Operacije z navadnimi ulomki. Seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov: pravila, primeri. Seštevanje ulomkov z x-ji

Navodilo

Najprej si zapomnite, da je ulomek le pogojni zapis za deljenje enega števila z drugim. Poleg seštevanja in množenja deljenje dveh celih števil ne povzroči vedno celega števila. Poimenujte ti dve "deljivi" številki. Število, ki ga delimo, je števec, število, ki ga delimo, pa imenovalec.

Če želite zapisati ulomek, najprej napišite njegov števec, nato pod to številko potegnite vodoravno črto in pod črto imenovalec. Vodoravna črta, ki ločuje števec in imenovalec, se imenuje ulomek. Včasih je prikazan kot poševnica "/" ali "∕". V tem primeru je števec zapisan levo od črte, imenovalec pa desno. Tako bo na primer ulomek "dve tretjini" zapisan kot 2/3. Zaradi jasnosti je števec običajno napisan na vrhu vrstice, imenovalec pa na dnu, torej namesto 2/3 lahko najdete: ⅔.

Če je števec ulomka večji od njegovega imenovalca, potem tak »nepravi« ulomek običajno zapišemo kot »mešan« ulomek. Če želite iz nepravilnega ulomka dobiti mešani ulomek, preprosto delite števec z imenovalcem in zapišite dobljeni količnik. Nato v števec ulomka vstavite ostanek deljenja in ta ulomek zapišite desno od količnika (ne dotikajte se imenovalca). Na primer, 7/3 = 2⅓.

Če želite sešteti dva ulomka z enakim imenovalcem, preprosto seštejte njune števce (imenovalce pustite). Na primer, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Podobno odštejemo dva ulomka (števci so odšteti). Na primer, 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Če želite sešteti dva ulomka z različnimi imenovalci, pomnožite števec in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ter števec in imenovalec drugega ulomka z imenovalcem prvega. Kot rezultat boste dobili vsoto dveh ulomkov z enakimi imenovalci, katerih seštevanje je opisano v prejšnjem odstavku.

Na primer, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

Če imajo imenovalci ulomkov skupne delitelje, to pomeni, da so deljivi z istim številom, izberimo za skupni imenovalec najmanjše število, ki je hkrati deljivo s prvim in drugim imenovalcem. Torej, če je na primer prvi imenovalec 6 in drugi 8, potem za skupni imenovalec ne vzemite njunega produkta (48), temveč število 24, ki je deljivo s 6 in 8. Števci ulomkov so takrat pomnoženo s količnikom deljenja skupnega imenovalca z imenovalcem vsakega ulomka. Na primer, za imenovalec 6 bo to število 4 - (24/6), za imenovalec 8 pa 3 (24/8). Ta postopek je bolj jasno viden v konkretnem primeru:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci poteka na povsem enak način.

Če želite izraziti del kot ulomek celote, morate del deliti s celoto.

Naloga 1. V razredu je 30 učencev, štirje manjkajo. Kolikšen delež študentov manjka?

rešitev:

odgovor: v razredu ni učencev.

Iskanje ulomka iz števila

Za reševanje nalog, pri katerih je treba najti del celote, velja naslednje pravilo:

Če je del celote izražen kot ulomek, lahko ta del najdete tako, da celoto delite z imenovalcem ulomka in rezultat pomnožite z njegovim števcem.

Naloga 1. Bilo je 600 rubljev, ta znesek je bil porabljen. Koliko denarja ste porabili?

rešitev:če želite najti od 600 rubljev, morate ta znesek razdeliti na 4 dele, s čimer bomo ugotovili, koliko denarja je ena četrtina:

600 : 4 = 150 (str.)

odgovor: porabil 150 rubljev.

Naloga 2. Bilo je 1000 rubljev, ta znesek je bil porabljen. Koliko denarja je bilo porabljenega?

rešitev: Iz pogoja problema vemo, da je 1000 rubljev sestavljenih iz petih enakih delov. Najprej ugotovimo, koliko rubljev je ena petina 1000, nato pa ugotovimo, koliko rubljev je dve petini:

1) 1000: 5 = 200 (str.) - ena petina.

