Как пишутся тождественные выражения в русском. Тождественно равные выражения: определение, примеры. Примеры выражений, тождественно равных друг другу
Поиск ответа
Всего найдено: 104
| Вопрос № 296845 | ||
Подскажите, нужна ли запятая в скобках? В царствование Николая II совершено больше канонизаций святых, чем при всех его предках(,) вместе взятых, начиная с Петра Великого.
Указанная запятая нужна.
| Вопрос № 296782 | ||
Добрый день, уважаемая Грамота! Можно Вас попросить ответить побыстрее, так как пособие сдаем в типографию завтра, нужна ли данная запятая в следующем предложении: Начиная с первого отечественного учебника криминалистики (1935 г.) и кончая изданиями начала 90-х гг.(,) зарубежная буржуазная криминалистика рассматривалась... Спасибо!
Ответ справочной службы русского языка
| Вопрос № 295327 | ||
Подскажите, пожалуйста, почему у А.С.Пушкина в "Дубровском" в отчестве Кириловна одна буква л?
Ответ справочной службы русского языка
В прошлом существовало два варианта имени – Кирилл и Кирила . Они восходят к греческому имени Κύριλλος, пришедшему в русский язык через старославянский. Вариант Кирила был отмечен в пятом изда нии «Орфографического словаря русского языка» (1963 г.) как народный. Однако начиная с 13-го издания (1974 г.) он перестал фиксироваться. При этом в современных словарях собственных имен Кирила часто дается как разговорный вариант имени Кирилл (см., например, « Словарь русских имен » Н. А. Петровского). А. С. Пушкин назвал своего героя Кирила Петрович , отсюда отчество Маши – Кириловна .
Спасибо за интересный вопрос!
| Вопрос № 294766 | ||
Здравствуйте! Почему во фразе " не несёт ответственность(ти), риск (а) " предпочтительно употреблять существительное в родительном падеже? Можно ли ссылку на авторитетные источники, а не на интуицию?
Ответ справочной службы русского языка
| Вопрос № 293736 | ||
Здравствуйте! Хотелось бы уточнить ударение в слове "апостиль". Год назад в словаре грамоты.ру указывалось ударение на О, сейчас - на И. Почему поменялась норма? И какое все же правильное ударение?
Ответ справочной службы русского языка
Менялась словарная фиксация в академических словарях. Существительное апостиль прежде фиксировалось с иным ударением – на о (см.: Русский орфографический словарь / Под ред. В. В. Лопатина. 2-е изд. М., 2005). Начиная с 4-го издания (М., 2012) – апости ль . Фиксация апости ль – также в «Орфоэпическом словаре русского языка» под ред. Н. А. Еськовой (10-е изд. М., 2015), в «Новом словаре иностранных слов» Е. Н. Захаренко, Л. Н. Комаровой, И. В. Нечаевой (3-е изд., испр. и доп. М., 2008).
| Вопрос № 293041 | ||
Здравствуйте! Существительное "солдат". Почему дательный падеж множественного числа в порядковых числительных до тысячи имеет окончание -ам (например, двум солдатАМ, десяти солдатАМ, девятистам солдатАМ), а начиная с тысячи - окончания нет (тысяче солдат, миллиону солдат), но если кроме этих числительных используется числительное до тысячи, то окончание -ам опять появляется (тысяче ста солдатАМ)? Какое правило используется в этом случае? Спасибо!
Ответ справочной службы русского языка
| Вопрос № 290583 | ||
Здравствуйте, наш преподаватель дала нам задание сравнить современные нормы употребления формы р.п. мн. ч. слов "грамм", "килограмм" и нормы употребления в 2000-х годах, и отправила нас на ваш портал, чтобы разобраться. Я нашел как правильно на сегодняшний день употреблять эти слова, а вот как было в 2000-х хотел бы спросить у вас.
Ответ справочной службы русского языка
Спасибо за интересный вопрос! Но любопытно проследить историю форм грамм – граммов, килограмм – килограммов начиная не с 2000-х годов, а хотя бы за последние полвека. До сих пор распространено мнение, что формы грамм, килограмм в родительном падеже мн. числа ошибочны. Между тем на их допустимость словари указывали еще в 1950-е.
