Komplexer Satz mit Nebensatz. Spp mit Nebensätzen. Arten von Adverbialsätzen

V. M. GALITSKY, B. M. KARNAKOV, V. I. KOGAN PROBLEME IN DER QUANTUMMECHANIK Genehmigt vom Ministerium für höhere und sekundäre besondere Bildung UdSSR als Lehrhilfe für Studierende physikalische Spezialitäten höher Bildungsinstitutionen MOSKAU „WISSENSCHAFT“ HAUPTREDAKTIVITÄT FÜR PHYSIKALISCHE UND MATHEMATISCHE LITERATUR 1981 INHALT Voraussetzung...... ", ... f ,.¦ f . * .. 5 Akzeptierte Abkürzungen 7 Die am häufigsten verwendeten Notationen, ¦ 7 Konstanten 8 Probleme Lösungen Kapitel I. Operatoren in Quantenmechanik..... 9 126 § I. Grundbegriffe der Theorie linearer Operatoren 9 Arbeitsschutz § 2. Eigenfunktionen, Eigenwerte, Mittelwerte, Durchschnittswerte II große Zahl N ^> 1 Teilchen. . * Kapitel P. Atome und Moleküle § I. Stationärer Zustand Atome mit einem und zwei Elektronen § 2. Mehrelektronenatome « ​​§ 3. Grundbegriffe der Molekültheorie. . ¦ § 4. Atome und Moleküle in externe Felder. Wechselwirkung von Atomen und Molekülen... § 5. Instationäre Phänomene in Atomen und Molekülen. Kapitel 12. Atomkern§ 1. Grundgedanken über Nuklearkräfte. DeYtroi § 2. Schalenmodell Kapitel 13. Kollisionstheorie § 1. Born-Näherung § 2. Phasentheorie der Streuung. Streuung langsamer Teilchen. Resonanzphänomene wenn es verstreut ist. . § 3. Streuung schneller Teilchen (Eiko-Eikonal-Näherung). Streuung von Teilchen mit Spin..... § 4. Streuung zusammengesetzte Partikel. Unelastische Kollisionen. , Kapitel 14. Quantentheorie der Strahlung § 1. Emission von Photonen § 2. Streuung von Photonen. Emission von Photonen bei Kollisionen Kapitel 15. Relativistisch Wellengleichungen. , § I. Klein-Gordoia-Gleichung *. § 2. Dirac-Gleichung ¦>¦ Kapitel 16. Erhaltungssätze § 1. Kinematik von Zerfällen und Kollisionen.... § 2. Bewegungsintegrale § 3. Impuls- und Paritätserhaltung bei Zerfällen und Kollisionen. Isotopenbeziehungen. . *Zusatz.... Literatur. 60 Gr 2 6 47 648 308 (S09) C25) C35) C40) 349 C49) C73) 382 C82) C91) D00) 410 D10) D28) D39) D49) D66) 476 D76) D87) 501 E01) F12) F35) E42) 552 E52) F66) S85 E85) F04) 622 F22) F26 ) F33) AKZEPTIERTE ABKÜRZUNGEN y. Schrödtgers Schroedger-Gleichung F. - Wellenfunktion c. F. - eigene Funktion Mit. s.-Eigenwert d.s. - diskretes Spektrum c. p. und - System des Trägheitszentrums " - Symbol des Operators (Matrix), jedoch steht =o in der Regel nicht über dem Multiplikationsoperator oi - Proportionalitätszeichen ~ - Vorzeichen der Größenordnung (tn I / I n)s f%= \ *F* mfWndT-~ Matrixelement des Operators f HÄUFIG VERWENDETE NOTATION Die Bedeutung der verwendeten Notation wird entweder in der Bedingung oder in der Lösung jedes Problems erklärt. Es gibt jedoch eine Zahl von Werten, die bei vielen Problemen auftreten, bei denen wir versucht haben, die Standardschreibweise solcher Größen einzuhalten. In allen Fällen, in denen dies nicht zu Missverständnissen führen kann, wird ?f (q) beim Schreiben nicht erklärt. Wellenfunktion In der Regel bezeichnet q die Menge der Variablen der verwendeten Darstellung und f-¦ Eigenwerte der entsprechenden physikalische Quantitäten oder Quantenzahlen des betrachteten Zustands *^пШ "" с- Ф- linearer Oszillator e - Teilchenladung *) c^ - Lichtgeschwindigkeit I - Hamilton-Operator B - Energie 6,<Н/ - напряженности электрического и магнитного нолей А ~ векторный потенциал U - потенциальная энергия V - оператор возмущения d - днпольный момент *) Но если речь идет о конкретной реальной частице (электроне, про* тоне, атомном ядре и т. д.), то е обозначает элементарный заряд cfc ж 4,80-К)-10 ед. СГСЭ (так что заряд электрона равен - е, протона -\-et ядра Ze н т. д.). °o - боровский радиус б/ - фазовый сдвиг 6 - матрицы Паулн w, W - вероятность перехода, вероятность перехода в единицу вре- времени J Z, Ze - заряд ядра R - радиус потенциала т, М - масса, магнитное квантовое число |i - масса, магнитный момент р, Р - импульс к - волновой вектор /1 - массовое число ядра «о - частота /, L, /, / - момент (орбитальный и полный) s, S - спин А- (г) - функция Бесселя Нп {х} - полином Эрмнта }";т F, ф) - шаровая функция ПОСТОЯННЫЕ Решение значительного числа задач по физике атома, молекулы и ядра предполагает проведение численных расчстон для сравнения результата реше- решения с экспериментальными данными (приводимыми в условиях задач). Для удобства вычислений ниже приведены численные значения основных физиче- физических величин *). Постоянная Планка ft = 1,054-Ю7 эрг-с Элементарный заряд е = 4,80- Ю-10 ед. СГСЭ Масса электрона те = 9,11-Ю-28 г Скорость света с = 3,00-1010 см/с Боровский радиус (ат. ед. длины) а0 = 0,53-10-в см Атомная единица энергии mee4/ft2 = 4,36-Ю"1 эрг = 27,2 эВ Атомная единица частоты tntekfh3 = 4,I3-Iflie с Атомная единица напряженности электрического поля е/а<)=6.14-10й В/см Постоянная тонкой структуры а = e2ftic = 1/I37 Масса протона тР = 1836те - 1,67-104 г Разность масс нейтрона и протона mn - tnp & 2,5me Энергия покоя электрона тес2 = 0,51 МэВ Радиус ядра R ж 1,2-10~13 Ах"ъ см 1 эВ= 1,60-10-12эрг *) Приведенные значения - приближенные; более точные значения см. специальной литературе. ЗАДАЧИ Глава 1 ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ § ]. Основные понятия теории линейных операторов 1.1. Рассмотреть следующие операторы (-°° < а) отражения 7: №(i)eT(-j); б) сдвига Та: ?