Решить уравнение с 2 переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Примеры решения систем уравнений других видов
По сути своей этот знак препинания очень близок обычной точке. Он тоже часто указывает на завершенность, но не целого предложения, а только его отдельной части. Точка с запятой, как правило, ставятся в сложносочиненных предложениях, части которых не только распространены, но и осложнены такими элементами, как вводные слова, причастные или деепричастные обороты.
Случаи, когда целесообразно ставить точку с запятой:
1. Данный знак препинания используется в сложносочиненных предложениях , если для связи их частей не употреблялись союзы, тем более, если эти части внутри себя уже имеют много знаков препинания (обычно запятых). Например:
— Цветы на подоконнике начали цвести, издавая нежный аромат, одурманивая и радуя глаз; они выделялись яркими пятнами.
— По дороге все чаще и чаще стали попадаться елочки, казалось, что они давят на другую растительность, поглощая ее; травы становилось все меньше, а потом она и вовсе пропала.
2. Знак препинания «;» ставится между независимыми друг от друга предикативными частями в том случае, если они объединены в одно сложное предложение, и связанны между собой:
а). Союзами «но», «однако», «все же», «тем не менее» и подобными им, особенно если эти части сильно распространены и уже имеют внутри себя запятые, например:
— Казалось, им незачем больше быть вместе, их встречи заканчивались ссорами и скандалами; однако они продолжали встречаться, сами не зная для чего.
Примечание. Данный знак препинания ставится перед союзом «а» только в том случае, если соединяемые им части предложения достаточно распространены, осложнены, и внутри них уже используются другие знаки препинания (обычно запятые):
Мне показалось, что он дрожит от страха, и как будто даже всхлипывает, коротко втягивая воздух; а, надо тут заметить, чтобы вы знали, мой брат совсем не из трусливых.
В таких случаях, предикативные части, присоединяемые союзами «и», «да» по своей сути являются присоединительными.
б). Союзами «и», «да» (= «и»), но только в том случае, если бы без этих союзов части сложного предложения были бы полноценными отдельными предложениями, например:
— Он писал что-то в тетради, изредка вскидывая голову и задумываясь, в то же время прислушивался к звукам улицы; и параллельно рассеянно отвечал на вопросы матери.
3. Точка с запятой ставится между однородными членами предложения , если они сильно распространены, осложнены и особенно, уже имеют внутри себя запятые. Например:
— По сторонам дороги в Санкт-Петербург мелькали: одинокие, серые домики, освещенные изнутри тусклым светом; собачьи будки, такие же хмурые и одинокие; скрюченные деревья с вороньими гнездами на них.
— Я была довольна всем: и новым, шикарным домом со множеством комнат; и большой конюшней рядом ним, услаждавшей мой слух лошадиным ржанием; и огромным садом в английском стиле, со множеством зеленых лабиринтов и тихих беседок.
4. Точка с запятой ставится между придаточными частями сложноподчиненного предложения , если все они относятся к одной главной части, не связаны сочинительными союзами. Особенно, если эти части в свою очередь внутри себя имеют тоже придаточные предложения. Например:
— О чем же мечтала моя дочь? О том, что она станет принцессой; что всегда будет солнечно и ярко; что все вокруг будут любить ее и восхищаться ею.
5. Точка с запятой ставится между группами частей предложения в сложносочиненном предложении , или между группами придаточных частей сложноподчиненного предложения, относящихся к одной главной части. Делается это с целью показать границы между соединенными по смыслу группами частей предложения и отдельными частями предложения. Например:
— В саду было множество ворон, гнезда их покрывали макушки деревьев, они кружились около них и каркали; иногда особенно к вечеру, они вспархивали, целыми сотнями, шумя и поднимая других; иногда одна какая-нибудь перелетит наскоро с дерева на дерево и все затихнет… (Герцен)
6. И, наконец, точка с запятой ставится в конце рубрик перечисления , если эти рубрики не являются самостоятельными и относятся к одному предложению. Особенно, если они уже распространены или осложнены. Например:
— Такой способ работы заставил его исполнять следующие правила:
1) вставать не позже шести часов утра;
2) каждый день писать не менее шести строк;
3) Не пытаться работать позже шести часов вечера.