В словаре-справочнике «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (М., 1959) проводится такое разделение: граммов – преимущественно в письменной речи, грамм – преимущественно в устной речи после числительных. То же с килограммами: килограммов – в письменной речи, килограмм – в устной (здесь про числительные не говорится).
Такое разделение дожило до начала 2000-х, хотя за эти полвека словари то указывали вариант грамм, килограмм в качестве допустимого, то не указывали. Например, в 10-м издании «Орфографического словаря русского языка» (М., 1970) – только граммов и килограммов, а вышедшее два года спустя 9-е издание «Словаря русского языка» С. И. Ожегова (под ред. Н. Ю. Шведовой) повторяет рекомендацию 1959 года: граммов – преимущественно в письменной речи, грамм – преимущественно в устной речи после числительных; килограммов – в письменной речи, килограмм – в устной. Академическая «Русская грамматика» (М., 1980) также указывала, что в устной речи формы граммов, килограммов неупотребительны.
В 21-м издании «Словаря русского языка» С. И. Ожегова (М., 1989) варианты грамм и граммов, килограмм и килограммов уже даны как равноправные. Казалось бы, формы грамм и килограмм окончательно стали нормативными. Однако 2-е издание словаря Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи» (М., 2001) констатирует, что разделение на устную и письменную речь в последнее десятилетие XX века и на рубеже веков еще отмечалось: «Бытовые единицы измерений веса грамм, килограмм в устной речи употребляются в подавляющем большинстве с нулевой флексией. В письменной же речи под воздействием редакционной корректуры в настоящее время употребляются исключительно формы граммов и килограммов ».
Современные словари русского языка уже, как правило, не дают отдельных рекомендаций для употребления этих слов в устной и письменной речи. Есть издания, где формы с нулевым окончанием и с окончанием -ов зафиксированы как равноправные – например, «Словарь трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера (М., 2016). Но всё же большинство словарей дают более подробную рекомендацию, различая употребление этих форм в сочетании с числительным (в счетной форме) и вне такого сочетания. В сочетании с числительным варианты грамм и граммов, килограмм и килограммов признаются равноправными , а вот вне такого сочетания (что встречается, правда, гораздо реже) правильно только граммов, килограммов. Такая рекомендация – в «Русском орфографическом словаре» РАН под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой (4-е изд. М., 2012), «Орфоэпическом словаре русского языка» под ред. Н. А. Еськовой (10-е изд. М., 2015), «Большом универсальном словаре русского языка» под ред. В. В. Морковкина (М., 2016). Она представляется наиболее оправданной.
Таким образом, сейчас верно: пять грамм и пять граммов, шесть килограмм и шесть килограммов, но (вне сочетания с числительным): подсчет количества граммов и килограммов (не грамм и килограмм ).
| Вопрос № 287601 | ||
Нет, Грамота, я так не могу, я призываю вас к ответу. Из вопроса № 176838: "Однако в художественной, особенно поэтической, речи допускается написание форм предложного падежа существительных среднего рода на -ье (обычно при предлоге в) с окончанием -и, например: В молчаньи шел один ты с мыслию великой (Пушкин). Ошибкой здесь это не является." Объясните: "Пушкин автоматически во всём прав, что бы он ни написал" - вот главный камень фундамента правил русского языка что ли? Вы считаете, он достаточно надёжен? Т.к. проигнорировали мой прошлый вопрос, чтобы не придумывать новые словеса, просто вставлю его вдогонку снова, не корректируя: "Почему (в.п.) "станцию Усть-Луга" (фигурировало в вопросе № 287291) - родовое склоняется, собственное нет - но "город Москву" - и родовое склоняется, и собственное склоняется? У вас в "Горячих" написано: "В "Словаре географических названий" А. В. Суперанской (М., 2013) указано, что топонимы обычно не склоняются в сочетании со следующими географическим терминами: ..." ... и тра-та-та-та-та автоматная очередь исключений (в т.