Symmetrie in der Ebene und im Raum. Vortrag zum Thema „Bewegungen im Raum, zentrale Symmetrie, axiale Symmetrie, Spiegelsymmetrie, parallele Translation“. Figuren mit zentraler Symmetrie

MKOU „Anninskaya-Sekundarschule mit UIOP“

Symmetrie im Raum

Symmetrie

Symmetrie im weitesten Sinne – Übereinstimmung, Unveränderlichkeit, manifestiert sich in jeglichen Veränderungen, Transformationen.

Zentrale Symmetrie

Parallele Übertragung

Axiale Symmetrie

Symmetrie

Spiegelreflexion oder Spiegelsymmetrie ist die Bewegung des euklidischen Raums, dessen Fixpunktmenge eine Hyperebene (im Fall des dreidimensionalen Raums nur eine Ebene) ist.

Axiale Symmetrie

Bei der Achsensymmetrie geht jeder Punkt der Figur zu einem Punkt, der in Bezug auf die Ebene symmetrisch zu ihm ist

Axiale Symmetrie

Zentrale Symmetrie

Eine zentrale Symmetrie um einen Punkt A ist eine Raumtransformation, die einen Punkt X zu einem Punkt X′ führt, sodass A der Mittelpunkt des Segments XX′ ist.

Zentrale Symmetrie

Zentrale Symmetrie

Es kann als Komposition einer Reflexion um eine Ebene dargestellt werden, die durch das Symmetriezentrum verläuft, mit einer Drehung um 180° um eine gerade Linie, die durch das Symmetriezentrum verläuft und senkrecht zur oben genannten Reflexionsebene verläuft.

Parallele Übertragung

Die Parallelverschiebung ist ein Sonderfall der Bewegung, bei der sich alle Punkte im Raum über die gleiche Strecke in die gleiche Richtung bewegen.

Parallele Übertragung

Symmetrie in der Physik

In der theoretischen Physik wird das Verhalten eines physikalischen Systems durch einige Gleichungen beschrieben. Wenn diese Gleichungen Symmetrien aufweisen, ist es oft möglich, ihre Lösung durch Finden zu vereinfachen Erhaltungsgrößen (Integrale der Bewegung).

Symmetrie in der Biologie

Symmetrie ist in der Biologie eine natürliche Anordnung ähnlicher Körperteile oder Formen eines lebenden Organismus, einer Gruppe lebender Organismen relativ zum Zentrum oder zur Symmetrieachse.

Symmetrie in der Chemie

Symmetrie ist in der Chemie wichtig, weil sie Beobachtungen in der Spektroskopie, Quantenchemie und Kristallographie erklärt.

Symmetrie in religiösen Symbolen

Es wird vermutet, dass die Tendenz der Menschen, das Ziel in der Symmetrie zu sehen, einer der Gründe dafür ist, dass Symmetrie oft ein integraler Bestandteil der Symbole der Weltreligionen ist. Hier sind nur einige der vielen Beispiele, die in der Abbildung gezeigt werden.

Symmetrie in sozialen Interaktionen

Menschen beobachten die symmetrische Natur (einschließlich asymmetrischer Ausgewogenheit) sozialer Interaktion in verschiedenen Kontexten. Dazu gehören Bewertungen von Gegenseitigkeit, Empathie, Entschuldigung, Dialog, Respekt, Gerechtigkeit und Rache. Symmetrische Interaktionen senden Signale aus: „Wir sind gleich“, während asymmetrische Interaktionen den Gedanken ausdrücken: „Ich bin etwas Besonderes, besser als du“.

Wir leben in einer sehr schönen und harmonischen Welt. Wir sind von Objekten umgeben, die das Auge erfreuen. Zum Beispiel ein Schmetterling, ein Ahornblatt, eine Schneeflocke. Schauen Sie, wie schön sie sind. Hast du auf sie geachtet? Heute werden wir dieses schöne mathematische Phänomen ansprechen – die Symmetrie. Machen wir uns mit dem Konzept der Axial-, Zentral- und Spiegelsymmetrien vertraut. Wir lernen, Figuren zu konstruieren und zu definieren, die symmetrisch zur Achse, zum Mittelpunkt und zur Ebene sind.

