Какая фигура называется многогранным углом. Многогранный угол. Симметричные многогранные углы

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла.

На рисунке 142 изображен двугранный угол с ребром а и гранями а и (3.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Если через точку А ребра а двугранного угла провести плоскость у, перпендикулярную этому ребру, то она пересечет плоскости а и (3 по полупрямым (рис. 142); линейный угол данного двугранного угла. Градусная мера этого линейного угла является градусной мерой двугранного угла. Мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Трехгранным углом называется фигура, составленная из трех плоских углов (рис. 143). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла как фигуры, составленной из плоских углов (рис. 144). Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла.

Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 145).

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности (рис. 145, а, б). Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

20. Разноуровневое изучение многогранных углов, свойств плоских углов трехгранного угла и многогранного угла.

Базовый уровень:

Атанасян

Рассматривает только Двугранный угол.

Погорелов

Сначала рассматривает двугранный угол и затем сразу трехгранный и многогранный.

Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично вводится понятие многогранного угла(рис.401).

рис 400 и рис.401

Профильный уровень (А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжих):

Оставляя определение и изучение произвольных многогранных углов до § 31, мы рассмотрим сейчас простейшие из них - трех­гранные углы. Если в стереометрии аналогами плоских углов мож­но считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рас­сматривать как аналоги плоских треугольников , а в следующих параграфах увидим, как они естественно связаны со сферически­ми треугольниками.

Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгран­ный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b,c, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 150). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла α со сто­ронамиb, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а,b. Объединение этих трех углов α, β, γ и называется трехгранным углом Оabc(или, короче, трехгранным углом О). Лучи а,b, с называются ребрами трехгранного угла Оаbс, а плоские углы α, β, γ - его гранями. Точка О называется вершиной трехгран­ного угла.

3 а м е ч а н и е. Можно было бы определить трехгранный угол и с невыпуклой гранью (рис. 151), но мы такие трехгранные углы рассматривать не будем.

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соот­ветствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содер­жат прилежащие к этому ребру грани трехгранного угла.

Величины двугранных углов трехгранного угла Оаbс при реб­рах а,b, с будем соответственно обозначать через а^,b^, с^(крышечки непосредственно над буквами).

Три грани α, β, γ трехгранного угла Оаbс и три его двугранных угла при ребрах а,b, с, а также велbчины α, β, γ и а^,b^, с^ будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элемен­ты плоского треугольника - это его стороны и его углы.)

Наша задача - Выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трех­гранных углов.

1) Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. Сначала рассмотрим такой трехгранный угол Оаbс, у которого хотя бы две грани, например α и β являются острыми углами. Возьмем на его ребре с точку С и проведем из нее в гранях α и β перпендикуля­ры СВ и СА к ребру с до пересечения с ребрами а иbв точках А и В (рис. 152). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов.

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 -2АС*ВС*Cos(c^) и АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2АО*ВО*Cosγ.

Вычитая из второго равенства первое, получим:

ОА 2 -АС 2 +ОВ 2 -ВС 2 +2АС*ВС*Cos(c^)-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то АС 2 -АС 2 =ОС 2 и ОВ 2 -ВС 2 =ОС 2 (2)

Поэтому из (1) и (2) следует, что ОА*ОВ*Cosγ=ОС 2 +АС*ВС*Cos(c^)

т.е.

Но
,
,
,
. Поэтому

(3) – аналог теоремы косинусов для трехгранных углов-формула косинусов .

Обе грани α и β – тупые углы.

Один из углов α и β, например α, острый, а другой – β- тупой.

Хоты бы 1 из углов α или β прямой.

Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть отличие: например, два трех­гранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соот­ветственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов ана­логичное условие приводит не к подобию, а к равенству.

Трехгранные углы обладают замечательным свойством , кото­рое называется двойственностью. Если в какой-либо теореме о трехгранном угле Оаbс заменить величины а,b, с на π-α, π-β, π-γи, наоборот, заменить α, β, γ на π-a^, π-b^, π-c^, то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойст­венное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Почему имеет место такая двойственность, станет ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол, ребра которого перпендикулярны граням исходного угла (см. п. 33.3 и рис. 356).

Одними из простейших поверхностей являются многогранные углы . Они составляются из обычных углов (такие углы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно дается следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:

1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.

2) У каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только с одним другим таким углом.

3) От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.

4) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости (рис. 324).

При этом условии плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его ребра.

Под данное определение подходит и двугранный угол. Он состав­лен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключают из числа многогранных углов.

П

онятие о многогранном угле важно, в частности, при изуче­нии многогранников - в теории многогранников. Строение много­гранника характеризуется тем, из каких граней он составлен и как они сходятся в вершинах, т. е. какие там оказываются много­гранные углы.

Рассмотрите многогранные углы у разных многогранников.

Обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и невыпуклыми углами.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В планиметрии одним из объектов изучения является угол.

Угол - это геометрическая фигура, состоящая из точки - вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.

Два угла одна сторона, которых общая и две другие являются продолжением одна другой, в планиметрии называются смежными.

Циркуль можно рассматривать как модель плоского угла.

Вспомним понятие двухгранного угла.

Это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости - это грани двугранного угла. Прямая а - это ребро двугранного угла.

Крыша дома наглядно демонстрирует двухгранный угол.

Но крыша дома на рисунке два выполнена в виде фигуры образованной из шести плоских углов с общей вершиной так, что углы берутся в определенном порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону. Как называется такая форма крыши?

В геометрии фигура, составленная из углов

А углы из которых составлен этот угол называются плоскими углами. Стороны плоских углов называются ребрами многогранного угла. Точка О называется вершиной угла.

Примеры многогранных углов можно найти в тетраэдре и параллелепипеде.

Грани тетраэдра DBA, ABC, DBC образуют многогранный угол ВADC. Чаще он называется трёхгранным углом.

В параллелепипеде грани АА1D1D, ABCD, AA1B1B образую трехгранный угол AA1DB.

Ну а крыша дома выполнена в форме шестигранного угла. Она состоит из шести плоских углов.

Для многогранного угла справедлив ряд свойств. Сформулируем их и докажем. Здесь говорится, что утверждение

Во-первых, для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.

Рассмотри для доказательства многогранный угол ОА1А2 А3…Аn.

По условию он выпуклый. Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

Так как по условию этот угол выпуклый, то точки О, А1, А2 ,А3, Аn лежат по одну сторону от плоскости ОА1А2

Проведем среднюю линию KM треугольника ОА1А2 и выберем из ребер ОА3, ОА4, ОАn то ребро которое образует с плоскостью ОКМ, наименьший двугранный угол. Пусть это будет ребро ОАi.(оа итое)

Рассмотрим полуплоскость α с границей КМ, делящую двугранный угол ОКМАi на два двухгранных угла. Все вершины от А до Аn лежат по одну сторону от плоскости α, а точка О по другую сторону. Следовательно, плоскость α пересекает все ребра многогранного угла. Утверждение доказано.

Выпуклые многогранные углы обладают ещё одним важным свойством.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной в точке О. В силу доказанного утверждения существует плоскость, которая пересекает все его ребра.

Проведем такую плоскость α, пусть она пересекает рёбра угла в точках А1, А2, А3 и так далее Аn.

Плоскость α от внешней области плоского угла будет отсекать треугольник. Сумма углов которого 180°. Получим, что сумма всех плоских углов от А1ОА2 до АnОА1 равна выражению преобразуем, данное выражение перегруппируем слагаемые, получим

В данном выражении суммы указанные в скобках, являются суммами плоских углов трехгранного угла, а как известно они больше третьего плоского угла.

Данное неравенство можно записать для всех трёхгранных углов образующих данный многогранный угол.

Следовательно, получим следующее продолжение равенства

Полученный ответ доказывает, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Определения. Возьмём несколько углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, которые, примыкая последовательно один к другому, расположены в одной плоскости вокруг общей вершины S.

Повернём плоскость угла ASВ вокруг общей стороны SB так, чтобы эта плоскость составила некоторый двугранный угол с плоскостью BSC. Затем, не изменяя получившегося двугранного угла, повернём его вокруг прямой SC так, чтобы плоскость BSC составила некоторый двугранный угол с плоскостью CSD. Продолжим такое последовательное вращение вокруг каждой общей стороны. Если при этом последняя сторона SF совместится с первой стороной SA, то образуется фигура (черт. 38), которая называется многогранным углом . Углы ASB, BSC,... называются плоскими углами или гранями , стороны их SA, SB, ... называются рeбрами , а общая вершина S- вершиной многогранного угла.

Каждое ребро является вместе с тем ребром некоторого двугранного угла; поэтому в многогранном угле столько двугранных углов и столько плоских, сколько в нём всех рёбер. Наименьшее число граней в многогранном угле - три; такой угол называется трёхгранным . Могут быть углы четырёхгранные, пятигранные и т. д.

Многогранный угол обозначается или одной буквой S, поставленной у вершины, или же рядом букв SABCDE, из которых первая обозначает вершину, а прочие - рёбра по порядку их расположения.

Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной. Таков, например, угол, изображённый на чертеже 38. Наоборот, угол на чертеже 39 нельзя назвать выпуклым, так как он расположен по обе стороны от грани ASB или от грани BSС.

Если все грани многогранного угла пересечём плоскостью, то в сечении образуется многоугольник (abcde ). В выпуклом многогранном угле этот многоугольник тоже выпуклый.

Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Теорема. В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Пусть в трёхгранном угле SABC (черт. 40) наибольший из плоских углов есть угол ASC.

Отложим на этом угле угол ASD, равный углу ASB, и проведём какую-нибудь прямую АС, пересекающую SD в некоторой точке D. Отложим SB = SD. Соединив В с А и С, получим \(\Delta\)АВС, в котором

AD + DC < АВ + ВС.

Треугольники ASD и ASB равны, так как они содержат по равному углу, заключённому между равными сторонами: следовательно, AD = AB. Поэтому, если в выведенном неравенстве отбросить равные слагаемые AD и АВ, получим, что DC < ВС.

Теперь замечаем, что у треугольников SCD и SCB две стороны одного равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны; в таком случае против большей из этих сторон лежит больший угол; значит,

∠ CSD < ∠ CSВ.

Прибавив к левой части этого неравенства угол ASD, а к правой равный ему угол ASB, получим то неравенство, которое требовалось доказать:

∠ ASC < ∠ CSB + ∠ ASB.

Мы доказали, что даже наибольший плоский угол меньше суммы двух других углов. Значит, теорема доказана.

Следствие. Отнимем от обеих частей последнего неравенства по углу ASB или по углу CSB; получим:

∠ ASC - ∠ ASB < ∠ CSB;

∠ ASC - ∠CSB < ∠ ASB.

Рассматривая эти неравенства справа налево и приняв во внимание, что угол ASC как наибольший из трёх углов больше разности двух других углов, мы приходим к заключению, что в трёхгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других углов .

Теорема. В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 4d (360°) .

Пересечём грани (черт. 41) выпуклого угла SABCDE какой-нибудь плоскостью; от этого в сечении получим выпуклый n -угольник ABCDE.

Применяя теорему, доказанную ранее, к каждому из трёхгранных углов, вершины которых находятся в точках А, В, С, D и Е, пахолим:

∠ABC < ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Сложим почленно все эти неравенства. Тогда в левой части получим сумму всех углов многоугольника ABCDE, которая равна 2dn - 4d , а в правой - сумму углов треугольников ABS, SBC и т. д., кроме тех углов, которые лежат при вершине S. Обозначив сумму этих последних углов буквой х , мы получим после сложения:

2dn - 4d < 2dn - х .

Так как в разностях 2dn - 4d и 2dn - х уменьшаемые одинаковы, то, чтобы первая разность была меньше второй, необходимо, чтобы вычитаемое 4d было больше вычитаемого х ; значит, 4d > х , т. е. х < 4d .

Простейшие случаи равенства трёхгранных углов

Теоремы. Трёхгранные углы равны, если они имеют:

1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами , или

2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами .

1) Пусть S и S 1 - два трехгранных угла (черт. 42), у которых ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (и эти равные углы одинаково расположены) и двугранный угол AS равен двугранному углу A 1 S 1 .

Вложим угол S 1 в угол S так, чтобы у них совпали точки S 1 и S, прямые S 1 A 1 и SA и плоскости A 1 S 1 B 1 и ASB. Тогда ребро S 1 B 1 пойдет по SB (в силу равенства углов A 1 S 1 B 1 и ASB), плоскость A 1 S 1 C 1 пойдёт по ASC (по равенству двугранных углов) и ребро S 1 C 1 пойдёт по ребру SC (в силу равенства углов A 1 S 1 C 1 и ASC). Таким образом, трёхгранные углы совместятся всеми своими рёбрами, т.е. они будут равны.

2) Второй признак, подобно первому, доказывается вложением.

Симметричные многогранные углы

Как известно, вертикальные углы равны, если речь идёт об углах, образованных прямыми или плоскостями. Посмотрим, справедливо ли это утверждение применительно к углам многогранным.

Продолжим (черт. 43) все рёбра угла SABCDE за вершину S, тогда образуется другой многогранный угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , который можно назвать вертикальным по отношению к первому углу. Нетрудно видеть, что у обоих углов равны соответственно и плоские углы, и двугранные, но те и другие расположены в обратном порядке. Действительно, если мы вообразим наблюдателя, который смотрит извне многогранного угла на его вершину, то рёбра SА, SВ, SС, SD, SЕ будут казаться ему расположенными в направлении против движения часовой стрелки, тогда как, смотря на угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , он видит рёбра SА 1 , SВ 1 , ..., расположенными по движению часовой стрелки.

Многогранные углы с соответственно равными плоскими и двугранными углами, но расположенными в обратном порядке вообще не могут совместиться при вложении; значит, они не равны. Такие углы называются симметричными (относительно вершины S). Подробнее о симметрии фигур в пространстве будет сказано ниже.

Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны -- ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).

Многогранник

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник -- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины -- вершинами многогранника.

Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Простейшим многогранникам -- призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,-- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.