„?(*)= Щх+ а)\ в) изменения масштаба Мс: МСЧ? (х) = V^ T (сх), с >0; d) komplexe Konjugation R: R4?(x)^W(x). Sind diese Operatoren linear? Finden Sie die Art der Operatoren, die in Bezug auf das Obige folgende sind: transponiert, komplex konjugiert, hermitesch konjugiert, invers. 1.2. Finden Sie für die unten angegebenen Operatoren Operatoren, die in Bezug auf sie transponiert, komplex konjugiert, hermitesch konjugiert sind: a) id/dx, -oo< х < +со; б) id/дг, г - радиальная переменная сферической системы координат @=g: г < оо). 1.8. Для произвольного линейного оператора L") показать следующее: а) (?+)+ = ?; б) операторы?+? и СС+ являются эрмитовыми, е) операторы? + ?+ и i(L - ?+) эрмитовы. 1.4. Показать, что если оператор С эрмитов, то оператор G = ЛСЛ+ также является эрмитовым. 1.5. Показать, что произвольный оператор F можно предста- представить в виде F = A + iB, где А н В - эрмитовы операторы. 1.6. Показать, что если операторы А и В эрмитовы, то опера- операторы АВ -f- ВЛ и i(AB - ВА) также эрмитовы. ") В дальнейшем все рассматриваемые операторы предполагаются линей- линейными и термин «линейный» для нраткости опускается. 1.7. Оператор Р неэрмнтов. В каком случае оператор F2 яв- является эрмитовым? 1.8. Показать, что при алгебраических действиях с коммута- коммутаторами справедлив закон дистрибутивности, т. е. что коммута- коммутатор суммы равен сумме коммутаторов: Г? А„ Y, В*1 = ?[А>D*!1 Li bis J 1, bis 1,9. Es sind drei Operatoren angegeben: A, B, C. Drücken Sie den Kommutator des Produkts AB und C durch die Kommutatoren [L, C] und [B, C] aus. 1.10. Beweisen Sie die Jacob-Identität für Kommutatoren der Operatoren L, B, C: [A, [B, C]] + [B, [C, LC + [C, [L, VC]] = 0. 1.11. Können zwei Matrizen P, Q mit endlichem Rang N die Kommutierungsrelation [P,<3]=-?/? 1.12. Оператор Р вида P = F(f), где F(z) -некоторая функ- функция переменной г, представимая в виде ряда F (г) = Л cnz", можно понимать как оператор, равный F= J] cj". п Используя это определение, найти явный вид следующих операторов: а) ехрAя7); б) fo = exp(a-^) "(оператор Т определен в 1.1). В связи с данной задачей см. так- также 1.51. 1.13. Предполагая К малой величиной, найти разложение опе- оператора (Л - KB)-1 по степеням I. 1.14. Доказать следующее соотношение: еяве-а=в + [А, в] + -1 [л, [л", в]]+ ... 1.15. В общем случае линейный оператор С можно рассмат- рассматривать как линейный интегральный оператор, т. е. Ф (|) = lV (I) = \ L (I, %") У (%") <%, где L{1,|")- ядро оператора С Ц - совокупность переменных используемого представления). Как ядра операторов?*, С, ?+ связаны с ядром L(%,%") опе- оператора С? Найти ядра операторов Т, Мс, Та, х == х, р ss -ihd/dx. Операторы Т, Мс, Та определены в 1.1. 1.16. Ядро L(x,x") оператора С является функцией вида: a) L=)(x + x-); 6) L=l(x-x-); e) L = fWg(x"). Какие ограничения на функции f{x) н g(x) вытекают нз эр- митовостн оператора?? 1.17. Какой вид имеет ядро L(x,x") оператора С, если этот оператор коммутирует с оператором: а) координаты х е х; б) импульса р = -i 1.18. Показать, что оператор Р, коммутирующий с оператора- операторами х и р (в одномерном случае), кратен единичному, т. е. F tm == Fo = const. § 2. Собственные функции, собственные значения, средние 1.19. В состоянии, описываемом волновой функцией вида где pv,Xo,a-вещественные параметры, найти функцию распре, деления по координатам частицы. Определить средние значений и флуктуации координаты и импульса частицы. 1.20. Волновая функция состояния частицы имеет вид .; ) - Hermitescher Operator; b) P"(fi)=~P(fi). Wir können auch von Projektionsoperatoren P((f)) sprechen, die auf Zustände projizieren, in denen die physikalische Größe f keinen bestimmten Wert D- hat, sondern einen beliebigen Wert annimmt aus einer Menge (/) = (f(i. /(l> ¦¦¦). In diesem Fall bleiben die oben genannten Eigenschaften von Projektionsoperatoren erhalten. Insbesondere ist der Operator P = T-P(U) auch Projektion-Projektion . Auf welche Zustände projiziert dieser Operator? Beachten Sie, dass das Konzept eines Projektionsoperators offensichtlich auf den Fall verallgemeinert werden kann, dass die Rolle von fi eine Menge physikalischer Größen ist, die einen Teil der vollständigen Menge (oder der gesamten vollständigen Menge) ausmachen ist die physikalische Bedeutung des Durchschnittswerts der Projektion? - Projektionsoperator P(Ji) in einem beliebigen Zustand, der durch die Wellenfunktion T beschrieben wird? 1.37 Finden Sie einen Operator, der auf Zustände projiziert, in denen die Teilchenkoordinate die Bedingung x ^ 0 erfüllt. 1.38 Finden Sie Projektionsoperatoren P±, die auf gerade Zustände P+ n ungerade P- relativ zur Umkehrung der Koordinaten des Zustands des Teilchens projizieren. 1,39. Zeigen Sie, dass der in Aufgabe 1.26 betrachtete hermitesche Operator F durch Multiplikation mit einem konstanten Wert in einen Projektionsoperator umgewandelt werden kann: P = vgl. Auf welchen Zustand projiziert Operator P? 1-40. Der hermitesche Operator / hat N verschiedene Eigenwerte. Finden Sie die Form des Projektionsoperators P(fi) auf einen Zustand mit einem gegebenen Wert /, - Menge /. § 3. Elemente der Darstellungstheorie. Unitäre Transformationen 1.41. Schreiben Sie entsprechend normierte Eigenfunktionen des Radiusvektors Wr und des Impulses V in r in p-Darstellungen. 