ч. "станция"). Но ведь, ребята, так дело не пойдёт! Вы сами не устали от этого непроглатываемого сгустка исключений в русском языке? Почему бы не закрепить - и здесь, и везде - ЕДИНОЕ правило: "с собственными склоняется только родовое"? Всё! Но нет! Все правила в русском языке сводятся к тому, что если Вася Пупкин 10 000 раз скажет, что "говно" - мужского рода, а за ним тысячи Ивановых повторят, все справочники тут же зафиксируют "изменившуюся норму". И не говорите, что "язык живой" - всё это бред! Кто придумал всю эту адскую громоздкую пунктуацию? Народ? Да дай ему волю, он всё будет писать с маленькой буквы, а в качестве знаков препинания использовать только точку, восклицательный и вопросительный. Это всё спущено сверху! Так что не делайте вид, что вы не имеете никакого влияния на язык. Все справочники по языку - это не своды правил, а своды наблюдений. "Деепричастный оборот, конечно, отделяется от основного предложения, - говорит Розенталь, - но вот Пушкин засунул в оборот подлежащее, являющееся частью предложения, а не оборота, и его не выделяет". Вот, мол. Бывает и так. И ведь это касается не только языка, а всех русских правил: начиная законодательством (фактическим) и заканчивая нормами этики. Они все об этом: "Это, конечно, нельзя, но, если очень хочется, то можно; это, конечно, нужно, но, если ты сильный и/или авторитетный, то можно и не делать". Знаете, почему английский - язык международного общения? (да, то, что у США самый большой ВВП в мире, тоже, наверное, имеет значение, но не только поэтому) Потому что английский не подстраивают под каждый пук Фицджеральда или Брэдбери, а подстраивают под удобство пользования обычными людьми! А русский, благодаря вот этому вот всему, не будет таким никогда (в нынешнем виде). Зато "великий и могучий", чё. И пофиг, что все смотрят на русский язык как на обезьяну, напялившую квадратную академическую шапочку. Я хочу с вами это всё обсудить - если бы я не уважал, несмотря ни на что, вашу работу и ваше мнение, я бы вам это, на самом деле, всё не писал. Собрались уважаемые, компетентные люди - так давайте уже открыто поговорим, не стесняясь!"
Ответ справочной службы русского языка
Из Вашего очень длинного и эмоционального письма, кажется, можно сделать такой вывод: Вы считаете, что лингвисты, вместо того чтобы установить простые и понятные правила, намеренно усложняют их, подстраивая под капризы классиков, из-за чего в нашем языке плодятся десятки и сотни исключений, правильно? Попробуем прокомментировать эту точку зрения.
Во-первых, русский язык действительно живой – а как без этого тезиса? Если бы мы создавали язык как искусственную конструкцию, у нас были бы единые правила произношения и написания, мы бы аккуратно распределили слова по грамматическим категориям без всяких исключений и отклонений... Но русский язык не искусственная модель, и многие странные на первый взгляд правила, многие исключения обусловлены его многовековой историей. Почему, например, мы пишем жи и ши с буквой и? Потому что когда-то звуки ж и ш были мягкими. Они давно отвердели, а написание осталось. Написание, которое можно объяснить только традицией. И такие традиционные написания характерны не только для русского, но и для других мировых языков. Недаром про тот же английский язык (который «не подстраивают под каждый пук Фицджеральда или Брэдбери») есть шутка: «пишется Манчестер, а читается Ливерпуль».
Во-вторых, нормы русского письма (особенно нормы пунктуации) как раз и складывались под пером писателей-классиков, ведь первый (и единственный) общеобязательный свод правил русского правописания появился у нас только в 1956 году. Поэтому справочники по правописанию, конечно, основываются на примерах из русской классической литературы и литературы XX века. Но с Вашим тезисом «в се справочники по языку – это не своды правил, а своды наблюдений» сложно согласиться. Р усская лингвистическая традиция как раз в большей степени прескриптивна, чем дескриптивна (т. е. предписывает, а не просто описывает): она обращается к понятиям «правильно» и «неправильно» гораздо чаще, чем, например, западная лингвистика.
В-третьих, лингвисты не занимаются усложнением правил – как раз наоборот. Кодификаторская работа языковедов на протяжении всего XX века была направлена на унификацию, устранение вариантов, именно благодаря ей мы сейчас имеем гораздо меньше вариантов, чем было 100 лет назад. Именно лингвисты, как правило, являются наиболее активными сторонниками внесения изменений в правила правописания и устранения неоправданных исключений – не ради упрощения правил, а ради того, чтобы наше правописание стало еще более системным и логичным. А вот общество, как правило, активно препятствует любым попыткам изменить нормы и правила.
| Вопрос № 286457 | ||
Здравствуйте. У Толстого в "Анне Карениной" написано:"Все было ново, начиная от французских новых обой до ковра, которым была обтянута вся комната." Сейчас правильно говорить "обой" или "обоев"?
Ответ справочной службы русского языка
Это устаревшая форма. Сейчас верно: обоев .
| Вопрос № 285176 | ||
Корректна ли расстановка знаков препинания? 1. Согласованный и подписанный Сторонами в установленном порядке акт сдачи-приемки оказанных Услуг является документом, подтверждающим принятие Государственным заказчиком от Исполнителя исполнения обязательств по Договору и основанием для оплаты Услуг на условиях, предусмотренных Договором. 2. Пеня начисляется за каждый день просрочки исполнения Исполнителем обязательства, предусмотренного настоящим Договором, начиная со дня следующего после дня истечения установленного настоящим Договором срока исполнения обязательства, и устанавливается настоящим Договором в размере одной трехсотой действующей на дату уплаты пени ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации от цены настоящего Договора, уменьшенной на сумму, пропорциональную объему обязательств, предусмотренных настоящим Договором и фактически исполненных Исполнителем.
Ответ справочной службы русского языка
1. Согласованный и подписанный Сторонами в установленном порядке акт сдачи-приемки оказанных Услуг является документом, подтверждающим принятие Государственным заказчиком от Исполнителя исполнения обязательств по Договору, и основанием для оплаты Услуг на условиях, предусмотренных Договором.
2. Пеня начисляется за каждый день просрочки исполнения Исполнителем обязательства, предусмотренного настоящим Договором, начиная со дня, следующего после дня истечения установленного настоящим Договором срока исполнения обязательства, и устанавливается настоящим Договором в размере одной трехсотой действующей на дату уплаты пени ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации от цены настоящего Договора, уменьшенной на сумму, пропорциональную объему обязательств, предусмотренных настоящим Договором и фактически исполненных Исполнителем.
| Вопрос № 284895 | ||
Скажите, пожалуйста, нужна ли в этом предложении запятая: В школе ведётся преподавание двух иностранных языков, начиная с 1-го класса. Ну никто в целом свете не знает. Может быть, хоть вы?
Ответ справочной службы русского языка
Мы знаем:) Пунктуация зависит от смысла предложения. Если смысл в том, что два иностранных языка начинают изучать уже в первом классе, запятая не нужна. Оборот с предлогом начиная с не обособляется, если этот предлог в буквальном смысле указывает на время начала чего-либо, в этих случаях слово начиная обычно можно опустить без ущерба для смысла и структуры предложения (ср.: В школе ведётся преподавание двух иностранных языков с 1-го класса ).
Но если смысл предложения в том, что в школе преподаются именно два иностранных языка (логическое ударение на слове двух ), а слова начиная с 1-го класса носят характер попутного пояснения (т. е. это дополнительная, необязательная информация), тогда запятую перед начиная надо сохранить.
| Вопрос № 284865 | ||
А можете перечислить предлоги, перед которыми запятая не ставится? Как, например, предлог «начиная с». Это ведь вообще деепричастие, которое должно обособляться?
Ответ справочной службы русского языка
Если речь идет о вопросе 284861, то в приведенном примере начиная с - предлог.
Перечислить все предлоги, перед которыми не ставится запятая, не представляется возможным, так как пунктуация чаще всего зависит от строя конкретного предложения.
| Вопрос № 284861 | ||
Ответ справочной службы русского языка
Указанная запятая не требуется, если значение предложения: полное изучение химии рекомендуется начинать в восьмом классе. Подробно о пунктуации при оборотах, которые присоединяются предлогом начиная с , читайте в « Справочнике по пунктуации ».
| Вопрос № 284037 | ||
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с пунктуацией в предложении: В течение последних 30 лет(,) и особенно(,) начиная с 2000 года(,) наблюдался рост инвестиций. Нужно ли выделять оборот с "и особенно" и где именно? В других ответах иногда советуют выделять, а иногда нет. Хотелось бы общее правило. Спасибо!
Ответ справочной службы русского языка
Слово особенно может присоединять члены предложения, содержащие дополнительные замечания и разъяснения. В этом случае присоединительные члены выделяются запятыми вместе со словом особенно .