2) 200 2 \u003d 400 (str.) - dve petini.

Ti dve akciji se lahko združita: 1000: 5 2 = 400 (p.).

odgovor: Porabljenih je bilo 400 rubljev.

Drugi način iskanja dela celote:

Če želite najti del celote, lahko celoto pomnožite z ulomkom, ki izraža ta del celote.

Naloga 3. V skladu z listino zadruge je za veljavnost poročevalnega sestanka potrebno, da se ga udeležijo najmanj člani organizacije. Zadruga šteje 120 članov. V kakšni sestavi je lahko poročevalski sestanek?

rešitev:

odgovor: poročevalni zbor se lahko izvede, če je v organizaciji 80 članov.

Iskanje števila po ulomku

Za reševanje problemov, v katerih je potrebno najti celoto po njenem delu, velja naslednje pravilo:

Če je del želenega celega števila izražen kot ulomek, potem, da bi našli to celo število, lahko ta del delite s števcem ulomka in rezultat pomnožite z imenovalcem.

Naloga 1. Porabili smo 50 rubljev, to je bil prvotni znesek. Poiščite prvotni znesek denarja.

rešitev: iz opisa problema vidimo, da je 50 rubljev 6-krat manj od začetnega zneska, tj. začetni znesek je 6-krat večji od 50 rubljev. Če želite najti ta znesek, morate 50 pomnožiti s 6:

50 6 = 300 (r.)

odgovor: začetni znesek je 300 rubljev.

Naloga 2. Porabili smo 600 rubljev, to je bil začetni znesek denarja. Poiščite prvotni znesek.

rešitev: predpostavili bomo, da je želeno število sestavljeno iz treh tretjin. Po pogoju sta dve tretjini številke enaki 600 rubljev. Najprej najdemo tretjino začetnega zneska in nato, koliko rubljev so tri tretjine (začetni znesek):

1) 600 : 2 3 = 900 (str.)

odgovor: začetni znesek je 900 rubljev.

Drugi način iskanja celote po njenem delu:

Če želite najti celoto po vrednosti njenega dela, lahko to vrednost delite z ulomkom, ki izraža ta del.

Naloga 3. Odsek črte AB, enako 42 cm, je dolžina segmenta CD. Poiščite dolžino odseka CD.

rešitev:

odgovor: dolžina segmenta CD 70 cm

Naloga 4. V trgovino so prinesli lubenice. Pred kosilom je trgovina prodajala, po kosilu - prinesla lubenice in ostalo je prodati 80 lubenic. Koliko lubenic so skupaj pripeljali v trgovino?

rešitev: najprej ugotovimo, kateri del uvoženih lubenic je številka 80. Da bi to naredili, vzamemo skupno število uvoženih lubenic kot enoto in od tega odštejemo število lubenic, ki smo jih uspeli prodati (prodati):

In tako smo izvedeli, da je 80 lubenic od skupnega števila pripeljanih lubenic. Zdaj bomo ugotovili, koliko lubenic je skupna količina, nato pa koliko lubenic (število prinesenih lubenic):

2) 80: 4 15 = 300 (lubenice)

odgovor: skupaj so v trgovino pripeljali 300 lubenic.

Množenje in deljenje ulomkov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomnim vas: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:

Na primer:

Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ne potrebujem ...

Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.

Na primer:

Če je ujeto množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju iz celega števila z enoto v imenovalcu naredimo ulomek - in gremo! Na primer:

V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:

Kako ta ulomek spraviti v spodobno obliko? Da, zelo enostavno! Uporabite delitev na dve točki:

Ne pozabite pa na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:

V prvem primeru (izraz na levi):

V drugem (izraz na desni):

Občutite razliko? 4 in 1/9!

Kakšen je vrstni red delitve? Ali oklepaji ali (kot tukaj) dolžina vodoravnih pomišljajev. Razviti oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:

nato deli-množi po vrsti, od leve proti desni!

