Главная » Частный дом » Один из смежных углов в четыре раза меньше…. II. Проверка домашнего задания

Один из смежных углов в четыре раза меньше…. II. Проверка домашнего задания

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН - перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.

Цель: добиться понимания учащимися содержания следствий из теоремы о сумме смежных углов и содержания понятий «следствие», «ссылка»; используя знания теоремы о смежных углах и ее последствия, выработать умение решать задачи на вычисление и доказательство, в которых говорится об смежные углы.

Тип урока: применение знаний, умений и навыков.

Наглядность и оборудование: таблица «Смежные углы».

ХОД УРОКА

И. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

1. Начертите от руки два неравные смежные углы, чтобы их общая сторона была размещена горизонтально.

2. Начертите два смежные углы так, чтобы их стороны, которые доповняльними півпрямими, были размещены вертикально.

3. Начертите два несмежные углы, чтобы они имели одну общую сторону и оба были тупыми.

4. Начертите два несмежные углы, одна пара сторон которых является доповняльними півпрямими.

5. Постройте угол AOB, что равен 70°. Начертите два угла, каждый из которых является смежным с данным углом. Найдите градусные меры этих углов.

Правильность выполнение работы обязательно проверяем. Это можно сделать с помощью заранее заготовленных записей за доской или на пленке кодоскопа.

III. Формулировка цели и задач урока

Основная цель урока формулируется как необходимость ознакомления с соотношениями, правильными для смежных углов, основанные на теореме о сумме смежных углов.

1. Какое из чисел 30°, 130°, 89°, 90°, является градусной мерой углов:

а) тупой;

б) острого;

в) прямого?

2. Сколько градусов может составлять сумма:

а) двух прямых углов;

б) двух острых углов;

в) двух тупых углов;

г) тупого и прямого углов;

д) прямого и острого углов?

V. Усвоение новых знаний

План изучения нового материала

1°. Формулировка и доведение последствий.

2°. Представление о содержание понятий: «следствие», «ссылки».

3°. Пример задачи (следствие 4).

Методический комментарий

В зависимости от уровня подготовки учащихся, изложение новых понятий урока может осуществлять учитель или учащиеся работают с учебником самостоятельно.

Также можно организовать практическую работу в группах, что приведет к «открытию» учащимися сформулированных и доказанных в учебнике следствий из теоремы о сумме смежных углов.

VI. Первичное осознание нового материала

1. Найдите угол x (рис. 1)

1. Углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 - две пары смежных углов. Сравните углы 2 и 4, если .

2. Найдите данный угол, если сумма двух смежных с ним углов равна 240°.

3. Биссектриса угла образует с лучом, доповняльним в стороны данного угла, угол 130°. Найдите данный угол.

4 (дополнительная). Разность двух смежных углов относится к одному из них как 5: 2. Найдите эти смежные углы.

Во время решения задач 1 и 2 желательно требовать от учеников ссылку не на теорему о сумме смежных углов, а соответствующее следствие.

VII. Итоги урока

Вместо... поставьте такое слово, чтобы утверждение было верным:

1) Угол, смежный с прямым углом...

2) Угол, смежный с острым углом...

3) Угол, смежный с тупым углом...

4) Если - смежные, - смежные, то ...

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§ 4. Прямой угол. Смежные и вертикальные углы.

Прямой угол.

49. Из листа бумаги, согнув его соответствующим образом, сделать модель прямого угла.

50. Найти острые, прямые и тупые, углы на окружающих предметах.

51. Проверить при помощи чертёжного треугольника углы ученической тетради.

52. На чертеже 18 изображено несколько углов. Указать, какие из этих углов прямые. Назвать тупые углы.

53. Начертить на глаз несколько прямых углов в различных положениях и проверить их чертежным треугольником.

54. При помощи линейки построить прямой угол с вершиной, совпадающей с вершиной данного прямого угла. Сколько таких прямых углов можно построить?

55. На сторонах прямого угла расположены две точки. Одна из них - на расстоянии 30 мм от вершины, другая - на расстоянии 40 мм. Построить эти точки и измерить расстояние между ними.

56. 1) Вычислить величину каждого из двух углов, полученных при делении угла, равного 0,6 d , его биссектрисой.

2) Решить задачу 56 (1), если данный угол равен: а) 1 2 / 3 d ; б) 1 5 / 6 d .

