Закон кеплера используют для. Иоганн Кеплер. Законы Кеплера и его гороскоп: «Иоганн Кеплер. О себе. Движения планет и законы кеплера

4 Кинематическая связь между круговым движением и гармоническим колебательным движением. Пусть точка движется по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью ω. Тогда проекция x-радиус – вектора этой точки на горизонтальную ось OX (рис.11, а) выразится так:

Но α = ωt. Поэтому:

Это значит, что проекция точки, движущейся по окружности, на ось OX совершает гармонические колебания с амплитудой x m = R и циклической частотой ω. Это используется в так называемом кулисном механизме, предназначенном для преобразования вращательного движения в колебательное. Рассмотрим устройство кулисного механизма на простейшей его модели (рис.11б). На оси электродвигателя 1 укреплён кривошип 2, а на кривошипе – палец 3. При работе двигателя палец движется по окружности радиуса R. Палец вставлен в прорезь кулисы 4, которая может двигаться по направляющим 5. Поэтому палец давит на кулису и заставляет её смещаться то

вправо, то влево. Кулиса приходит в колебательное движение. Колебания кулисы – гармонические, так как прорезь в кулисе как бы проецирует движение пальца на горизонтальную ось.

Фаза колебаний. Разность фаз

1 Понятие фазы колебаний. Так как амплитудные значения смещения (x m), скорости (υ m) и ускорения(a m) при гармонических колебаниях постоянны, то мгновенные значения этих величин, как видно из формул смещения, скорости и ускорения, определяются значением аргумента

называемого фазой колебаний.

Таким образом, фазой колебания называется физическая величина, определяющая (при данной амплитуде) мгновенные значения смещения, скорости и ускорения.

Из формулы

x = x m sin ω 0 t

видно, что при t = 0 смещение x также равно нулю. Но всегда ли будет так?

Допустим для конкретности, что мы наблюдаем движение кулисного механизма, отсчитывая время по положению стрелки секундомера. В этом случае момент t= 0 есть момент пуска секундомера. Запись «x = 0 при t= 0» означает, что секундомер был пущен в один из тех моментов, когда кулиса находилась в среднем (нулевом) положении (рис. 12, а). В этом случае

x = x m sin ω 0 t

Предположим теперь, что секундомер был включен тогда, когда кулиса уже сместилась на расстояние x’ (рис. 12, б). В этом случае смещение кулисы через промежуток времени t, отмеченный секундомером, определится формулой

x = x m sin ω 0 (t + t ")

где t " – время, необходимое на смещение кулисы на величину x’.

Преобразуем эту формулу

x = x m sin (ω 0 t + ω 0 t "),

x = x m sin (ω 0 t + φ 0),

где φ 0 = ω 0 t- начальная фаза колебаний. Мы видим, что начальная фаза зависит от выбора начала отсчёта времени. Если начало отсчёта времени ведётся с момента, когда смещение равно нулю(x = 0), то начальная фаза равна нулю. Изменение мгновенного значения

смещения в этом случае описывается формулой

x = x m sin ω 0 t

Если же за начало отсчёта времени берётся момент, когда изменяющееся смещение достигло наибольшего значения x = x m , то начальная фаза равна π/2 и изменение мгновенного значения смещения описывается формулой

x = x m sin (ω 0 t + ) = x m sin ω 0 t

2 Разность фаз двух гармонических колебаний. Возьмём два одинаковых маятника. Подтолкнув маятники в разные моменты времени t 1 и t 2 , запишем осциллограммы их колебаний (рисунок 13). Анализ осциллограмм показывает, что колебания маятников имеют одинаковую частоту, но не совпадают по фазе. Колебания первого маятника опережают колебания второго маятника на одну и ту же постоянную величину.

Уравнения колебаний маятников запишутся так:

x 1 = x m sin (ω 0 t + φ 1),

x 2 = x m sin (ω 0 t + φ 2)

Величина φ 1 -φ 2 – называется разностью фаз или сдвигом фаз.

Из осциллограммы видно, что перенос начала отсчёта времени не изменяет разности фаз. Следовательно, разность фаз гармонических колебательных движений, имеющих одинаковую частоту, не зависит от выбора начала отсчёта времени. На рисунке 14 представлены графики смещения, скорости и ускорения для одного и того же гармонически колеблющегося тела. Как видно из рисунка, колебания этих величин происходят с различными начальными фазами.