1,42. Knightn in der Impulsdarstellung der Wellenfunktion des Zustands des Teilchens, betrachtet in 1.19. 1,43. Berechnen Sie bei gegebener Wellenfunktion >F(jr, y, z) die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in den Intervallen der z-Werte von z\ BIS Z2 UND Py – VON pi BIS p2 zu finden. 1,44. Finden Sie die Form der Reflexionsoperatoren T n Shift Go in der Impulsdarstellung. 1,45. Zeigen Sie, dass beim Übergang von einer Koordinatendarstellung zu einer Impulsdarstellung die Parität der Wellenfunktion in Bezug auf ihr (entsprechendes) Argument unverändert bleibt. 1,46. Bekanntlich ist ein beliebiger linearer Operator im allgemeinen Fall ein Integraloperator. Stellen Sie eine Beziehung zwischen L (x, x") und L (p, p") her – den Kerneln desselben Operators C in x- und p-Darstellungen. 1,47. Die genaue Form der Operatoren r"1 bis r~2 in der Impulsdarstellung. Überprüfen Sie die Gleichheit r^ = r V ". 1-48. Gegeben sind zwei hermitesche Operatoren A und B. Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Eigenfunktionen des Operators A in der B-Darstellung und den Eigenfunktionen des Operators B in der A-Darstellung an. Um das erhaltene Ergebnis zu veranschaulichen, betrachten Sie die Operatoren x und p. 1,49. Bezeichnen wir mit 4?t="4">,[ die entsprechend normierten Wellenfunktionen der vollständigen Menge K. Drücken Sie durch die Matrixelemente fik = \ xFtf^?k dx eines beliebigen Operators f aus: a) das Ergebnis der Aktion des Bedieners / auf Funktionen T,-; b) das Ergebnis der Wirkung des Operators f auf die Wellenfunktion eines beliebigen Zustands in der X-Darstellung. Vergleichen Sie die Ergebnisse. 1,50. Welche Form hat der Projektionsoperator P(fi) auf einen Zustand mit einem bestimmten Wert fi einer physikalischen Größe f in einer f-Darstellung? 1,51. Welche Bedeutung kann dem Operator F in der Form P = = /r(f) gegeben werden, wobei F, ; b) [?„ (pr)Pl. Ui, &)t]„, \U, PkPil \U Ш wobei r, p, C die Radiusvektor-, Impuls- und Drehimpulsoperatoren des Teilchens sind; a und b sind konstante Werte. 3.5. Wo einen Schalter finden? und V sind die Operatoren des Drehimpulses des Teilchens in Bezug auf zwei Zentren, die im Abstand a voneinander liegen. 3.6. Ermitteln Sie mithilfe von Kommutierungsrelationen für den Drehmomentoperator Sp?/, wobei Ct die Matrix der i-ten Komponente des Drehmoments L ist. 3.7. Stellen Sie den Momentenoperator eines Systems aus zwei Teilchen in Form von zwei Termen dar, die das Moment der Teilchen in s beschreiben. C. Und. (Moment der Relativbewegung) und das Moment des Trägheitszentrums des Systems. 3.8. Zeigen Sie, dass der Drehimpuls eines Systems aus zwei Teilchen relativ zu ihrem Trägheitszentrum senkrecht zur Achse ist, die durch beide Teilchen verläuft. 3.9. Finden Sie die entsprechend normalisierten Welle-Wellen-Funktionen Ch"g./m, die die Zustände eines Teilchens beschreiben, das sich im Abstand r0 vom Koordinatenursprung befindet und ein Moment 1 und seine Projektion m auf die r-Achse hat. 3.10. Finden Sie die Eigenfunktionen der Operatoren des Quadrats mo – das Moment des Teilchens und seine Projektion auf die z-Achse in der Impulsdarstellung auf folgende zwei Arten: a) direkt aus der Lösung des Problems über die Eigenfunktionen und Eigenwerte der Operatoren I2 und 4 in der Impulsdarstellung; b) Verwendung der Beziehung zwischen den Wellenfunktionen in z- und p-Darstellungen. Die Form der Eigenfunktionen У/т(в, х>) wird als bekannt angesehen dass die durch die Wirkung der Operatoren /± = 1Х ± й„ erhaltenen Funktionen Eigenfunktionen ^ sind, der Operator der Projektion des Moments auf die z-Achse (IJVm = mY?„), auch Eigenfunktionen der Operator U, entsprechend den Eigenwerten m + 1 und m - 1 in den Fällen t+ bzw. Г-. 3.12. Zeigen Sie, dass im Zustand Wm mit einer bestimmten Projektion des Moments t auf die z-Achse: »* f 3.13. Finden Sie im Zustand Ch^t mit bestimmten Werten des Moments / und seiner Projektion m auf die z-Achse die Durchschnittswerte ZJ, /*. 3.14. Ermitteln Sie im Zustand Ф/т mit bestimmten Werten des Moments / und seiner Projektion m auf die z-Achse den Durchschnittswert und die mittlere quadratische Schwankung der Projektion des Moments auf die z-Achse, wodurch ein Winkel a entsteht mit der z-Achse. 3.15. In einem Teilchenzustand, der durch eine Winkelabhängigkeit der Wellenfunktion der Form ХР = А cos“ gekennzeichnet ist

Der Drehwinkel relativ zu einer Achse z, n ist eine ganze Zahl), ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte m der Projektion des Moments auf die z-Achse 3.16. In einem Zustand eines Teilchens weist dessen Wellenfunktion eine Winkelabhängigkeit der Form auf<р-азимутальный угол сферической системы координат), найти вероятности раз- различных значений I момента частицы. 3.17. Доказать соотношение \Г1т(в,ч)Р- 21+1 = 4л где Yim(e,ф) -шаровые функции. 8.18. В пространстве различных состояний момента велнчн- яы L найти проекционные операторы Р(М) на состояния с опре- определенной проекцией момента М на ось г. 3.19. Найтн закон преобразования волновой функции состоя- состояния частицы с определенным значением момента I в fs-пред- ставленин при вращении системы координат на угол щ (см. 3.1). 