмент с двойна окръжност.
• ъгълмежду две пресичащи се (или допирателни) окръжности е ъгълът между техните допирателни, начертани в обща точка на пресичане (или допирателна).
• Също ъгълмежду две пресичащи се (или допирателни) окръжности, може да се вземе предвид ъгълът между техните радиуси (диаметри), начертани в обща точка на пресичане (или допирателна).
• Тъй като за всяка окръжност нейният радиус (или диаметър) и допирателната, прекарани през всяка точка на окръжността, са взаимно перпендикулярни, радиусът (или диаметърът) може да се счита нормалнокъм окръжност, построена в дадена точка. Следователно двата вида ъгли, дефинирани в двата предишни два параграфа, винаги ще бъдат равни един на друг, като ъгли с взаимно перпендикулярни страни.
• прав ъгъл се наричат ортогонален. Кръговете могат да се броят ортогоналенако образуват прав ъгъл помежду си.
• Радикална ос на две окръжности- геометрично място на точки, чиито степени по отношение на две дадени окръжности са равни. С други думи, дължините на четири допирателни, начертани към две дадени окръжности от всяка точка, са равни Мдадено геометрично местонахождение на точки.

Определения на ъгли за две окръжности

• Ъгъл между две пресичащи се окръжности- ъгълът между допирателните към окръжностите в точката на пресичане на тези окръжности. Двата ъгъла между две пресичащи се окръжности са равни.
• Ъгъл между две окръжности, които не се пресичат- ъгълът между две общи допирателни към две окръжности, образуван в точката на пресичане на тези две допирателни. Пресечната точка на тези две допирателни трябва да лежи между двете окръжности, а не от страната на една от тях (този ъгъл не се взема предвид). Двата вертикални ъгъла между две непресичащи се окръжности са равни.

Ортогоналност

• Две окръжности, които се пресичат под прав ъгъл, се наричат ортогонален. Кръговете могат да се броят ортогоналенако образуват прав ъгъл помежду си.
• Две окръжности, пресичащи се в точки A и B с центрове O и O" се наричат ортогонален, ако OAO" и OBO" са прави ъгли. Именно това условие гарантира прав ъгълмежду кръгове. В този случай радиусите (нормалите) на двете окръжности, начертани до точката на тяхното пресичане, са перпендикулярни. Следователно допирателните на две окръжности, начертани до точката на тяхното пресичане, също са перпендикулярни. Допирателната на окръжността е перпендикулярна на радиуса (нормална), начертан към точката на контакт. Обикновено ъгълът между кривите е ъгълът между техните тангенти, начертани в точката на тяхното пресичане.
• Може да има и друго допълнително условие. Нека две окръжности, пресичащи се в точки A и B, имат среди на пресичащи се дъги в точки C и D, т.е. дъгата AC е равна на дъгата CB, дъгата AD е равна на дъгата DB. Тогава тези кръгове се наричат ортогоналенако CAD и CBD са прави ъгли.

Свързани определения за три кръга

• Три окръжности се наричат ​​взаимно допирателни (пресичащи се), ако всеки две от тях се допират (пресичат) една друга.
• В геометрията радикален центъртри кръга е пресечната точка на трите радикални оси на двойки кръгове. Ако радикалният център лежи извън всичките три кръга, тогава той е центърът на единствения кръг ( радикален кръг), която пресича три дадени окръжности ортогонално.

Лема на Архимед

Доказателство

Позволявам G (\displaystyle G)- хомотетия, превеждане на малък кръг в голям. Тогава е ясно, че A 1 (\displaystyle A_(1))е центърът на тази хомотетия. След това линията B C (\displaystyle BC)преминава в права линия a (\displaystyle a)докосване на големия кръг и A 2 (\displaystyle A_(2))ще отиде до точка на тази права и принадлежаща на големия кръг. Спомняйки си, че хомотетията превръща правите в прави, успоредни на тях, разбираме това a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Позволявам G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))и D (\displaystyle D)- точка на линия a (\displaystyle a), такъв, който е остър, и E (\displaystyle E)- такава точка на правата a (\displaystyle a), Какво ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- пикантен. Тогава, тъй като a (\displaystyle a)- допирателна към големия кръг ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\ъгъл BA_(3)E=\ъгъл BCA_(3)). Следователно △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))равнобедрен, което означава ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), това е A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- ъглополовяща ∠ B A 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).

Теорема на Декарт за радиусите на четири по двойки допирателни окръжности

Теорема на Декарт"заявява, че радиусите на всеки четири взаимно допиращи се окръжности отговарят на определено квадратно уравнение. Понякога се наричат ​​кръгове на Соди.

Имоти

Уравнение на окръжност, минаваща през точки (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\вдясно),\вляво(x_(3),y_(3)\вдясно),)не лежи на една права линия (с помощта на детерминанта):

В декартова координатна система окръжността не е графика на функция, но може да се опише като обединение на графиките на следните две функции:

Ако центърът на окръжността съвпада с началото, функциите приемат формата:

Полярни координати

Радиус на кръга R (\displaystyle R)центриран в точка (ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right)).