Колебательные процессы - важный элемент современной науки и техники, поэтому их изучению всегда уделялось внимание, как одной из “вечных” проблем. Задача любого знания - не простое любопытство, а использование его в повседневной жизни. А для этого существуют и ежедневно появляются новые технические системы и механизмы. Они находятся в движении, проявляют свою сущность, выполняя какую-нибудь работу, либо, будучи неподвижными, сохраняют потенциальную возможность при определенных условиях перейти в состояние движения. А что есть движение? Не углубляясь в дебри, примем простейшее толкование: изменение положения материального тела относительно любой системы координат, которую условно считают неподвижной.

Среди огромного количества возможных вариантов движения особый интерес представляет колебательное, которое отличается тем, что система повторяет изменение своих координат (или физических величин) через определенные промежутки времени - циклы. Такие колебания называются периодическими или циклическими. Среди них выделяют отдельным классом у которых характерные признаки (скорость, ускорение, положение в пространстве и т.д.) изменяются во времени по гармоническому закону, т.е. имеющему синусоидальный вид. Замечательным свойством гармонических колебаний является то, что их комбинация представляет любые другие варианты, в т.ч. и негармонические. Очень важным понятием в физике является “фаза колебаний”, которое означает фиксацию положения колеблющегося тела в некоторый момент времени. Измеряется фаза в угловых единицах - радианах, достаточно условно, просто как удобный прием для объяснения периодических процессов. Другими словами, фаза определяет значение текущего состояния колебательной системы. Иначе и быть не может - ведь фаза колебаний является аргументом функции, которая описывает эти колебания. Истинное значение фазы для движения колебательного характера может означать координаты, скорость и другие физические параметры, изменяющиеся по гармоническому закону, но общим для них является временная зависимость.

Продемонстрировать, колебаний, совсем не сложно - для этого понадобится простейшая механическая система - нить, длиной r, и подвешенная на ней “материальная точка” - грузик. Закрепим нить в центре прямоугольной системы координат и заставим наш “маятник” крутиться. Допустим, что он охотно это делает с угловой скоростью w. Тогда за время t угол поворота груза составит φ = wt. Дополнительно в этом выражении должна быть учтена начальная фаза колебаний в виде угла φ0 - положение системы перед началом движения. Итак, полный угол поворота, фаза, вычисляется из соотношения φ = wt+ φ0. Тогда выражение для гармонической функции, а это проекция координаты груза на ось Х, можно записать:

x = А * cos(wt + φ0), где А - амплитуда колебания, в нашем случае равная r - радиусу нити.

Аналогично такая же проекция на ось Y запишется следующим образом:

у = А * sin(wt + φ0).

Следует понимать, что фаза колебаний означает в данном случае не меру поворота “угол”, а угловую меру времени, которая выражает время в единицах угла. За это время груз совершает поворот на некоторый угол, который можно однозначно определить, исходя из того, что для циклического колебания w = 2 * π /Т, где Т - период колебания. Следовательно, если одному периоду соответствует поворот на 2π радиан, то часть периода, время, можно пропорционально выразить углом как долей от полного поворота 2π.

Колебания не существуют сами по себе - звуки, свет, вибрация всегда являются суперпозицией, наложением, большого количества колебаний от разных источников. Безусловно, на результат наложения двух и более колебаний оказывают влияние их параметры, в т.ч. и фаза колебаний. Формула суммарного колебания, как правило, негармонического, при этом может иметь очень сложный вид, но от этого становится только интереснее. Как сказано выше, любое негармоническое колебание можно представить в виде большого числа гармонических с разной амплитудой, частотой и фазой. В математике такая операция называется “разложение функции в ряд” и широко используется при проведении расчетов, например, прочности конструкций и сооружений. Основой таких расчетов являются исследования гармонических колебаний с учетом всех параметров, в том числе и фазы.

Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Закон открыт Ньютоном также в XVII веке (понятно, что на основе законов Кеплера). Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы.

В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом → 0, где, - массы планеты и Солнца соответственно. Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетомe и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

3.1. Движение в гравитационном поле

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна. Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной. При E = E1 rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. Установлены Иоганном Кеплером в начале XVII века как обобщение данных наблюдений Тихо Браге. Причем особенно внимательно Кеплер изучал движение Марса. Рассмотрим законы подробнее.

При с=0 и е=0 эллипс превращается в окуржность. Этот закон, равно как и первые два, применим не только к движению планет, но и к движению как их естественных, так и искуственных спутников. Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

17 в. И. Кеплером (1571-1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546-1601). Закон площадей.) 3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце.