3.20. Показать, что нз коммутационных соотношений \&, f ] = = 0 оператора физической величины f с компонентами момен- момента Ci системы следует, что матричные элементы величины f вида <«, L,M"\f\n,L,M) (где и означает набор квантовых чисел, которые вместе с L и М образуют полный набор) отличны от нуля лишь при М = М" и прн этом не зависят от М. 3.21. Найти закон преобразования волновой функции частн- цы в Hz-представлении при отражении координат, т. е. при пре- преобразовании /г ¦= -г. § 2. Момент L = I 3.22. В случае момента частицы 1= 1 найти угловую зависи- зависимость волновой функции VjR-ofe, ф) (в, ф- угловые переменные сферической системы координат с полярной осью z) состояния с определенной проекцией момента т = 0 на ось г, направление которой в пространстве определяется полярным а и азимуталь- азимутальным р углами. 3.23. Найтн угловые зависимости волновых функций Ч""* (б. ф) н Wi F, ф) состояний частицы с моментом 1=1 н определенным значением проекции момента на осн х и у со- соответственно. Воспользоваться известным видом шаровых функ- функций У, „.(е.ф). 3.24. Частица находится в состоянии с моментом 1= 1 и его проекцией т (т = 0, ±1) на ось z. Найти вероятности w(m",m) различных значений проекции момента т" на ось г", состав- составляющую угол а с осью г. Задачу предлагается решить одним из следующих способов: а) используя результат задачи 3.14; б) путем нахождения коэффициентов разложения с(т", т) заданной волновой функции в ряд по собственным функциям оператора?2>(Wenn Sie ein Problem auf diese Weise lösen, beschränken Sie sich auf einen bestimmten Wert von m, zum Beispiel m = 0). Betrachten Sie insbesondere den Fall, dass die r-Achse senkrecht zur r-Achse steht. 3.25 Zeigen Sie, dass im Fall des Teilchenmoments (= 1) 4^-0F, φ gilt ), 4^ -0(8, φ), die die Zustände eines Teilchens mit einer Nullprojektion des Moments auf der Basis x, y, z beschreiben, bilden ein vollständiges System von Funktionen (im Raum der Winkelvariablen φ, φ ). Was bedeuten die Entwicklungskoeffizienten der Wellenfunktion eines beliebigen Zustands eines Teilchens mit Moment (= 1 in einer Reihe in diesen Funktionen? 3.26. Geben Sie in der k-Darstellung die explizite Form der Operatoren von an die Komponenten des Moments, steigende t+ und abnehmende?_ Operatoren (?± = 1À± it y) für das Moment I = 1. Wie ist die Form der Operatoren?±? Projektion von m auf die z-Achse, die folgenden Mittelwerte werden gefunden: /", # (ga -ganzzahlige Zahl). 3.29. Knight-explizite Form des Operators F = F(al)", wobei a ein gewöhnlicher Vektor ist, F(x) eine Funktion der Variablen x, T -opera- T-Operator des Moments des Teilchens. Der Operator P wirkt im Zustandsraum eines Teilchens mit dem Moment 1 = 1 (oder 1 sind Matrizen des Moments I = 1). 3.30. Finden Sie eine explizite Form des Operators $((j>o) zum Drehen des Koordinatensystems um einen Winkel (j>0 (siehe 3.1 und 3.19), der im Zustandsraum eines Teilchens mit Moment 1=1 wirkt. 3.31. Verwendung Finden Sie als Ergebnis des vorherigen Problems die Winkel-Winkel-Abhängigkeit der Wellenfunktion Ch"d-o (v,<р) состояния ча- частицы с моментом 1=1 н его проекцией т = 0 на ось г, на* правление которой определяется углами я, р. Сравнить с 3.22. 3.32. Ё пространстве состояний частицы с моментом 1= 1 ¦найти проекционные операторы Р{т) (т = 0, ±1) на состояния (und - ganz). Finden Sie die Rotatorverteilungsfunktionen über Energien und Drehmomentprojektionen sowie die Durchschnittswerte dieser Größen im angegebenen Zustand. 4.3. Finden Sie die Wellenfunktionen stationärer Zustände und Energieniveaus des räumlichen Rotators mit dem Trägheitsmoment /. Was ist die Multiplizität der Ebenenentartung? 4.4. Der Zustand des räumlichen Rotators wird durch eine Wellenfunktion der Form beschrieben: o) V^Ccos"e; b) 4" = Ces"4 Finden Sie in den angegebenen Zuständen die Verteilungsfunktionen des Rotators nach Energie, dem Quadrat von das Moment und seine Projektion auf die z-Achse, sowie der Durchschnitt der Werte dieser Größen 4,5 Bestimmen Sie die Energieniveaus und Wellenfunktionen der stationären Zustände des ebenen harmonischen Oszillators 4.6. Im stationären Zustand des 4^1-Ebenenoszillators (siehe Lösung 4.5) liegt die Wahrscheinlichkeit für die Projektion des Moments senkrecht zur Schwingungsebene axialsymmetrisches Feld (Ap) Wie hoch ist der Entartungsgrad der Energieniveaus des diskreten Spektrums der „Querbewegung“ des Teilchens im allgemeinen Fall (d. h. ohne zufällige Entartung in einer Ebene senkrecht)? zur Symmetrieachse des Feldes)? Kann die Multiplizität der Entartung der ersten angeregten Ebene der „Querbewegung“ gleich 3 sein; 4? 4.8. Finden Sie die Energieniveaus und Wellenfunktionen stationärer Zustände eines Teilchens in einem unendlich tiefen zweidimensionalen Potentialtopf f o, t/(p)=@0> p<а, р>A. *) Ein Rotator ist ein rotierendes (in einer Ebene oder im Raum) System aus zwei starr miteinander verbundenen Teilchen. Das Trägheitsmoment des Rotators ist gleich / = (AQS, wobei μ die reduzierte Masse der Teilchen ist, a ist der Abstand y 4.9. Nachtenergieniveaus eines diskreten Spektrumteilchens in einem zweidimensionalen Potentialtopf C/(p) der Form?/(p) = p Ich mache Grube. Vergleichen Sie mit eindimensionaler Bewegung. 