§ 1 Отбор корней уравнения при реальных ситуациях
Рассмотрим такую реальную ситуацию:
Мастер и ученик вместе изготовили на заказ 400 деталей. Причём мастер работал 3 дня, а ученик 2 дня. Сколько деталей изготовил каждый?
Составим алгебраическую модель данной ситуации. Пусть мастер изготавливает за 1 деньхдеталей. А ученик у деталей. Тогда мастер за 3 дня изготовит 3х деталей, а ученик изготовит за 2 дня 2у деталей. Вместе они изготовят 3х + 2удеталей. Так как по условию всего изготовлено 400 деталей, то получим уравнение:
Полученное уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными. Здесь нам надо найти пару чисел х и у, при которых уравнение примет вид верного числового равенства. Заметим, что если х= 90, у = 65, то получим равенство:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Так как получено верное числовое равенство, то пара чисел 90 и 65 будет являться решением этого уравнения. Но найденное решение не единственно. Если х = 96 и у = 56, то получаем равенство:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Это тоже верное числовое равенство, а, значит, пара чисел 96 и 56 так же является решением этого уравнения. А вот пара чисел х= 73и у= 23 не будет являться решением этого уравнения. В самом деле, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 даст нам неверное числовое равенство 265 = 400.Необходимо отметить, что если рассматривать уравнение применительно к данной реальной ситуации, то будут существовать пары чисел, которые, являясь решением данного уравнения, не будут являться решением задачи. Например, пара чисел:
х = 200 и y = -100
является решением уравнения, но ученик не может сделать -100 деталей, а поэтому такая пара чисел ответом на вопрос задачи быть не может. Таким образом, в каждой конкретной реальной ситуации необходимо разумно подходить к отбору корней уравнения.
Подведём первые итоги:
Уравнение вида ах + bу + с = 0, где а, b, с - любые числа, называют линейным уравнением с двумя переменными.
Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару чисел соответствующих х и у, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.
§ 2 График линейного уравнения
Сама запись пары (х;у) наталкивает нас на мысль о возможности изображения её в виде точки с координатами хи у на плоскости. А значит, мы можем получить геометрическую модель конкретной ситуации. Например, рассмотрим уравнение:
2х + у - 4 = 0
Подберём несколько пар чисел, которые будут являться решениями этого уравнения и построим точки с найденными координатами. Пусть это будут точки:
А(0; 4), В(2; 0), С(1; 2), D(-2; 8), Е(- 1; 6).
Заметим, что все точки лежат на одной прямой. Такую прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными. Она является графической (или геометрической) моделью данного уравнения.
Если пара чисел (х;у) является решением уравнения
ах + ву + с = 0, то точка М(х;у) принадлежит графику уравнения. Можно сказать и наоборот: если точка М(х;у) принадлежат графику уравнения ах + ву + с = 0, то пара чисел (х;у) является решением этого уравнения.
Из курса геометрии мы знаем:
Для построения прямой необходимо 2 точки, поэтому для построения графика линейного уравнения с двумя переменными достаточно знать всего 2 пары решений. Но угадывание корней процедура далеко не всегда удобная, не рациональная. Можно действовать и по другому правилу. Поскольку абсцисса точки (переменная х) это независимая переменная, то можно придать ей любое удобное значение. Подставив это число в уравнение, мы найдём значение переменной у.
Например, пусть дано уравнение:
Пусть х = 0, тогда получим 0 - у + 1 = 0 или у = 1. Значит, если х = 0, то у = 1. Пара чисел (0;1) - решение этого уравнения. Зададим для переменной х ещё одно значение х = 2. Тогда получим 2 - у + 1 = 0 или у = 3. Пара чисел (2;3) также является решением этого уравнения. По двум найденным точкам уже можно построить график уравнения х - у + 1 =0.
Можно поступить и так: сначала придать некоторое конкретное значение переменной у, а уж потом вычислить значение х.
§ 3 Система уравнений
Найдите два натуральных числа, сумма которых 11, а разность 1.
Для решения этой задачи сначала составим математическую модель (а именно алгебраическую). Пусть первое число х, а второе - у. Тогда сумма чисел х + у = 11 и разность чисел х - у = 1. Так как в обоих уравнениях речь идёт об одних и тех же числах, то данные условия должны выполниться одновременно. Обычно в таких случаях используют специальную запись. Уравнения записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой.
Такую запись называют системой уравнений.
Теперь построим множества решений каждого уравнения, т.е. графики каждого из уравнений. Возьмём первое уравнение:
Если х =4, то у = 7. Если х = 9, то у = 2.
Через точки (4;7) и (9;2) проведём прямую.
Возьмём второе уравнение х - у = 1. Если х = 5, то у = 4. Если х = 7, то у = 6. Через точки (5;4) и (7;6) так же проведём прямую. Получили геометрическую модель задачи. Интересующая нас пара чисел (х;у) должна являться решением обоих уравнений. На рисунке мы видим единственную точку, которая лежит на обеих прямых, это - точка пересечения прямых.
Её координаты (6;5). Поэтому решением задачи будет: первое искомое число 6, второе 5.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
Равенство f(х; у) = 0 представляет уравнение с двумя переменными. Решением такого уравнения является пара значений переменных, которая обращает уравнение с двумя переменными в верное равенство.
Если перед нами уравнение с двумя переменными, то в его записи в силу традиции на первое место мы должны поставить х, на второе – у.
Рассмотрим уравнение х – 3у = 10. Пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями рассматриваемого уравнения, в то время как пара (1; 5) решением не является.
Чтобы найти другие пары решений данного уравнения, необходимо одну переменную выразить посредством другой – например, х через у. В результате мы получим уравнение
х = 10 + 3у. Вычислим значения х, выбрав произвольные значения у.
Если у = 7, то х = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Если у = -2, то х = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Т.о., пары (31; 7), (4; -2) также являются решениями заданного уравнения.
Если уравнения с двумя переменными имеют одинаковые корни, то такие уравнения называются равносильными.
Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных преобразованиях уравнений.
Рассмотрим график уравнения с двумя переменными.
Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Все его решения можно изобразить точками на координатной плоскости, получив некоторое множество точек плоскости. Это множество точек плоскости и называется графиком уравнения f(х; у) = 0.
Так, графиком уравнения у – х 2 = 0 является парабола у = х 2 ; графиком уравнения у – х = 0 является прямая; графиком уравнения у – 3 = 0 является прямая, параллельная оси х, и др.
Уравнение вида ax + by = c, где x и y – переменные, а a, b и c – числа, называется линейным; числа a, b называются коэффициентами при переменных, с – свободным членом.
Графиком линейного уравнения ax + by = c является:
Построим график уравнения 2х – 3у = -6.
1. Т.к. ни один из коэффициентов при переменных не равен нулю, то графиком данного уравнения будет прямая.
2. Чтобы построить прямую, нам необходимо знать минимум две ее точки. Подставим в уравнения значения х и получим значения у и наоборот:
если х = 0, то у = 2; (0 ∙ х – 3у = -6);
если у = 0, то х = -3; (2х – 3 ∙ 0 = -6).
Итак, мы получили две точки графика: (0; 2) и (-3; 0).
3.Проведем прямую через полученные точки и получим график уравнения
2х – 3у = -6.
Если линейное уравнение ax + by = c имеет вид 0 ∙ х + 0 ∙ y = c, то мы должны рассмотреть два случая:
1. с = 0. В таком случае уравнению удовлетворяет любая пара (х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;
2. с ≠ 0. В таком случае уравнение не имеет решения, значит, его график не содержит ни одной точки.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