В данном случае и особенно начиная с 2000 года – присоединительный член предложения, который выделяется запятыми: В течение последних 30 лет, и особенно начиная с 2000 года, наблюдался рост инвестиций.
| Вопрос № 283823 | ||
Как правильно написать, чтобы было понятно, что 1 января входит во временной отрезок (конечной даты нет)? По итогам аукционов, проведенных с 1 января 2014 года. или По итогам аукционов, проведенных в период с 1 января 2014 года.
Ответ справочной службы русского языка
Можно написать: По итогам аукционов, проведенных начиная с 1 января 2014 года... или По итогам аукционов, проведенных 1 января 2014 года и позднее.
Эта статья дает начальное представление о тождествах . Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.
Навигация по странице.
Что такое тождество?
Логично начать изложение материала с определения тождества . В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:
Определение.
Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.
При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ . Определение становится таким:
Определение.
Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.
Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.
Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.
Знак тождества
Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства .
Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.
Примеры тождеств
Пришло время привести примеры тождеств . В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.
Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .
Тождествами являются и числовые равенства вида 2+3=5 и 7−1=2·3 , так как эти равенства являются верными. То есть, 2+3≡5 и 7−1≡2·3 .
Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.
Рассмотрим равенство 3·(x+1)=3·x+3 . При любом значении переменной x записанное равенство является верным в силу распределительного свойства умножения относительно сложения, поэтому, исходное равенство является примером тождества. Вот еще один пример тождества: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y , здесь область допустимых значений переменных x и y составляют все пары (x, y) , где x и y - любые числа, кроме нуля.
А вот равенства x+1=x−1 и a+2·b=b+2·a не являются тождествами, так как существуют значения переменных, при которых эти равенства будут неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1 . Более того, равенство x+1=x−1 вообще не достигается ни при каких значениях переменной x . А равенство a+2·b=b+2·a обратится в неверное равенство, если взять любые различные значения переменных a и b . К примеру, при a=0 и b=1 мы придем к неверному равенству 0+2·1=1+2·0 . Равенство |x|=x , где |x| - переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .
Примерами наиболее известных тождеств являются вида sin 2 α+cos 2 α=1 и a log a b =b .
В заключение этой статьи хочется отметить, что при изучении математики мы постоянно сталкиваемся с тождествами. Записи свойств действий с числами являются тождествами, например, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 и a+(−a)=0 . Также тождествами являются
Рассмотрим две равенства:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.
О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами .
Понятие тождества
Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.
Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:
1. (a 2) 4 и a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .
Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.
Примеры тождеств
Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.
А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:
Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.
Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Тождественное преобразование выражения. Что это такое?
Впервые встречаемся с понятием тождественных преобразованный мы на уроках алгебры в 7 классе. Тогда же мы впервые знакомимся с понятием тождественно равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы облегчить усвоение темы.
Определение 1
Тождественное преобразование выражения – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Часто это определение используется в сокращенном виде, в котором опускается слово «тождественное». Предполагается, что мы в любом случае проводим преобразование выражения таким образом, чтобы получить выражение, тождественное исходному, и это не требуется отдельно подчеркивать.
Проиллюстрируем данное определение примерами.
Пример 1
Если мы заменим выражение x + 3 − 2 на тождественно равное ему выражение x + 1 , то мы проведем при этом тождественное преобразование выражения x + 3 − 2 .
Пример 2
Замена выражения 2 · a 6 на выражение a 3 – это тождественное преобразование, тогда как замена выражения x на выражение x 2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x 2 не являются тождественно равными.
Обращаем ваше внимание на форму записи выражений при проведении тождественных преобразований. Обычно мы записываем исходное и полученное в ходе преобразования выражения в виде равенства. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 означает, что выражение x + 1 + 2 было приведено к виду x + 3 .
Последовательное выполнение действий приводит нас к цепочке равенств, которая представляет собой несколько расположенных подряд тождественных преобразований. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x мы понимаем как последовательное проведение двух преобразований: сначала выражение x + 1 + 2 привели к виду x + 3 , а его – к виду 3 + x .
Тождественные преобразования и ОДЗ
Ряд выражений, которые мы начинаем изучать в 8 классе, имеют смысл не при любых значениях переменных. Проведение тождественных преобразований в этих случаях требует от нас внимания к области допустимых значений переменных (ОДЗ). Выполнение тождественных преобразований может оставлять ОДЗ неизменной или же сужать ее.
