heim » Schlafzimmerdesign » Welche der genannten Personen war. Welche der genannten Personen war ein berühmter Ikonenmaler? Welches der folgenden Ereignisse geschah früher als die anderen?

Welche der genannten Personen war. Welche der genannten Personen war ein berühmter Ikonenmaler? Welches der folgenden Ereignisse geschah früher als die anderen?

Wir haben dieses Verhalten festgestellt trigonometrische Funktionen, und Funktionen y = Sünde x insbesondere, auf dem gesamten Zahlenstrahl (oder für alle Werte des Arguments). X) wird vollständig durch sein Verhalten im Intervall bestimmt 0 < X < π / 2 .

Daher zeichnen wir zunächst die Funktion auf y = Sünde x genau in diesem Intervall.

Lassen Sie uns die folgende Wertetabelle unserer Funktion erstellen;

Indem wir die entsprechenden Punkte auf der Koordinatenebene markieren und sie mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir die in der Abbildung gezeigte Kurve

Die resultierende Kurve könnte auch geometrisch konstruiert werden, ohne eine Tabelle mit Funktionswerten zu erstellen y = Sünde x .

1. Teilen Sie das erste Viertel eines Kreises mit dem Radius 1 in 8 gleiche Teile. Die Ordinaten der Teilungspunkte des Kreises sind die Sinuswerte der entsprechenden Winkel.

2. Das erste Viertel des Kreises entspricht Winkeln von 0 bis π / 2 . Daher auf der Achse X Nehmen wir ein Segment und teilen es in 8 gleiche Teile.

3. Zeichnen wir gerade Linien parallel zu den Achsen X, und aus den Teilungspunkten konstruieren wir Senkrechte, bis sie sich mit horizontalen Linien schneiden.

4. Verbinden Sie die Schnittpunkte mit einer glatten Linie.

Schauen wir uns nun das Intervall an π / 2 < X < π .
Jeder Argumentwert X aus diesem Intervall kann dargestellt werden als

X = π / 2 + φ

Wo 0 < φ < π / 2 . Nach Reduktionsformeln

Sünde ( π / 2 + φ ) = cos φ = Sünde ( π / 2 - φ ).

Achsenpunkte X mit Abszissen π / 2 + φ Und π / 2 - φ symmetrisch zueinander um den Achsenpunkt X mit Abszisse π / 2 , und die Sinuswerte an diesen Punkten sind gleich. Dadurch können wir einen Graphen der Funktion erhalten y = Sünde x im Intervall [ π / 2 , π ] durch einfache symmetrische Darstellung des Graphen dieser Funktion im Intervall relativ zur Geraden X = π / 2 .

Jetzt die Immobilie nutzen ungerade Paritätsfunktion y = Sünde x,

Sünde(- X) = - Sünde X,

Es ist einfach, diese Funktion im Intervall [- π , 0].

Die Funktion y = sin x ist periodisch mit einer Periode von 2π ;. Um den gesamten Graphen dieser Funktion zu konstruieren, reicht es daher aus, die in der Abbildung gezeigte Kurve nach links und rechts periodisch mit einem Punkt fortzusetzen 2π .

Die resultierende Kurve heißt Sinusoid . Es stellt den Graphen der Funktion dar y = Sünde x.

Die Abbildung veranschaulicht gut alle Eigenschaften der Funktion y = Sünde x , was wir bereits bewiesen haben. Erinnern wir uns an diese Eigenschaften.

1) Funktion y = Sünde x für alle Werte definiert X , daher ist ihr Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen.

2) Funktion y = Sünde x begrenzt. Alle akzeptierten Werte liegen zwischen -1 und 1, einschließlich dieser beiden Zahlen. Folglich wird der Variationsbereich dieser Funktion durch die Ungleichung -1 bestimmt < bei < 1. Wann X = π / 2 + 2k π die Funktion nimmt die größten Werte gleich 1 an und für x = - π / 2 + 2k π - die kleinsten Werte gleich - 1.

3) Funktion y = Sünde x ist ungerade (die Sinuskurve ist symmetrisch zum Ursprung).

4) Funktion y = Sünde x periodisch mit Periode 2 π .