4.12. Das Gleiche wie beim vorherigen Problem, jedoch im Fall von TFO. Ermitteln Sie eine Bedingung für die Existenz von Zuständen des diskreten Spektrums eines Teilchens mit einem von Null verschiedenen Wert der Momentenprojektion 4.13. Knight-Energieniveaus eines Teilchens mit diskretem Spektrum in einem zweidimensionalen Feld C/(p)=-a/p. Bestimmen Sie die Multiplizität der Entartung von Ebenen. Vergleichen Sie mit dem Fall des Coulomb-Feldes U(r)=-a/r. 4.14. Bestimmen Sie für ein Teilchen, das sich in einem unendlich tiefen zweidimensionalen Potentialtopf der in 4.8 angegebenen Form befindet, mithilfe der Variationsmethode ungefähr die Energie des Grundzustands, indem Sie die Wellenfunktion mit Ausdrücken der Form (ð) approximieren<Сй): и) Чгс(р) = Л(а-р); б) Ч"о(р) = ВсОб(пр/2й). Сравнить полученные результаты с точным значением. 4.15. То же, что и в предыдущей задаче, но для энергии Еп -о. i tn i=i первого возбужденного состояния частицы с проек- проекцией момента |т|= 1. Радиальную волновую функцию аппро- аппроксимировать полиномом второй степени, удовлетворяющим не- необходимым граничным условиям в точках р = 0 и р = а. 4.16. Получить приближенное значение энергии основного со- состояния плоского осциллятора вариационным методом, исполь- используя пробную функцию вида Ч"0(р) = Сехр(-ар), где а - вариационный параметр. Сравнить с точным значением (см. 4.5). 4.17. В двумерном случае найти функцию Грина уравнения Шредиигера для свободной частицы при энергии Е < 0, убы- убывающую прн р ->co. 37 4.18. Finden Sie im zweidimensionalen Fall die Green-Funktion Cjf"(p, p") ^avnnnnn Schrödiger für ein freies Teilchen bei einer Energie > 0. Die Indizes (±) der Green-Funktion geben die Art ihres asymptotischen Verhaltens bei p-e- an. oo: Gf> co exp[± i t/ShSh/Sh r]. 4.19. Finden Sie die Green-Funktion G?(q>, if") eines flachen Rotators (siehe 4.1). Betrachten Sie die Green-Funktion 0? als analytische Funktion der komplexen Variablen E, zeigen Sie, dass sie singuläre Punkte - Pole - hat und legen Sie a fest Korrespondenz zwischen den Positionen – den Positionen dieser Pole in der E-Ebene und den Energieniveaus des Rotators § 2. Zustände eines diskreten Spektrums in zentralen Feldern 4.20 Wie verhalten sich die Werte von Enri der Energieniveaus eines Teilchens? eine diskrete Spektrumsänderung: a) für einen festen Wert von I mit zunehmendem n, b) für einen festen Wert von n, mit zunehmendem If 4.21. Kann es für ein Teilchen im Zentralfeld doppelt entartete Niveaus geben? ) Welche Entartungsvielfalt kann das erste angeregte Niveau haben? des Niveaus des diskreten Spektrums des Teilchens im Zentralfeld (die Niveaus sind in der Reihenfolge steigender Energien nummeriert; der Grundzustand entspricht N = 1). Geben Sie Einschränkungen für die maximal möglichen Werte an: o) das Moment des Teilchens in Zuständen mit einer solchen Energie Ec\ b) die Multiplizität der Entartung eines solchen Niveaus. 4.23. Finden Sie die Energieniveaus und normalisierten Wellenfunktionen der stationären Zustände des sphärischen Oszillators C/(r) = kr2/2 mithilfe der Methode der Variablentrennung in der Schrödnger-Gleichung in kartesischen Koordinaten. Bestimmen Sie die Multiplizität der Ebenenentartung. 4.24. Klassifizieren Sie die vier unteren Ebenen des Oszillators anhand der Werte der Quantenzahlen n„I und der Parität, basierend nur auf dem bekannten Wert (siehe das vorherige Problem) der Multiplizität der Entartung der Ebenen. Welche Kombination von Wellenfunktionen \u003d\u003e n\u003d n\u003d entspricht dem Zustand des Oszillators mit Moment I = 0 (bei /V = n\ -f- n2 +] + n = 2)? Ebenen und Eigenfunktionen ^nrim( r, 6,<р) оператора Гамильтона сферического осциллятора из решения уравнения Шредингера в сферических координатах. Произвести классификацию состояний осциллятора, относящих- относящихся к /V-му энергетическому уровню, по квантовым числам nr, I и четности. Какова кратность вырождения уровней? 4.26. Показать, что для пространственного осциллятора опе- операторы коммутируют с гамильтонианом # = ра/2ц + &г2/2. Убедившись в том, что коммутатор операторов I2 и Тп отли- отличен от нуля, объяснить «случайное» вырождение энергетических уровней осциллятора. 4.27. В классической механике прн движении частицы в ку- лоновском поле U(r) = -a/r вектор А = [рМ] /ц - иг/г яв- является интегралом движения. Указать вид эрмитова оператора А, который можно сопоставить классической векторной вели- величине А. Найтн коммутаторы [Н, А,] н ;, + qyb 11е изменяется при указанном преобразовании, т. е. является скаляром. 5.16. Показать, что при врашении системы координат величи- величины У=Ф*оУ (Vt^ X ч?F/) ЛЛ преобразуются как комло- V о. Р Р / ненты вектора. 5.17. Для двух частиц со евчном s = 1/2 найти собственные функции *?ssz операторов суммарного спина (точнее, его квад- квадрата) и его проекции на ось г. Вид функций Тю и Wim найти одним из следующих способов (учитывая наиболее общий вид функции, отвечающей S2 = 0: й) непосредственно из уравнения на собственные функции оператора Sa; #) воспользовавшись операторами $±; в) основываясь на свойствах симметрии функций Fs по от- отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц, аналогичных установленным в 3.39. 5.18. Показать, что оператор a\Oz в состояниях системы из двух частиц, отвечающих определенному значению суммарного спина, также имеет определенное значение. 5.19. Две частицы со спином s == 1/2 находятся в состоянии, описываемом спиновой функцией вида Уяр = ф-де fa, p = = ", 2 - спиновые переменные каждой из частиц; спиновые функции обеих частиц нормированы на единицу, так, например, Ф== f " V |ф| |а + |<р2|г- 0> das heißt, es gibt keine Korrelation zwischen den Spin-Zuständen von Teilchen. Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Werte von_total spin in diesem Zustand? Was ist der Wert von 5?? Betrachten Sie insbesondere den Fall, dass fj = ua. 5.20. Präsentieren Sie den Ausdruck (©ωωJ in der Form, die die Pauli-Matrizen o\, % enthält, mit einer Potenz, die nicht höher als die erste ist. Die Indizes I, 2 der Matrizen bedeuten, dass diese Matrizen Operatoren sind, die im Raum der Spinvariablen der 1. wirken und 2. Teilchen. Finden Sie die explizite Form des Operators P = F (a – J – froics), wobei F (x) eine beliebige Funktion der Variablen x ist, a und b einige Zahlen sind. 5.22 5.18, Finden Sie die Projektionsoperatoren Ps = n, \ on 1/2, finden Sie den Spin-Austauschoperator €, dessen Wirkung auf die Spinfunktion Ch?ap ( a, p = 1, 2 - Spinvariablen des 1. und 2. Teilchens) wie folgt ist: Yap = SP?ap = Ur, d. h. dieser Operator ordnet die Spinvariablen beider Teilchen neu (die Aufgabe besteht darin, den Operator C durch die Pauli-Matrizen explizit auszudrücken), 5.24 Finden Sie für ein System aus zwei Teilchen mit Spin s = 1/2 die Projektionsoperatoren Pssz auf Zustände mit einem bestimmten Wert des Gesamtspins S und seiner Projektion Sz auf die z-Achse 5,25. Finden Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte der folgenden Operatoren: a) V, = a (dl2 + b2r) + fi0ie2; b) i?2 = ol Die Parameter o, b sind reell, daher sind die Operatoren V\,% Hermitian 5.26. Die Spins der „L“-Teilchen ergeben zusammen den resultierenden Spin S = Ns eines Systems von „L“-Teilchen mit Spin s = l/ 2 hat die Form Mi),(i).-(i).GL. ¦¦«)„ Finden Sie im angegebenen Zustand den Mittelwert des Quadrats des Gesamtspins des Teilchensystems. 5.28. Finden Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems in den Sonderfällen n = 1 und n = N – I die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte des Wertes S des Gesamtspins des Teilchensystems. 5.29. Der Zustand eines Teilchens mit Spin s = 1/2 wird durch bestimmte Werte der Quantenzahlen I, m, s* charakterisiert. Finden Sie im angegebenen Zustand die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte des halbvollen Moments j = 1 -J- s des Teilchens. 5.30. Der Zustand eines bestimmten Systems wird durch bestimmte Werte der Quantenzahlen 7 (Moment des Systems) und /r = A charakterisiert. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte der Projektion des Moments Jn auf die Achse, die Richtung von was im Raum durch den Einheitsvektor von Abschnitt 5.31 bestimmt wird. Die Momente zweier schwach interagierender Teilsysteme, gleich I und 1/2, addieren sich zum resultierenden Moment 7. In den folgenden Zuständen des Aggregatsystems: a) 7 = 3/2, /r=±1/2; b) 7 = 1/2, 7e = ±1/2 – Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte der Projektionen der gefalteten Momente auf die z-Achse und ihre Durchschnittswerte. Verwenden Sie zur Lösung des Problems die Operatoren /±. 5.32. Zeigen Sie, dass die Spinfunktion eines Systems aus N Teilchen mit Spin s = 1/2, entsprechend einem Zustand mit dem maximal möglichen Wert von S = N/2 des Gesamtspins, symmetrisch in Bezug auf die Permutation der Spinvariablen ist von zwei beliebigen Teilchen. Haben Spinfunktionen, die anderen Werten des Gesamtspins entsprechen, eine bestimmte Symmetrie? Vergleichen Sie mit dem Fall N = 2. 5.33. In einem System aus drei Teilchen mit Spin s = I /2 gibt es acht verschiedene Spinzustände. Führen Sie eine Klassifizierung durch – Klassifizierung dieser Zustände nach den Werten des Gesamtspins des Systems. Finden Sie ein vollständiges System von Spinfunktionen ^ss^, das Zustände mit bestimmten Werten S, Sz des Gesamtspins beschreibt. 5.34. Klassifizieren Sie die Spinzustände eines Systems aus vier Teilchen mit Spin s = 1/2 entsprechend den Werten des Gesamtspins S des Systems. 5.35. Welche Durchschnittswerte von Multipolmomenten ungleich Null (dt – elektrisches Disol, |l, – magnetischer Dipol, Dm – elektrischer Quadrupol) kann ein System haben, gekennzeichnet durch einen bestimmten Wert 7 des Gesamtmoments, gleich; a) 7 = 0; b) J = 1/2? § 2. Raumzustände eines Teilchens mit Spin 5.36. Zustände eines Teilchens mit einem bestimmten Wert der Projektion des Spins auf die Impulsrichtung werden Spiralzustände genannt. Finden Sie für ein Teilchen mit Spin 5 = 1/2 die Wellenfunktionen Ur;, I, die Zustände mit einem bestimmten Impuls po und einer Helizität R = ±1/2 beschreiben. 5.37. Geben Sie den Typ des Helizitätsoperators an und zeigen Sie, dass dieser Operator mit dem Operator des Gesamtimpulses j = =1 + s des Teilchens kommutiert. 5.38. Zeigen Sie für ein Teilchen mit Spin s = 1/2, dass die allgemeinste Spin-Winkel-Abhängigkeit der Wellenfunktion vom Zustand eines Teilchens (d. h. ein Zustand mit Bahnimpuls / = I und Gesamtimpuls / = 1/2) hat die Form gdsh = ( l1 ist ein beliebiger Spinor, unabhängig von der Richtung des Vektors n (n = m/r oder n = p/p, je nachdem, welche Darstellung – Koordinate oder Impuls – verwendet wird). Normalisieren Sie die angegebene Welle Funktion zu Eins. Wie ist die Verteilung entlang der Impulsrichtungen des Teilchens im angegebenen Zustand? Vergleichen Sie mit dem Fall sv.