Пример 3
При выполнении перехода от выражения a + (− b) к выражению a − b область допустимых значений переменных a и b остается прежней.
Пример 4
Переход от выражения x к выражению x 2 x приводит к сужению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел до множества всех действительных чисел, из которого был исключен ноль.
Пример 5
Тождественное преобразование выражения x 2 x выражением х приводит к расширению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел за исключением нуля до множества всех действительных чисел.
Сужение или расширение области допустимых значений переменных при проведении тождественных преобразований имеет значение при решении задач, так как может повлиять на точность проведения вычислений и привести к появлению ошибок.
Основные тождественные преобразования
Давайте теперь посмотрим, какими бывают тождественные преобразования и как они выполняются. Выделим те виды тождественных преобразований, с которыми нам приходится иметь дело чаще всего, в группу основных.
Помимо основных тождественных преобразований существует ряд преобразований, которые относятся к выражениям конкретного вида. Для дробей это приемы сокращения и приведения к новому знаменателю. Для выражений с корнями и степенями все действия, которые выполняются на базе свойств корней и степеней. Для логарифмических выражений действия, которые проводятся на основе свойств логарифмов. Для тригонометрических выражений все действия с использованием тригонометрических формул. Все эти частные преобразования подробно разбираются в отдельных темах, которые можно найти на нашем ресурсе. В связи с этим в этой стстье мы на них останавливаться не будем.
Перейдем к рассмотрению основных тождественных преобразований.
Перестановка местами слагаемых, множителей
Начнем с перестановки слагаемых местами. С этим тождественным преобразованием мы имеем дело чаще всего. И основным правилом здесь можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка слагаемых местами не отражается на результате.
Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять слагаемые местами и получать при этом выражения, которые тождественно равны исходным. Именно поэтому перестановка слагаемых местами в сумме является тождественным преобразованием.
Пример 6
У нас есть сумма трех слагаемых 3 + 5 + 7 . Если мы поменяем местами слагаемые 3 и 5 , то выражение примет вид 5 + 3 + 7 . Вариантов перестановки местами слагаемых в данном случае несколько. Все они приводят к получению выражений, тождественно равных исходному.
В качестве слагаемых в сумме могут выступать не только числа, но и выражения. Их точно так же, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.
Пример 7
В сумме трех слагаемых 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 и - 12 · a вида 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + (- 12) · a слагаемые можно переставить, например, так (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби 1 a + b , при этом дробь примет вид 1 b + a . А выражение под знаком корня a 2 + 2 · a + 5 тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.
Точно так же, как и слагаемые, в исходных выражениях можно менять местами множители и получать тождественно верные уравнения. Проведение этого действия регулируется следующим правилом:
Определение 2
В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.
Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые подтверждают верность тождественного преобразования.
Пример 8
Произведение 3 · 5 · 7 перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5 · 3 · 7 , 5 · 7 · 3 , 7 · 3 · 5 , 7 · 5 · 3 или 3 · 7 · 5 .
Пример 9
Перестановка множителей в произведении x + 1 · x 2 - x + 1 x даст x 2 - x + 1 x · x + 1
Раскрытие скобок
Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Эти выражения могут быть преобразованы в тождественно равные выражения, в которых скобок не будет вообще или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.
Пример 10
Проведем действия со скобками в выражении вида 3 + x − 1 x для того, чтобы получить тождественно верное выражение 3 + x − 1 x .
Выражение 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x можно преобразовать в тождественно равное выражение без скобок 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .
Правила преобразования выражений со скобками мы подробно разобрали в теме «Раскрытие скобок», которая размещена на нашем ресурсе.
Группировка слагаемых, множителей
В случаях, когда мы имеем дело с тремя и большим количеством слагаемых, мы можем прибегнуть к такому виду тождественных преобразований как группировка слагаемых. Под этим способом преобразований подразумевают объединение нескольких слагаемых в группу путем их перестановки и заключения в скобки.
При проведении группировки слагаемые меняются местами таким образом, чтобы группируемые слагаемые оказались в записи выражения рядом. После этого их можно заключить в скобки.