Смежные углы.

57. Начертить два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была:
а) вертикальной; б) горизонтальной; в) наклонной.

58. Среди углов, данных на чертеже 19, указать смежные углы. Объяснить, почему углы на чертеже 19, в нельзя назвать смежными.

59. Всегда ли верно, что: а) если два угла смежные, то их сумма равна двум прямым углам; б) если сумма двух углов равна двум прямым, то углы смежные? Привести примеры.

60. 1) Построить для данного угла (острого или тупого) угол, дополняющий его до развёрнутого.

2) Сколько можно построить углов, смежных данному? Доказать, что эти углы равны.

61. Один из смежных углов тупой (острый). Каким является другой угол?

62. Один из смежных углов равен: а) 0,9 d ; б) 7 / 8 d . Найти величину другого угла.

63. Один из смежных углов больше другого на: а) 1 / 3 d ; б) d . Найти величину каждого из этих углов.

64. 1) Один из смежных углов в три раза больше другого. Найти величину каждого из этих углов.

2) Один из смежных углов составляет 20% другого. Найти величину каждого из этих углов.

65. Угол ABC равен: a) 0,8d ; б) 1 1 / 3 d . Продолжить стороны этого угла за вершину и вычислить величину каждого из образовавшихся углов.

66. Найти величину угла, образованного биссектрисами двух смежных углов.

67 . Из точки С, взятой на прямой АВ, проведены два луча СМ и CN так, что они образуют с прямой АВ равные острые углы (черт. 20), / 1 = / 2. Объяснить, почему
/ 3 = / 4.

68. 1) Из точки, взятой на прямой, по одну сторону этой прямой проведены два луча (черт. 21) так, что / 1 = 0,5 d , / 2 = 7 / 8 d . Найти величину третьего угла.

2) На прямой дана точка, из которой по одну сторону прямой проведены два луча (черт. 22) так, что / 1 = 3 / 5 d , / 2 составляет половину первого угла. Найти величину третьего угла.

69. 1) Через вершину угла, равного 8 / 9 d , вне его проведена прямая, образующая с одной из его сторон угол, равный d / 3 . Найти величину угла, образованного прямой с другой стороной данного угла.

2) Через вершину угла, равного 8 / 9 d , проведена прямая, делящая угол на два угла, один из которых равен d / 3 . Найти каждый из образовавшихся углов, меньших развёрнутого.

70. 1) Два луча, проведённые по одну сторону прямой из взятой на ней точки, образуют между собой и с прямой равные острые углы. Найти величину каждого из этих углов.

2) Решить эту же задачу для случая: а) трёх лучей, б) четырёх лучей.

Вертикальные углы.

71. Дан угол. Построить для него смежный и вертикальный углы.

72. При помощи линейки построить угол, равный данному и имеющий с ним общую вершину.

73. Один из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, равен d . Чему равны остальные углы?

74. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 0,6 d . Чему равны остальные углы?

75. Сумма двух вертикальных углов, образованных двумя прямыми, равна 8 / 9 d . Найти величину каждого из полученных четырёх углов.

76. Найти величину каждого из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, если сумма трёх из них равна 2,5 d .

77. Какой угол образуют биссектрисы двух вертикальных углов?

78. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке (черт. 23).
Доказать, что / 1 + / 2 + / 3 = 2d . Вычислить сумму / 1 + / 3, если / 2 = d / 5 .

Сумма углов, имеющих общую вершину.

79. Четыре луча, проведённые из одной точки (черт. 24), образуют следующие углы:

/ 1 = 7 / 8 d ; / 2 = 1 1 / 4 d ; / 3 = 1 1 / 5 d . Найти величину четвёртого угла.

80. Из одной точки проведены пять лучей так, что углы, образованные каждыми двумя соседними лучами, равны между собой. Найти эти углы.

81. 1) Из одной точки проведены четыре луча. Могут ли все углы, образованные смежными лучами, быть одновременно: а) тупыми; б) острыми?

2) Задачу 81 (1) решить для случая трёх лучей.

82. На чертеже 25 указать, не измеряя углов, ошибки, допущенные при простановке их величин.

Перпендикуляр к прямой.

83. 1) Начертить прямую и вне её взять некоторую точку (черт. 26, а). Через эту точку при помощи чертёжного треугольника провести перпендикуляр к прямой. Измерить (по перпендикуляру) расстояние от точки до прямой.

