У дома » Ремонтни и довършителни материали » Време при движение под ъгъл спрямо хоризонта. Изследване на движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. Обхват на хвърляне на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта

Време при движение под ъгъл спрямо хоризонта. Изследване на движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. Обхват на хвърляне на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта

Нека тяло е хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта със скорост . Както и в предишните случаи, ще пренебрегнем въздушното съпротивление. За описание на движението е необходимо да се изберат две координатни оси - Ox и Oy (фиг. 29).

Фиг.29

Произходът е съвместим с първоначалната позиция на тялото. Проекции на началната скорост по осите Oy и Ox: , . Прогнози за ускорение: ,

Тогава движението на тялото ще бъде описано с уравненията:

(8)

(9)

От тези формули следва, че тялото се движи равномерно в хоризонтална посока и равномерно ускорено във вертикална посока.

Траекторията на тялото ще бъде парабола. Имайки предвид, че в горната част на параболата можете да намерите времето, необходимо на тялото да се издигне до върха на параболата:

Замествайки стойността на t 1 в уравнение (8), намираме максималната височина на тялото:

Максимална височина на повдигане.

Намираме времето за полет на тялото от условието, че при t \u003d t 2 координатата y 2 \u003d 0. следователно . Следователно, - времето на полета на тялото. Сравнявайки тази формула с формула (10), виждаме, че t 2 =2t 1 .

Времето на движение на тялото от максималната височина t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 . Следователно, за колко време тялото се издига до максималната височина, за колко време пада от тази височина. Замествайки стойността на времето t 2 в уравнението на координатата x (6), намираме:

- обхват на тялото.

Моментната скорост във всяка точка на траекторията е насочена тангенциално към траекторията (виж фиг. 29), модулът на скоростта се определя по формулата

По този начин движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта или в хоризонтална посока, може да се разглежда като резултат от две независими движения - хоризонтално равномерно и вертикално равномерно ускорено (свободно падане без начална скорост или движение на тяло, хвърлено вертикално нагоре ).

Помислете каква може да бъде целта на кинематичните проблеми.

1. Може да се интересуваме от промяната на кинематичните величини в процеса на движение, т.е. получаване на информация за промяната на координатите, скоростта, ускорението, както и съответните ъглови стойности.

2. В редица проблеми, например в проблема с движението на тяло под ъгъл спрямо хоризонта, се изисква да се научат за стойностите на физическите величини в специфични състояния: обхват на полета, максимално изкачване и др.

3. В случаите, когато тялото участва едновременно в няколко движения (например търкаляне на топка) или се разглежда относителното движение на няколко тела, става необходимо да се установят връзки между премествания, скорости и ускорения (линейни и ъглови), т.е. намери уравнения кинематична връзка.

Въпреки голямото разнообразие от проблеми в кинематиката, може да се предложи следният алгоритъм за тяхното решаване:

1. Направете схематичен чертеж, показващ началното положение на телата и първоначалното им състояние, т.е. И .

2. Изберете референтна рамка въз основа на анализа на условията на проблема. За да направите това, трябва да изберете референтно тяло и да свържете с него координатна система, като посочите началото на координатите, посоката на координатните оси, момента на началото на референтната времева точка. При избора на положителни посоки те се ръководят от посоката на движение (скорост) или посоката на ускорение.

3. Въз основа на законите за движение съставете система от уравнения във векторна форма за всички тела, а след това в скаларна форма, като проектирате тези векторни уравнения на движение върху координатните оси. При записването на тези уравнения трябва да се обърне внимание на знаците "+" и "-" на проекциите на векторните величини, включени в тях.

4. Отговорът трябва да се получи под формата на аналитична формула (в общи линии), а в края да се направят числени изчисления.

Пример 4За колко време пътник, който седи на прозореца на влак, движещ се със скорост 54 km/h, ще види преминаващ покрай него насрещен влак, чиято скорост е 36 km/h и дължина 250 m?

Решение.Нека свържем неподвижната отправна система със Земята, подвижната система - с влака, в който се намира пътникът. Според закона за събиране на скоростите, къде е скоростта на идващия влак спрямо първия. В проекции на оста Ox:

Тъй като пътят, изминат от идващия влак спрямо първия, е равен на дължината на влака, времето

Пример 5Параходът пътува от Нижни Новгород до Астрахан 5,0 дни, а обратно - 7,0 дни. Колко дълго ще плава салът от Нижни Новгород до Астрахан? Паркирането и задръстванията са изключени.

Дадено: t 1 \u003d 5 дни, t 2 \u003d 7 дни.