Пример 11
Возьмем выражение 5 + 7 + 1 . Если мы сгруппируем первое слагаемое с третьим, то получим (5 + 1) + 7 .
Группировка множителей проводится аналогично группировке слагаемых.
Пример 12
В произведении 2 · 3 · 4 · 5 можно сгруппировать первый множитель с третьим, а второй – с четвертым, при этом придем к выражению (2 · 4) · (3 · 5) . А если бы мы сгруппировали первый, второй и четвертый множители, то получили бы выражение (2 · 3 · 5) · 4 .
Слагаемые и множители, которые группируются, могут быть представлены как простыми числами, так и выражениями. Правила группировки были подробно разобраны в теме «Группировка слагаемых и множителей».
Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно
Замена разностей суммами стала возможна благодаря нашему знакомству с противоположными числами. Теперь вычитание из числа a числа b можно рассматривать как прибавление к числу a числа − b . Равенство a − b = a + (− b) можно считать справедливым и на его основе проводить замену разностей суммами.
Пример 13
Возьмем выражение 4 + 3 − 2 , в котором разность чисел 3 − 2 мы можем записать как сумму 3 + (− 2) . Получим 4 + 3 + (− 2) .
Пример 14
Все разности в выражении 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2 можно заменить суммами как 5 + 2 · x + (− x 2) + (− 3 · x 3) + (− 0 , 2) .
Мы можем переходить к суммам от любых разностей. Аналогично мы можем произвести обратную замену.
Замена деления на умножение на число, обратное делителю, становится возможным благодаря понятию взаимно обратных чисел. Это преобразование можно записать равенством a: b = a · (b − 1) .
Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.
Пример 15
Частное 1 2: 3 5 можно заменить произведением вида 1 2 · 5 3 .
Точно также по аналогии деление может быть заменено умножением.
Пример 16
В случае с выражением 1 + 5: x: (x + 3) заменить деление на x можно на умножение на 1 x . Деление на x + 3 мы можем заменить умножением на 1 x + 3 . Преобразование позволяет нам получить выражение, тождественное исходному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .
Замена умножения делением поводится по схеме a · b = a: (b − 1) .
Пример 17
В выражении 5 · x x 2 + 1 - 3 умножение можно заменить делением как 5: x 2 + 1 x - 3 .
Выполнение действий с числами
Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка выполнения действий. Сначала проводятся действия со степенями чисел и корнями из чисел. После этого мы заменяем логарифмы, тригонометрические и прочие функции на их значения. Затем выполняются действия в скобках. И затем уже можно проводить все остальные действия слева направо. Важно помнить, что умножение и деление проводят до сложения и вычитания.
Действия с числами позволяют преобразовать исходное выражение в тождественное равное ему.
Пример 18
Преобразуем выражение 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ,выполнив все возможные действия с числами.
Решение
Первым делом обратим внимание на степень 2 3 и корень 4 и вычислим их значения: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .
Подставим полученные значения в исходное выражение и получим: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Теперь проведем действия в скобках: 8 − 1 = 7 . И перейдем к выражению 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Нам осталось выполнить умножение чисел 3 и 7 . Получаем: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Ответ: 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x = 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x)
Действиям с числами могут предшествовать другие виды тождественных преобразований, таких, например, как группировка чисел или раскрытие скобок.
Пример 19
Возьмем выражение 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 .
Решение
Первым делом проведем замену частного в скобках 6: 3 на его значение 2 . Получим: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 .
Раскроем скобки: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 3 + 2 · 2 · x · y 3 · 4 − 2 + 11 .
Сгруппируем числовые множители в произведении, а также слагаемые, являющиеся числами: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 .
Выполним действия в скобках: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3
Ответ: 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3
Если мы работаем с числовыми выражениями, то целью нашей работы будет нахождение значения выражения. Если же мы преобразуем выражения с переменными, то целью наших действий будет упрощение выражения.
Вынесение за скобки общего множителя
В тех случаях, когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого нам сначала необходимо представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных слагаемых без общего множителя.
Пример 20
В числовом выражении 2 · 7 + 2 · 3 мы можем вынести общий множитель 2 за скобки и получить тождественно верное выражение вида 2 · (7 + 3) .
Освежить в памяти правил вынесения общего множителя за скобки вы можете в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно рассмотрены правила вынесения общего множителя за скобки и приведены многочисленные примеры.