2) Выполнить то же задание при другом положении точки и, прямой (черт. 26, б).

84. Через данную точку О провести перпендикуляры к трём данным прямым (черт. 27).

85. При помощи эккера построить на поверхности земли (или в классной комнате) прямой угол.

86. 1) При помощи эккера построить на поверхности земли (или в классной комнате) прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через данную на ней точку.

2) Как при помощи эккера построить прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку, не лежащую на данной прямой?

87 . 1) Через вершину угла ABC, равного l,2d , проведена прямая MN, перпендикулярная его биссектрисе. Вычислить углы, которые образует прямая MN со сторонами угла ABC.

2) Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.

С помощью графического диктанта совершают, не только контроль за правильностью сформированных геометрический образов, но и формального усвоения геометрических понятий, усовершенствование навыков используя геометрические приборы, тренировка внимания учащихся, образного мышления. Формируется важное для ребёнка, умение внимательно слушать и точно выполнять указания учителя. Графический диктант полезен для коррекции мелкой моторики, ориентации на бумаге, навыки изобразительной деятельности. Их лучше проводить после чтения нового материала, либо на закрепление знаний, чтобы было время исправить неправильно принятую учеником зрительную информацию, но не реже чем раз в месяц.

ТЕМА 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ЛУЧ И ИХ СВОЙСТВА
1. Постройте прямую a .

2. Обозначьте точки B , C которые принадлежат прямой a .

3. Обозначьте точки P , O , которые не принадлежат прямой a и лежат в разных полуплоскостях.

4. Обозначьте точку M , которая лежит в одной полуплоскости с точкой O .

5. Запишите с помощью символов принадлежность точки C и точки M прямой a .

6. Попарно совместив точки P , O , M , наведите красным карандашом отрезки, которые пересекут прямую a .

7. Запишите с помощью символов взаимное расположение прямой a и отрезков OP , CM .

8. Нарисуйте желтым цветом луч CK , который не лежит на прямой a .

9. Нарисуйте оранжевым цветом дополнительный луч CD к лучу CK .

10. Запишите с помощью символов взаимное расположение прямых a и KD .

ТЕМА 2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. РАСТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ.

1. Начертите отрезок AB =12 см.

2. Обозначьте его середину точкой O .

3. Поделите отрезок AO на равные части и обозначьте точку деления отрезка C .

4. Обозначьте на рисунке длину отрезков, на которые его делят внутренние точки.

5. Наведите красным цветом отрезок, длинна которого меньше от 12 см и больше за 6 см.

6. Найдите сумму длинны отрезков AB и OC

7. Найдите разницу длинны отрезков BO и AC и запишите соответствующее выражение.

8. Найдите долю длинны отрезков AB и AO и запишите соответствующее выражение.

9. Продлите правее отрезок AB на треть его длинны, обозначьте его синим цветом. Обозначьте на рисунке длину синего отрезка.

10. Проверьте, длинна отрезка AB равняется сумме длин отрезков, на которые его делят, его внутренние точки. Запишите соответствующее выражение.

ТЕМА 3. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ. БИСЕКТРИССА УГЛА.

a .

2. Обозначьте на прямой точки A , B , C так чтобы точка C лежала между точками A и B .

3. Проведите лучи CO и CP , которые не лежат на прямой a

4. Запишите пары смежные углы, которые образовались.

5. Начертите синим цветом двое неровных смежных углы так, чтобы общая сторона была расположена горизонтально.

6. Начертите красным и жёлтым цветами два угла, которые не смежные и одна пара сторон которые есть дополнительными лучами.

ТЕМА 4. СМЕЖНЫЕ УГЛЫ И ИХ СВОЙСТВА.

1. Постройте произвольную прямую a .

2. Отметьте на прямой точки A , B , C так чтобы точка C лежала между точками A и B.

3. Проведите лучи CO и CP , которые не лежат на прямой a и находятся в разных полуплоскостях.

4. Запишите пары смежных углов, которые образовались.

5. Начертите синим цветом два неравных смежные углы так чтобы общая точка была расположена горизонтально.

6. Начертите красным и жёлтым цветами два угла, которые не смежные и одна пара сторон которых являются дополнительными лучами.

7. Начертите два одинаковых за градусной мерой углы, которые не являются смежные и сумма градусных мер равняется 180◦.