кръг- геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

Тази точка (О) се нарича кръг център.
Радиус на кръгае отсечка, която свързва центъра с точка от окръжността. Всички радиуси имат еднаква дължина (по дефиниция).
АкордОтсечка, която свързва две точки от окръжност. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжността я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича кръгова дъга. Дъгата се нарича полукръгако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
Дължината на единичен полукръг се означава с π .
Сумата от градусните мерки на две кръгови дъги с общи краища е 360º.
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича наоколо.
кръгов сектор- част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, свързващи краищата на дъгата с центъра на окръжността. Дъгата, която ограничава сектора, се нарича секторна дъга.
Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентричен.
Две окръжности, които се пресичат под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Взаимно разположение на права линия и окръжност

1. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( г), тогава правата и окръжността имат две общи точки. В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.
2. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата е равно на радиуса на окръжността, то правата и окръжността имат само една обща точка. Такава линия се нарича допирателна към окръжност, а общата им точка се нарича допирна точка между линия и окръжност.
3. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата и окръжността нямат допирни точки
.

Централни и вписани ъгли

Централен ъгъле ъгълът с върха в центъра на окръжността.
Вписан ъгълЪгъл, чийто връх лежи върху окръжността и чиито страни пресичат окръжността.

Теорема за вписания ъгъл

Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, която пресича.

• Следствие 1.
  Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.


• Следствие 2.
  Вписан ъгъл, който пресича полукръг, е прав ъгъл.

Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Основни формули

• Обиколка:

• Дължината на дъгата:

• Диаметър:

• Дължината на дъгата:

• Площ на кръг:

• Област на кръговия сектор:

Окръжно уравнение

• В правоъгълна координатна система уравнението за окръжност с радиус rцентриран в точка ° С(x o; y o) има формата:

• Уравнението за окръжност с радиус r с център в началото е:

Нека първо разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледате какво представляват и двете фигури. Това е безкраен брой точки в равнината, разположени на еднакво разстояние от една централна точка. Но ако кръгът се състои и от вътрешно пространство, тогава той не принадлежи на кръга. Оказва се, че окръжността е както окръжност, която я ограничава (o-кръг (g)ness), така и неизброим брой точки, които са вътре в окръжността.

За всяка точка L, лежаща на окръжността, важи равенството OL=R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).

Отсечка, която свързва две точки от окръжност, е акорд.

Хорда, минаваща директно през центъра на окръжност, е диаметъртози кръг (D) . Диаметърът може да се изчисли по формулата: D=2R

Обиколкаизчислява се по формулата: C=2\pi R

Площ на кръг: S=\pi R^(2)

дъга от окръжностнарича тази част от него, която се намира между две от неговите точки. Тези две точки определят две дъги на окръжност. Хордата CD обхваща две дъги: CMD и CLD. Същите акорди обхващат едни и същи дъги.

Централен ъгъле ъгълът между два радиуса.

дължината на дъгатаможе да се намери с помощта на формулата:

1. Използване на градуси: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Използване на радианова мярка: CD = \alpha R

Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разполовява хордата и дъгите, които обхваща.

Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка N, то произведенията на отсечките на хордите, разделени от точка N, са равни една на друга.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Допирателна към окръжност

Допирателна към окръжностОбичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с кръг.

Ако една права има две общи точки, тя се нарича секуща.

Ако начертаете радиус в точката на контакт, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.

Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че сегментите на допирателните ще бъдат равни един на друг, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.

AC=CB

Сега начертаваме допирателна и секуща към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателната отсечка ще бъде равен на произведението на цялата секуща отсечка от външната му част.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можем да заключим: произведението на цяла отсечка от първия секанс по външната му част е равно на произведението на цяла отсечка от втория секанс по външната му част.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Ъгли в кръг

Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.

Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.

\ъгъл AOB = 2 \ъгъл ADB

Въз основа на диаметър, вписан ъгъл, прав.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписаните ъгли, които се опират на една и съща дъга, са еднакви.

Вписаните ъгли, базирани на една и съща хорда, са еднакви или сборът им е равен на 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ъгъл ADB = \ъгъл AEB = \ъгъл AFB

На същата окръжност са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.

Ъгъл с връх вътре в окръжността и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата от ъгловите величини на дъгите на окръжността, които са вътре в дадения и вертикалния ъгъл.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ъгъл с връх извън окръжността и разположен между две секущи е идентичен на половината от разликата в ъгловите величини на дъгите на окръжност, които са вътре в ъгъла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписан кръг

Вписан кръге окръжност, допирателна към страните на многоъгълника.

В точката, където се пресичат ъглополовящите на ъглите на многоъгълника, се намира неговият център.

Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.

Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:

S=pr,

p е полупериметърът на многоъгълника,

r е радиусът на вписаната окръжност.

От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е:

r = \frac(S)(p)

Сумите от дължините на противоположните страни ще бъдат еднакви, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратно: окръжност е вписана в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на срещуположните страни в него са еднакви.

AB+DC=AD+BC

Във всеки от триъгълниците е възможно да се впише кръг. Само един единствен. В точката, където се пресичат ъглополовящите на вътрешните ъгли на фигурата, ще лежи центърът на тази вписана окръжност.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:

r = \frac(S)(p),

където p = \frac(a + b + c)(2)

Описана окръжност

Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълник, тогава такава окръжност се нарича описан около многоъгълник.

Центърът на описаната окръжност ще бъде в точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на тази фигура.

Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиус на окръжност, описана около триъгълник, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.

Съществува следното условие: окръжност може да бъде описана около четириъгълник само ако сборът от срещуположните му ъгли е равен на 180^( \circ) .

\ъгъл A + \ъгъл C = \ъгъл B + \ъгъл D = 180^ (\circ)

В близост до всеки триъгълник е възможно да се опише окръжност, и то една и само една. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.

Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c са дължините на страните на триъгълника,

S е площта на триъгълника.

Теорема на Птолемей

И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.

Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сбора от произведенията на противоположните страни на вписан четириъгълник.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD