Транспонирование матрицы 3 на 3. Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними. Элементы линейной алгебры

Определение 3.16. Матрица А t , полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной матрице А .

Если A – матрица размерности m  n , то А t – матрица размерности n  m .

При транспонировании верны следующие равенства:

(А + В ) t = А t + В t ;

(kA ) t = k А t ;

(A B ) t = В t А t .

4. Определители квадратных матриц

4.1. Определители матриц второго и третьего порядка

Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Обозначение: , |A |, det A , .

Определение 4.1. Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) называется число а 11 .

Пример 4.1. Например: если дана матрица первого порядка А = (3), то определитель этой матрицы |A | = 3.

Определение 4.2. Определителем матрицы второго порядка А =
называется число, которой находится по формуле: |A | =
= а 11 а 22 – а 12 а 21 .

Пример 4.2. Если дана матрица второго порядка А =
A | = = 14 – 23 = 4 – 6 = –2.

Определение 4.3. Определителем матрицы третьего порядка А =
называется число, которой находится по формуле: |A | = а 11 а 22 а 33 + а 12 а 31 а 23 + а 21 а 13 а 32 – а 13 а 22 а 31 – а 11 а 32 а 23 – а 33 а 21 а 12 .

Это число состоит из шести слагаемых, в каждое слагаемое в качестве множителей входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Для запоминания формулы можно воспользоваться наглядным правилом знаков для выписывания произведений, входящих в разложение определителя третьего порядка. Схема на рис. 4.1 называется правилом треугольника или правилом Саррюса 10 .

Правило составления выражения для определителя третьего порядка строится следующим образом. Из членов, входящих со знаком «+», один будет произведением элементов главной диагонали, каждый из двух других – произведением элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла матрицы (рис. 4.1). Члены, входящие со знаком «–», строятся таким же, образом относительно другой диагонали.

Существует еще вторая схема правила Саррюса: к определителю приписывают справа два первых столбца и вычисляют сумму произведений элементов расположенных на главной диагонали и «прямых», параллельных ей, со знаком минус вычисляют сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей.

= а 11 а 22 а 33 + а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32 – а 13 а 22 а 31 – а 11 а 23 а 32 – а 12 а 21 а 33 .

Пример 4.3. Если дана матрица третьего порядка А =
, то определитель этой матрицы |A | =
= 130 + 102 + (–5)(–2)(–2) – (–5)31 – 12(–2) – – 00(–2) = –20 + 15 + 4 = –1.

4.2. Определитель матрицы n-го порядка

Для того чтобы дать определение определителя произвольного порядка, введем некоторые понятия. Пусть а ij – элемент определителя порядка n , где i , j = 1, 2, …, n .

Определение 4.4. Минором элемента аi j называется определитель M ij , полученный из данного определителя вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Из определения следует, что минор элемента – это определитель (n – 1) порядка.

Определение 4.5. Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор, взятый со знаком (–1) i + j , т. е. А ij = (–1) i + j M ij .

Для определения понятия определителя n -го порядка воспользуемся индукцией по n , где n – порядок матрицы A .

Определение 4.6.

1. При n = 1 матрица А состоит из одного числа: |A | = а 11 .

2. Пусть для матрицы порядка (n – 1) определитель известен.

3. Определителем матрицы А произвольного порядка n называется число, находящееся по формуле: |A | =
, где суммирование распространяется на все элементы матрицы А .

Эта формула сводит вычисление определителей порядка n к вычислению определителей порядка (n – 1).

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

1. Действия над матрицами .

Матрицей называется прямоугольная таблица элементов, например

Размерность матрицы обозначают , где - число строк, а - число столбцов матрицы. Например, размерность матрицы А - , матрицы В - ,

матрицы - . В общем случае элемент матрицы обозначают , где - номер строки, а - номер столбца матрицы, на пересечении которых находится этот элемент. Например, для матрицы А , для матрицы В .

Определим действия над матрицами.

Умножение матрицы на число и сложение покажем на примерах.

Умножение матрицы на число.

Пример.

или

Сложение (вычитание) матриц.

Пример.

3.Умножение матриц .

Если матрица А имеет размерность , а матрица В имеет размерность , то их можно умножать. В результате получается матрица , размерность которой будет . Например, размерности , В размерности , то будет размерности .

Пример.

Первую строку А умножаем на первый столбец В: .

Первую строку А умножаем на второй столбец В: .

