Иррациональное выражение. Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование. Тема Культурно-исторческие основы развития психологического знания в труде Тема Труд как социально-психологическая реальность

Дорогие друзья! Ещё для вас ряд простейших задачек с графиками и диаграммами. Задания про суточное количество осадков и среднемесячную температуру. Все советы и моменты, на которые нужно обратить внимание даны по ходу решения. Рассмотрим примеры:

26871 (27523). На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 5 миллиметров осадков? Сколько дней из данного периода не выпадало осадков?

Внимательно смотрим, начиная с первого числа количество выпавших осадков. Впервые 5 мм осадков выпало 11 числа.

*Обратите внимание, что указанное количество осадков, может выпадать два и более раз. Вопрос может быть поставлен, например, так: определите по рисунку, какого числа второй (третий) раз выпало 5 миллиметров осадков.

Из рисунка видно, что осадки не выпадали пятого, восьмого, девятого и двенадцатого февраля. Всего 4 дня.

Ответ: 11 и 4

26876 (25528). На рисунке показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпадало в период с 13 по 20 января. Ответ (дайте в миллиметрах). Определите по рисунку, сколько дней выпадало более 2 миллиметров осадков.

Здесь важный момент – сразу визуально ограничьте график до 13 числа и с 20-го, можно закрыть листком бумаги эти участки графика.

Видно, что за указанный период наибольшее количество осадков было 3 мм (это было 14 числа).

Ответ: 3

Перечислим дни, в которые выпадало более 2 мм осадков (смотрим внимательно с самого первого дня указанного периода), это: 8, 12 и 14 января.

Всего 3 дня.

Ответ: 3

26878. На рисунке показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Наибольшая температура за указанный период была 26 градусов Цельсия (19-го числа), а наименьшая 16 градусов (16-го числа).

Разность температур составляет 26 –16 = 10 градусов.

Ответ: 10

27510. На рисунке показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

*Сразу обратите внимание, что цена деления вертикальной шкалы равна 2 градусам, это важно.

Май это пятый месяц, декабрь двенадцатый. Выделяем для анализа этот период (с 5-го до 12-го месяцы) и определяем наименьшую среднемесячную температуру. Видно, что она была в ноябре (это 11-ый месяц) и составила 6 градусов.

Ответ: 6

263597. На рисунке показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какая была температура 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 19

263598. На рисунке показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была ровно 21 0 С.

За указанный период температура была ровно 21 градус Цельсия:

10-го, 11-го, 12-го и 14-го числа.

Всего 4 дня.

Ответ: 4

27527. На рисунке показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 миллиметров осадков.

Перечислим дни, в которые выпадало меньше 3 мм осадков (смотрим внимательно с самого первого дня указанного периода), это:

7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

Всего 14 дней. Ответ: 3

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Учитель ругает Вовочку:
- Неужели ты умеешь считать только до десяти? Просто ума не приложу, кем ты думаешь стать…
- Судьей по боксу!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Задание 1 Определение величины по графику

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

Пояснение

Фразу «Осадки не выпадали» можно переформулировать иначе: «выпало 0 миллиметров осадков». Посмотрим на графике, в какие дни выпало 0 миллиметров осадков. По условию количество осадков определяется один раз за сутки. Обратим внимание на формулировку «Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией»: соединительные линии при решении учитываться не должны. Следовательно, наша задача - найти только числа месяца, в которые выпало ноль миллиметров осадков. Это 5, 8, 9 и 12 февраля, то есть всего 4 дня.

Ответ: 4.

Задание 2 Определение величины по графику

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков.

Пояснение

Посмотрим на графике, в какие дни выпало более 3 миллиметров осадков. По условию количество осадков определяется один раз за сутки. Обратим внимание на формулировку «Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией»: соединительные линии при решении учитываться не должны. Следовательно, наша задача - найти только числа месяца, в которые выпало более 3 миллиметров осадков. Это 4, 11 и 15 февраля, то есть всего 3 дня.

Ответ: 3.

Задание 3 Определение величины по графику

На графике показано изменение температуры двигателя в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат - температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель со второй по пятую минуту разогрева.

Пояснение

1. Через 2 минуты после включения двигателя температура была 30 градусов Цельсия. Через 5 минут после включения двигателя температура была 60 градусов Цельсия.

Значит, со второй по пятую минуту двигатель нагрелся на градусов Цельсия.

Ответ: 30.

Задание 4 Определение величины по графику

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наибольшую среднесуточную температуру в период с 8 по 18 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.

Внесение множителя под знак корня

Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид или .

Например, иррациональное выражение после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .

Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня .

Вынесение множителя из-под знака корня

Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня в виде произведения при нечетных n или в виде произведения при четных n , где B и C – некоторые числа или выражения.

За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении дает произведение , которое можно переписать в виде .

На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня . Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей .

Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .

Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: .

В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь на иррациональное выражение , в результате получаем .

Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.

Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе

При преобразовании арифметических корней используются их свойства (см. п. 35).

Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.

Пример 1. Извлечь корень из произведения Решение. Применив свойство 1°, получим:

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня

Решение.

Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования - упростить подкоренное выражение.

Пример 3. Упростить

Решение. По свойству 3° имеем Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак корня. Имеем

Пример 4. Упростить

Решение. Преобразуем выражение, внеся множитель под знак корня: По свойству 4° имеем

Пример 5. Упростить

Решение. По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом примере разделить указанные показатели на 3, то получим

Пример 6. Упростить выражения: а)

Решение, а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,

б) Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число. Поэтому Далее имеем А теперь в полученном результате разделив показатели корня и степени подкоренного выражения на 3, получим