6 уравнений пропорциональных примеры с решением. План-конспект урока по алгебре (6 класс) на тему: Пропорция.Решение задач с помощью пропорций. Решить зашифрованные уравнения

Задача 1. Одна сторона прямоугольника меньше другой на 7 см, а диагональ прямоугольника равна 17 см. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Пусть АВ=х. Тогда AD=х+7. Зная, что диагональ BD=17, используем теорему Пифагора и составим уравнение:

AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(х+7) 2 =17 2 ⇒ х 2 +х 2 +14х+49=289;

2х 2 +14х-240=0; х 2 +7х-120=0, отсюда по теореме Виета х 1 =-15; х 2 =8.

Следовательно, АВ=8 см, AD=8+7=15 см. Периметр прямоугольника:

P□ = 2∙ (AB+AD); P□ = 2∙ (8+15); P□ = 46 см. Ответ: 46 см.

Задача 2. Периметр прямоугольника 94 см, а диагональ 37 см. Найти площадь прямоугольника.

Решение. Периметр прямоугольника P□ = 2∙ (AB+AD) = 94, следовательно, (AB+AD)=47. Пусть АВ=х. Тогда AD=47-х. Зная, что диагональ BD=37, используем теорему Пифагора и составим уравнение:

AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(47-х) 2 =37 2 ⇒ х 2 +47 2 -94х+ х 2 =1369;

2х 2 -94х+2209—1369=0; 2х 2 -94х+840=0. Делим обе части равенства на 2. Получаем:

х 2 -47х+420=0. Найдем дискриминант.

D=b 2 -4ac=47 2 -4∙1∙420=2209—1680=529=23 2 >0; 2 д.к.

х 1 = (47-23)/2=12; х 2 = (47+23)/2=35.

Так как АВ=х, то либо АВ=12, тогда AD=47-12=35; либо АВ=35, тогда AD=47-35=12. Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см. Площадь прямоугольника S□ = AB∙ AD=12∙ 35=420 (см 2). Ответ: 420 см 2 .

Задача 3. Стороны прямоугольника относятся как 3: 4, а площадь прямоугольника равна 108 см 2 . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Обозначим одну часть через х. Тогда АВ=3х. Тогда AD=4х.

Так как S□ = AB∙ AD и по условию равна 108 см 2 , то можно составить уравнение:

3х∙ 4х=108. Тогда 12х 2 =108, а разделив обе части равенства на 12, получаем:

х 2 =9. Отсюда х=3, так как х – положительное число. Стороны прямоугольника

Тогда АВ=3х=3∙ 3=9 и AD=4х=4∙ 3=12. Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора найдем BD – искомую диагональ прямоугольника.

BD 2 =AB 2 +AD 2 =9 2 +12 2 =81+144=225, отсюда BD=15 см. Ответ: 15 см.

Задача 4. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите диагональ прямоугольника, если его меньшая сторона равна 15 см.

Решение. Итак, в прямоугольнике ABCD биссектриса АК делит сторону ВС пополам. АВ=15 см. Требуется найти диагональ АС прямоугольника. В прямоугольном треугольнике АВК один из острых углов равен 45° (биссектриса АК делит прямой угол пополам: ∠ВАК=∠КАD=45°). Тогда и второй острый угол треугольника АВК равен 45°, т.е. ∠АКВ=45°. Углы при основании ∆АВК равны, следовательно, ∆АВК – равнобедренный. Это означает, что ВК=АВ=15 см. А так как биссектриса АК по условию разделила сторону ВС пополам, то ВС=2∙ ВК=30 см. Стороны прямоугольника 15 см и 30 см. Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС – искомую диагональ прямоугольника.

АС 2 =AB 2 +ВС 2 =15 2 +30 2 =225+900=1125, отсюда получаем:

Задача 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 7 см дальше, чем от большей стороны. Диагональ прямоугольника равна 26 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Пусть точка О – пересечение диагоналей прямоугольника ABCD отстоит от стороны AD на х см, тогда от стороны АВ точка О будет отстоять на (х+7) см, т.е ОМ=х и ОК=х+7. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то АО=АС: 2=26: 2=13 (см). Заметим, что МА=ОК. На основании теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника АМО получаем равенство:

ОМ 2 +МА 2 =АО 2 или х 2 +(х+7) 2 =13 2 . Упрощаем равенство:

х 2 +х 2 +14х+49=169; 2х 2 +14х-120=0; х 2 +7х-60=0. Корни этого приведенного квадратного уравнения удобно найти по теореме Виета.