Das aus dem Griechischen übersetzte Wort Symmetrie klingt nach Harmonie und bedeutet Schönheit, Proportionalität, Verhältnismäßigkeit, Einheitlichkeit in der Anordnung der Teile. Seit der Antike nutzt der Mensch Symmetrie in der Architektur. Es verleiht antiken Tempeln, Türmen mittelalterlicher Burgen und modernen Gebäuden Harmonie und Vollständigkeit.

zentrale Symmetrie. Symmetrie um einen Punkt oder Zentralsymmetrie ist eine solche Eigenschaft einer geometrischen Figur, wenn jeder Punkt, der sich auf einer Seite des Symmetriezentrums befindet, einem anderen Punkt entspricht, der sich auf der anderen Seite des Zentrums befindet. In diesem Fall liegen die Punkte auf einem geraden Liniensegment, das durch die Mitte verläuft und das Segment in zwei Hälften teilt. A O V

Axiale Symmetrie. Symmetrie in Bezug auf eine gerade Linie (oder axiale Symmetrie) ist eine Eigenschaft einer geometrischen Figur, bei der jeder Punkt auf einer Seite einer geraden Linie immer einem Punkt auf der anderen Seite einer geraden Linie und den Segmenten entspricht Die Verbindung dieser Punkte verläuft senkrecht zur Symmetrieachse und teilt sie in zwei Hälften. ein AB

Spiegelsymmetrie Die Punkte A und B heißen symmetrisch bezüglich der Ebene α (Symmetrieebene), wenn die Ebene α durch den Mittelpunkt des Segments AB verläuft und senkrecht zu diesem Segment steht. Jeder Punkt der Ebene α gilt als symmetrisch zu sich selbst. AB α

2. Hat zwei Symmetrieachsen ... a) ein gleichschenkliges Dreieck; b) gleichschenkliges Trapez; c) Raute. 2. Welche Aussage ist falsch? a) Wenn ein Dreieck eine Symmetrieachse hat, dann ist es gleichschenklig. b) Wenn ein Dreieck zwei Symmetrieachsen hat, dann ist es gleichseitig. c) Ein gleichseitiges Dreieck hat zwei Symmetrieachsen.

3. Welche Aussage ist richtig? a) In einem Parallelogramm ist der Schnittpunkt der Diagonalen das Symmetriezentrum. b) Bei einem gleichschenkligen Trapez ist der Schnittpunkt der Diagonalen sein Symmetriezentrum. c) In einem gleichseitigen Dreieck ist der Schnittpunkt der Mediane der Mittelpunkt seiner Symmetrie. 3. Hat vier Symmetrieachsen... a) Rechteck; b) Raute; c) quadratisch.

4. Aus der Tatsache, dass die Punkte O und A bezüglich Punkt B symmetrisch sind, folgt nicht, dass... a) AO = 2OB; b) RH = 2AO; c) OB = AB. 4. Die Punkte A und B sind symmetrisch zur Geraden a, wenn sie ... a) auf der Senkrechten zur Geraden a liegen; b) gleich weit von der Linie a entfernt; c) auf der Senkrechten zur Geraden a liegen und von dieser den gleichen Abstand haben.

5. Die Diagonale AC des Vierecks ABCO ist seine Symmetrieachse. Dieses Viereck kann nicht... a) ein Parallelogramm sein; b) Raute; c) quadratisch. 5. Aus der Tatsache, dass die Punkte M und N symmetrisch zum Punkt K sind, folgt, dass ... a) MK = 0,5 KN; b) MN=2MK; c) NK = 2MN.

6.BD – Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck ABC. Welche Aussage ist falsch? a) BD – die Symmetrieachse des Dreiecks ABC. b) Die Punkte A und C sind symmetrisch zum Punkt D. c) Punkt D ist das Symmetriezentrum des Dreiecks ABC. 6. Diagonale MP eines konvexen Vierecks MNRK ist seine Symmetrieachse. Dieses Viereck kann nicht... a) ein Rechteck sein; b) Raute; c) quadratisch.