In še en zelo preprost in pomemben trik. Pri akcijah z diplomami vam bo prišel prav! Enoto delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:

Strel se je obrnil! In vedno se zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat isti ulomek, le obrnjen.

To so vsa dejanja z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Upoštevajte praktične nasvete, pa jih bo (napak) manj!

Praktični nasveti:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso običajne besede, ne dobre želje! To je huda potreba! Vse izračune na izpitu opravite kot popolno nalogo, zbrano in jasno. Bolje je, da napišete dve dodatni vrstici v osnutku, kot da se motite pri računanju v glavi.

2. V primerih z različnimi vrstami ulomkov - pojdite na navadne ulomke.

3. Vse ulomke zmanjšamo do konca.

4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).

5. Enoto v mislih razdelimo na ulomek, preprosto tako, da ulomek obrnemo.

Tukaj so naloge, ki jih morate opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale te teme in praktične nasvete. Ocenite, koliko primerov bi lahko rešili pravilno. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke ...

Zapomni si pravilen odgovor pridobljeno iz drugega (predvsem tretjega) časa - ne šteje! Tako je kruto življenje.

Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je priprava na izpit. Rešimo primer, preverimo, rešimo naslednji. Odločili smo se za vse – ponovno smo preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.

Izračunajte:

Ste se odločili?

Iščete odgovore, ki ustrezajo vašim. Zapisal sem jih posebej v zmešnjavi, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

In zdaj sklepamo. Če je vse uspelo - veselo za vas! Elementarni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne...

Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak to rešljiv Težave.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

Ulomki so navadna števila, lahko jih tudi seštevamo in odštevamo. Toda zaradi dejstva, da imajo imenovalec, so tukaj potrebna bolj zapletena pravila kot za cela števila.

Razmislite o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva ulomka z enakima imenovalcema. Nato:

Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, seštejte njihove števce in pustite imenovalec nespremenjen.

Če želite odšteti ulomke z enakimi imenovalci, morate števec drugega odšteti od števca prvega ulomka in ponovno pustiti imenovalec nespremenjen.

Znotraj vsakega izraza sta imenovalca ulomka enaka. Po definiciji seštevanja in odštevanja ulomkov dobimo:

Kot lahko vidite, nič zapletenega: samo dodajte ali odštejte števce - in to je to.

Toda tudi pri tako preprostih dejanjih ljudje delajo napake. Največkrat pozabijo, da se imenovalec ne spremeni. Na primer, ko jih dodajajo, se tudi začnejo seštevati, kar je v osnovi napačno.

Znebiti se slabe navade seštevanja imenovalcev je povsem preprosto. Poskusite storiti enako pri odštevanju. Posledično bo imenovalec enak nič in ulomek (nenadoma!) bo izgubil svoj pomen.

Zato si enkrat za vselej zapomnite: pri seštevanju in odštevanju se imenovalec ne spremeni!

Veliko ljudi se tudi zmoti pri seštevanju več negativnih ulomkov. Obstaja zmeda z znaki: kje postaviti minus in kje - plus.

Tudi to težavo je zelo enostavno rešiti. Dovolj je, da se spomnimo, da lahko minus pred znakom ulomka vedno prenesemo na števec - in obratno. In seveda ne pozabite na dve preprosti pravili:

1. Plus krat minus daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Analizirajmo vse to s posebnimi primeri:

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

V prvem primeru je vse preprosto, v drugem pa bomo števcem ulomkov dodali minuse:

Kaj pa, če so imenovalci različni

Ne morete neposredno seštevati ulomkov z različnimi imenovalci. Vsaj meni ta metoda ni znana. Vendar lahko izvirne ulomke vedno prepišemo tako, da postanejo imenovalci enaki.

Obstaja veliko načinov za pretvorbo ulomkov. Tri izmed njih so obravnavane v lekciji " Spraviti ulomke na skupni imenovalec ", zato se na njih tukaj ne bomo zadrževali. Oglejmo si nekaj primerov:

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

V prvem primeru spravimo ulomke na skupni imenovalec z metodo »navzkrižno«. V drugem bomo iskali LCM. Upoštevajte, da je 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Zadnji faktorji v teh razširitvah so enaki, prvi pa so praštevilni. Zato je LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Kaj pa, če ima ulomek celo število

Lahko vas potešim: različni imenovalci ulomkov niso največje zlo. Veliko več napak se pojavi, če je v ulomkih označen cel del.