х 1 =-12, х 2 =5. Так как сторона выражается положительным числом, то ОМ=х=5 см. тогда ОК=5+7=12 (см). АК=ОМ=5 см и АМ=ОК=12 см – это половинки сторон прямоугольника. Тогда АВ=2∙ АК=10 см и AD=2∙ МА=24 см. Ответ: 10 см и 24 см.

Страница 1 из 1 1

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

1. Квадрат - это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
2. Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
4. Корень квадратный из числа , это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical - корень).
5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали , если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a . Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади .

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS .

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр . В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ , который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R . Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r .

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

1. d = rad2*a;
2. d = rad2*radS;
3. d = rad2*P/4;
4. d = 2*R;
5. d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить , что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Содержимое:

Диагональ – это отрезок, который соединяет две противолежащие вершины прямоугольника. В прямоугольнике две равные диагонали. Если известны стороны прямоугольника, диагональ можно найти по теореме Пифагора, потому что диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Если стороны не даны, но известны другие величины, например, площадь и периметр или отношение сторон, можно найти стороны прямоугольника, а затем по теореме Пифагора вычислить диагональ.

Шаги

1 По сторонам

1. 1 Запишите теорему Пифагора. Формула: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 В формулу подставьте значения сторон. Они даны в задаче или их нужно измерить. Значения сторон подставляются вместо a 3
   • В нашем примере:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 По площади и периметру

     1. 1 Формула: S = l w (На рисунке вместо S использовано обозначение А.)
     2. 2 Это значение подставляется вместо S 3 Перепишите формулу так, чтобы обособить w 4 Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника. Формула: P = 2 (w + l)
     3. 5 В формулу подставьте значение периметра прямоугольника. Это значение подставляется вместо P 6 Разделите обе стороны уравнения на 2. Вы получите сумму сторон прямоугольника, а именно w + l 7 В формулу подставьте выражение для вычисления w 8 Избавьтесь от дроби. Для этого обе части уравнения умножьте на l 9 Приравняйте уравнение к 0. Для этого из обеих сторон уравнения вычтите член с переменной первого порядка.
        • В нашем примере:
          12 l = 35 + l 2 10 Упорядочьте члены уравнения. Первым членом будет член с переменной второго порядка, затем член с переменной первого порядка, а затем свободный член. При этом не забудьте про знаки («плюс» и «минус»), которые стоят перед членами. Обратите внимание, что уравнение запишется в виде квадратного уравнения.
          • В нашем примере 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • В нашем примере уравнение 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Найдите l 13 Запишите теорему Пифагора. Формула: a 2 + b 2 = c 2
              • Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника – это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника – гипотенуза треугольника.
            • 14 Эти значения подставляются вместо a 15 Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты. Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
              • В нашем примере:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c

                3 По площади и отношению сторон

                1. 1 Запишите уравнение, характеризующее отношение сторон. Обособьте l 2 Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника. Формула: S = l w (На рисунке вместо S использовано обозначение A.)
                   • Этот метод применим и в том случае, когда известно значение периметра прямоугольника, но тогда нужно пользоваться формулой для вычисления периметра, а не площади. Формула для вычисления периметра прямоугольника: P = 2 (w + l)
                2. 3 В формулу подставьте значение площади прямоугольника. Это значение подставляется вместо S 4 В формулу подставьте выражение, характеризующее отношение сторон. В случае прямоугольника можно подставить выражение для вычисления l 5 Запишите квадратное уравнение. Для этого раскройте скобки и приравняйте уравнение к нулю.
                   • В нашем примере:
                     35 = w (w + 2) 6 Разложите квадратное уравнение на множители. Чтобы получить подробные инструкции, прочитайте.
                     • В нашем примере уравнение 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Найдите w 8 Подставьте найденное значение ширины (или длины) в уравнение, характеризующее отношение сторон. Так можно найти другую сторону прямоугольника.
                       • Например, если вы вычислили, что ширина прямоугольника равна 5 см, а отношение сторон задается уравнением l = w + 2 9 Запишите теорему Пифагора. Формула: a 2 + b 2 = c 2
                         • Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника – это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника – гипотенуза треугольника.
                       • 10 В формулу подставьте значения длины и ширины. Эти значения подставляются вместо a 11 Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты. Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
                         • В нашем примере:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c {displaystyle c} , то есть гипотенузу треугольника, а значит и диагональ прямоугольника.
                           • В нашем примере:
                             74 = c 2 {displaystyle 74=c^{2}}
                             74 = c 2 {displaystyle {sqrt {74}}={sqrt {c^{2}}}}
                             8 , 6024 = c {displaystyle 8,6024=c}
                             Таким образом, диагональ прямоугольника, у которого длина на 2 см больше ширины и площадь которого равна 35 см 2 , приблизительно равна 8,6 см.