Вторую строку А умножаем на первый столбец В: .

Вторую строку А умножаем на второй столбец В: .

Пример.

Пример.

Транспонирование матриц.

Чтобы транспонировать матрицу, надо строки матрицы записать в столбцы.

Если , то транспонированная матрица

Если , то

Задание 1. Найти

1. Определители квадратных матриц.

Для квадратных матриц вводится число, которое называется определителем.

Для матриц второго порядка (размерность ) определитель задается формулой:

Например, для матрицы ее определитель

Пример. Вычислить определители матриц.

Для квадратных матриц третьего порядка (размерность ) существует правило «треугольника»: на рисунке пунктирная линия означает – умножить числа, через которые проходит пунктирная линия. Первые три числа надо сложить, следующие три числа надо вычитать.

Пример . Вычислить определитель.

Чтобы дать общее определение определителя, надо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием - той строки и - того столбца.

Пример. Найдем некоторые миноры матрицы А.

Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Значит, если сумма индексов и четная, то и ничем не отличаются. Если же сумма индексов и нечетная, то и отличаются только знаком.

Для предыдущего примера .

Определителем матрицы называется сумма произведений элементов некоторой строки

(столбца) на их алгебраические дополнения. Рассмотрим это определение на матрице третьего порядка.

Первая запись называется разложением определителя по первой строке, вторая - разложение по второму столбцу, последняя – разложение по третьей строке. Всего таких разложений можно записать шесть раз.

Пример . Вычислить определитель по правилу «треугольника» и разложив его по первой строке, затем по третьему столбцу, затем по второй строке.

Разложим определитель по первой строке:

Разложим определитель по третьему столбцу:

Разложим определитель по второй строке:

Заметим, что чем больше нулей, тем проще вычисления. Например, раскладывая по первому столбцу, получим

Среди свойств определителей есть свойство, позволяющее получать нули, а именно:

Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на ненулевое число, то определитель не изменится.

.

Возьмем этот же определитель и получим нули, например, в первой строке.

=

Определители более высоких порядков вычисляются таким же образом.

Задание 2. Вычислить определитель четвертого порядка:

1) разложив по любой строке или любому столбцу

2) получив предварительно нули

Получим дополнительный ноль, например, во втором столбце. Для этого элементы второй строки умножим на -1 и прибавим к четвертой строке:

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Покажем решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Задание 2. Решить систему уравнений.

Надо вычислить четыре определителя. Первый называется основным и состоит из коэффициентов при неизвестных:

Заметим, что если , систему методом Крамера решить нельзя.

Три остальных определителя обозначаются , , и получаются заменой соответствующего столбца на столбец правых частей.

Находим . Для этого первый столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Находим . Для этого второй столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Находим . Для этого третий столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Решение системы находим по формулам Крамера: , ,

Таким образом решение системы , ,

Сделаем проверку, для этого найденное решение подставим во все уравнения системы.

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Если у квадратной матрицы определитель не равен нулю, существует обратная матрица , такая что . Матрица называется единичной и имеет вид

Обратная матрица находится по формуле:

Пример . Найти обратную матрицу к матрице

Сначала вычисляем определитель.

Задание 3. Решить систему матричным способом.

Надо выписать матрицу системы, найти к ней обратную и затем умножить на столбец правых частей.

Обратная матрица у нас уже найдена в предыдущем примере, значит можно находить решение:

Ответ:

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Крамера и матричный метод применяется только для квадратных систем (число уравнений равно числу неизвестных), причем определитель должен быть не равен нулю. Если число уравнений не равно числу неизвестных, или определитель системы равен нулю, применяется метод Гаусса. Метод Гаусса можно применять для решения любых систем.

Мы рассмотрим решение системы четвертого порядка. Если применять метод Крамера, придется находить пять определителей четвертого порядка. Если решиться обращать матрицу четвертого порядка, то придется находить 16 определителей третьего порядка.

Метод Гаусса состоит в приведении матрицы системы к треугольной или трапециевидной форме.

Пример. Решить систему третьего порядка методом Гаусса.

Выписываем матрицу системы, в которую включаем и правые части:

Матрица приведена к треугольной форме (столбец правых частей не считается). По матрице восстановим систему:

Из последнего уравнения находим . Подставим во второе уравнение:

Найденные и подставим в первое уравнение:

Ответ:

Задание 5. Решить систему уравнений методом Гаусса.

По полученной матрице восстанавливаем систему:

Находим решение: