Криволинейное движение движение тела окружности. Прямолинейное и криволинейное движение. Златая цепь на дубе том

На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий.

Вывод формулы производной степенной функции (x в степени a). Рассмотрены производные от корней из x. Формула производной степенной функции высшего порядка. Примеры вычисления производных.

Производная от x в степени a равна a , умноженному на x в степени a минус один:
(1) .

Производная от корня степени n из x в степени m равна:
(2) .

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a :
(3) .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Теперь находим производную, применяя :
;
.
Здесь .

Формула (1) доказана.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4) .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

По формуле (1) находим производную:
(1) ;
;
(2) .

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0 . Найдем производную функции (3) при x = 0 . Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0 :
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1) .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0 .

Случай x < 0

Снова рассмотрим функцию (3):
(3) .
При некоторых значениях постоянной a , она определена и при отрицательных значениях переменной x . А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m и n - целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x . Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x :
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x .

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a , для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции :

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1) .

Производные высших порядков

Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3) .
Производную первого порядка мы уже нашли:
.

Вынося постоянную a за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;

.

Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка имеет следующий вид:
.

Заметим, что если a является натуральным числом , , то n -я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .

Примеры вычисления производных

Пример

Найдите производную функции:
.

Решение

Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.

Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Подумай и ответь! 1. Какое движение называется равномерным? 2. Что называется скоростью равномерного движения? 3. Какое движение называется равноускоренным? 4. Что такое ускорение тела? 5. Что такое перемещение? Что такое траектория?

Тема урока: Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности.

Механические движения Прямолинейное Криволинейное Движение по эллипсу Движение по параболе Движение по гиперболе Движение по окружности

Цели урока: 1. Знать основные характеристики криволинейного движения и связь между ними. 2. Уметь применять полученные знания при решении экспериментальных задач.

План изучения темы Изучение нового материала Условие прямолинейного и криволинейного движения Направление скорости тела при криволинейном движении Центростремительное ускорение Период обращения Частота обращения Центростремительная сила Выполнение фронтальных экспериментальных заданий Самостоятельная работа в форме тестов Подведение итогов

По виду траектории движение бывает: Криволинейное Прямолинейное

Условия прямолинейного и криволинейного движения тел (Опыт с шариком)

стр.67 Запомнить! Работа с учебником

Движение по окружности – частный случай криволинейного движения

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Характеристики движения – линейная скорость криволинейного движения () – центростремительное ускорение () – период обращения () – частота обращения ()

Запомнить. Направления движения частиц совпадает с касательной к окружности

При криволинейном движении скорость тела направлена по касательной к окружности Запомнить.

При криволинейном движении ускорение направлено к центру окружности Запомнить.

Почему ускорение направлено к центру окружности?

Определение скорости - скорость - период обращения r - радиус окружности

При движении тела по окружности модуль вектора скорости может меняться или оставаться постоянным, но направление вектора скорости обязательно меняется. Поэтому вектор скорости является величиной переменной. Значит движение по окружности всегда происходит с ускорением. Запомнить!

Предварительный просмотр:

Тема: Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности.

Цели: Изучить особенности криволинейного движения и, в частности, движения по окружности.

Ввести понятие центростремительного ускорения и центростремительной силы.

Продолжить работу по формированию ключевых компетенций учащихся: умения сравнивать, анализировать, делать выводы из наблюдений, обобщать опытные данные на основе имеющихся знаний о движении тела формировать умения использовать основные понятия, формулы и физические законы движения тела при движении на окружности.

Воспитывать самостоятельность, учить детей сотрудничеству, воспитывать уважение к мнению других, пробуждать любознательность и наблюдательность.

Оборудование урока: компьютер, мультемедийный проектор, экран, шарик на резинке, шарик на нити, линейка, метроном, юла.

Оформление: «Мы истинно свободны, когда сохранили способность рассуждать самостоятельно». Цецерон.

Вид урока: урок изучения нового материала.

Ход урока:

Организационный момент:

Постановка проблемы: Какие виды движений мы изучили?

(Ответ: Прямолинейное равномерное, прямолинейное равноускоренное.)

План урока:

1. Актуализация опорных знаний (физическая разминка) (5 мин)

1. Какое движение называется равномерным?
2. Что называется скоростью равномерного движения?
3. Какое движение называется равноускоренным?
4. Что такое ускорение тела?
5. Что такое перемещение? Что такое траектория?

1. Основная часть. Изучение нового материала. (11 мин)

1. Постановка проблемы:

Задание учащимся: Рассмотрим вращение юлы, вращение шарика на нити (демонстрация опыта). Как можно охарактеризовать их движения? Что общего в их движении?

Учитель: Значит, наша задача на сегодняшнем уроке ввести понятие прямолинейного и криволинейного движения. Движения тела по окружности.

(запись темы урока в тетрадях).

1. Тема урока .

Слайд № 2.

Учитель: Для постановки целей я предлагаю проанализировать схему механического движения. (виды движения, научность)

Слайд № 3.

1. Какие цели к нашей теме поставим?

Слайд № 4.

1. Я предлагаю изучить эту тему по следующему плану . (Выделить основное)

Вы согласны?

Слайд № 5.

1. Взгляните на рисунок. Рассмотрите примеры видов траекторий, встречающихся в природе и технике.

Слайд № 6.

1. Действие на тело силы в одних случаях может привести только к изменению модуля вектора скорости этого тела, а в других – к изменению направления скорости. Покажем это на опытах.

(Проведение опытов с шариком на резинке)

Слайд № 7

1. Сделайте вывод от чего зависит вид траектории движения.

(Ответ)

А теперь сравним данное определение с тем, которое дается в вашем учебнике на стр. 67

Слайд № 8.

1. Рассмотрим рисунок. Как можно связать криволинейное движение с движением по окружности.

(Ответ)

То есть кривую линию можно переставить в виде совокупности дуг окружностей разных диаметров.

Сделаем вывод :…

(Записать в тетрадь)

Слайд № 9.

1. Рассмотрим какие физические величины характеризуют движение по окружности.

Слайд № 10.

1. Рассмотрим пример движения автомобиля. Что вылетает из под колес? Как она движется? Как направлены частицы? Чем защищаются от действия этих частиц?

(Ответ)

Сделаем вывод : …(о характере движения частиц)

Слайд № 11

1. Давайте рассмотрим как направлена скорость при движении тела по окружности. (Анимация с лошадкой.)

Сделаем вывод : …(как направлена скорость.)

Слайд № 12.

1. Выясним, как направлено ускорение при криволинейно движении, которое появляется здесь в связи с тем, что происходит изменение скорости по направлению.

(Анимация с мотоциклистом.)

Сделаем вывод : …(как направлено ускорение)

Запишем формулу в тетрадь.

Слайд № 13.

1. Рассмотрите рисунок. Сейчас мы выясним почему ускорение направлено к центру окружности.

(объяснение учителя)

Слайд № 14.

Какие выводы можно сделать о направлении скорости и ускорения?

1. Существуют и другие характеристики криволинейного движения. К ним относятся период и частота обращения тела по окружности. Скорость и период связаны соотношением, которую установим математически:

(Учитель пишет на доске, учащиеся делают запись в тетрадях)

Известно , а путь , то .

Так как , то

Слайд № 15.

1. Какой же общий вывод моно сделать о характере движения по окружности?

(Ответ)

Слайд № 16. ,

1. По II закону Ньютона ускорение всегда сонаправлено с силой, в результате действия которой оно возникает. Это справедливо и для центростремительного ускорения.

Давайте сделаем вывод : Как же направлена сила в каждой точке траектории?

(ответ)

Такая сила называется центростремительной.

Запишем формулу в тетрадь.

(Учитель пишет на доске, учащиеся делают запись в тетрадях)

Центростремительная сила создается всеми силами природы.

Приведите примеры действия центростремительных сил по их природе:

• сила упругости (камень на веревке);
• сила тяготения (планеты вокруг солнца);
• сила трения (движение на поворотах).

Слайд № 17 .

1. Для закрепления я предлагаю провести эксперимент. Для этого создадим три группы.

I группа установит зависимость скорости от радиуса окружности.

II группа измерит ускорение при движении по окружности.

III группа установит зависимость центростремительного ускорения от числа оборотов в единицу времени.

Слайд № 18.

Подведение итогов . Как зависит скорость и ускорение от радиуса окружности?

1. Проведем тестирование для первичного закрепления. (7 мин)

Слайд № 19.

1. Оцените свою работу на уроке. Продолжите предложения на листочках.

(Рефлексия. Отдельные ответы учащиеся озвучивают вслух.)

Слайд № 20.

1. Домашнее задание: §18-19,

Упр. 18 (1, 2)

Дополнительно упр. 18 (5)

(Учитель комментирует)

Слайд № 21.

Слайд 2

Тема урока: Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности.

Слайд 3

Механические движения Прямолинейное Криволинейное Движение по эллипсу Движение по параболе Движение по гиперболе Движение по окружности

Слайд 4

Цели урока: 1. Знать основные характеристики криволинейного движения и связь между ними. 2. Уметь применять полученные знания при решении экспериментальных задач.

Слайд 5

План изучения темы

Изучение нового материала Условие прямолинейного и криволинейного движения Направление скорости тела при криволинейном движении Центростремительное ускорение Период обращения Частота обращения Центростремительная сила Выполнение фронтальных экспериментальных заданий Самостоятельная работа в форме тестов Подведение итогов

Слайд 6

По виду траектории движение бывает: Криволинейное Прямолинейное

Слайд 7

Условия прямолинейного и криволинейного движения тел (Опыт с шариком)

Слайд 8

стр.67 Запомнить! Работа с учебником

Слайд 9

Движение по окружности – частный случай криволинейного движения

Слайд 10

Характеристики движения – линейная скорость криволинейного движения () – центростремительное ускорение () – период обращения() – частота обращения ()

Слайд 11

Запомнить. Направления движения частиц совпадает с касательной к окружности

Слайд 12

При криволинейном движении скорость тела направлена по касательной к окружности Запомнить.