7. Die Gerade a halbiert die Strecke AB. Welche Aussage ist korrekt? a) Die Punkte A und B sind symmetrisch zur Geraden a. b) Die Punkte A und B sind symmetrisch bezüglich des Schnittpunkts der Geraden a und der Strecke AB. c) In diesem Fall liegt weder Achsen- noch Zentralsymmetrie vor. 7. Die gerade Linie, die durch die Mitte einer der Seiten des Parallelogramms verläuft, ist seine Symmetrieachse. Dann kann dieses Parallelogramm nicht... a) ein Rechteck sein; b) Raute; c) quadratisch.

8. Geben Sie unter den Punkten A (3; - 4), B (- 3; - 4), C (- 3; 4) ein Paar an, das symmetrisch zum Ursprung ist: a) A und B; b) B und C; c) A und C. 8. Unter den Punkten D (4; - 7), K (- 4; 7), P (- 4; - 7) geben Sie ein Paar an, das um die Abszissenachse symmetrisch ist: a) K und D; b) K und R; c) P und D.

9. Geben Sie für die Linie y \u003d x + 2 die Linie an, die symmetrisch zur OY-Achse ist. a) y = -x + 2; b) y = x - 2; c) y \u003d -x Geben Sie für die Linie y \u003d x + 2 die Linie an, die symmetrisch zum Ursprung ist: a) y \u003d -x + 2; b) y = x - 2; c) y = -x - 2.

Antworten: вccabacbca 2вbcccbabbb

Lernziele:

Machen Sie die Schüler mit dem Konzept der Symmetrie im Raum vertraut.

Betrachten Sie das Konzept der Symmetrie und nutzen Sie sinnvolle Verbindungen aus Mathematik, Physik, Chemie und Biologie.

Berücksichtigen Sie die folgenden Arten von Symmetrie: Zentral-, Axial-, Spiegel-, Rotations- und Schraubensymmetrie.

Steigern Sie die Motivation der Studierenden, Mathematik zu studieren.

Entwicklung:

1. Fördern Sie die Entwicklung kognitiver Aktivität.

2. Fördern Sie die Entwicklung der Vorstellungskraft.

3. Fördern Sie die Entwicklung von Kommunikationsfähigkeiten und der Fähigkeit, im Team zu arbeiten.

Lehrreich:

Förderung der Entwicklung der ästhetischen Wahrnehmung der Studierenden.

Helfen Sie mit, den Horizont der Studierenden zu erweitern.

Unterrichtsart: Neues Material lernen.

2 Wochen vor dieser Unterrichtsstunde sollte der Lehrer die Klasse in Teams einteilen. Jedes Team erstellt einen Bericht zu einem der folgenden Themen: „Symmetrie“, „Symmetrie bei Pflanzen“, „Symmetrie bei Tieren“, „Symmetrie beim Menschen“, „Symmetrie in der Chemie“. Die Einteilung in Teams berücksichtigt das vorhandene Interesse der Studierenden an bestimmten Fächern. Das Interesse wird vom Lehrer anhand persönlicher Beobachtungen und Gespräche mit den Schülern ermittelt.

Jedes Team erhält einen indikativen Plan, nach dem eine Botschaft zum vorgeschlagenen Thema vorbereitet werden muss. Die im Plan angegebenen Punkte müssen abgedeckt werden.

Beispielsweise erhält ein Team, das eine Geschichte über Symmetrie bei Pflanzen vorbereitet, den folgenden Plan:

1) vertikale Symmetrie;

Rotationssymmetrie;

Schraubensymmetrie.

In der ersten Vorbereitungswoche suchen die Studierenden selbst nach der benötigten Literatur und wählen Materialien aus. Als Ergebnis sollte jedes Teammitglied eine Zusammenfassung haben. Wenn das Team Schwierigkeiten hat, Material zu finden, bietet der Lehrer den Schülern eine Referenzliste an. Darüber hinaus führt der Lehrer Beratungsgespräche für diejenigen Teams durch, die die Unterrichtsvorbereitung nicht alleine bewältigen können.