ТЕМА 5. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ И ИХ СВОЙСТВА

1. Постройте угол ABC , градусная мера которого равняется 60◦.

2. Проведите красным цветом дополнительные лучи: BM к стороне BA и BO к стороне BC .

3. Измерьте градусную меру угла, образованного дополнительными лучами, и запишите результаты.

4. Сравняйте углы ABC и MBO , укажите их общую точку.

5. Узнайте градусную меру и сделайте аналогично пункту четыре для другой пары смежных углов.

6. Постройте оранжевым цветом биссектрису BK и BP углов ABC и MBO соответственно.

7. Узнайте и запишите градусную меру угла PBK .

8. Запишите, сколько пар смежных углов относительно прямой MA вы видите на своём рисунке.

9. Обозначьте скобками разноцветных цветов, начиная от красного, один угол из пары вертикальных углов, которые вы видите на своём рисунке. Начинайте с меньшего.

ТЕМА 6. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ИХ СВОЙСТВА

1. Проведите произвольную вертикальную прямую a и назначьте на ней точки A и B .

2. Отступите от каждой из точек четыре клеточке правее и назначьте соответствующие точки M и O .

3. Проведите синим цветом через точки M и O прямую b .

4. Проверьте с помощью транспортира и линейки параллельность прямых a и b .

5. Запишите полученный результат с помощью символа параллельности.

6. Обозначьте на плоскости точку C , которые не принадлежат не одной из нарисованных прямых и расположена правее от прямой b .

7. С помощью транспортира линейки проведите через точку C прямую c , параллельную прямой a .

8. Проверьте с помощью транспортира и линейки параллельность прямых a , b и с .

9. Запишите полученный результат с помощью символа параллельности.

10. Пометьте на прямой c точки P , K так чтобы точка C была серединой отрезка PK .

11. Найдите, наведите красным цветом пары равных и параллельных отрезков.

12. Найдите, наведите желтым цветом пары параллельных лучей.

ТЕМА 7. ПЕРЕПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ, ИХ СВОЙСТВА. ПЕРЕПЕНДИКУЛЯР. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ К ПРЯМОЙ.

1. Начертите прямую c .

2. Обозначьте точку M , которая не принадлежит прямой c .

3. С помощью транспортира проведите перпендикуляр к прямой c , которая проходит через точку M .

4. Обозначьте перпендикуляр и основу перпендикуляр буквой P .

5. Проведите наклонную MK к прямой c .

6. Измерьте длину расстояния и наклонную, сравняйте их.

7. Запишите результаты измерения с помощью символов.

8. Проведите дополнительный луч PC к лучу PM

9. С помощью транспортира обозначьте, какое взаимное расположение прямой c и луча PC . Обозначьте результаты на рисунке.

10. Запишите результат с помощью символов.

11. С помощью транспортира постройте два перпендикуляра лучи, которые не имеют общих точек и один с которых горизонтальный.

ТЕМА 8. УГЛЫ, ОБРАЗОВАНЫЕ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ

1. Нарисуйте две произвольные прямые a и b .

2. Нарисуйте прямую c , которая не имеет с прямыми две общие точки.

3. Пронумеруйте углы цифрами, которые образовала секущая с прямыми a и b (по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла)

4. Запишите, сколько пар вертикальных углов образовалось прямыми a , b , c .

5. Запишите, сколько пар смежных углов образовалось прямыми a , b , c .

6. Запишите, сколько внутренних углов образовалось в результате пересечения прямых a и b секущей c .

7. Отметьте желтым цветом угол, который с углом 3 образует пару внутренних односторонних углов.

8. Отметьте синим цветом угол, который с углом 6 образует пару внутренних разносторонних углов.

9. Отметьте коричневым цветом угол, который с углом 1 образует пару внешних односторонних углов.

10. Отметьте зеленым цветом угол, который с углом 1 образует пару внешних разносторонних углов.

ТЕМА9. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

1. Нарисуйте прямую a .

2. Отметьте на ней три точки A , B , C , расстояние между которыми не менее чем 5 см.

3. Постройте угол ABM , градусная мера которых равняется 40◦.

4. Постройте угол BCK , который расположен в одной полуплоскости с углом ABM и имеет градусную меру 40◦.

5. Нарисуйте дополнительные лучи к лучам BM и CK .

6. Отметьте синим цветом прямую, которая является секущей для прямых MB и CK .