-c°cTt) «iiHH. Nachdem Sie den Durchschnittswert des Vektors des Gesamtmoments des Teilchens im betrachteten Zustand berechnet haben, finden Sie heraus, wie j von der spezifischen Wahl des Spinors x abhängt. Finden Sie die Art von Funktionen, die Zustände mit einem bestimmten Wert /z = beschreiben ±l/2 der Projektion des Gesamtmoments auf die z-Achse. 5.39. Führen Sie eine Analyse der Zustände eines Teilchens mit Spin s = = 1/2 durch, dessen Wellenfunktionen in der Impulsdarstellung eine Winkelabhängigkeit der Form haben (der Spinor x = (?) hängt nicht vom Vektor n ab) , basierend auf den Werten der folgenden Quantenzahlen, das Gesamtmoment des Teilchens /, Orbital /, Parität, Helizität h 5,40. Zeigen Sie für ein Teilchen mit Spin s = 1/2, dass die allgemeinste Spin-Winkel-Abhängigkeit der Wellenfunktion des Zustands p3/2 die Form (beliebiger Vektor c und Spinor X = (kJ |dh abhängig vom Vektor n) hat ). Für welche spezifischen Wahlkomponenten des Vektors c und Spinor x beschreibt die obige Funktion den p3^-Zustand eines Teilchens mit einem bestimmten Wert /z = ±l/2, zh3/2 der Projektion des Gesamtmoments auf die z-Achse 5.41 Bestimmen Sie für ein Teilchen mit Spin s = 1/.2 die Spin-Winkel-Abhängigkeit der Wellenfunktionen xYih von Zuständen mit bestimmten spezifischen Werten des Bahnimpulses / und die Projektion des Gesamtimpulses auf die z-Achse im Fall / = / + 1/2- Es wird vorgeschlagen, das Problem auf die folgenden zwei Arten zu lösen: o) Verwendung von Projektionsoperatoren P,; 6) Verwendung steigender (absteigender) Operatoren /±. 5.42. Dasselbe wie im vorherigen Problem, jedoch im Fall von 1*=1- 1/2. 5.43. Zeigen Sie, dass die in den beiden vorherigen Aufgaben betrachteten Funktionen Н^ durch die Beziehung V,tlU = im)V1Vj À,2-/±1/2, n=f (oder n=-jf) zusammenhängen. Eine Folge dieser Beziehung ist die gleiche Form der Winkelverteilungen entlang der Richtungen des Teilchenimpulses in Zuständen mit gegebenen Werten von / und /« und unterschiedlichen Werten des Bahnimpulses 1\.b = / ± 1/2 . 5.44. Finden Sie für ein Teilchen mit Spin s = 1/2 die Spin-Winkel-Abhängigkeit der Wellenfunktionen WllzX (in der Impulsdarstellung), die die Zustände des Teilchens mit bestimmten Werten von / des Gesamtimpulses, seiner Projektion / beschreiben z auf die z-Achse und Spirale 5.45 Ermitteln Sie für ein geladenes Teilchen mit Spin 5 = 1/2 den Durchschnittswert des magnetischen Momentvektors in den Zuständen. Der magnetische Momentoperator ji hat die Form, wobei Qi das magnetische Spinmoment von ist das Teilchen (für das Elektron ce = ~e0h/2mec, für das Proton 2,79е0Н/2рс usw., e° > 0 ist der Wert der Ladung des Elektrons), e ist seine Ladung. Kapitel 6 BEWEGUNG IN EINEM MAGNETFELD § I. Freie geladene Teilchen in einem Magnetfeld 6.1. Das Potential des Hamilton-Operators eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld *) kann in der Form dargestellt werden. Überprüfen Sie, ob der Hamilton-Operator Hermitian ist. 6.2 Finden Sie den Geschwindigkeitsoperator v eines geladenen Teilchens in a Magnetfeld. Stellen Sie die Kommutierungsbeziehungen zwischen den verschiedenen Komponenten dieses Operators her [с", -, ?к] und auch. J0i, **] ¦ 6. 3. Bestimmen Sie für ein geladenes Teilchen in einem konstanten, gleichmäßigen Magnetfeld die Koordinatenoperatoren der Querbewegung (senkrecht zum Magnetfeld) des Mittelpunkts der Umlaufbahn ro, das Quadrat des Radiusvektors dieses Mittelpunkts p^ und das Quadrat der Umlaufradius Pd. Stellen Sie Kommutierungsbeziehungen für diese Operatoroperatoren untereinander und mit dem Hamilton-Operator her. 6.4. Finden Sie die entsprechend normierten Wellen-Wellen-Funktionen stationärer Zustände und Energieniveaus eines geladenen spinlosen Teilchens in einem gleichmäßigen Magnetfeld bei den folgenden Kalibrierungen des Vektorpotentials: a) Ax = O, A„ = Jox, A* = 0; ) A* = -ZeY, A„ = 0, Ar = 0. 6.5 Im vorherigen Problem wurden vollständige Systeme der Funktion und 1%^Pr gefunden, die die stationären Zustände eines geladenen Teilchens in einem gleichmäßigen Magnetfeld 3i0 beschreiben Finden Sie für zwei verschiedene Kalibrierungen des Vektorpotentials die Wellenfunktionen der stationären Zustände und die entsprechenden Energieniveaus der geladenen spinfreien Teilchen Kalibrierung des Vektorpotentials: A = - | 6.7. Finden Sie das Spektrum der Eigenwerte der quadratischen Radius-Vektor-Operatoren (% des Zentrums der Bahn der Querbewegung und des Bahnradius p| des Teilchens in einem gleichmäßigen Magnetfeld (siehe 6.3). Zeigen Sie, dass die Wellenfunktionen x ?nmPz der stationären Zustände des Teilchens in einem gleichmäßigen Magnetfeld, die im vorherigen Problem gefunden wurden, sind die Eigenfunktionen dieser Operatoren. Besprechen Sie den Fall /)>1 und führen Sie den Übergang zum Grenzwert zur klassischen Mechanik durch. 6.9. Das Gleiche wie im vorherigen Problem, jedoch mit n=0. Besprechen Sie speziell den Fall \t\ > 1. 6.10. In den Aufgaben 6.4 und 6.6 wurde festgestellt, dass die Energieniveaus der Querbewegung eines geladenen Teilchens in einem gleichmäßigen Magnetfeld diskret sind und die diesen Niveaus entsprechenden Eigenfunktionen des Hamilton-Hamilton-Operators eine interessante Eigenschaft haben: Gemäß 6.4 können sie dies nicht auf Eins normiert werden (und somit kein Teilchen beschreiben, das in einem begrenzten Raumbereich lokalisiert ist), sondern gemäß 6. 