Sie können Studierende einladen, Verantwortung innerhalb eines Teams zu teilen. Dann ist einer der Studierenden für die Materialsuche und -auswahl zuständig, jemand für die Erstellung (Suche) von Anschauungsmaterialien, jemand für die Präsentation des Materials im Unterricht, jemand für die Entwicklung und Erstellung einer Präsentation. Allerdings sollten alle Studierenden mit dem Material vertraut sein, an dem ihr Team arbeitet, und über eine Zusammenfassung verfügen. Nach der Leistung jedes Teams kann der Lehrer jedem seiner Teilnehmer eine kleine Frage zum präsentierten Material stellen.

Die Teams wechseln sich ab. Während der Präsentation des Teams hören alle anderen Studierenden zu und füllen die folgende Tabelle aus:

Während des Unterrichts:

1. Bildung einer Bildungsdominante:

Den Studierenden wird folgende Aufgabe gestellt: Füllen Sie die freien Teile der Zeichnungen mit Zahlen und Formen aus und berücksichtigen Sie dabei die Art der Symmetrie.

2. Einleitende Worte des Lehrers:

In der unendlichen Vielfalt an Formen der belebten und unbelebten Natur findet man solche perfekten Exemplare in Hülle und Fülle, deren Aussehen immer unsere Aufmerksamkeit auf sich zieht. Zu diesen Proben gehören einige Kristalle und Mikroben, viele Tiere und Pflanzen. Wir bewundern ständig den Charme jeder einzelnen Blume, Motte oder Muschel und versuchen immer, in das Geheimnis der Schönheit einzudringen. Wir sind überrascht von der Architektur der Waben, der Anordnung der Samen auf einem Sonnenblumenhut und der spiralförmigen Anordnung der Blätter auf einem Pflanzenstängel.

Eine sorgfältige Beobachtung zeigt, dass die Grundlage der Schönheit vieler von der Natur geschaffener Formen die Symmetrie ist, oder vielmehr alle ihre Arten – von der einfachsten bis zur komplexesten.

Symmetrie (von griechisch symmetria – „Proportionalität“) – Verhältnismäßigkeit, vollständige Übereinstimmung in der Anordnung von Teilen des Ganzen relativ zur Mittellinie, dem Zentrum; strikte Korrektheit des Ortes, der Platzierung von etwas.

3. Jedes Team erstellt seinen Bericht.

4. Schlusswort des Lehrers:

Nach der treffenden Bemerkung von G. Weil ist die Mathematik der Ursprung der Symmetrie. Gleichzeitig wird Symmetrie von uns als ein Element der Schönheit im Allgemeinen und der Schönheit der Natur im Besonderen wahrgenommen. Heute haben wir Symmetrie aus der Sicht der Mathematik, Biologie, Physik und Chemie betrachtet. Darüber hinaus wird Symmetrie in der Kunst, insbesondere in der Architektur, häufig verwendet.

5. Hausaufgabe: Finden und erstellen Sie Kopien (Fotokopien, Fotos usw.) von Bildern, die das Thema „Symmetrie in der Architektur unserer Stadt“ offenbaren. (Es besteht die Möglichkeit, eine Ausstellung mit den erhaltenen Werken zu organisieren.)

6. Jetzt schreibt jeder von euch einen kleinen Cinquain (leerer Vers), der dem Thema unserer Lektion gewidmet ist. Regeln für das Schreiben von Syncwine: In der ersten Zeile wird das Thema (Substantiv) geschrieben, in der zweiten Zeile: Beschreibung des Themas mit zwei Adjektiven, in der dritten Zeile: Beschreibung von Aktionen (drei Verben), in der vierten Zeile: eine Phrase aus 4 Wörtern, die die Einstellung zum Thema ausdrücken, fünfte Zeile: ein Wort, das die Essenz des in der ersten Zeile markierten Themas offenbart.

Vorteile: Tabellen und Anschauungshilfen in Biologie, Chemie, Physik; PowerPoint-Präsentationen.

. Regelmäßige Polyeder.

Definition. Ein konvexes Polyeder heißt richtig , wenn alle seine Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an jedem seiner Eckpunkte die gleiche Anzahl von Kanten zusammenläuft.

Es ist leicht zu beweisen, dass es nur fünf reguläre Polyeder gibt: ein reguläres Tetraeder, ein reguläres Hexaeder, ein reguläres Oktaeder, ein reguläres Ikosaeder, ein reguläres Dodekaeder. Diese erstaunliche Tatsache veranlasste antike Denker, die richtigen Polyeder und die primären Elemente des Seins in Beziehung zu setzen.

Es gibt viele interessante Anwendungen der Polyedertheorie. Eines der herausragenden Ergebnisse in diesem Bereich ist Satz von Euler , was nicht nur für reguläre, sondern auch für alle konvexen Polyeder gilt.

Satz: Für konvexe Polyeder gilt die Beziehung: G + V - P \u003d 2, wobei В die Anzahl der Eckpunkte, Г die Anzahl der Flächen und Р die Anzahl der Kanten ist.

Regelmäßige Polyeder haben viele interessante Eigenschaften. Eine der auffälligsten Eigenschaften ist ihre Dualität: Wenn man die Mittelpunkte der Flächen eines regelmäßigen Hexaeders (Würfels) mit Segmenten verbindet, erhält man ein regelmäßiges Oktaeder; und umgekehrt, wenn man die Mittelpunkte der Flächen eines regelmäßigen Oktaeders mit Segmenten verbindet, erhält man einen Würfel. Ebenso sind reguläres Ikosaeder und Dodekaeder dual. Ein regulärer Tetraeder ist zu sich selbst dual, d.h. Verbindet man die Mittelpunkte der Flächen eines regelmäßigen Tetraeders mit Segmenten, so erhält man wieder einen regelmäßigen Tetraeder.

. Symmetrie im Raum.

Definition. Punkte A Und IN genannt symmetrisch um einen Punkt UM(Symmetriezentrum) wenn UM- die Mitte des Segments AB. Punkt O gilt als symmetrisch zu sich selbst.

Definition. Punkte A Und IN genannt symmetrisch um eine Gerade A(Symmetrieachse), wenn gerade A AB und senkrecht zu diesem Segment. Jeder Punkt der Linie A

Definition. Punkte A Und IN genannt symmetrisch zur Ebene β (Symmetrieebenen), wenn die Ebene β verläuft durch die Mitte des Segments AB und senkrecht zu diesem Segment. Jeder Punkt der Ebene β als symmetrisch zu sich selbst betrachtet.

Definition. Ein Punkt (Linie, Ebene) wird als Symmetriezentrum (Achse, Ebene) einer Figur bezeichnet, wenn jeder Punkt der Figur zu einem bestimmten Punkt derselben Figur um ihn herum symmetrisch ist.

Wenn eine Figur ein Symmetriezentrum (Achse, Ebene) hat, spricht man von Zentralsymmetrie (Achse, Spiegel). Als Mittelpunkt, Achse und Symmetrieebene eines Polyeders werden bezeichnet Symmetrieelemente dieses Polyeder.

Beispiel. Regelmäßiges Tetraeder:

- kein Symmetriezentrum hat;

- hat drei Symmetrieachsen – gerade Linien, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verlaufen;

Es hat sechs Symmetrieebenen – Ebenen, die durch die Kante senkrecht zur gegenüberliegenden Kante (die sich mit der ersten kreuzt) des Tetraeders verlaufen.

Wie viele Symmetriezentren hat:

a) ein Parallelepiped;

b) regelmäßiges dreieckiges Prisma;

c) Diederwinkel;

d) Segment;

Wie viele Symmetrieachsen hat:

ein Schnitt

b) regelmäßiges Dreieck;

Wie viele Symmetrieebenen ergibt:

a) ein regelmäßiges viereckiges Prisma, das kein Würfel ist;

b) eine regelmäßige viereckige Pyramide;

c) regelmäßige dreieckige Pyramide;

Wie viele und welche Symmetrieelemente haben regelmäßige Polyeder:

a) ein regelmäßiges Tetraeder;

b) regelmäßiges Hexaeder;

c) regelmäßiges Oktaeder;

d) regelmäßiges Ikosaeder;

e) ein regelmäßiges Dodekaeder?