7. Отметьте коричневым цветом соответствующие углы, равные по построению.

8. Отметьте параллельные прямые на рисунке.

9. Отметьте на рисунке равные прямые ровным количеством скобок.

ТЕМА 10. СВОЙТСВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

1. Проведите прямую a .

2. На расстоянии 7см от прямой отметьте точку K .

3. С помощью транспортира и линейки постройте прямую b , параллельную прямой a .

4. Проведите секущие c и d , точка пересечения которых расположена между параллельными прямыми.

5. Отметьте точку пересечения буквой O .

6. Отметьте (начиная слева) точки A и B пересечения с прямой a .

7. Отметьте (начиная слева) точки C и M пересечения с прямой b .

8. Отметьте равные углы треугольников AOB и CMO синим, оранжевым и зеленым цветами.

9. Отметьте параллельные прямые m и n .

10. Проведите две непараллельные секущие к прямым m и n так, чтобы их точка пересечения была расположена выше параллельных прямых.

11. Отметьте точку пересечения секущих буквой O .

12. Отметьте (начиная слева) точки A и B пересекающаяся с прямой m .

13. Отметьте (начиная слева) точки C и M пересекающаяся с прямой n .

ТЕМА 11. ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ.

1. Нарисуйте произвольный треугольник ABC .

2. Отметьте красным цветом угол A .

3. Наведите красным цветом строну противоположную углу A .

4. Постройте биссектрису BM треугольника ABC коричневым цветом.

5. Отметьте равные углы коричневым цветом.

6. Постройте медиану CK треугольника ABC синим цветом.

7. Отметьте равные отрезки синим цветом.

8. Постройте высоту AO треугольника ABC оранжевым цветом.

9. Отметьте перпендикулярные отрезки оранжевым цветом.

10. Запишите выражение для вычисления периметра треугольника ABC .

11. Запишите выражение для нахождения площади треугольника ABC .

ТЕМА 12. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1. Нарисуйте произвольный отрезок AB длинной 12 см.

2. Найдите середину отрезка и отметьте её точкой O .

3. Нарисуйте произвольный отрезок CD длинной 8 см так, чтобы его середина находилась в точке O .

4. Отметьте равные углы и отрезки на рисунке.

5. Доработайте рисунок так, чтобы на нём было изображено две пары равных треугольников.

6. Закрасьте пары равных треугольников желтым и оранжевым цветами.

7. Нарисуйте два равных угла любой градусной мерой.

8. Используя первый признак равенства треугольников, превратите их в равные треугольники.

9. Отметьте равные углы и стороны.

ТЕМА 13. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

1. Нарисуйте прямую a и отметьте на ней отрезок AB длинной 8 см.

2. Нарисуйте угол A так, чтобы луч AB был его биссектрисой.

3. Нарисуйте угол B так, чтобы луч BA был его биссектрисой и его стороны пересекались со сторонами угла A .

4. Точку пересечения сторон углов A и B , расположенную выше прямой a , отметьте буквой C .

5. Точку пересечения сторон углов A и B , расположенную ниже прямой a , отметьте буквой M .

6. Отметьте на рисунке все равные углы.

7. Определите, применяя признак равенства треугольников, равные треугольники. Закрасьте их желтым и синим цветами, начиная с верхнего.

8. Отметьте на рисунке все равные стороны.

9. Запишите равные углы по признаку с помощью символов.

ТЕМА 14. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ.

1. Нарисуйте произвольный угол B .

2. Отметьте на его сторонах равные отрезки BA и BC и отметьте их равность.

3. Соедините точки A и C .

4. Запишите, какой треугольник образовался, и укажите его вид.

5. С помощью линейки проведите биссектрису BD , медиану и высоту треугольника.

6. Отметьте равные углы и отрезки на рисунке, которые не были отмечены раньше.

7. С помощью символов запишите, какие треугольники на рисунке равные.

8. Укажите вид равных треугольников.

9. Нарисуйте дополнительные лучи к лучам BA и BC .

10. Используя первый признак равенства треугольников, на дополнительных лучах постройте треугольник OBM , который равняется треугольнику ABC .

11. С помощью символов запишите, какие лучи на рисунке параллельны.

ТЕМА 15. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

1. Отметьте точку A .

2. Отступивши от точки A десять клеточек вниз и четыре клеточки правее, отметьте точку B .