Приведение подобных слагаемых
Теперь перейдем к суммам, которые содержат подобные слагаемые. Тут возможно два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые, и суммы, слагаемые которых отличаются числовым коэффициентом. Действия с суммами, содержащими подобные слагаемые, носит название приведения подобных слагаемых. Проводится оно следующим образом: мы выносим общую буквенную часть за скобки и проводим вычисление суммы числовых коэффициентов в скобках.
Пример 21
Рассмотрим выражение 1 + 4 · x − 2 · x . Мы можем вынести буквенную часть x за скобки и получить выражение 1 + x · (4 − 2) . Проведем вычисление значения выражения в скобках и получим сумму вида 1 + x · 2 .
Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями
Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.
Пример 22 Пример 23
Рассмотрим выражение 1 + a 5 , в котором степень a 5 мы можем заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a · a 4 . Это нам даст выражение 1 + a · a 4 .
Выполненное преобразование искусственное. Оно имеет смысл лишь при подготовке к проведению других преобразований.
Пример 24
Рассмотрим преобразование суммы 4 · x 3 + 2 · x 2 . Здесь слагаемое 4 · x 3 мы можем представить как произведение 2 · x 2 · 2 · x . В результате исходное выражение принимает вид 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2 . Теперь мы можем выделить общий множитель 2 · x 2 и вынести его за скобки: 2 · x 2 · (2 · x + 1) .
Прибавление и вычитание одного и того же числа
Прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения являетс искусственным приемом преобразования выражений.
Пример 25
Рассмотрим выражение x 2 + 2 · x . Мы можем прибавить или отнять от него единицу, что позволит нам в последующем провести еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена: x 2 + 2 · x = x 2 + 2 · x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Получив представление о тождествах , логично перейти к знакомству с . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения являются тождественно равными, а какие – нет.
Навигация по странице.
Что такое тождественно равные выражения?
Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю. Н. Макарычев приведена такая формулировка:
Определение.
– это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, которым отвечают одинаковые значения, также называют тождественно равными.
Это определение используется вплоть до 8 класса, оно справедливо для целых выражений , так как они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. А в 8 классе определение тождественно равных выражений уточняется. Поясним, с чем это связано.
В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целых выражений, при некоторых значениях переменных могут не иметь смысла. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также области допустимых значений ОДЗ переменной, и как следствие - внести уточнение в определение тождественно равных выражений.
Определение.
Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, называются тождественно равными выражениями . Два числовых выражения, имеющие одинаковые значения, также называются тождественно равными.
В данном определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «при всех допустимых значениях входящих в них переменных». Она подразумевает все такие значения переменных, при которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эту мысль разъясним в следующем пункте, рассмотрев примеры.
Определение тождественно равных выражений в учебнике Мордковича А. Г. дается немного иначе:
Определение.
Тождественно равные выражения – это выражения, стоящие в левой и правой частях тождества.
По смыслу это и предыдущее определения совпадают.
Примеры тождественно равных выражений
Введенные в предыдущем пункте определения позволяют привести примеры тождественно равных выражений .
Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 являются тождественно равными, так как им соответствуют равные значения 3 и 3 . Также тождественно равны выражения 5 и 30:6 , как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (значения последних выражений равны в силу ). А вот числовые выражения 3+2 и 3−2 не являются тождественно равными, так как им соответствуют значения 5 и 1 соответственно, а они не равны.
Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Таковыми являются выражения a+b и b+a . Действительно, при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одинаковые значения (что следует из чисел). К примеру, при a=1 и b=2 имеем a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3 . При любых других значениях переменных a и b мы также получим равные значения этих выражений. Выражения 0·x·y·z и 0 тоже тождественно равны при любых значениях переменных x , y и z . А вот выражения 2·x и 3·x не являются тождественно равными, так как, к примеру, при x=1 их значения не равны. Действительно, при x=1 выражение 2·x равно 2·1=2 , а выражение 3·x равно 3·1=3 .
Когда области допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях a+1 и 1+a , или a·b·0 и 0 , или и , и значения этих выражений равны при всех значениях переменных из этих областей, то тут все понятно – эти выражения тождественно равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Так a+1≡1+a при любых a , выражения a·b·0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных a и b , а выражения и тождественно равны при всех x из ; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