Решение.Ще свържем неподвижната референтна система с брега, а подвижната система с водата. Приемаме, че скоростта на водата е една и съща през целия път и скоростта на парахода спрямо водата е постоянна и равна на модула на моментната скорост на парахода спрямо водата.

Тъй като салът се движи спрямо брега със скоростта на речния поток, тогава времето на неговото движение е , където s е разстоянието между градовете. Когато параходът се движи надолу по течението, неговата скорост според закона за събиране на скоростите или в проекции на оста Ox:

където е скоростта на кораба спрямо брега, е скоростта на кораба спрямо реката.

Познавайки времето на движение, можете да намерите скоростта:

От формули (1) и (2) имаме:

Когато параходът се движи срещу течението или в проекции на оста Ox, където е скоростта на парахода спрямо брега.

От друга страна, . Тогава

Решавайки системата от уравнения (3) и (4) по отношение на , получаваме:

Нека намерим времето на движение на сала:

Пример 6При равномерно ускорено движение тялото преминава за първите два равни последователни интервала от време от 4,0 s всеки път s 1 \u003d 24 m и s 2 \u003d 64 m, съответно. Определете началната скорост и ускорението на тялото.

Дадено: t 1 = t 2 = 4,0 s, s 1 = 24 m, s 2 = 64 m.

Решение.Нека напишем уравненията на пътя съответно за s 1 и (s 1 + s 2). Тъй като началната скорост в този случай е една и съща, тогава

Тъй като t1=t2, тогава

Изразявайки от (1) и замествайки го в (2), получаваме:

След това началната скорост

Пример 7Автомобилът, движещ се по праволинейна траектория с равномерно ускорение с начална скорост 5,0 m / s, през първата секунда измина разстояние 6,0 m. Намерете ускорението на автомобила, моментната скорост в края на втората секунда и преместването за 2,0 s.

Решение.Познавайки пътя, изминат от тялото през първата секунда, можете да намерите ускорението:

Скоростта в края на втората секунда се намира по формулата

Пример 8 х) има формата x \u003d A + Bt + Ct 3, където A \u003d 4 m, B = 2m / s, C \u003d -0,5 m / s 3.

За момента t 1 =2 c определете: 1) координатата на точката x 1 на точката; 2) моментна скорост v1; 3) моментално ускорение а 1.

Дадено: x = A + Bt + Ct 3, A = 4 m, B = 2 m / s, C = -0,5 m / s 3, t 1 = 2 s.

Намерете: x 1; v1; a 1 .

Решение. 1. Заместете в уравнението на движението вместо t дадената стойност на времето t 1: x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 3. Заместваме стойностите A, B, C, t 1 в този израз и извършваме изчисленията: x 1 \u003d 4 m.

2. Незабавна скорост: Тогава в момент t 1 моментната скорост е v 1 = B + 3Ct 1 2 . Нека заместим тук стойностите B, C, t 1: v 1 = - 4 m / s. Знакът минус показва, че в момент t 1 =2 c точката се движи в отрицателна посока на координатната ос.

3. Незабавно ускорение: Моментното ускорение в момент t 1 е a 1 = 6Сt 1 . Заменете стойностите C, t 1: a 1 \u003d -6 m / s 2. Знакът минус показва, че посоката на вектора на ускорението съвпада с отрицателната посока на координатната ос и това е така за всеки момент от времето при условията на тази задача.

Пример 9Кинематично уравнение на движението на материална точка по права линия (ос х) има формата x \u003d A + Bt + Ct 2, където A \u003d 5 m, B = 4m / s, C \u003d -1m / s 2. Определете средната скорост v xsr за интервала от време от t 1 \u003d 1 c до t 2 \u003d 6 c.

Дадено: x = A + Bt + Ct 2, A = 5m, B = 4m / s, C = - 1m / s 2, t 1 = 1 c, t 2 = 6 c.

Намерете: v xsr -? и xsr -?

Решение.Средната скорост за времевия интервал t 2 -t 1 се определя от израза v cf = (x 2 -x 1) / (t 2 - t 1).

x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 2 \u003d 8 m, x 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 \u003d -7 m.

Заменете стойностите x 1 , x 2 , t 1 , t 2 и направете изчисленията: v xsr = -3 m/s.

Пример 10От хеликоптер е изпуснат товар на височина h = 300 m. След колко време товарът ще достигне земята, ако: а) хеликоптерът е неподвижен; б) хеликоптерът се спуска със скорост v 0 =5 m/s; 3) хеликоптерът се издига със скорост v 0 =5 m/s. Опишете графично съответните движения на товара по осите s(t), v(t) и a(t).

Решение.а) Товарът, който е напуснал неподвижния хеликоптер, пада свободно, т.е. движещи се равномерно с ускорението на свободното падане g. Намираме времето на движение от отношението Графиките на движението на обекта са отбелязани с 1 на фигурата.

б) Движението на товара, напуснал хеликоптера, който се спуска с постоянна скорост v 0 \u003d 5 m / s, е равномерно ускорено движение с постоянно ускорение g и се описва с уравнението

Заместването на числови стойности дава уравнението 9.8t 2 +10t-600=0.

Отрицателният резултат няма физически смисъл, така че времето на движение е t=7,57 s.

Графиките на движението на обекта са отбелязани с 2 на фигурата.

3) Движението на напусналия хеликоптер товар, който се издига с постоянна скорост v 0 =5 m/s, се състои от два етапа. На първия етап товарът се движи равномерно с постоянно ускорение g, насочено обратно на скоростта и се описва с уравненията

В горната част на траекторията скоростта става нула, така че

Замествайки второто уравнение на системата в първото, получаваме

На втория етап - свободно падане от височина h 0 \u003d h + h 1 \u003d 300 + 1,28 \u003d 301,28 m.

Тъй като

Графиките на движението на обекта са отбелязани с 3 на фигурата.

Пример 11.От балон, спускащ се с постоянна скорост 2 m/s, товар се хвърля вертикално нагоре със скорост 18 m/s спрямо земята. Определете разстоянието между топката и товара в момента, когато товарът достигне най-високата точка на своето издигане. След колко време тежестта ще прелети покрай топката, падайки надолу.

Дадено е: v 01 = 2 m/s, v 02 =18 m/s

Намерете: s-? τ-?

Решение.Нека насочим оста 0Y вертикално нагоре, началото е съвместимо с точката 0, където е била топката в момента на хвърляне на товара.

Тогава уравненията на движение на товара и балона:

Скоростта на движение на товара се изменя по закона v 2 =v 02 - gt.

В най-високата точка на повдигане на товара v 2 =0. Тогава времето на повдигане до тази точка Координатата на товара в точка B

През това време балонът се е спуснал до точка А; неговата координата

Разстояние между точки A и B:

След интервал от време τ, когато камъкът прелети покрай топката, координатите на телата ще бъдат същите: y 1C = y 2C;

Пример 12.С каква скорост и по какъв курс трябва да лети самолет, за да прелети 300 km на север за два часа, ако по време на полета духа северозападен вятър под ъгъл 30 o спрямо меридиана със скорост 27 km/h?

Дадено е: t=7,2∙10 3 s; л=3∙10 5 m; α=30° ≈ 0,52 rad; v 2 ≈7,2 m/s.

Намерете: v 2 -? φ-?

Решение.Нека разгледаме движението на самолет в отправна система, свързана със земята.

Нека начертаем оста OX в посока на изток, а оста OY - на север. След това скоростта на самолета в избраната отправна система

където v= л/t(2)

Уравнение (1) в проекцията върху оста

OK: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, или v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

Разделяйки тези уравнения член по член, получаваме tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),

или като се вземе предвид (2)

tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ л/T);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ л/t) ≈0,078 рад.

Поставяйки на квадрат дясната и лявата част на уравнения (3) и събирайки получените уравнения, намираме

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

откъде , или като се вземе предвид (2)

Пример 13Тяло, хвърлено вертикално нагоре, се връща на земята след t=3 s. Намерете височината на тялото и началната му скорост.

Решение.Движението нагоре на тялото е еднакво бавно с ускорението - жи се случва с времето T 1, а движението надолу е равномерно ускорено с ускорение g и се извършва през времето T 2. Уравненията, описващи движението в участъци AB и BA, образуват система:

Тъй като v B =0, тогава v 0 =gt 1 . Замествайки v 0 в първото уравнение на системата, получаваме . Ако сравним този израз с третото уравнение на системата, можем да заключим, че времето за изкачване е равно на времето за слизане t 1 =t 2 =t/2=1,5 s. Началната скорост и скоростта при кацане са равни една на друга и са v 0 =v A =gt 1 =9,8∙1,5=14,7 m/s.

телесна височина

Пример 14Свободно падащо тяло в последната секунда от движението е изминало половината път. Намерете височината, от която е хвърлен и времето, необходимо за преместване.

Решение.Зависимостта на изминатото разстояние от времето за свободно падащо тяло. Тъй като участъкът BC, който съставлява половината от целия път, е изминат за време равно на 1 s, първата половина от пътя AB е изминат за време (t-1) s. Тогава движението на сегмента BC може да се опише като .

Решаване на системата

получаваме t 2 -4t+2=0. Корените на това уравнение са t 1 \u003d 3,41 s и t 2 \u003d 0,59 s. Вторият корен не е подходящ, т.к времето на движение, въз основа на условието на проблема, трябва да надвишава една секунда. Следователно тялото пада за 3,41 s и за това време изминава пътя

Пример 15От кула с височина 25 m хоризонтално се хвърля камък със скорост 15 m/s.