3. Отступивши от точки B шесть клеточек правее, отметьте точку C .

4. Отступивши от точки C десять клеточек вверх и четыре клеточек левее, отметьте точку D .

5. Попарно соедините все точки рисунка.

6. Если есть точка пересечения, отметьте её буквой O .

7. Найдите с помощью линейки равные отрезки на рисунке.

8. Отметьте равные отрезки равным количеством штрихов, начиная с наименьшего.

9. Наведите меньшую общую сторону двух треугольников оранжевым цветом, а большую коричневым.

10. Найдите, какие из образованных треугольников равные по третьему признаку равенства треугольников, и запишите их равность.

ТЕМА 16. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.

1. Нарисуйте угол K , градусная мера которого будет равна 60◦.

2. Отметьте на сторонах угла равные отрезки KP и KE и соедините их концы.

3. Отметьте на рисунке равные углы и их градусные меры.

4. Запишите, какой треугольник образовался и укажите его вид.

5. Проведите желтым цветом медиану PO .

6. Нарисуйте оранжевым цветом дополнительный луч к лучу OP . Отметьте на нём отрезок OM , который равняется отрезку PO .

7. Нарисуйте и найдите градусную меру угла OME .

ТЕМА 17. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА И СВОЙТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

1. Нарисуйте прямой угол B .

2. На одной стороне угла отложите отрезок BA длинной 8 см.

3. На другой стороне угла отложите отрезок BC , длинной 6 см.

4. Соедините точки A и C .

5. С помощью символов запишите, какая геометрическая фигура образовалась.

6. Наведите коричневым цветом большую сторону треугольника.

7. Наведите жёлтым цветом вершины углов, сумма градусных мер которых равна 90◦.

8. С помощью символов запишите сумму углов, отмеченных желтым цветом.

9. Проведите медиану BM .

10. Отметьте равные отрезки на рисунке.

11. Найдите соотношения отрезков AC и BM . С помощью символов запишите результат вычислений.

12. Отметьте синим цветом равные углы на рисунке.

ТЕМА 18. ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЕГО СВОЙСТВА.

1. Нарисуйте три прямые: a - черным цветом, b -красным, c - желтым, какие попарно пересекаются.

2. Отметьте точки пересечения. Прямые a и b пересекаются в точке A , b и c в точке B , прямые c и a в точке C .

3. С помощью символов запишите, какая фигура образовалась точками, отрезками и внутренней частью плоскости.

4. Отметьте внутренние углы треугольника ABC цифрами 1, 2, 3, по часовой стрелке, начиная с вершины A .

5. Отметьте внешний угол, смежный с углом 1 соответственно прямой a , цифрой 4.

6. Отметьте внешний угол, смежный с углом 2 соответственно прямой b , цифрой 5.

7. Отметьте внешний угол, смежный с углом 3 соответственно прямой c , цифрой 6.

8. Запишите в виде выражения соотношения между углом 4 и любым внутренним углом рисунка.

9. Запишите в виде выражения соотношения между углом 6 и суммой любых углов рисунка.

10. Запишите в виде выражения соотношения между углом 4 и суммой любых углов рисунка.

ТЕМА 19. НЕРАВНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА.

1. Нарисуйте тупоугольный треугольник OPD с тупым углом P .

2. Нарисуйте прямоугольный треугольник ACB с прямым углом C .

3. Нарисуйте остроугольный треугольник MNR .

4. Отметьте красным цветом вершины наибольших углов каждого из нарисованных треугольников.

5. Наведите красным цветом долгие стороны каждого из нарисованных треугольников.

6. Отметьте желтым цветом наименьшие углы каждого из нарисованных треугольников.

7. Наведите желтым цветом короткие стороны каждого из нарисованных треугольников.

8. Сравняйте длину стороны MN с суммой длин двух других сторон. Запишите в виде неравенства результаты сравнения.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

образовательная:
- ввести понятие смежных и вертикальных углов, выяснить через систему упражнений какими свойствами они обладают;
- рассмотреть доказательство теорем о смежных и вертикальных углах;
- показать их применение при решении задач;
развивающая: развивать умения выявлять закономерности, делать обобщения и выводы;
воспитательная: воспитывать у обучающихся стремление самостоятельно решать посильные учебные проблемы.