КЕПЛЕРОВСКИЙ ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ. 1 й закон: каждая планета движется по эллиптич. Когда камень падает на Землю, он подчиняется закону всемирного тяготения. Эта сила прилагается к одному из взаимодействующих тел и направлена в сторону другого. К такому заключению, в частности, пришел И. Ньютон в своем мысленном бросании камней с высокой горы.Итак, Солнце искривляет движение планет, не давая им разлететься во все стороны.

Кеплер на основе результатов кропотливых и многолетних наблюдений Тихо Браге за планетой Марс смог определить форму его орбиты. Действие на Луну Земли и Солнца делают совершенно непригодными для расчетов ее орбиты законы Кеплера.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Таким образом можно утверждать, что, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади - константа. Солнца, а и - длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. При этом взаимодействие между телами M1 и M2 не учитывается. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами.

Глава 3. Основы небесной механики

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства. С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Круговая и эллиптическая орбиты.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу. Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6). Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей.

Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона. 3. Наконец, Кеплер отметился еще и третьим законом планетных движений. Солнца, а и - массы планет. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удаленная точка орбиты.

Планеты движутся вокруг Солнца по вытянутым эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одной из двух фокальных точек эллипса.

Отрезок прямой, соединяющий Солнце и планету, отсекает равные площади за равные промежутки времени.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Иоганн Кеплер обладал чувством прекрасного. Всю свою сознательную жизнь он пытался доказать, что Солнечная система представляет собой некое мистическое произведение искусства. Сначала он пытался связать ее устройство с пятью правильными многогранниками классической древнегреческой геометрии. (Правильный многогранник — объемная фигура, все грани которой представляют собой равные между собой правильные многоугольники.) Во времена Кеплера было известно шесть планет, которые, как полагалось, помещались на вращающихся «хрустальных сферах». Кеплер утверждал, что эти сферы расположены таким образом, что между соседними сферами точно вписываются правильные многогранники. Между двумя внешними сферами — Сатурна и Юпитера — он поместил куб, вписанный во внешнюю сферу, в который, в свою очередь, вписана внутренняя сфера; между сферами Юпитера и Марса — тетраэдр (правильный четырехгранник) и т. д. Шесть сфер планет, пять вписанных между ними правильных многогранников — казалось бы, само совершенство?

Увы, сравнив свою модель с наблюдаемыми орбитами планет, Кеплер вынужден был признать, что реальное поведение небесных тел не вписывается в очерченные им стройные рамки. По меткому замечанию современного британского биолога Дж. Холдейна (J. B. S. Haldane), «идея Вселенной как геометрически совершенного произведения искусства оказалась еще одной прекрасной гипотезой, разрушенной уродливыми фактами». Единственным пережившим века результатом того юношеского порыва Кеплера стала модель Солнечной системы, собственноручно изготовленная ученым и преподнесенная в дар его патрону герцогу Фредерику фон Вюртембургу. В этом прекрасно исполненном металлическом артефакте все орбитальные сферы планет и вписанные в них правильные многогранники представляют собой не сообщающиеся между собой полые емкости, которые по праздникам предполагалось заполнять различными напитками для угощения гостей герцога.

Лишь переехав в Прагу и став ассистентом знаменитого датского астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546-1601), Кеплер натолкнулся на идеи, по-настоящему обессмертившие его имя в анналах науки. Тихо Браге всю жизнь собирал данные астрономических наблюдений и накопил огромные объемы сведений о движении планет. После его смерти они перешли в распоряжение Кеплера. Эти записи, между прочим, имели большую коммерческую ценность по тем временам, поскольку их можно было использовать для составления уточненных астрологических гороскопов (сегодня об этом разделе ранней астрономии ученые предпочитают умалчивать).

Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер столкнулся с проблемой, которая и при наличии современных компьютеров могла бы показаться кому-то трудноразрешимой, а у Кеплера не было иного выбора, кроме как проводить все расчеты вручную. Конечно же, как и большинство астрономов его времени, Кеплер уже был знаком с гелиоцентрической системой Коперника (см. Принцип Коперника) и знал, что Земля вращается вокруг Солнца, о чем свидетельствует и вышеописанная модель Солнечной системы. Но как именно вращается Земля и другие планеты? Представим проблему следующим образом: вы находитесь на планете, которая, во-первых, вращается вокруг своей оси, а во-вторых, вращается вокруг Солнца по неизвестной вам орбите. Глядя в небо, мы видим другие планеты, которые также движутся по неизвестным нам орбитам. Наша задача — определить по данным наблюдений, сделанных на нашем вращающемся вокруг своей оси вокруг Солнца земном шаре, геометрию орбит и скорости движения других планет. Именно это, в конечном итоге, удалось сделать Кеплеру, после чего, на основе полученных результатов, он и вывел три своих закона!