Намерете: 1) колко време ще бъде в движение камъкът, 2) на какво разстояние ще падне на земята, 3) с каква скорост ще падне на земята, 4) какъв ъгъл ще сключва траекторията на камъка с хоризонт в точката на падане на земята. Въздушното съпротивление се игнорира.

Дадено е: H=25 m, v o =15 m/s

Намерете: t-? s x - ? v-? φ-?

Решение.Движението на камък, хвърлен хоризонтално, може да се разложи на две: хоризонтално s xи вертикално s y:

където t е времето на движение.

2) s x \u003d v o t \u003d 33,9 m;

3) v y \u003d gt \u003d 22,1 m / s;

4) sinφ= v y /v=0,827;

Пример 16Тяло се хвърля хоризонтално от кула с височина 25 m със скорост v x =10 m/s.

Намерете: 1) времето t на падане на тялото, 2) на какво разстояние лот основата на кулата, то ще падне, 3) скоростта v в края на падането, 4) ъгълът, който траекторията на тялото ще направи със земята в точката на неговото приземяване.

Решение.Движението на тялото е сложно. Участва в равномерно движение по хоризонтала и равномерно ускорено с ускорение g по вертикала. Следователно участък AB се описва с уравненията:

За точка А тези уравнения приемат формата:

Тогава л\u003d 10 2,26 \u003d 22,6 m и v y = 9,8 2,26 \u003d 22,15 m / s.

От тогава

Ъгълът, който траекторията сключва със земята, е равен на ъгъла φ в триъгълника на скоростите в точка А, чиято тангенс , следователно φ=68,7°.

Пример 17.За тяло, хвърлено с хоризонтална скорост v x \u003d 10 m / s, след време t \u003d 2 s след началото на движението, намерете: нормално, тангенциално и пълно ускорение, както и радиуса на кривината на траекторията при тази точка.

Решение.Компонент на вертикалната скорост v y =gt=9,8∙2=19,6 m/s

Скорост в точка А:

Векторите образуват триъгълник от скорости, а векторите образуват триъгълник от ускорения. Както се вижда от фигурата, тези триъгълници са подобни, което означава, че страните им са пропорционални: .

Нормално ускорение, така че радиусът на кривината на траекторията

Пример 18.Топка е хвърлена със скорост 10 m/s под ъгъл 40° спрямо хоризонталата.

Намерете: 1) до каква височина ще се издигне топката; 2) на какво разстояние от мястото на хвърляне топката ще падне на земята, 3) колко време ще бъде в движение.

Дадено: v o \u003d 10 m / s, α \u003d 40 около.

Намерете: s y - ? s x - ? T-?

Решение. 1) Да намерим максималната височина s y max , на която се издига тяло, изхвърлено със скорост v o под ъгъл α спрямо хоризонта. Имаме (вижте фиг.):

v y \u003d v o sinα - gt; (1)

s y \u003d v o t∙sinα - gt 2 / 2. (2)

На върха v y = 0 и от (1) получаваме v o ∙sin𝛼 = gt 1 , следователно времето на повдигане на топката t 1 =v o ∙sinα/g. Замествайки t 1 в (2), получаваме

s y max \u003d v o 2 ∙sin 2 α / (2g) \u003d 2,1 m.

2) Намерете обхвата на полета s x max на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта.

Имаме: v x \u003d v о cosα , (3)

s x =v x t=v o t∙cosα. (4)

Тялото ще падне върху хоризонтална равнина за време t 2 =2t 1 =2v o sinα/g.

Замествайки t 2 в (4), получаваме s xmax = v o 2 sin2α/ g= 10,0 м

3) t 2 \u003d 2t 1 \u003d 2v o sinα / g \u003d 1,3 s.

Пример 19.Тялото се хвърля със скорост v 0 =10 m/s 2 под ъгъл α=30° спрямо хоризонта. До каква височина ще се издигне тялото? На какво разстояние от мястото, където е хвърлен ще удари земята? Колко време ще бъде в движение?

Решение.Хоризонтална и вертикална компонента на началната скорост

Движението в OA секцията може да се разложи на две прости движения: равномерно хоризонтално и равномерно забавено вертикално:

В точка А

Тогава И

Ако тялото участва едновременно в няколко движения, тогава то участва във всяко от тях независимо от другото, следователно времето на движение в участъка AB се определя от времето на движение надолу - t 2. Времето за движение нагоре е равно на времето за движение надолу, което означава, че

При равномерно хоризонтално движение тялото изминава равни участъци от пътя за равни интервали от време, следователно,

Обхват на полета

телесна височина

Пример 20.Точката се движи праволинейно по равнината по закона x=4(t-2) 2 . Какви са началната скорост v 0 и ускорението на точката а? Намерете моментната скорост на точката v t =5 в началото на петата секунда от движението.