Ход урока

I. Оргмомент. Приветствие обучающихся, мобилизация внимания.

II. Проверка домашнего задания.

а) №1, №2 - устно

б) №50, 51 -двое обучающихся записывают решения на дополнительной доске и объясняют их.

III. Актуализация знаний.

а) Математический диктант на повторение.

(Один учащийся выполняет задания математического диктанта за дополнительной доской).

Начертите и обозначьте прямую b.
Точка C принадлежит отрезку AB. Какая из трёх точек A,B,C лежит между двумя другими?
Сколько общих точек могут иметь две пересекающиеся прямые?
Точка A принадлежит отрезку BC. BA =3см, AC=5,2см. Чему равна длина отрезка AC?
Могут ли совместиться при наложении два отрезка, если длина одного из них равна 5дм., а длина другого - 0,5м?
Может ли величина угла быть выражена отрицательным числом?
Величина угла (ab) равна 125 0 . Луч проходит между сторонами угла (ab). Угол (ac) равен 45 0 . Чему равен угол (bc)?
Могут ли совместиться при наложении углы, если один из них равен половине прямого, а другой составляет? часть от развернутого?
Может ли длина отрезка выражаться дробным положительным числом?
Отметьте на прямой точки M,N и K так, чтобы выполнялось равенство: MK+KN=MN.

(Открывается доска, обучающиеся обмениваются тетрадями и выполняют проверку диктанта).

IV. Изучение новой темы.

Учитель: Итак, ребята, на предыдущих уроках мы познакомились с понятием угла, научились строить их, обозначать, измерять. Ответьте: какие виды углов вы знаете? (Острые, тупые, развернутые, прямые.)

Повторяют факты: градусная мера прямого угла - 90 0 , развернутого - 180 0 , острый угол меньше прямого, тупой больше прямого, но меньше развернутого.

Учитель: Сегодня мы расширим круг своих знаний об углах, введем понятия смежных и вертикальных углов, рассмотрим их свойства, и будем учиться использовать их при решении задач.

(Учащиеся записывают тему урока.)

Все выполняют задание:

Постройте развернутый угол AOB.

Проведите произвольный луч OC между его сторонами.

Сколько неразвернутых углов образовалось? Назовите их (углы AOC и COB).

Выделите общую сторону этих углов одним цветом, а стороны, которые являются продолжением друг друга, другим цветом. Получился чертёж (Слайд №2 ).

Учитель: Ребята, углы AOC и COB, построенные таким образом имеют своё название - смежные углы. Давайте дадим им определение. (Обучающиеся формулируют определение смежных углов).

Учитель: Значит, два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

(Ребята, в разных источниках можно найти другие определения смежных углов. Постарайтесь к следующему уроку найти такие определения.)

Учитель: А сейчас кто желает у доски построить свою пару смежных углов?

Заранее подготовленный ученик, надев шапку Незнайки, кричит: "Можно я? Можно? Я понял, что такое смежные углы! Я даже две пары таких углов могу построить!".

Учитель: Пожалуйста, построй нам такие углы.

("Незнайка" делает следующие чертежи: Слайд №3 )

Учитель: Ребята, вы согласны с Незнайкой? (Естественно, найдутся ребята, которые не согласятся.) Посмотри, Незнайка, кое-кто из ребят не соглашаются с тобой. Объясни, почему углы 1 и 2 на первом чертеже ты считаешь смежными?

Незнайка: Так у них же есть общая сторона b!

Учитель: А на втором чертеже?

Незнайка: А у них стороны а и b являются дополнительными полупрямыми! Вот!

Учитель: Ребята, вы согласны с Незнайкой?

(Учащиеся объясняют, почему они не согласны с ним, и ещё раз формулируют определение смежных углов.)

(К учителю обращается ученик, надев шапочку Смекалкина.)

Смекалкин: А можно мне обратиться к ребятам? (Учитель разрешает.) Ребята, когда я дома самостоятельно изучал эту тему, то получил интересные факты. Я хочу, чтобы вы помогли мне понять, прав ли я? (Приглашает к доске трех учащихся).

Даёт задание:

первый ученик и ребята, сидящие на первом ряду, строят угол в 40 0 ;
второй ученик и ребята, сидящие на втором ряду, строят прямой угол;
третий ученик и ребята, сидящие на третьем ряду, строят угол в 130 0 .

Смекалкин предлагает учащимся назвать вид угла и обозначить его (ab).