Seveda za takšne ulomke obstajajo lastni algoritmi seštevanja in odštevanja, vendar so precej zapleteni in zahtevajo dolgo študijo. Bolje uporabite spodnji preprost diagram:

1. Pretvori vse ulomke, ki vsebujejo celo število, v nepravilne. Dobimo normalne člene (čeprav z različnimi imenovalci), ki se izračunajo po zgoraj obravnavanih pravilih;
2. Pravzaprav izračunajte vsoto ali razliko dobljenih ulomkov. Posledično bomo praktično našli odgovor;
3. Če je to vse, kar smo v nalogi zahtevali, izvedemo inverzno transformacijo, tj. znebimo se nepravilnega ulomka in v njem poudarimo celo število.

Pravila za preklop na nepravilne ulomke in poudarjanje celega dela so podrobno opisana v lekciji "Kaj je številski ulomek". Če se ne spomnite, obvezno ponovite. Primeri:

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Tukaj je vse preprosto. Imenovalci znotraj vsakega izraza so enaki, zato je treba vse ulomke pretvoriti v nepravilne in prešteti. Imamo:

Za poenostavitev izračunov sem v zadnjih primerih preskočil nekaj očitnih korakov.

Majhna opomba k zadnjima dvema primeroma, kjer se ulomka s poudarjenim celoštevilskim delom odštejeta. Minus pred drugim ulomkom pomeni, da se odšteje cel ulomek in ne le njegov cel del.

Ponovno preberite ta stavek, poglejte primere in razmislite o tem. Tukaj začetniki naredijo veliko napak. Takšne naloge radi dajejo pri kontrolnem delu. Večkrat jih boste srečali tudi v testih za to lekcijo, ki bodo objavljeni v kratkem.

Povzetek: Splošna shema računalništva

Na koncu bom podal splošen algoritem, ki vam bo pomagal najti vsoto ali razliko dveh ali več ulomkov:

1. Če je v enem ali več ulomkih poudarjen celoštevilski del, te ulomke pretvorite v neprave;
2. Vse ulomke prinesite na skupni imenovalec na kakršen koli način, ki vam ustreza (razen če seveda tega niso storili prevajalci težav);
3. Dodajte ali odštejte dobljena števila v skladu s pravili za seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci;
4. Če je mogoče, zmanjšajte rezultat. Če se je izkazalo, da ulomek ni pravilen, izberite cel del.

Ne pozabite, da je bolje, da celoten del označite čisto na koncu naloge, tik preden napišete odgovor.

Zdaj, ko smo se naučili seštevati in množiti posamezne ulomke, lahko razmislimo o bolj zapletenih strukturah. Na primer, kaj če se seštevanje, odštevanje in množenje ulomkov pojavi v eni težavi?

Najprej morate vse ulomke pretvoriti v nepravilne. Nato zaporedno izvedemo zahtevana dejanja - v istem vrstnem redu kot pri navadnih številkah. namreč:

1. Najprej se izvede potenciranje - znebite se vseh izrazov, ki vsebujejo eksponente;
2. Nato - deljenje in množenje;
3. Zadnji korak je seštevanje in odštevanje.

Seveda, če so v izrazu oklepaji, se vrstni red dejanj spremeni - najprej je treba upoštevati vse, kar je znotraj oklepajev. In ne pozabite na nepravilne ulomke: cel del morate izbrati šele, ko so vsa druga dejanja že opravljena.