Инструкция

Определим длину диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 4 см.

Находим сумму квадратов сторон прямоугольника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

Извлечь из полученного результата квадратный корень – длина диагонали 5 см.

Видео по теме

Обратите внимание

Диагонали прямоугольника равны. Если найдена длина одной, то длина второй будет абсолютно такой же.

Источники:

• как найти длину диагонали в прямоугольнике

Квадрат – красивая и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же найти диагональ квадрата , если известна длина его стороны?

Инструкция

длина диагонали квадрата равна длине его стороны умноженной на из двух.

Видео по теме

Полезный совет

Если точность математического результата не очень важна, то вместо корня из двух можно использовать его приблизительное значение 1,41.

Совет 6: Как найти диагональ параллелограмма, если даны стороны

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, называются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, поэтому без знания хотя бы одного из углов вычислить длины диагоналей можно только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма - квадрат и прямоугольник.

Инструкция

Если длины всех сторон параллелограмма одинаковы (a), то эту фигуру можно назвать еще и квадратом. Величины всех его углов 90°, а длины диагоналей (L) одинаковы и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны на корень из двойки - результат и будет длиной каждой из его диагоналей: L=a*√2.

Если о параллелограмме известно, что он прямоугольником с указанными в длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И здесь тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами - две смежные стороны четырехугольника. Искомую величину рассчитайте извлечением корня из возведенных в квадрат и прямоугольника: L=√(a²+b²).

Для всех остальных случаев знания одних только длин сторон хватит лишь для величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей - сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в к длинам двух смежных сторон параллелограмма (a и b) известен еще и угол между ними (γ), то это позволит рассчитать длины каждого отрезка, соединяющего противоположные углы . Длину диагонали (L₁), лежащей напротив известного угла, найдите по теореме косинусов - сложите квадраты длин смежных сторон, от результата отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L₁ = √(a²+b²-2*a*b*cos(γ)). Для нахождения длины другой диагонали (L₂) можно воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага - удвойте сумму квадратов длин двух сторон, от результата отнимите квадрат уже рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В общем виде эту формулу можно записать так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).

Источники:

• как найти длину диагонали параллелограмма

Можно назвать параллелограмм, диагонали которого делят пополам углы, лежащие в вершинах фигуры. Кроме этого свойства диагонали ромба примечательны тем, что являются осями симметрии многоугольника, пересекаются только под прямым углом, а единственная общая точка делит каждую из них на два равных отрезка. Эти свойства позволяют легко рассчитать длину одной из диагоналей, если известна длина другой и еще какой-нибудь параметр фигуры - размер стороны, угол в одной из вершин, площадь и т.д.

Инструкция

Если кроме длины одной из (l) о рассматриваемом четырехугольнике известно, что он частным случаем ромба - квадратом, никаких расчетов производить не придется. В этом случае длины обеих диагоналей - просто приравняйте искомую величину (L) к известной: L=l.

Знание длины стороны ромба (a) в дополнение к длине одной из диагоналей (l) позволит длину другой (L) по теореме Пифагора. Это потому, что две половины пересекающихся диагоналей образуют со стороной ромба прямоугольный треугольник. Половины диагоналей в нем являются катетами, а сторона - гипотенузой, поэтому равенство, вытекающее из теоремы Пифагора записать так: a² = (l/2)² + (L/2)². Для использования в расчетах преобразуйте его к такому виду: L = √(4*a²-l²).

При известной величине одного из углов (α) ромба и длине одной из диагоналей (l) для нахождения величины другой (L) рассмотрите тот же прямоугольный треугольник. Тангенс половины известного угла в нем отношению длины противолежащего катета - половины диагонали l - к прилежащему - половине диагонали L: tg(α/2) = (l/2)/(L/2) = l/L. Поэтому для искомой величины используйте формулу L = l/tg(α/2).

Если в условиях задачи приведена длина периметра (P) ромба и размер его диагонали (l), формулу вычисления длины второй (L) можно свести к равенству, использованному во втором шаге. Для этого разделите периметр на четверку и замените этим выражением длину стороны в : L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).

В исходных условиях кроме длины одной из диагоналей (l) может быть приведена и площадь (S) фигуры. Тогда для вычисления длины второй диагонали ромба (L) используйте очень простой алгоритм - удвойте площадь и разделите полученное значение на длину известной диагонали: L = 2*S/l.