Слайд 13

При криволинейном движении ускорение направлено к центру окружности Запомнить.

Слайд 14

Почему ускорение направлено к центру окружности?

Слайд 15

Определение скорости - скорость - период обращения r- радиус окружности

Слайд 16

При движении тела по окружности модуль вектора скорости может меняться или оставаться постоянным, но направление вектора скорости обязательно меняется. Поэтому вектор скорости является величиной переменной. Значит движение по окружности всегда происходит с ускорением.

Запомнить!

Слайд 17

Центростремительная сила сила упругости сила трения сила тяготения Модель атома водорода

Слайд 18

1. Установить зависимость скорости от радиуса2. Измерить ускорение при движении по окружности3. Установить зависимость центростремительного ускорения от числа оборотов в единицу времени.

Эксперимент

Слайд 19

Вариант 1Вариант 2 1.Тело движется равномерно по окружности в направлении по часовой стрелки против часовой стрелки Как направлен вектор ускорения при таком движении? а) 1 ; б) 2 ; в) 3 ; г) 4 . 2. Автомобиль движется с постоянной по модулю скоростью по траектории рисунка. В какой из указанных точек траектории центростремительное ускорение минимально максимально? 3. Во сколько раз изменится центростремительное ускорение, если скорость материальной точки увеличитьуменьшить в 3 раза? а) увеличится в 9 раз; б) уменьшится в 9 раз; в) увеличится в 3 раза; г) уменьшится в 3 раза. Самостоятельная работа

Слайд 20

Продолжи предложение Сегодня на уроке я понял, что… Мне понравилось на уроке то, что… На уроке меня порадовало… Я удовлетворён своей работой, потому что… Мне хотелось бы порекомендовать…

Слайд 21

Домашнее задание: §18-19, упр. 18 (1, 2) Дополнительно упр. 18 (5) Спасибо за внимание. Спасибо за урок!

Посмотреть все слайды

Прямолинейное движение
Известно, что тело двигается под действием приложенной к нему силы. Можно проделать несложный эксперимент, показывающий, как направление движения тела будет зависеть от направления приложенной к нему силы. Для этого потребуется произвольный предмет небольшого размера, резиновый шнур и горизонтальная или вертикальная опора.

Привязывает шнур одним концом к опоре. На другом конце шнура закрепляем наш предмет. Теперь, если мы оттянем наш предмет на некоторое расстояние, а потом отпустим, то увидим, как он начнет двигаться в направлении опоры. Его движение обусловлено силой упругости шнура. Именно так Земля притягивает все тела на ее поверхности, а также летящие из космоса метеориты.

Только вместо силы упругости выступает сила притяжения. А теперь возьмем наш предмет на резинке и толкнем его не в направлении к/от опоры, а вдоль нее. Если бы предмет не был закреплен, он бы просто улетел в сторону. Но так как его держит шнур, то шарик, двигаясь в сторону, слегка растягивает шнур, тот тянет его обратно, и шарик чуть меняет свое направление в сторону опоры.

Криволинейное движение по окружности
Так происходит в каждый момент времени, в итоге шарик движется не по первоначальной траектории, но и не прямолинейно к опоре. Шарик будет двигаться вокруг опоры по окружности. Траектория его движения будет криволинейной. Именно так вокруг Земли двигается Луна, не падая на нее.

Именно так притяжение Земли захватывает метеориты, которые летят близко от Земли, но не прямо на нее. Эти метеориты становятся спутниками Земли. При этом от того, каким был их первоначальный угол движения по отношению к Земле, зависит, как долго они пробудут на орбите. Если их движение было перпендикулярно Земле, то они могут находиться на орбите бесконечно долго. Если же угол был меньше 90˚, то они будут двигаться по снижающейся спирали, и постепенно все-таки упадут на землю.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
Еще один момент, который следует отметить, это то, что скорость криволинейного движения по окружности меняется по направлению, но одинакова по значению. А это означает, что движение по окружности с постоянной по модулю скоростью происходит равноускорено.

Так как направление движения меняется, значит, движение происходит с ускорением. А так как оно меняется одинаково в каждый момент времени, следовательно, движение будет равноускоренным. А сила притяжения является силой, которая обусловливает постоянное ускорение.

Луна двигается вокруг Земли именно благодаря этому, но если вдруг когда-либо движение Луны изменится, например, в нее врежется очень крупный метеорит, то она вполне может сойти со своей орбиты и упасть на Землю. Нам остается лишь надеяться, что этот момент не наступит никогда. Такие дела.