5) In 2n Intervallen π < X < π + 2n π (n ist eine beliebige ganze Zahl) ist positiv und in Intervallen π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ist eine beliebige ganze Zahl) ist negativ. Bei x = k π Die Funktion geht auf Null. Daher sind diese Werte des Arguments x (0; ± π ; ±2 π ; ...) heißen Funktionsnullstellen y = Sünde x

6) In Abständen - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π Funktion y = Sünde X steigt monoton und in Intervallen an π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π es nimmt monoton ab.

Besonderes Augenmerk sollten Sie auf das Verhalten der Funktion legen y = Sünde x in der Nähe des Punktes X = 0 .

Zum Beispiel sin 0,012 ≈ 0,012; Sünde(-0,05) ≈ -0,05;

Sünde 2° = Sünde π 2 / 180 = Sünde π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Gleichzeitig ist zu beachten, dass für alle Werte von x

| Sünde X| < | x | . (1)

Tatsächlich sei der Radius des in der Abbildung gezeigten Kreises gleich 1,
A / AOB = X.

Dann Sünde X= Wechselstrom. Aber AC< АВ, а АВ, в свою очередь, weniger Länge Bogen AB, auf dem der Winkel ruht X. Die Länge dieses Bogens ist offensichtlich gleich X, da der Radius des Kreises 1 ist. Also bei 0< X < π / 2

Sünde x< х.

Daher aufgrund der Seltsamkeit der Funktion y = Sünde x Es ist leicht zu zeigen, dass wenn – π / 2 < X < 0

| Sünde X| < | x | .

Endlich wann X = 0

| Sünde x | = | x |.

Also für | X | < π / 2 Ungleichung (1) ist bewiesen. Tatsächlich gilt diese Ungleichung auch für | X | > π / 2 aufgrund der Tatsache, dass | Sünde X | < 1, a π / 2 > 1

Übungen

1. Gemäß dem Diagramm der Funktion y = Sünde x Bestimmen Sie: a) Sünde 2; b) Sünde 4; c) Sünde (-3).

2. Gemäß dem Funktionsgraphen y = Sünde x Bestimmen Sie welche Zahl aus dem Intervall
[ - π / 2 , π / 2 ] hat einen Sinus von: a) 0,6; b) -0,8.

3. Gemäß dem Diagramm der Funktion y = Sünde x Bestimmen Sie, welche Zahlen einen Sinus haben.
gleich 1/2.

4. Finden Sie ungefähr (ohne Verwendung von Tabellen): a) sin 1°; b) Sünde 0,03;
c) Sünde (-0,015); d) Sünde (-2°30").

Funktionj = SündeX

Der Graph der Funktion ist eine Sinuskurve.

Der gesamte sich nicht wiederholende Teil einer Sinuswelle wird Sinuswelle genannt.

Eine halbe Sinuswelle wird Halbsinuswelle (oder Bogen) genannt.

Funktionseigenschaftenj = SündeX:

3) Dies ist eine seltsame Funktion.

4) Dies kontinuierliche Funktion.

- mit Abszissenachse: (πn; 0),
- mit der Ordinatenachse: (0; 0).

6) Auf dem Segment [-π/2; π/2]-Funktion nimmt im Intervall [π/2; 3π/2] – nimmt ab.

7) In Intervallen dauert die Funktion positive Werte.
Auf den Intervallen [-π + 2πn; 2πn]-Funktion nimmt negative Werte an.

8) Intervalle der steigenden Funktion: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn].
Abnehmende Intervalle der Funktion: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

9) Minimale Punkte der Funktion: -π/2 + 2πn.
Maximalpunkte der Funktion: π/2 + 2πn

Höchster Wert 1.

Eine Funktion grafisch darstellen j= Sünde X Es ist zweckmäßig, die folgenden Skalen zu verwenden:

Auf einem Blatt Papier mit einem Quadrat nehmen wir die Länge von zwei Quadraten als Segmenteinheit.

Auf Achse X Messen wir die Länge π. Gleichzeitig stellen wir 3,14 der Einfachheit halber in der Form 3 dar, also ohne Bruch. Dann beträgt auf einem Blatt Papier in einer Zelle π 6 Zellen (dreimal 2 Zellen). Und jede Zelle erhält ihren eigenen natürlichen Namen (von der ersten bis zur sechsten): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Das sind die Bedeutungen X.

Auf der y-Achse markieren wir 1, die zwei Zellen umfasst.