Prevedimo vse ulomke iz prvega izraza v nepravilne in nato izvedimo naslednja dejanja:

Zdaj pa poiščimo vrednost drugega izraza. Ulomkov s celim delom ni, so pa oklepaji, zato najprej izvedemo seštevanje in šele nato deljenje. Upoštevajte, da je 14 = 7 2 . Nato:

Nazadnje razmislite o tretjem primeru. Tukaj so oklepaji in diploma - bolje jih je šteti ločeno. Glede na to, da je 9 = 3 3 , imamo:

Bodite pozorni na zadnji primer. Če želite ulomek povečati na potenco, morate posebej dvigniti števec na to potenco in ločeno imenovalec.

Lahko se odločite drugače. Če se spomnimo definicije stopnje, se bo problem zmanjšal na običajno množenje ulomkov:

Večnadstropni ulomki

Doslej smo obravnavali samo »čiste« ulomke, ko sta števec in imenovalec navadna števila. To je skladno z definicijo številskega ulomka, podano v prvi lekciji.

Kaj pa, če je v števcu ali imenovalcu postavljen bolj zapleten predmet? Na primer, še en številski ulomek? Takšne konstrukcije se pojavljajo precej pogosto, zlasti pri delu z dolgimi izrazi. Tukaj je nekaj primerov:

Za delo z večnadstropnimi frakcijami obstaja samo eno pravilo: takoj se jih morate znebiti. Odstranitev "dodatnih" nadstropij je precej preprosta, če se spomnite, da delna vrstica pomeni standardno operacijo delitve. Zato lahko vsak ulomek prepišemo na naslednji način:

Ob upoštevanju tega dejstva in po postopku lahko kateri koli večnadstropni del enostavno zmanjšamo na navadnega. Oglejte si primere:

Naloga. Pretvori večnadstropne ulomke v običajne:

V vsakem primeru prepišemo glavni ulomek in zamenjamo ločnico z znakom za deljenje. Ne pozabite tudi, da je vsako celo število mogoče predstaviti kot ulomek z imenovalcem 1. To pomeni, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobimo:

V zadnjem primeru so bili ulomki zmanjšani pred končnim množenjem.

Posebnosti dela z večnadstropnimi frakcijami

V večnadstropnih frakcijah obstaja ena subtilnost, ki si jo je treba vedno zapomniti, sicer lahko dobite napačen odgovor, tudi če so bili vsi izračuni pravilni. Poglej:

1. V števcu je ločeno število 7, v imenovalcu pa ulomek 12/5;
2. Števec je ulomek 7/12, imenovalec pa eno samo število 5.

Tako smo za eno ploščo dobili dve popolnoma različni interpretaciji. Če štejete, bodo tudi odgovori različni:

Za zagotovitev, da se zapis vedno nedvoumno prebere, uporabite preprosto pravilo: ločnica glavne frakcije mora biti daljša od ugnezdene črte. Po možnosti večkrat.

Če sledite temu pravilu, je treba zgornje ulomke zapisati takole:

Ja, verjetno je grdo in zavzame preveč prostora. Boš pa pravilno štela. Za konec še nekaj primerov, kjer se res pojavljajo večnivojski ulomki:

Naloga. Poišči vrednosti izraza:

Torej, poglejmo prvi primer. Pretvorimo vse ulomke v neprave in nato izvedemo operaciji seštevanja in deljenja:

Naredimo enako z drugim primerom. Pretvorite vse ulomke v nepravilne in izvedite zahtevane operacije. Da ne bom bralca dolgočasil, bom izpustil nekaj očitnih izračunov. Imamo:

Ker sta v števcu in imenovalcu glavnih ulomkov vsote, se pravilo zapisovanja večnadstropnih ulomkov samodejno upošteva. Tudi v zadnjem primeru smo namenoma pustili število 46/1 v obliki ulomka, da bi lahko izvedli deljenje.

Opažam tudi, da v obeh primerih ulomek dejansko nadomesti oklepaje: najprej smo našli vsoto in šele nato - količnik.

Nekdo bo rekel, da je bil prehod na nepravilne ulomke v drugem primeru očitno odveč. Mogoče pa je tako. A tako se zavarujemo pred napakami, saj se lahko naslednjič primer izkaže za veliko bolj zapletenega. Sami izberite, kaj je bolj pomembno: hitrost ali zanesljivost.