Смекалкин: Какие получились углы? (Смежные.) Назовите вид угла bc. (Каждый ребенок отвечает 1 - тупой, 2 - прямой, 3 - острый.)

Смекалкин: Ребята, какой вывод вы можете сделать?

1 ряд: Если угол острый, то смежный с ним тупой.
2 ряд: Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
3 ряд: Если угол тупой, то смежный с ним - острый.

Смекалкин предлагает следующее задание: Ребята, измерьте угол ac и найдите сумму углов ab и ac.

(Учащиеся выполняют задание и убеждаются в том, что сумма у всех одинаковая - 180 0).

Смекалкин: Ребята, а как вы думаете, если мы проделаем ту же самую работу, но с углами другой величины, то каков будет результат?

(Ученики делают свои предположения, и, как правило, многие уверены, что сумма должна получиться такой же.)

Смекалкин: Итак, напрашивается вывод, что сумма смежных углов равна 180 0 .

(Он предлагает учащимся - вместе с ним доказать этот факт. Учащиеся записывают доказательство в тетради. Слайд №5 )

Учитель: Продолжаем работу. Постройте две пересекающиеся прямые. Сколько неразвернутых углов получилось? Обозначьте их. Что вы можете сказать об этих углах? (Два тупых и два острых, или все - прямые.)

Незнайка: (Обращается к учителю) А можно я тоже попрошу ребят выполнить одно задание. Очень трудное! Посмотрю, как они справятся! (Учитель разрешает.) Ребята, постройте произвольный угол AOB. А теперь, используя только карандаш и линейку, постройте угол, равный углу AOB.

(Учащиеся думают, и, как правило, хотя бы несколько ребят догадываются, как это сделать.)

(Получается чертеж Слайд №6 ).

Незнайка: А вы попробуйте доказать мне, что углы AOB и DOC равны. Я в этом не уверен! А транспортира у вас нет, чтобы проверить!

Учитель: Ну, что же, ребята, давайте попробуем доказать Незнайке, что полученные углы будут равны. Для этого мы будем использовать с вами только что доказанное свойство смежных углов.

(Доказательство проводит учащийся у доски, все записывают в тетрадь. Слайд №7 )

Вопрос Незнайки: Ребята, а что вы думаете об углах AOC и BOD? (Дети отвечают.)

Учитель: Оказывается, ребята, что у построенных таким образом углов есть свое название. Они называются вертикальными углами.(Слайд № 8 )

(Дети вместе с учителем формулируют определение вертикальных углов.)

Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжением сторон другого угла.

Учитель: И мы с вами доказали их свойство: вертикальные углы равны.

V. Закрепление темы.

1.(Слайд № 9 ) Определите, на каком из данных чертежей углы 1 и 2 вертикальные.

2. Учитель: Ребята, а как вы думаете, будут ли верными утверждения:

а) если углы равны, то они - вертикальные;

б) если сумма двух углов равна 180 0 , то они смежные? Если вы считаете, что утверждения неверные, то приведите примеры.

(Учащиеся приводят примеры. Если они затруднятся, показать слайд 10.) Слайд №10

3. Устные вопросы:

Чему равен угол, смежный углу в 30 0 , 45 0 , 125 0 , 90 0 , 179 0 ?
Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми?
Известно, что сумма двух углов равна 200 0 . Могут ли эти углы быть смежными (вертикальными)?
Известно, что сумма углов равна 180 0 . Обязательно ли эти углы - смежные?
Чему равен угол, вертикальный углу в 47 0 , 123 0 ?

4. Задачи по готовым чертежам. (Слайды № 12,13,14,15 )

Дополнительная задача: Постройте произвольный угол AOB. Сколько углов, смежных ему, можно построить? Что вы о них можете сказать? (Два. Они равны, так как являются вертикальными углами.)

VI. (Слайд № 16 ) Задание на дом: п.11 № 55, 56, 61 (а,г,д), № 64(а).

Примечание: Если позволит время, то в конце урока можно провести устный счет, в результате которого с помощью таблицы ответов №1 расшифруем фразу: " Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии" (А.С.Пушкин).

Для этого готовятся 38 карточек с устными примерами, в которых получаются такие ответы, как в таблице №1. А во вторую таблицу вписываем буквы, соответствующие полученному ответу. Номер места буквы совпадает с номером карточки.

Например:

Таблица №1