Lassen Sie uns mithilfe unserer Werte eine Tabelle mit Funktionswerten erstellen X:


			√3 - 2		√3 - 2

Als nächstes erstellen wir einen Zeitplan. Es wird eine halbe Welle sein, höchster Punkt welche (π/2; 1). Dies ist der Graph der Funktion j= Sünde X auf dem Segment. Fügen wir dem konstruierten Graphen eine symmetrische Halbwelle hinzu (symmetrisch relativ zum Ursprung, also auf der Strecke -π). Der Scheitelpunkt dieser Halbwelle liegt unter der x-Achse mit den Koordinaten (-1; -1). Das Ergebnis wird eine Welle sein. Dies ist der Graph der Funktion j= Sünde X auf dem Segment [-π; π].

Sie können die Welle fortsetzen, indem Sie sie auf dem Segment [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] usw. Auf all diesen Segmenten sieht der Graph der Funktion genauso aus wie auf dem Segment [-π; π]. Das Ergebnis wird kontinuierlich sein Schlangenlinie mit den gleichen Wellen.

Funktionj = cosX.

Der Graph einer Funktion ist eine Sinuswelle (manchmal auch Kosinuswelle genannt).

Funktionseigenschaftenj = cosX:

1) Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge der reellen Zahlen.

2) Der Bereich der Funktionswerte ist das Segment [–1; 1]

3) Dies ist eine gerade Funktion.

4) Dies ist eine stetige Funktion.

5) Koordinaten der Schnittpunkte des Diagramms:
- mit der Abszissenachse: (π/2 + πn; 0),
- mit der Ordinatenachse: (0;1).

6) Auf dem Segment nimmt die Funktion ab, auf dem Segment [π; 2π] – nimmt zu.

7) Auf Intervallen [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]-Funktion nimmt positive Werte an.
Auf den Intervallen [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]-Funktion nimmt negative Werte an.

8) Zunehmende Intervalle: [-π + 2πn; 2πn].
Absteigende Intervalle: ;

9) Minimale Punkte der Funktion: π + 2πn.
Maximalpunkte der Funktion: 2πn.

10) Die Funktion ist nach oben und unten eingeschränkt. Niedrigster Wert Funktionen –1,
der höchste Wert ist 1.

11) Dies ist eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π (T = 2π)

Funktionj = mf(X).

Nehmen wir die vorherige Funktion j=cos X. Wie Sie bereits wissen, ist sein Diagramm eine Sinuswelle. Wenn wir den Kosinus dieser Funktion mit multiplizieren bestimmte Nummer m, dann erstreckt sich die Welle von der Achse X(oder schrumpft, abhängig vom Wert von m).
Das neue Welle und wird der Graph der Funktion y = mf(x) sein, wobei m eine beliebige reelle Zahl ist.

Somit ist die Funktion y = mf(x) die bekannte Funktion y = f(x) multipliziert mit m.

WennM< 1, то синусоида сжимается к оси X durch den KoeffizientenM. Wennm > 1, dann wird die Sinuskurve von der Achse aus gestrecktX durch den KoeffizientenM.

Beim Dehnen oder Komprimieren können Sie zunächst nur eine Halbwelle einer Sinuswelle zeichnen und dann das gesamte Diagramm vervollständigen.

Funktiony = F(kx).

Wenn die Funktion y =mf(X) führt zu einer Streckung der Sinuskurve von der Achse X oder Kompression zur Achse hin X, dann führt die Funktion y = f(kx) zur Streckung von der Achse j oder Kompression zur Achse hin j.

Darüber hinaus ist k eine beliebige reelle Zahl.

Bei 0< k< 1 синусоида растягивается от оси j durch den Koeffizientenk. Wennk > 1, dann wird die Sinuskurve zur Achse hin gestauchtj durch den Koeffizientenk.

Wenn Sie diese Funktion grafisch darstellen, können Sie zunächst eine Halbwelle einer Sinuswelle erstellen und diese dann zum Vervollständigen des gesamten Diagramms verwenden.

Funktionj = tgX.

Funktionsgraph j= tg X ist eine Tangente.

Es reicht aus, einen Teil des Graphen im Intervall von 0 bis π/2 zu erstellen, und dann können Sie ihn im Intervall von 0 bis 3π/2 symmetrisch fortsetzen.