Решение.

1) Защото v=x’, тогава v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

при t=0 v 0 =-16 m/s.

2) Защото a= , тогава a=(8t-16)’=8 m/s.

3) При t=4, защото До началото на 5 s са изминали 4 s.

v t \u003d 5 \u003d 8t-16 \u003d 8 ∙ 4-16 \u003d 32 m / s.

Отговор:Начална точкова скорост v 0 =-16 m/s, ускорение a=8 m/s, точкова скорост в началото на петата секунда от движението v t =5 =32 m/s.

Пример 21.Движението на материална точка се описва с уравненията: а) s=αt 3 ; б) s=αt 2 +βt. Сравнете средната скорост и средноаритметичната стойност на началната и крайната скорости v cf във времевия интервал 0 - t. Тук α и β са положителни константи.

Решение.Припомнете си дефинициите за средна и моментна скорост:

Изразите за моментната скорост се получават чрез диференциране на уравнението на движението.

Изразите за средната скорост се намират като съотношение на изменението на криволинейната координата към времето:

Получаваме изрази за средноаритметичната скорост:

Нека отговорим на въпроса за условията на проблема. Вижда се, че при „а” средната и средноаритметичната скорости не съвпадат, а при „б” съвпадат.

Пример 22.Материална точка се движи равномерно по криволинейна траектория. В коя точка от траекторията ускорението е максимално?

Решение.При движение по крива траектория ускорението е сумата от тангенциалното и нормалното. Тангенциалното ускорение характеризира скоростта на изменение на стойността (модула) на скоростта. Ако скоростта не се променя, тангенциалното ускорение е нула. Нормалното ускорение зависи от радиуса на кривината на траекторията a n = v 2/R. Ускорението е максимално в точката с най-малък радиус на кривина, т.е. в точка С.

Пример 23.Материалната точка се движи по закона:

1) Определете началната координата, началната скорост и ускорението чрез сравнение със закона за движение с постоянно ускорение. Запишете уравнението за проекцията на скоростта.

Решение.Законът за движение с постоянно ускорение има формата

Сравнявайки това уравнение с уравнението на условието на проблема, получаваме

х 0 = - 1 м,

v 0 x = 1 m/s,

а x \u003d - 0,25 m / s 2.

Възниква въпросът: какво е значението на знака минус? Кога проекцията на вектор е отрицателна? Само ако векторът е насочен срещу координатната ос.

Нека изобразим началната координата, векторите на скоростта и ускорението на фигурата.

Записваме уравнението за скоростта във формата

и заменете получените данни в него (първоначални условия)

2) Намерете зависимостта на скоростта и ускорението от времето, като използвате дефинициите на тези величини.

Решение.Прилагаме дефинициите за моментните стойности на скоростта и ускорението:

Разграничавайки, получаваме v x \u003d 1-0,25t, a x \u003d - 0,25 m / s 2.

Вижда се, че ускорението не зависи от времето.

3) Изградете графики v x (t) и a x (t). Опишете движението във всеки раздел на графиката.

Решение.Зависимостта на скоростта от времето е линейна, графиката е права линия.

При t \u003d 0 v x \u003d 1 m / s. При t = 4 с v x = 0.

От графиката се вижда, че в участък „а” проекцията на скоростта е положителна, а стойността й намалява, т.е. точката се движи бавно по посока на оста x. На участък “b” проекцията на скоростта е отрицателна, а нейният модул нараства. Точката се движи с ускорение в посока, противоположна на оста x. Следователно в точката на пресичане на графиката с абсцисната ос настъпва завой, промяна в посоката на движение.

4) Определете координатите на повратната точка и пътя до завоя.

Решение.Още веднъж отбелязваме, че в точката на поврат скоростта е нула. За това състояние от уравненията на движението получаваме:

От второто уравнение получаваме T pov = 4 s. (Вижда се, че за да се получи тази стойност, не е необходимо да се изгражда и анализира графика). Заместете тази стойност в първото уравнение: x pov \u003d -1 + 4-4 2 / 8 \u003d 1 м. Нека изобразим как се е преместила точката.

Пътят до завоя, както се вижда от фигурата, е равен на промяната на координатите: s завой =x завой -x 0 =1-(-1)=2 m.

5) В кой момент точката преминава през началото?