6 gibt es stationäre Zustände, in denen das Teilchen in einem begrenzten Raumbereich lokalisiert ist. Erklären Sie die angegebene Eigenschaft von Eigenfunktionen: die Möglichkeit, sie sowohl als normalisierbar als auch als nicht normalisierbar durch Eins zu wählen. Vergleichen Sie mit dem Fall stationärer Zustände des diskreten Spektrums eines Teilchens in einem Potentialfeld?/(g). 6.11. Finden Sie die Energieniveaus und entsprechend normalisierten Wellenfunktionen stationärer Zustände eines geladenen spinlosen Teilchens, das sich in zueinander senkrechten homogenen magnetischen und elektrischen Feldern befindet. 6.12. Finden Sie die Energieniveaus und normalisierten Wellenfunktionen der stationären Zustände eines geladenen sphärischen Oszillators (geladenes Teilchen im Zentralfeld (V(r) = Ar2/2), der sich in einem gleichmäßigen Magnetfeld befindet. Im Fall eines schwachen Magnetfelds Bestimmen Sie die magnetische Suszeptibilität des Oszillators im Grundzustand 6.13. Dasselbe gilt für einen flachen geladenen Rotator (ein geladenes Teilchen, das sich in einer Ebene in einem bestimmten Abstand a von einem bestimmten Punkt bewegt). 6.14 Zeigen Sie, dass das Energiespektrum der Querbewegung eines geladenen spinlosen Teilchens im Magnetfeld des Solenoids (das Solenoid hat eine unendliche Länge und einen kreisförmigen Querschnitt) ist (das Magnetfeld außerhalb des Elektromagneten ist Null und innerhalb desselben gleichmäßig und entlang seiner Achse gerichtet) ist kontinuierlich und das Magnetfeld kann das Teilchen nicht „binden“, d. h. es gibt keine stationären Zustände, in denen das Teilchen lokalisiert ist die Querrichtung in einem begrenzten Raumbereich. Im Grenzfall, wenn der Radius des Elektromagneten R = dann ist, erhält man ein im ganzen Raum gleichmäßiges Magnetfeld, in dem das Spektrum der Querbewegung des Teilchens diskret ist und lokalisierte stationäre Zustände existieren (siehe z. B. Problem 6.6). Erklären Sie daher anhand des kontinuierlichen Spektrums bei A! Ф oo erhält man bei R = oo ein diskretes Spektrum. 6.15. Zeigen Sie, dass das Magnetfeld Ji(r), das in einem begrenzten Raumbereich von Null verschieden ist, ein geladenes spinloses Teilchen nicht „binden“ kann, d. h. es gibt keine stationären Zustände eines Teilchens, in denen es in einem begrenzten Raumbereich lokalisiert ist . 6.16- Wie bekannt ist, hat ein Teilchen im eindimensionalen und zweidimensionalen Fall in jedem anziehenden Feld immer Zustände eines diskreten Spektrums, in dem es in einem begrenzten Raumbereich lokalisiert ist. Im dreidimensionalen Fall existieren solche Zustände möglicherweise nicht, wenn der Potentialtopf „flach“ genug ist. Zeigen Sie, dass bei Vorhandensein eines gleichmäßigen Magnetfelds im Raum ein geladenes Teilchen in einem beliebigen anziehenden Feld U(r) die Bedingungen U(r)^0, ?/(r)->-0 für r~*oo erfüllt , Es gibt immer stationäre Zustände, in denen es in einem begrenzten Raumbereich lokalisiert ist (und nicht nur in Querrichtung!), d. h. dass bei Vorhandensein eines Magnetfelds jede Quelle ein Teilchen „binden“ kann. § 2. Teilchen mit einem Schlupf in einem Magnetfeld 6-17. Finden Sie die Wellenfunktionen stationärer Zustände und die entsprechenden Energieniveaus eines neutralen Teils – eines Teilchens mit einem Spin s = 1/2 und einem magnetischen Spinmoment ω (so dass... r^™“ ylfflTaPHblil-Operator, der der Transformation von entspricht die T jene I| Rekonstruierte Wellenfunktion des Teilchens in Koordinaten- und Impulsdarstellung? Impuls in der Heisenberg-Heisenberg-Darstellung für ein freies Teilchen wird vorgeschlagen, das Problem auf zwei Arten zu lösen – eine einheitliche Transformation, die die oie-%FGKeLtI" ° heise»SeR™^™» shr^.-gers GaEn?^0 verbindet ^6*™™"™ Reshek"Bewegungsgleichungen für Heisenberg-Operatoren. 7.30 Uhr. Dasselbe wie im vorherigen Problem, für ein Teilchen, das sich in einem homogenen Feld bewegt U(x) = -Рл TBB«n«2Z Ж»» ЧТ° " " zwei „Р“LINDING-Probleme, für einen linearen harmonischen Oszillator. GERADE "°И ™c™ub" gefunden durch Kalibrierung des Vektorpotentials der Form A = = @, Жъх, 0) (das Magnetfeld ist entlang der z-Achse gerichtet). Es wird vorgeschlagen, das Problem auf zwei Arten zu lösen , angegeben in Bedingung 7.29. Zeigen Sie anhand der Gleichungen Bewegung für Heisenberg-Operatoren, dass = -j b1b 7.34 ein freies Teilchen; b) ein Teilchen in einem gleichförmigen Feld) f) ein Oszillator 7.35 Bestimmen Sie für die in 7.29-7.31 betrachteten Systeme den Hamilton-Operator /?. (() und vergleiche mit JA =0). 7.36. Verwenden Sie die Form der Heisenberg-Operatoren p(Q, x(t)\ und ermitteln Sie die Zeitabhängigkeit der folgenden Durchschnittswerte: x((), p((), L&x(t)J, (Ap(O)8-Für a ) ein freies Teilchen; b ) Teilchen in einem gleichförmigen Feld; c) ein Oszillator in einem Zustand, der durch eine Wellenfunktion der Form 7-37 beschrieben wird. Der Hamilton-Operator des Systems hat die Form R = /?0 -\- P, wobei der „ungestörte“ Hamilton-Operator /?o nicht explizit von der Zeit abhängt. Betrachten Sie die einheitliche Transformation von der Schroedner-Darstellung zur neuen, sogenannten Wechselwirkungsdarstellung, die durch den einheitlichen Operator О = ¦=е*ð(Ó7?) durchgeführt wird. с