Первый закон описывает геометрию траекторий планетарных орбит. Возможно, вы помните из школьного курса геометрии, что эллипс представляет собой множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек — фокусов — равна константе. Если это слишком сложно для вас, имеется другое определение: представьте себе сечение боковой поверхности конуса плоскостью под углом к его основанию, не проходящей через основание, — это тоже эллипс. Первый закон Кеплера как раз и утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно — Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса. Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.

Историческое значение первого закона Кеплера трудно переоценить. До него астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам, а если это не укладывалось в рамки наблюдений — главное круговое движение дополнялось малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты. Это было, я бы сказал, прежде всего философской позицией, своего рода непреложным фактом, не подлежащим сомнению и проверке. Философы утверждали, что небесное устройство, в отличие от земного, совершенно по своей гармонии, а поскольку совершеннейшими из геометрических фигур являются окружность и сфера, значит планеты движутся по окружности (причем это заблуждение мне и сегодня приходится раз за разом развеивать среди своих студентов). Главное, что, получив доступ к обширным данным наблюдений Тихо Браге, Иоганн Кеплер сумел перешагнуть через этот философский предрассудок, увидев, что он не соответствует фактам — подобно тому как Коперник осмелился убрать Землю из центра мироздания, столкнувшись с противоречащими стойким геоцентрическим представлениям аргументами, которые также состояли в «неправильном поведении» планет на орбитах.

Второй закон описывает изменение скорости движения планет вокруг Солнца. В формальном виде я его формулировку уже приводил, а чтобы лучше понять его физический смысл, вспомните свое детство. Наверное, вам доводилось на детской площадке раскручиваться вокруг столба, ухватившись за него руками. Фактически, планеты кружатся вокруг Солнца аналогичным образом. Чем дальше от Солнца уводит планету эллиптическая орбита, тем медленнее движение, чем ближе к Солнцу — тем быстрее движется планета. Теперь представьте пару отрезков, соединяющих два положения планеты на орбите с фокусом эллипса, в котором расположено Солнце. Вместе с сегментом эллипса, лежащим между ними, они образуют сектор, площадь которого как раз и является той самой «площадью, которую отсекает отрезок прямой». Именно о ней говорится во втором законе. Чем ближе планета к Солнцу, тем короче отрезки. Но в этом случае, чтобы за равное время сектор покрыл равную площадь, планета должна пройти большее расстояние по орбите, а значит скорость ее движения возрастает.

В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой. В нем говорится, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете. Сегодня мы знаем, что это обусловлено двумя факторами. Во-первых, чем дальше планета находится от Солнца, тем длиннее периметр ее орбиты. Во-вторых, с ростом расстояния от Солнца снижается и линейная скорость движения планеты.

В своих законах Кеплер просто констатировал факты, изучив и обобщив результаты наблюдений. Если бы вы спросили его, чем обусловлена эллиптичность орбит или равенство площадей секторов, он бы вам не ответил. Это просто следовало из проведенного им анализа. Если бы вы спросили его об орбитальном движении планет в других звездных системах, он также не нашел бы, что вам ответить. Ему бы пришлось начинать всё сначала — накапливать данные наблюдений, затем анализировать их и стараться выявить закономерности. То есть у него просто не было бы оснований полагать, что другая планетная система подчиняется тем же законам, что и Солнечная система.

Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона , закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок. А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной. Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.

Третий закон Кеплера играл и играет важную роль в современной космологии. Наблюдая за далекими галактиками, астрофизики регистрируют слабые сигналы, испускаемые атомами водорода, обращающимися по очень удаленным от галактического центра орбитам — гораздо дальше, чем обычно находятся звезды. По эффекту Доплера в спектре этого излучения ученые определяют скорости вращения водородной периферии галактического диска, а по ним — и угловые скорости галактик в целом (см. также Темная материя). Меня радует, что труды ученого, твердо поставившего нас на путь правильного понимания устройства нашей Солнечной системы, и сегодня, спустя века после его смерти, играют столь важную роль в изучении строения необъятной Вселенной.

Между сферами Марса и Земли — додекаэдр (двенадцатигранник); между сферами Земли и Венеры — икосаэдр (двадцатигранник); между сферами Венеры и Меркурия — октаэдр (восьмигранник). Получившаяся конструкция была представлена Кеплером в разрезе на подробном объемном чертеже (см. рисунок) в его первой монографии «Космографическая тайна» (Mysteria Cosmographica, 1596). — Примечание переводчика.