Решение.В уравнението на движение трябва да се постави x = 0. Получаваме квадратно уравнение 0 \u003d -1 + t-t 2 / 8 или t 2 -8t + 8 \u003d 0. Това уравнение има два корена: . t 1 \u003d 1,17 s, t 2 \u003d 6,83 s. Всъщност точката преминава през началото два пъти: когато се движи „там“ и „назад“.

6) Намерете пътя, изминат от точката за 5 секунди след началото на движението, и движението през това време, както и средната земна скорост на този участък от пътя.

Решение.Първо, нека намерим координатата, в която се оказа точката след 5 секунди движение и я маркираме на фигурата.

x(5)=-1+5-5 2/8= 0,875 m.

Тъй като точката е в това състояние след завоя, изминатият път вече не е равен на промяната в координатата (отместване), а се състои от два члена: пътят до завоя

s 1 \u003d x pov - x 0 \u003d 1 - (-1) \u003d 2 m

и след обръщане

s 2 \u003d x pov - x (5) \u003d 1 - 0,875 \u003d 0,125 m,

s \u003d s 1 + s 2 \u003d 2,125 m.

Преместването на точката е

s x \u003d x (5) - x 0 \u003d 0,875 - (-1) \u003d 1,875 m

Средната земна скорост се изчислява по формулата

В разглежданата задача е описан един от най-простите видове движение - движение с постоянно ускорение. Въпреки това, този подход към анализа на природата на движението е универсален.

Пример 24.При едномерно движение с постоянно ускорение зависимостите на координатата и скоростта на частицата от времето се описват със съотношенията:

Установете връзка между координатата на частица и нейната скорост.

Решение.Ние изключваме времето t от тези уравнения. За да направим това, използваме метода на заместване. От второто уравнение изразяваме времето и заместваме в първото уравнение:

Ако движението започва от началото ( х 0 =0) от почивка ( v 0 x =0), тогава получената зависимост приема формата

добре познат от училищния курс по физика.

Пример 25.Движението на материална точка се описва с уравнението: , където i и j са ортите на осите x и y, α и β са положителни константи. В началния момент от време частицата е била в точката x 0 =y 0 =0. Намерете уравнението на траекторията на частицата y(x).

Решение.Условието на проблема се формулира с помощта на векторния метод за описание на движението. Нека да преминем към метода на координатите. Коефициентите при единичните вектори са проекции на вектора на скоростта, а именно:

Първо, ние получаваме зависимостите x(t) и y(t) чрез решаване на проблема от първия клас.

Пример 28.От висока кула чхвърли камък със скорост v 0 под ъгъл α спрямо хоризонта. Намирам:

1) колко дълго камъкът ще бъде в движение;

2) на какво разстояние s ще падне на земята;

3) с каква скорост ще падне на земята;

4) какъв ъгъл β ще бъде траекторията на камъка с хоризонта в точката на неговото падане;

5) нормални и тангенциални ускорения на камъка в тази точка, както и радиуса на кривината на траекторията;

6) най-голямата височина на камъка.

Игнорирайте въздушното съпротивление.

Решение.Използвайки този проблем като пример, ще покажем как в обобщен вид може да се установи горният алгоритъм за решаване на всеки проблем от даден клас.

1. Задачата разглежда движението на материална точка (камък) в гравитационното поле на Земята. Следователно това е движение с постоянно ускорение на гравитацията g, насочено вертикално надолу.

Свободно паданее частен случай на равномерно ускорено движение без начална скорост. Ускорението на това движение е равно на ускорението на свободното падане, наричано още ускорение на гравитацията. Формулите за това движение са:

u T
ж
ч- височината, от която пада тялото
T- времето, през което е продължило падането

Забележка:

Въздушното съпротивление не се взема предвид в тези формули.
Гравитационното ускорение има намалена стойност (9,81 (m/s?)) близо до земната повърхност. Стойността на g на други разстояния от земната повърхност се променя!

Движението на тяло, хвърлено вертикално нагоре

Тяло, хвърлено вертикално нагоре, се движи равномерно бавно с начална скорост u0и ускорение а = -g. движение на тялото във времето Tе височината на повдигане ч.За това движение са валидни формулите:

U0- началната скорост на тялото
U- скорост на падане на тялото след време T
ж- ускорение на свободно падане, 9.81 (m/s?)
ч- височината, до която тялото ще се издигне във времето T
T- време

Скоростта на тялото на определена височина:

Максимална височина на повдигане на тялото:

Време за изкачване до максимална височина:

Добавяне на движения, насочени под ъгъл един спрямо друг.

Тялото може едновременно да участва в няколко транслационни движения. Тъй като ускорението, скоростта и преместването са векторни величини, те могат да се добавят според законите на векторното (геометрично) събиране. Тези. според правилото на успоредника.

Получената стойност на всяка характеристика на движение може да бъде изчислена.

Ако:
нагорее получената моментна скорост,
U1- моментна скорост на първото движение,
U2- моментна скорост на второто движение,
? - ъгълът, образуван от векторите на скоростта u1И u2,
Тогава по косинусовата теорема получаваме:

Ако движенията 1 и 2 се извършват под прав ъгъл едно спрямо друго, тогава формулата се опростява, защото

Движение на тяло, хвърлено хоризонтално.

Движението на тяло, хвърлено хоризонтално, е комбинация от две движения, взаимно перпендикулярни едно на друго:
- хоризонтално (равномерно) движение,
- вертикално (свободно падане)

Уравнение на траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално

Ако построим траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално в координатната система xy, приемайки точката на падане като начало на координатите и посоката на оста y съвпада с посоката на вектора на ускорението на гравитацията, тогава координатите на всяка точка от траекторията представляват движението на тялото в хоризонтална посока (движение с постоянна скорост U0) и във вертикална посока (равноускорено движение с ускорение ж)

x, y- координати на тялото,
u0
ж
T- време за пътуване (s)

Уравнение за траекторията на хоризонтално хвърлено тялокакто следва:

жи началната скорост на тялото u0са константи, тогава координатата гпропорционална на квадрата х, т.е. траекторията на движение е парабола, чийто връх е в началната точка на движението.

Позиционен вектор на тяло, хвърлено хоризонтално, формула

Позицията на всяка точка от траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално, може да се определи чрез вектора на позицията r, което е полученото изместване:

или Вектор на позицията:

x координата:

y-координата:

Забележка: Въздушното съпротивление не се взема предвид във формулите.

Уравнение на движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта.

Координатите на точката на траекторията се описват с уравненията:

x, y- координати на тялото
U0- начална скорост на тялото (m/s)
? - ъгълът, под който тялото е хвърлено към хоризонта (°)
ж- ускорение на свободно падане 9.81 (m/s2)
T- време за пътуване (s)

От формулите чрез параметъра t извеждаме общото уравнение на движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата

Тъй като ускорението на свободното падане ж, ? - ъгълът, под който тялото е хвърлено към хоризонта и началната скорост на тялото u0-константни стойности, след това координатата гпропорционална на квадрата х, т.е. траекторията на движение е парабола, началната точка е на един от нейните клонове, а върхът на параболата е точката на максимално издигане на тялото.

Времето за достигане на максималната височина на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта.

Времето за изкачване на максималната височина се определя от условието, че вертикалната компонента на моментната скорост е равна на нула

от това уравнение получаваме:

U0- начална скорост на тялото (m/s),
?
ж- ускорение на свободно падане 9.81 (m/s2),
thmax- време на изкачване до максималната височина (s)

Обхват на хвърляне на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта.

Обхват на хвърлянеили радиус на повредасе определя от формулите на общото време на движение и формулата на координатите на тялото

заместване tsmaxв израза и опростяване, получаваме:

U0- начална скорост на тялото (m/s),
? - ъгълът, под който тялото е хвърлено към хоризонта (°),
ж- ускорение на свободно падане 9.81 (m/s2),
tsmax- общо време на управление (s)

Помислете за движението на тяло, хвърлено хоризонтално и движещо се само под действието на гравитацията (пренебрегвайки въздушното съпротивление). Например, представете си, че една топка, лежаща на маса, е бутната и тя се търкаля към ръба на масата и започва да пада свободно, като първоначалната й скорост е насочена хоризонтално (фиг. 174).

Нека проектираме движението на топката по вертикалната ос и по хоризонталната ос. Движението на проекцията на топката върху оста е движение без ускорение със скорост ; движението на проекцията на топката върху оста е свободно падане с ускорение над началната скорост под действието на гравитацията. Познаваме законите и на двете движения. Компонентът на скоростта остава постоянен и равен на . Компонентът нараства пропорционално на времето: . Получената скорост се намира лесно с помощта на правилото на успоредника, както е показано на фиг. 175. Ще се наклони надолу и наклонът му ще се увеличи с времето.

Ориз. 174. Движение на топка, която се търкаля от масата

Ориз. 175. Топка, хвърлена хоризонтално със скорост, има скорост в момента

Намерете траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално. Координатите на тялото в момента имат значение

За да намерим уравнението на траекторията, ние изразяваме от (112.1) времето през и заместваме този израз в (112.2). В резултат на това получаваме

Графиката на тази функция е показана на фиг. 176. Ординатите на точките на траекторията се оказват пропорционални на квадратите на абсцисите. Знаем, че такива криви се наричат параболи. Парабола изобразява графика на пътя на равномерно ускорено движение (§ 22). Така свободно падащо тяло, чиято начална скорост е хоризонтална, се движи по парабола.

Изминатият път във вертикална посока не зависи от началната скорост. Но изминатият път в хоризонтална посока е пропорционален на началната скорост. Следователно при голяма хоризонтална начална скорост параболата, по която пада тялото, е по-издължена в хоризонтална посока. Ако струя вода се изстреля от хоризонтално разположена тръба (фиг. 177), тогава отделни частици вода ще се движат като топката по парабола. Колкото по-отворен е кранът, през който водата влиза в тръбата, толкова по-голяма е началната скорост на водата и толкова по-далече от крана струята стига до дъното на кюветата. Чрез поставяне на екран с предварително начертани параболи зад струята може да се провери дали водната струя наистина има формата на парабола.

Нека тялото е хвърлено под ъгъл α към хоризонта със скорост \(~\vec \upsilon_0\). Както и в предишните случаи, ще пренебрегнем въздушното съпротивление. За да се опише движението, е необходимо да се изберат две координатни оси - волИ Ой(Фиг. 1). Произходът е съвместим с първоначалната позиция на тялото. Проекции на началната скорост върху оста ОйИ вол\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \\upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Прогнози за ускорение: жх = 0; ж y=- ж.

Тогава движението на тялото ще бъде описано с уравненията:

\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \ алфа t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)

От тези формули следва, че в хоризонтална посока тялото се движи равномерно със скорост \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), а във вертикална посока - равномерно ускорено.

Траекторията на тялото ще бъде парабола. Имайки предвид, че в горната част на параболата υ y = 0, можете да намерите времето T 1 повдигане на тялото до върха на параболата:

\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)\)

Заместване на стойността T 1 в уравнение (3), намираме максималната височина на тялото:

\(~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),\) \(~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)\) - максимална телесна височина.

Времето на полета на тялото се намира от условието, че при T = T 2 координати г 2 = 0. Следователно \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0\). Следователно \(~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)\) е времето за полет на тялото. Сравнявайки тази формула с формула (5), виждаме това T 2 = 2 T 1 . Време на движение на тялото от максималната височина T 3 = T 2 - T 1 = 2T 1 - T 1 = T 1 . Следователно, за колко време тялото се издига до максималната височина, за колко време пада от тази височина. Заместване на координатите в уравнението х(1) времева стойност T 2 намираме:

\(~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)\) - разстояние на полета на тялото.

Моментната скорост във всяка точка на траекторията е насочена тангенциално към траекторията (виж фиг. 1). модулът на скоростта се определя по формулата

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в гимназията: теория. Задачи. Тестове: Proc. надбавка за институции, осигуряващи общ. среда, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Изд. К. С. Фарино. - Мн .: Адукации и вихване, 2004. - С. 16-17.

Теория

Ако едно тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, тогава по време на полет то се влияе от гравитацията и съпротивлението на въздуха. Ако съпротивителната сила се пренебрегне, тогава единствената останала сила е силата на гравитацията. Следователно, поради 2-ри закон на Нютон, тялото се движи с ускорение, равно на ускорението на свободното падане; проекциите на ускорението върху координатните оси са a x = 0, и при= -g.

Всяко сложно движение на материална точка може да бъде представено като налагане на независими движения по координатните оси, а в посоката на различните оси видът на движението може да се различава. В нашия случай движението на летящо тяло може да се представи като суперпозиция на две независими движения: равномерно движение по хоризонталната ос (ос X) и равномерно ускорено движение по вертикалната ос (ос Y) (фиг. 1) .

Следователно проекциите на скоростта на тялото се променят с времето, както следва:

където е началната скорост, α е ъгълът на хвърляне.

Следователно координатите на тялото се променят по следния начин:

С нашия избор на началото на координатите, началните координати (фиг. 1) Тогава

Втората стойност на времето, при което височината е равна на нула, е равна на нула, което съответства на момента на хвърляне, т.е. тази стойност има и физическо значение.

Далечината на полета се получава от първата формула (1). Обхватът на полета е стойността на координатата хв края на полета, т.е. в момент от време, равен на t0. Замествайки стойността (2) в първата формула (1), получаваме:

(3)

От тази формула се вижда, че най-голямата далечина на полета се постига при ъгъл на хвърляне от 45 градуса.

Най-голямата височина на повдигане на хвърленото тяло може да се получи от втората формула (1). За да направите това, трябва да замените в тази формула стойността на времето, равна на половината от времето на полета (2), защото в средната точка на траекторията височината на полета е максимална. Извършвайки изчисления, получаваме

Тип